演算法心得

A. 《演算法心得：高效演算法的奧秘（原書第2版）》pdf下載在線閱讀，求百度網盤雲資源

《演算法心得：高效演算法的奧秘（原書第2版）》（[美] Henry S. Warren, Jr.）電子書網盤下載免費在線閱讀

鏈接：https://pan..com/s/1c2AAxOe1HvDXDia4RorcVg 密碼：t38w

書名：演算法心得：高效演算法的奧秘（原書第2版）

作者：[美] Henry S. Warren, Jr.

譯者：愛飛翔

豆瓣評分：8.8

出版社：機械工業出版社

出版年份：2014-3

頁數：419

內容簡介：

在本書中，作者給我們帶來了一大批極為誘人的知識，其中包括各種節省程序運行時間的技巧、演算法與竅門。學習了這些技術，程序員就可寫出優雅高效的軟體，同時還能洞悉其中原理。這些技術極為實用，而且其問題本身又非常有趣，有時甚至像猜謎解謎一般，需要奇思妙想才行。簡而言之，軟體開發者看到這些改進程序效率的妙計之後，定然大喜。

作者簡介：

【作者簡介】

Henry S. Warren, Jr.

計算機科學家，在IBM供職50餘年，經歷了IBM704時代、PowerPC時代及其後種種更迭。曾參與多個軍事指揮與控制系統工程，並且參加了由Jack Schwarz領銜的「SET語言」項目。自1973年起，Hank就職於IBM研發部，努力探索編譯器和計算機架構。當前正研究一種旨在每秒執行百億億次運算的超級計算機。Hank擁有紐約大學柯朗數學科學研究所計算機科學博士學位。

【譯者簡介】

愛飛翔

資深軟體開發工程師，擅長Web開發、移動開發和游戲開發，有10餘年開發經驗，曾主導和參與了多個手機游戲和手機軟體項目的開發，經驗十分豐富。他是手機軟體開發引擎AgileMobileEngine的創始人兼項目經理，同時也是CatEngine手機游戲開發引擎的聯合創始人兼代碼維護員。他對極限編程、設計模式、重構、測試驅動開發、敏捷軟體開發等也有較深入的研究，目前負責敏捷移動開發網（http://www.agilemobidev.com/）的運營。業余愛好文學和歷史，有一定的文學造詣。翻譯並出版了多本計算機著作。

B. 關於動態規劃演算法，哪位可以講一下自己心得體會

動態規劃的特點及其應用
安徽 張辰
動態規劃 階段

動態規劃是信息學競賽中的常見演算法，本文的主要內容就是分析它的特點。
文章的第一部分首先探究了動態規劃的本質，因為動態規劃的特點是由它的本質所決定的。第二部分從動態規劃的設計和實現這兩個角度分析了動態規劃的多樣性、模式性、技巧性這三個特點。第三部分將動態規劃和遞推、搜索、網路流這三個相關演算法作了比較，從中探尋動態規劃的一些更深層次的特點。
文章在分析動態規劃的特點的同時，還根據這些特點分析了我們在解題中應該怎樣利用這些特點，怎樣運用動態規劃。這對我們的解題實踐有一定的指導意義。

動態規劃是編程解題的一種重要的手段，在如今的信息學競賽中被應用得越來越普遍。最近幾年的信息學競賽，不分大小，幾乎每次都要考察到這方面的內容。因此，如何更深入地了解動態規劃，從而更為有效地運用這個解題的有力武器，是一個值得深入研究的問題。
要掌握動態規劃的應用技巧，就要了解它的各方面的特點。首要的，是要深入洞悉動態規劃的本質。
§1動態規劃的本質
動態規劃是在本世紀50年代初，為了解決一類多階段決策問題而誕生的。那麼，什麼樣的問題被稱作多階段決策問題呢？
§1.1多階段決策問題
說到多階段決策問題，人們很容易舉出下面這個例子。
[例1] 多段圖中的最短路徑問題：在下圖中找出從A1到D1的最短路徑。
仔細觀察這個圖不難發現，它有一個特點。我們將圖中的點分為四類（圖中的A、B、C、D），那麼圖中所有的邊都處於相鄰的兩類點之間，並且都從前一類點指向後一類點。這樣，圖中的邊就被分成了三類（AàB、BàC、CàD）。我們需要從每一類中選出一條邊來，組成從A1到D1的一條路徑，並且這條路徑是所有這樣的路徑中的最短者。
從上面的這個例子中，我們可以大概地了解到什麼是多階段決策問題。更精確的定義如下：
多階段決策過程，是指這樣的一類特殊的活動過程，問題可以按時間順序分解成若干相互聯系的階段，在每一個階段都要做出決策，全部過程的決策是一個決策序列[1]。要使整個活動的總體效果達到最優的問題，稱為多階段決策問題。
從上述的定義中，我們可以明顯地看出，這類問題有兩個要素。一個是階段，一個是決策。
§1.2階段與狀態
階段：將所給問題的過程，按時間或空間特徵分解成若干相互聯系的階段，以便按次序去求每階段的解。常用字母k表示階段變數。[1]
階段是問題的屬性。多階段決策問題中通常存在著若干個階段，如上面的例子，就有A、B、C、D這四個階段。在一般情況下，階段是和時間有關的；但是在很多問題（我的感覺，特別是信息學問題）中，階段和時間是無關的。從階段的定義中，可以看出階段的兩個特點，一是「相互聯系」，二是「次序」。
階段之間是怎樣相互聯系的？就是通過狀態和狀態轉移。
狀態：各階段開始時的客觀條件叫做狀態。描述各階段狀態的變數稱為狀態變數，常用sk表示第k階段的狀態變數，狀態變數sk的取值集合稱為狀態集合，用Sk表示。[1]
狀態是階段的屬性。每個階段通常包含若干個狀態，用以描述問題發展到這個階段時所處在的一種客觀情況。在上面的例子中，行人從出發點A1走過兩個階段之後，可能出現的情況有三種，即處於C1、C2或C3點。那麼第三個階段就有三個狀態S3=。
每個階段的狀態都是由以前階段的狀態以某種方式「變化」而來，這種「變化」稱為狀態轉移（暫不定義）。上例中C3點可以從B1點過來，也可以從B2點過來，從階段2的B1或B2狀態走到階段3的C3狀態就是狀態轉移。狀態轉移是導出狀態的途徑，也是聯系各階段的途徑。
說到這里，可以提出應用動態規劃的一個重要條件。那就是將各階段按照一定的次序排列好之後，對於某個給定的階段狀態，它以前各階段的狀態無法直接影響它未來的發展，而只能通過當前的這個狀態。換句話說，每個狀態都是「過去歷史的一個完整總結[1]」。這就是無後效性。對這個性質，下文還將會有解釋。
§1.3決策和策略
上面的階段與狀態只是多階段決策問題的一個方面的要素，下面是另一個方面的要素——決策。
決策：當各段的狀態取定以後，就可以做出不同的決定，從而確定下一階段的狀態，這種決定稱為決策。表示決策的變數，稱為決策變數，常用uk(sk)表示第k階段當狀態為sk時的決策變數。在實際問題中，決策變數的取值往往限制在一定范圍內，我們稱此范圍為允許決策集合。常用Dk(sk)表示第k階段從狀態sk出發的允許決策集合。顯然有uk(sk) ?Dk(sk)。[1]
決策是問題的解的屬性。決策的目的就是「確定下一階段的狀態」，還是回到上例，從階段2的B1狀態出發有三條路，也就是三個決策，分別導向階段3的C1、C2、C3三個狀態，即D2(B1)=。
有了決策，我們可以定義狀態轉移：動態規劃中本階段的狀態往往是上一階段和上一階段的決策結果，由第k段的狀態sk和本階段的決策uk確定第k+1段的狀態sk+1的過程叫狀態轉移。狀態轉移規律的形式化表示sk+1=Tk(sk,uk)稱為狀態轉移方程。
這樣看來，似乎決策和狀態轉移有著某種聯系。我的理解，狀態轉移是決策的目的，決策是狀態轉移的途徑。
各段決策確定後，整個問題的決策序列就構成一個策略，用p1,n=表示。對每個實際問題，可供選擇的策略有一定范圍，稱為允許策略集合，記作P1,n，使整個問題達到最有效果的策略就是最優策略。[1]
說到這里，又可以提出運用動態規劃的一個前提。即這個過程的最優策略應具有這樣的性質：無論初始狀態及初始決策如何，對於先前決策所形成的狀態而言，其以後的所有決策應構成最優策略[1]。這就是最優化原理。簡言之，就是「最優策略的子策略也是最優策略」。
§1.4最優化原理與無後效性
這里，我把最優化原理定位在「運用動態規劃的前提」。這是因為，是否符合最優化原理是一個問題的本質特徵。對於不滿足最優化原理的一個多階段決策問題，整體上的最優策略p1,n同任何一個階段k上的決策uk或任何一組階段k1…k2上的子策略pk1,k2都不存在任何關系。如果要對這樣的問題動態規劃的話，我們從一開始所作的劃分階段等努力都將是徒勞的。
而我把無後效性定位在「應用動態規劃的條件」，是因為動態規劃是按次序去求每階段的解，如果一個問題有後效性，那麼這樣的次序便是不合理的。但是，我們可以通過重新劃分階段，重新選定狀態，或者增加狀態變數的個數等手段，來是問題滿足無後效性這個條件。說到底，還是要確定一個「序」。
在信息學的多階段決策問題中，絕大部分都是能夠滿足最優化原理的，但它們往往會在後效性這一點上來設置障礙。所以在解題過程中，我們會特別關心「序」。對於有序的問題，就會考慮到動態規劃；對於無序的問題，也會想方設法來使其有序。
§1.5最優指標函數和規劃方程
最優指標函數：用於衡量所選定策略優劣的數量指標稱為指標函數，最優指標函數記為fk(sk)，它表示從第k段狀態sk採用最優策略p*k,n到過程終止時的最佳效益值[1]。
最優指標函數其實就是我們真正關心的問題的解。在上面的例子中，f2(B1)就表示從B1點到終點D1點的最短路徑長度。我們求解的最終目標就是f1(A1)。
最優指標函數的求法一般是一個從目標狀態出發的遞推公式，稱為規劃方程：

其中sk是第k段的某個狀態，uk是從sk出發的允許決策集合Dk(sk)中的一個決策，Tk(sk,uk)是由sk和uk所導出的第k+1段的某個狀態sk+1，g(x,uk)是定義在數值x和決策uk上的一個函數，而函數opt表示最優化，根據具體問題分別表為max或min。
，稱為邊界條件。
上例中的規劃方程就是：

邊界條件為
這里是一種從目標狀態往回推的逆序求法，適用於目標狀態確定的問題。在我們的信息學問題中，也有很多有著確定的初始狀態。當然，對於初始狀態確定的問題，我們也可以採用從初始狀態出發往前推的順序求法。事實上，這種方法對我們來說要更為直觀、更易設計一些，從而更多地出現在我們的解題過程中。
我們本節所討論的這些理論雖然不是本文的主旨，但是卻對下面要說的動態規劃的特點起著基礎性的作用。
§2動態規劃的設計與實現
上面我們討論了動態規劃的一些理論，本節我們將通過幾個例子中，動態規劃的設計與實現，來了解動態規劃的一些特點。
§2.1動態規劃的多樣性
[例2] 花店櫥窗布置問題（IOI99）試題見附錄
本題雖然是本屆IOI中較為簡單的一題，但其中大有文章可作。說它簡單，是因為它有序，因此我們一眼便可看出這題應該用動態規劃來解決。但是，如何動態規劃呢？如何劃分階段，又如何選擇狀態呢？
<方法1>以花束的數目來劃分階段。在這里，階段變數k表示的就是要布置的花束數目（前k束花），狀態變數sk表示第k束花所在的花瓶。而對於每一個狀態sk，決策就是第k-1束花應該放在哪個花瓶，用uk表示。最優指標函數fk(sk)表示前k束花，其中第k束插在第sk個花瓶中，所能取得的最大美學值。
狀態轉移方程為
規劃方程為
（其中A(i,j)是花束i插在花瓶j中的美學值）
邊界條件 （V是花瓶總數，事實上這是一個虛擬的邊界）
<方法2>以花瓶的數目來劃分階段。在這里階段變數k表示的是要佔用的花瓶數目（前k個花瓶），狀態變數sk表示前k個花瓶中放了多少花。而對於任意一個狀態sk，決策就是第sk束花是否放在第k個花瓶中，用變數uk=1或0來表示。最優指標函數fk(sk)表示前k個花瓶中插了sk束花，所能取得的最大美學值。
狀態轉移方程為
規劃方程為
邊界條件為
兩種劃分階段的方法，引出了兩種狀態表示法，兩種規劃方式，但是卻都成功地解決了問題。只不過因為決策的選擇有多有少，所以演算法的時間復雜度也就不同。[2]
這個例子具有很大的普遍性。有很多的多階段決策問題都有著不止一種的階段劃分方法，因而往往就有不止一種的規劃方法。有時各種方法所產生的效果是差不多的，但更多的時候，就像我們的例子一樣，兩種方法會在某個方面有些區別。
所以，在用動態規劃解題的時候，可以多想一想是否有其它的解法。對於不同的解法，要注意比較，好的演算法好在哪裡，差一點的演算法差在哪裡。從各種不同演算法的比較中，我們可以更深刻地領會動態規劃的構思技巧。
§2.2動態規劃的模式性
這個可能做過動態規劃的人都有體會，從我們上面對動態規劃的分析也可以看出來。動態規劃的設計都有著一定的模式，一般要經歷以下幾個步驟。
劃分階段：按照問題的時間或空間特徵，把問題分為若干個階段。注意這若干個階段一定要是有序的或者是可排序的，否則問題就無法求解。
選擇狀態：將問題發展到各個階段時所處於的各種客觀情況用不同的狀態表示出來。當然，狀態的選擇要滿足無後效性。
確定決策並寫出狀態轉移方程：之所以把這兩步放在一起，是因為決策和狀態轉移有著天然的聯系，狀態轉移就是根據上一階段的狀態和決策來導出本階段的狀態。所以，如果我們確定了決策，狀態轉移方程也就寫出來了。但事實上，我們常常是反過來做，根據相鄰兩段的各狀態之間的關系來確定決策。
寫出規劃方程（包括邊界條件）：在第一部分中，我們已經給出了規劃方程的通用形式化表達式。一般說來，只要階段、狀態、決策和狀態轉移確定了，這一步還是比較簡單的。
動態規劃的主要難點在於理論上的設計，一旦設計完成，實現部分就會非常簡單。大體上的框架如下：
對f1(s1)初始化（邊界條件）
for k?2 to n（這里以順序求解為例）
對每一個sk?Sk
fk(sk)?一個極值（∞或－∞）
對每一個uk(sk)?Dk(sk)
sk-1?Tk(sk,uk)
t?g(fk-1(sk-1),uk)
y t比fk(sk)更優 n
fk(sk)?t
輸出fn(sn)
這個N-S圖雖然不能代表全部，但足可以概括大多數。少數的一些特殊的動態規劃，其實現的原理也是類似，可以類比出來。我們到現在對動態規劃的分析，主要是在理論上、設計上，原因也就在此。
掌握了動態規劃的模式性，我們在用動態規劃解題時就可以把主要的精力放在理論上的設計。一旦設計成熟，問題也就基本上解決了。而且在設計演算法時也可以按部就班地來。
但是「物極必反」，太過拘泥於模式就會限制我們的思維，扼殺優良演算法思想的產生。我們在解題時，不妨發揮一下創造性，去突破動態規劃的實現模式，這樣往往會收到意想不到的效果。[3]
§2.3動態規劃的技巧性
上面我們所說的動態規劃的模式性，主要指的是實現方面。而在設計方面，雖然它較為嚴格的步驟性，但是它的設計思想卻是沒有一定的規律可循的。這就需要我們不斷地在實踐當中去掌握動態規劃的技巧，下面僅就一個例子談一點我自己的體會。
[例3] 街道問題：在下圖中找出從左下角到右上角的最短路徑，每步只能向右方或上方走。
這是一道簡單而又典型的動態規劃題，許多介紹動態規劃的書與文章中都拿它來做例子。通常，書上的解答是這樣的：

按照圖中的虛線來劃分階段，即階段變數k表示走過的步數，而狀態變數sk表示當前處於這一階段上的哪一點（各點所對應的階段和狀態已經用ks在地圖上標明）。這時的模型實際上已經轉化成了一個特殊的多段圖。用決策變數uk=0表示向右走，uk=1表示向上走，則狀態轉移方程如下：

（這里的row是地圖豎直方向的行數）
我們看到，這個狀態轉移方程需要根據k的取值分兩種情況討論，顯得非常麻煩。相應的，把它代入規劃方程而付諸實現時，演算法也很繁。因而我們在實現時，一般是不會這么做的，而代之以下面方法：
將地圖中的點規則地編號如上，得到的規劃方程如下：

（這里Distance表示相鄰兩點間的邊長）
這樣做確實要比上面的方法簡單多了，但是它已經破壞了動態規劃的本來面目，而不存在明確的階段特徵了。如果說這種方法是以地圖中的行（A、B、C、D）來劃分階段的話，那麼它的「狀態轉移」就不全是在兩個階段之間進行的了。
也許這沒什麼大不了的，因為實踐比理論更有說服力。但是，如果我們把題目擴展一下：在地圖中找出從左下角到右上角的兩條路徑，兩條路徑中的任何一條邊都不能重疊，並且要求兩條路徑的總長度最短。這時，再用這種「簡單」的方法就不太好辦了。
如果非得套用這種方法的話，則最優指標函數就需要有四維的下標，並且難以處理兩條路徑「不能重疊」的問題。
而我們回到原先「標准」的動態規劃法，就會發現這個問題很好解決，只需要加一維狀態變數就成了。即用sk=(ak,bk)分別表示兩條路徑走到階段k時所處的位置，相應的，決策變數也增加一維，用uk=(xk,yk)分別表示兩條路徑的行走方向。狀態轉移時將兩條路徑分別考慮：

在寫規劃方程時，只要對兩條路徑走到同一個點的情況稍微處理一下，減少可選的決策個數：

從這個例子中可以總結出設計動態規劃演算法的一個技巧：狀態轉移一般是在相鄰的兩個階段之間（有時也可以在不相鄰的兩個階段間），但是盡量不要在同一個階段內進行。
動態規劃是一種很靈活的解題方法，在動態規劃演算法的設計中，類似的技巧還有很多。要掌握動態規劃的技巧，有兩條途徑：一是要深刻理解動態規劃的本質，這也是我們為什麼一開始就探討它的本質的原因；二是要多實踐，不但要多解題，還要學會從解題中探尋規律，總結技巧。
§3動態規劃與一些演算法的比較
動態規劃作為諸多解題方法中的一種，必然和其他一些演算法有著諸多聯系。從這些聯系中，我們也可以看出動態規劃的一些特點。
§3.1動態規劃與遞推
——動態規劃是最優化演算法
由於動態規劃的「名氣」如此之大，以至於很多人甚至一些資料書上都往往把一種與動態規劃十分相似的演算法，當作是動態規劃。這種演算法就是遞推。實際上，這兩種演算法還是很容易區分的。
按解題的目標來分，信息學試題主要分四類：判定性問題、構造性問題、計數問題和最優化問題。我們在競賽中碰到的大多是最優化問題，而動態規劃正是解決最優化問題的有力武器，因此動態規劃在競賽中的地位日益提高。而遞推法在處理判定性問題和計數問題方面也是一把利器。下面分別就兩個例子，談一下遞推法和動態規劃在這兩個方面的聯系。
[例4] mod 4 最優路徑問題：在下圖中找出從第1點到第4點的一條路徑，要求路徑長度mod 4的余數最小。
這個圖是一個多段圖，而且是一個特殊的多段圖。雖然這個圖的形式比一般的多段圖要簡單，但是這個最優路徑問題卻不能用動態規劃來做。因為一條從第1點到第4點的最優路徑，在它走到第2點、第3點時，路徑長度mod 4的余數不一定是最小，也就是說最優策略的子策略不一定最優——這個問題不滿足最優化原理。
但是我們可以把它轉換成判定性問題，用遞推法來解決。判斷從第1點到第k點的長度mod 4為sk的路徑是否存在，用fk(sk)來表示，則遞推公式如下：
（邊界條件）

（這里lenk,i表示從第k-1點到第k點之間的第i條邊的長度，方括弧表示「或(or)」運算）
最後的結果就是可以使f4(s4)值為真的最小的s4值。
這個遞推法的遞推公式和動態規劃的規劃方程非常相似，我們在這里借用了動態規劃的符號也就是為了更清楚地顯示這一點。其實它們的思想也是非常相像的，可以說是遞推法借用了動態規劃的思想解決了動態規劃不能解決的問題。
有的多階段決策問題（像這一題的階段特徵就很明顯），由於不能滿足最優化原理等使用動態規劃的先決條件，而無法應用動態規劃。在這時可以將最優指標函數的值當作「狀態」放到下標中去，從而變最優化問題為判定性問題，再借用動態規劃的思想，用遞推法來解決問題。
§3.2動態規劃與搜索
——動態規劃是高效率、高消費演算法
同樣是解決最優化問題，有的題目我們採用動態規劃，而有的題目我們則需要用搜索。這其中有沒有什麼規則呢？
我們知道，撇開時空效率的因素不談，在解決最優化問題的演算法中，搜索可以說是「萬能」的。所以動態規劃可以解決的問題，搜索也一定可以解決。
把一個動態規劃演算法改寫成搜索是非常方便的，狀態轉移方程、規劃方程以及邊界條件都可以直接「移植」，所不同的只是求解順序。動態規劃是自底向上的遞推求解，而搜索則是自頂向下的遞歸求解（這里指深度搜索，寬度搜索類似）。
反過來，我們也可以把搜索演算法改寫成動態規劃。狀態空間搜索實際上是對隱式圖中的點進行枚舉，這種枚舉是自頂向下的。如果把枚舉的順序反過來，變成自底向上，那麼就成了動態規劃。（當然這里有個條件，即隱式圖中的點是可排序的，詳見下一節。）
正因為動態規劃和搜索有著求解順序上的不同，這也造成了它們時間效率上的差別。在搜索中，往往會出現下面的情況：
對於上圖(a)這樣幾個狀態構成的一個隱式圖，用搜索演算法就會出現重復，如上圖(b)所示，狀態C2被搜索了兩次。在深度搜索中，這樣的重復會引起以C2為根整個的整個子搜索樹的重復搜索；在寬度搜索中，雖然這樣的重復可以立即被排除，但是其時間代價也是不小的。而動態規劃就沒有這個問題，如上圖(c)所示。
一般說來，動態規劃演算法在時間效率上的優勢是搜索無法比擬的。（當然對於某些題目，根本不會出現狀態的重復，這樣搜索和動態規劃的速度就沒有差別了。）而從理論上講，任何拓撲有序（現實中這個條件常常可以滿足）的隱式圖中的搜索演算法都可以改寫成動態規劃。但事實上，在很多情況下我們仍然不得不採用搜索演算法。那麼，動態規劃演算法在實現上還有什麼障礙嗎？
考慮上圖(a)所示的隱式圖，其中存在兩個從初始狀態無法達到的狀態。在搜索演算法中，這樣的兩個狀態就不被考慮了，如上圖(b)所示。但是動態規劃由於是自底向上求解，所以就無法估計到這一點，因而遍歷了全部的狀態，如上圖(c)所示。
一般說來，動態規劃總要遍歷所有的狀態，而搜索可以排除一些無效狀態。更重要的事搜索還可以剪枝，可能剪去大量不必要的狀態，因此在空間開銷上往往比動態規劃要低很多。
如何協調好動態規劃的高效率與高消費之間的矛盾呢？有一種折衷的辦法就是記憶化演算法。記憶化演算法在求解的時候還是按著自頂向下的順序，但是每求解一個狀態，就將它的解保存下來，以後再次遇到這個狀態的時候，就不必重新求解了。這種方法綜合了搜索和動態規劃兩方面的優點，因而還是很有實用價值的。
§3.3動態規劃與網路流
——動態規劃是易設計易實現演算法
由於圖的關系復雜而無序，一般難以呈現階段特徵（除了特殊的圖如多段圖，或特殊的分段方法如Floyd），因此動態規劃在圖論中的應用不多。但有一類圖，它的點卻是有序的，這就是有向無環圖。
在有向無環圖中，我們可以對點進行拓撲排序，使其體現出有序的特徵，從而據此劃分階段。在有向無還圖中求最短路徑的演算法[4]，已經體現出了簡單的動態規劃思想。但動態規劃在圖論中還有更有價值的應用。下面先看一個例子。
[例6] N個人的街道問題：在街道問題（參見例3）中，若有N個人要從左下角走向右上角，要求他們走過的邊的總長度最大。當然，這里每個人也只能向右或向上走。下面是一個樣例，左圖是從出發地到目的地的三條路徑，右圖是他們所走過的邊，這些邊的總長度為5 + 4 + 3 + 6 + 3 + 3 + 5 + 8 + 8 + 7 + 4 + 5 + 9 + 5 + 3 = 78（不一定是最大）。
這個題目是對街道問題的又一次擴展。仿照街道問題的解題方法，我們仍然可以用動態規劃來解決本題。不過這一次是N個人同時走，狀態變數也就需要用N維來表示，。相應的，決策變數也要變成N維，uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)。狀態轉移方程不需要做什麼改動：

在寫規劃方程時，需要注意在第k階段，N條路徑所走過的邊的總長度的計算，在這里我就用gk(sk,uk)來表示了：

邊界條件為
可見將原來的動態規劃演算法移植到這個問題上來，在理論上還是完全可行的。但是，現在的這個動態規劃演算法的時空復雜度已經是關於N的指數函數，只要N稍微大一點，這個演算法就不可能實現了。
下面我們換一個思路，將N條路徑看成是網路中一個流量為N的流，這樣求解的目標就是使這個流的費用最大。但是本題又不同於一般的費用流問題，在每一條邊e上的流費用並不是流量和邊權的乘積 ，而是用下式計算：

為了使經典的費用流演算法適用於本題，我們需要將模型稍微轉化一下：
如圖，將每條邊拆成兩條。拆開後一條邊上有權，但是容量限制為1；另一條邊沒有容量限制，但是流過這條邊就不能計算費用了。這樣我們就把問題轉化成了一個標準的最大費用固定流問題。
這個演算法可以套用經典的最小費用最大流演算法，在此就不細說了。（參見附錄中的源程序）
這個例題是我仿照IOI97的「障礙物探測器」一題[6]編出來的。「障礙物探測器」比這一題要復雜一些，但是基本思想是相似的。類似的題目還有99年冬令營的「迷宮改造」[7]。從這些題目中都可以看到動態規劃和網路流的聯系。
推廣到一般情況，任何有向無環圖中的費用流問題在理論上說，都可以用動態規劃來解決。對於流量為N（如果流量不固定，這個N需要事先求出來）的費用流問題，用N維的變數sk=(sk,1,sk,2,…,sk,N)來描述狀態，其中sk,i?V(1￡i￡N)。相應的，決策也用N維的變數uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)來表示，其中uk,i?E(sk,i)(1￡i￡N)，E(v)表示指向v的弧集。則狀態轉移方程可以這樣表示：
sk-1,i = uk,i的弧尾結點
規劃方程為
邊界條件為
但是，由於動態規劃演算法是指數級演算法，因而在實現中的局限性很大，僅可用於一些N非常小的題目。然而在競賽解題中，比如上面說到的IOI97以及99冬令營測試時，我們使用動態規劃的傾向性很明顯（「障礙物探測器」中，我們用的是貪心策略，求N=1或N=2時的局部最優解[8]）。這主要有兩個原因：
一． 雖然網路流有著經典的演算法，但是在競賽中不可能出現經典的問題。如果要運用網路流演算法，則需要經過一番模型轉化，有時這個轉化還是相當困難的。因此在演算法的設計上，靈活巧妙的動態規劃演算法反而要更為簡單一些。
二． 網路流演算法實現起來很繁，這是被人們公認的。因而在競賽的緊張環境中，實現起來有一定模式的動態規劃演算法又多了一層優勢。
正由於動態規劃演算法在設計和實現上的簡便性，所以在N不太大時，也就是在動態規劃可行的情況下，我們還是應該盡量運用動態規劃。
§4結語
本文的內容比較雜，是我幾年來對動態規劃的參悟理解、心得體會。雖然主要的篇幅講的都是理論，但是根本的目的還是指導實踐。
動態規劃，據我認為，是當今信息學競賽中最靈活、也最能體現解題者水平的一類解題方法。本文內容雖多，不能涵蓋動態規劃之萬一。「紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。」要想真正領悟、理解動態規劃的思想，掌握動態規劃的解題技巧，還需要在實踐中不斷地挖掘、探索。實踐得多了，也就能體會到漸入佳境之妙了。
動態規劃，
演算法之常，
運用之妙，
存乎一心。

C. 需要一篇關於C語言演算法心得的文章（5000字左右）

自己寫吧，建議你去學習下回溯演算法。表示能解決很多問題。

D. 談談大家,學習des演算法的心得

DES演算法是明文分組為64位，有效密鑰56位，輸出密文64位的，具有16輪迭代的分組對稱密碼演算法。通過學習此演算法，了解到了許多函數，其中有密鑰生成函數，加密函數，解密函數，測試函數以及密鑰長度檢驗函數等。

E. 關於數學演算法,總結公式

1、 每份數×份數＝總數 總數÷每份數＝份數總數÷份數＝每份數
2、 1倍數×倍數＝幾倍數 幾倍數÷1倍數＝倍數幾倍數÷倍數＝1倍數
3、 速度×時間＝路程 路程÷速度＝時間 路程÷時間＝速度
4、 單價×數量＝總價 總價÷單價＝數量 總價÷數量＝單價
5、 工作效率×工作時間＝工作總量 工作總量÷工作效率＝工作時間工作總量÷工作時間＝工作效率
6、 加數＋加數＝和 和－一個加數＝另一個加數
7、 被減數－減數＝差 被減數－差＝減數 差＋減數＝被減數
8、 因數×因數＝積 積÷一個因數＝另一個因數
9、 被除數÷除數＝商 被除數÷商＝除數 商×除數＝被除數

小學數學圖形計算公式
1 、正方形 C周長 S面積 a邊長 周長＝邊長×4 C=4a 面積=邊長×邊長 S=a×a
2 、正方體 V:體積 a:棱長 表面積=棱長×棱長×6 S表=a×a×6 體積=棱長×棱長×棱長 V=a×a×a
3 、長方形
C周長 S面積 a邊長
周長=(長+寬)×2
C=2(a+b)
面積=長×寬
S=ab
4 、長方體
V:體積 s:面積 a:長 b: 寬 h:高
(1)表面積(長×寬+長×高+寬×高)×2
S=2(ab+ah+bh)
(2)體積=長×寬×高
V=abh
5 三角形
s面積 a底 h高
面積=底×高÷2
s=ah÷2
三角形高=面積 ×2÷底
三角形底=面積 ×2÷高
6 平行四邊形
s面積 a底 h高
面積=底×高
s=ah
7 梯形
s面積 a上底 b下底 h高
面積=(上底+下底)×高÷2
s=(a+b)× h÷2
8 圓形
S面積 C周長 ∏ d=直徑 r=半徑
(1)周長=直徑×∏=2×∏×半徑
C=∏d=2∏r
(2)面積=半徑×半徑×∏
9 圓柱體
v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑 c:底面周長
(1)側面積=底面周長×高
(2)表面積=側面積+底面積×2
(3)體積=底面積×高
（4）體積＝側面積÷2×半徑
10 圓錐體
v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑
體積=底面積×高÷3
總數÷總份數＝平均數
和差問題的公式
(和＋差)÷2＝大數
(和－差)÷2＝小數
和倍問題
和÷(倍數－1)＝小數
小數×倍數＝大數
(或者 和－小數＝大數)
差倍問題
差÷(倍數－1)＝小數
小數×倍數＝大數
(或 小數＋差＝大數)
植樹問題
1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形:
⑴如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那麼:
株數＝段數＋1＝全長÷株距－1
全長＝株距×(株數－1)
株距＝全長÷(株數－1)
⑵如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那麼:
株數＝段數＝全長÷株距
全長＝株距×株數
株距＝全長÷株數
⑶如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那麼:
株數＝段數－1＝全長÷株距－1
全長＝株距×(株數＋1)
株距＝全長÷(株數＋1)
2 封閉線路上的植樹問題的數量關系如下
株數＝段數＝全長÷株距
全長＝株距×株數
株距＝全長÷株數
盈虧問題
(盈＋虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數
(大盈－小盈)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數
(大虧－小虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數
相遇問題
相遇路程＝速度和×相遇時間
相遇時間＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇時間
追及問題
追及距離＝速度差×追及時間
追及時間＝追及距離÷速度差
速度差＝追及距離÷追及時間
流水問題
順流速度＝靜水速度＋水流速度
逆流速度＝靜水速度－水流速度
靜水速度＝(順流速度＋逆流速度)÷2
水流速度＝(順流速度－逆流速度)÷2
濃度問題
溶質的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量
溶質的重量÷溶液的重量×100%＝濃度
溶液的重量×濃度＝溶質的重量
溶質的重量÷濃度＝溶液的重量
利潤與折扣問題
利潤＝售出價－成本
利潤率＝利潤÷成本×100%＝(售出價÷成本－1)×100%
漲跌金額＝本金×漲跌百分比
折扣＝實際售價÷原售價×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×時間
稅後利息＝本金×利率×時間×(1－20%)

長度單位換算
1千米=1000米 1米=10分米
1分米=10厘米 1米=100厘米
1厘米=10毫米
面積單位換算
1平方千米=100公頃
1公頃=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米
體(容)積單位換算
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
1立方米=1000升
重量單位換算
1噸=1000 千克
1千克=1000克
1千克=1公斤
人民幣單位換算
1元=10角
1角=10分
1元=100分
時間單位換算
1世紀=100年 1年=12月
大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月
小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天, 閏年2月29天
平年全年365天, 閏年全年366天
1日=24小時 1時=60分
1分=60秒 1時=3600秒

小學數學幾何形體周長 面積 體積計算公式

1、長方形的周長=（長+寬）×2 C=(a+b)×2

2、正方形的周長=邊長×4 C=4a

3、長方形的面積=長×寬 S=ab

4、正方形的面積=邊長×邊長 S=a.a= a

5、三角形的面積=底×高÷2 S=ah÷2

6、平行四邊形的面積=底×高 S=ah

7、梯形的面積=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2

8、直徑=半徑×2 d=2r 半徑=直徑÷2 r= d÷2

9、圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2 c=πd =2πr

F. 演算法學習心得體會

從基本的數據結構和排序查找開始
然後是貪心，動態規劃等
具體的會涉及到樹圖字元串等有不同的演算法
我覺得演算法這東西是太難了，搞不來。。。

G. 《演算法導論》有什麼好的學習心得

《演算法導論》自第一版出版以來，已經成為世界范圍內廣泛使用的大學教材和專業人員的標准參考手冊。本書全面論述了演算法的內容，從一定深度上涵蓋了演算法的諸多方面，同時其講授和分析方法又兼顧了各個層次讀者的接受能力。各章內容自成體系，可作為獨立單元學習。所有演算法都用英文和偽碼描述，使具備初步編程經驗的人也可讀懂。全書講解通俗易懂，且不失深度和數學上的嚴謹性。第二版增加了新的章節，如演算法作用、概率分析與隨機演算法、線性編程等，幾乎對第一版的各個部分都作了大量修訂。
本書深入淺出，全面地介紹了計算機演算法。對每一個演算法的分析既易於理解又十分有趣，並保持了數學嚴謹性。本書的設計目標全面，適用於多種用途。涵蓋的內容有：演算法在計算中的作用，概率分析和隨機演算法的介紹。本書專門討論了線性規劃，介紹了動態規劃的兩個應用，隨機化和線性規劃技術的近似演算法等，還有有關遞歸求解、快速排序中用到的劃分方法與期望線性時間順序統計演算法，以及對貪心演算法元素的討論。本書還介紹了對強連通子圖演算法正確性的證明，對哈密頓迴路和子集求和問題的NP完全性的證明等內容。全書提供了900多個練習題和思考題以及敘述較為詳細的實例研究。
本書內容豐富，對本科生的數據結構課程和研究生的演算法課程都是很實用的教材。本書在讀者的職業生涯中，也是一本案頭的數學參考書或工程實踐手冊。

H. 演算法設計與分析課程總結怎麼寫、急急急！！！！！！

一、演算法分析的基本思路
二、演算法設計的解決方案
三、對過程的綜合總結

I. 討論學習C語言演算法的心得

關鍵是：存在 對比 客觀 簡化 實踐

存在：演算法中存在什麼，目的是什麼，怎麼實現的，必要的話可以了解一下何人發明的，因為經典演算法的設計者本身都是著作等身的，由此你可以通過「存在」了解一個事實：演算法不是孤立的，是新和舊之間的更替。

對比：對比類似和不同演算法，同在哪裡，不同在哪裡，以及這些差異導致了什麼結果，過程有什麼差異，這個過程為什麼會導致那個結果。

客觀：不憑空臆測，演算法本身有什麼思想以及借用了什麼數學思想實現不能扭曲，以及何種狀態適合這樣的演算法。

簡化：當你深刻了解演算法的本質（通過推導、證明和實際運用和改進），就不可避免的要把不同演算法有機的結合在一起，不是線性的也不是單純的組合，而是從內涵和外延的角度站在不同的立場把演算法劃分成不同的層次，每個層次什麼時候運用。
簡化操作往往要運用一些更加直觀的快速的方法：聯想。
關於聯想，通常，你需要在思考線性表的時候想到一串隔開的紙帶，當細化到鏈表還是順序表時，需要加以限制為是否可隨機存取還是順序存取。
演算法本身都可以通過數據結構表現得很清晰，這時候運用演算法的時候，就可以脫離實際的ADT載體。
分類討論以及回溯通常要結合樹去分析，就一目瞭然。
字元串處理以及跟優先順序和記憶索引等問題通常要結合棧結構去設計演算法。
路徑問題結合圖結構設計演算法。

當然，要加深對C語言演算法的設計能力，需要從最根源出發：實踐。

有專門的機構提供了實踐平台，檢驗你設計的演算法是否高效。

可以去搜索ACM POJ ZOJ 等關鍵字，找到相關的演算法在線競賽網站，從最基本的題開始訓練。

另外,好的書籍是成功的一半：

《演算法導論》 （雖然名為導論，但是演算法著作中最權威也最有深度的一本書）
《數據結構（C語言）》（嚴蔚敏的著作，一般重點高校使用，雖然比較抽象，但比較簡化）
《演算法與數據結構（C語言）》（電子科技出版社，對演算法的實際實現講的比較透徹）

Finally,you need 'coding' and programming again and again.