概率的計演算法則事件的相互關系

A. 概率計算公式

概率公式

P(A)=構成事件A樣本數目整個樣本空間S的樣本數目P(A)=構成事件A樣本數目整個樣本空間S的樣本數目。

公理1：0≤P(A)≤10≤P(A)≤1既P（A）是一個0到1之間的非負實數。

公理2：P(S)=1P(S)=1整個樣本空間的概率值為1。

公理3：P(A⋃B)=P(A)+P(B)P(A⋃B)=P(A)+P(B)如果AB互斥。

定理1：（互補法則）：P(A¯¯¯¯)=1−P(A)P(A¯)=1−P(A)。

定理2：P(∅∅）＝0。

定理3：P(A1⋂A2…⋂An)=∑nj=1P(Aj)P(A1⋂A2…⋂An)=∑j=1nP(Aj)。

定理4：P(A∖B)=P(A)−P(A⋂B)(P(A∖B)A−B，也就是AB是差集關系）P(A∖B)=P(A)−P(A⋂B)(P(A∖B)A−B，也就是AB是差集關系）。

定理5：P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(A⋂B)P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(A⋂B)。

定理6：P(A⋂B)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)(P(B|A)表示在B發生的情況下發生A的概率）。P(A⋂B)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)(P(B|A)表示在B發生的情況下發生A的概率）。

定理7：P(A⋂B)=P(A)×P(B)P(A⋂B)=P(A)×P(B)。

貝葉斯公式：P(A|B)=P(B|A)×P(A)P(B)P(A|B)=P(B|A)×P(A)P(B)。

全概率公式：P(B)=∑ni=1P(Ai)×P(B|Ai)P(B)=∑i=1nP(Ai)×P(B|Ai)。

期望：E(x)=∑ni=1P(xi)×xi。

B. 概率的三種計算方法

加法法則：對任意兩個事件A與B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B)。條件概率：當P(A)>0，P(B|A)=P(AB)/P(A)；當P(B)>0，P(A|B)=P(AB)/P(B)。乘法公式：P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)；推廣：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)。

概率

概率，亦稱「或然率」，它是反映隨機事件出現的可能性大小。隨機事件是指在相同條件下，可能出現也可能不出現的事件。例如，從一批有正品和次品的商品中，隨意抽取一件，「抽得的是正品」就是一個隨機事件。

設對某一隨機現象進行了n次試驗與觀察，其中A事件出現了m次，即其出現的頻率為m/n。經過大量反復試驗，常有m/n越來越接近於某個確定的常數（此論斷證明詳見伯努利大數定律）。該常數即為事件A出現的概率，常用P (A) 表示。

C. 概率計算公式是什麼

概率的計算公式是：P(A)=m/n，「(A)」表示事件，「m」表示事件（A）發生的總數，「n」是總事件發生的總數。概率的計算需要具體情況具體分析，沒有一個統一的萬能公式。

概率的考點分析

1.隨機事件和概率，包括樣本空間與隨機事件；概率的定義與性質（含古典概型、幾何概型、加法公式）；條件概率與概率的乘法公式；事件之間的關系與運算（含事件的獨立性）；全概公式與貝葉斯公式；伯努利概型。

2.隨機變數及其概率分布，包括隨機變數的概念及分類；離散型隨機變數概率分布及其性質；連續型隨機變數概率密度及其性質；隨機變數分布函數及其性質；常見分布；隨機變數函數的分布。

3.二維隨機變數及其概率分布，包括多維隨機變數的概念及分類；二維離散型隨機變數聯合概率分布及其性質；二維連續型隨機變數聯合概率密度及其性質；二維隨機變數聯合分布函數及其性質；二維隨機變數的邊緣分布和條件分布；隨機變數的獨立性；兩個隨機變數的簡單函數的分布。

D. 高中數學概率計演算法則

高中數學概率計演算法則主要為概率的加法法則

概率的加法法則為：

推論1：設A1、 A2、…、 An互不相容，則：P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An)

推論2：設A1、 A2、…、 An構成完備事件組，則：P(A1+A2+...+An)=1

推論3：若B包含A，則P(B－A)= P(B)－P(A)

推論4（廣義加法公式）：對任意兩個事件A與B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)

以上公式就被稱為全概率公式。

E. 概率運算性質

概率的性質與運演算法則 1．（互不相容事件）加法公式 如果事件A與B互不相容，即AB=?，則 P（A＋B）＝P（A）＋P（B） 一般：如果事件A1、A2、 …、An互不相容，即 AiAj=?，i?j 則有 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 證明：取An+1=An+2=…=?，由公理化性質(3) 直接得結論。 2． 對立事件公式 3. （事件之差）減法公式 （1） 對任一事件A、B，有 P（A－B）＝P（A）－P（AB） （2）特別： 當B?A時 , 有 P（A－B）＝P（A）－P（B） 且P（A）≥P（B） 證明： （1）∵ A＝（A－B）＋AB， 且（A－B）∩（AB）＝?， 由性質1 知 P（A）＝P（ （A－B）＋AB） ＝P（A－B）＋P（AB） ∴ P（A－B）＝P（A）－P（AB） A B ? A+B A B ? A-B=A-AB AB B-A=B-AB B?A A-B AB=B （2） 當B?A時， AB=B， 故 P（A－B）＝P（A）－P（AB） ＝P（A）－P（B） 由公理性質1， P（A－B）?0，得 P（A）?P（B） 4． 一般加法公式 對於任意兩個事件A、B，有 P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB） 證明: ∵ A＋B＝A＋（B－A）＝A＋（B－AB） 且 A∩（B－A）＝? ，AB?B ∴ 由性質1和性質3（2），知 P（A＋B）＝P（A）＋P（B－AB） ＝P（A）＋P（B）－P（AB） 。 ◆ 利用事件的運算規律和以上性質可 以得到： 對於任意三個事件A、B、C, 有 P（A＋B＋C） ＝P（A）＋P（B）＋P（C） －P（AB）－P（AC）－P（BC） ＋P（ABC）

F. 概率的幾個事件的基本概念

1、隨機事件

隨機事件（簡稱事件）是由某些基本事件組成的，例如，在連續擲兩次骰子的隨機試驗中，用Z，Y分別表示第一次和第二次出現的點數，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一點（Z，Y）表示一個基本事件，因而基本空間包含36個元素。

「點數之和為2」是一事件，它是由一個基本事件（1，1）組成，可用集合{（1，1）}表示，「點數之和為4」也是一事件，它由（1，3），（2，2），（3，1）3個基本事件組成，可用集合{（1，3），(3，1)，（2，2)}表示。

2、可能事件

如果把「點數之和為1」也看成事件，則它是一個不包含任何基本事件的事件，稱為不可能事件。

3、必然事件

P(不可能事件)=0。在試驗中此事件不可能發生。如果把「點數之和小於40」看成一事件，它包含所有基本事件，在試驗中此事件一定發生，稱為必然事件。

4、隨機事件

在一定的條件下可能發生也可能不發生的事件，叫做隨機事件。

5、互斥事件

不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件。

6、對立事件

即必有一個發生的互斥事件叫做對立事件。

G. 什麼是概率怎麼求

概率=發生次數/總次數
概率，又稱或然率、機會率或機率、可能性，是數學概率論的基本概念，是一個在0到1之間的實數，是對隨機事件發生的可能性的度量。表示一個事件發生的可能性大小的數，叫做該事件的概率。它是隨機事件出現的可能性的量度，同時也是概率論最基本的概念之一。人們常說某人有百分之多少的把握能通過這次考試，某件事發生的可能性是多少，這都是概率的實例。但如果一件事情發生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次發生該事件，而是指此事件發生的頻率接近於1/n這個數值。
定義概率的頻率定義隨著人們遇到問題的復雜程度的增加，等可能性逐漸暴露出它的弱點，特別是對於同一事件，可以從不同的等可能性角度算出不同的概率，從而產生了種種悖論。另一方面，隨著經驗的積累，人們逐漸認識到，在做大量重復試驗時，隨著試驗次數的增加，一個事件出現的頻率，總在一個固定數的附近擺動，顯示一定的穩定性。R.von米澤斯把這個固定數定義為該事件的概率，這就是概率的頻率定義。從理論上講，概率的頻率定義是不夠嚴謹的。A.H.柯爾莫哥洛夫於1933年給出了概率的公理化定義。概率的嚴格定義設E是隨機試驗，Ω是它的樣本空間。對於E的每一事件A賦於一個實數，記為P(A)，稱為事件A的概率。這里P(·)是一個集合函數，P(·)要滿足下列條件：（1）非負性：對於每一個事件A，有P(A)≥0; （2）規范性：對於必然事件S，有P(S)=1; （3）可列可加性：設A1，A2……是兩兩互不相容的事件，即對於i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），則有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+…… 隨機事件的發生與否是帶有偶然性的，但是隨機事件發生的可能性還是有大小之別的，是可以度量的。實際上在生活、生產和經濟活動中，人們常關心一個隨機事件發生的可能性大小。例如：（1）拋一枚均勻的硬幣，出現正面與方面的可能性各為1/2。（2）購買彩票的中獎機會有多少呢？上述正面出現的機會，以及彩票中獎的機會或者命中率都是用來度量隨機事件發生可能性大小。一個隨機事件A發生可能性的大小稱為這個事件的概率，並用P（A）表示。概率是一個介於0到1之間的數。概率越大，事件發生可能性就越大；概率越小，事件發生的可能性也就就越小。特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即: P(Φ)=0，p（Ω）=1 概率的古典定義如果一個試驗滿足兩條：（1）試驗只有有限個基本結果（2）試驗的每個基本結果出現的可能性是一樣的。這樣的試驗，成為古典試驗。對於古典試驗中的事件A，它的概率定義為： P(A)=m/n，n表示該試驗中所有可能出現的基本結果的總數目。m表示事件A包含的試驗基本結果數。這種定義概率的方法稱為概率的古典定義。概率的統計定義在一定條件下，重復做n次試驗，nA為n次試驗中事件A發生的次數，如果隨著n逐漸增大，頻率nA/n逐漸穩定在某一數值p附近，則數值p稱為事件A在該條件下發生的概率，記做P(A)=p。這個定義成為概率的統計定義。在歷史上，第一個對「當試驗次數n逐漸增大，頻率nA穩定在其概率p上」這一論斷給以嚴格的意義和數學證明的是早期概率論史上最重要的學者雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，公元1654年～1705年）。從概率的統計定義可以看到，數值p就是在該條件下刻畫事件A發生可能性大小的一個數量指標。由於頻率nA/n總是介於0和1之間，從概率的統計定義可知，對任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。 Ω、Φ分別表示必然事件（在一定條件下必然發生的事件）和不可能事件（在一定條件下必然不發生的事件）。編輯本段歷史第一個系統地推算概率的人是16世紀的卡爾達諾。記載在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。書中關於概率的內容是由Gould從拉丁文翻譯出來的。 Cardano的數學著作中有很多給賭徒的建議。這些建議都寫成短文。例如：《誰，在什麼時候，應該賭博？》、《為什麼亞里斯多德譴責賭博？》、《那些教別人賭博的人是否也擅長賭博呢？》等。然而，首次提出系統研究概率的是在帕斯卡和費馬來往的一系列信件中。這些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找費馬請教幾個關於由Chevvalier de Mere提出的問題。Chevvalier de Mere是一知名作家，路易十四宮廷的顯要，也是一名狂熱的賭徒。問題主要是兩個：擲骰子問題和比賽獎金應分配問題。編輯本段兩大類別古典概率相關古典概率討論的對象局限於隨機試驗所有可能結果為有限個等可能的情形，即基本空間由有限個元素或基本事件組成，其個數記為n，每個基本事件發生的可能性是相同的。若事件A包含m個基本事件，則定義事件A發生的概率為p（A）=m/n，也就是事件A發生的概率等於事件A所包含的基本事件個數除以基本空間的基本事件的總個數，這是P.-S.拉普拉斯的古典概率定義，或稱之為概率的古典定義。歷史上古典概率是由研究諸如擲骰子一類賭博游戲中的問題引起的。計算古典概率，可以用窮舉法列出所有基本事件，再數清一個事件所含的基本事件個數相除，即藉助組合計算可以簡化計算過程。幾何概率相關幾何概率若隨機試驗中的基本事件有無窮多個，且每個基本事件發生是等可能的，這時就不能使用古典概率，於是產生了幾何概率。幾何概率的基本思想是把事件與幾何區域對應，利用幾何區域的度量來計算事件發生的概率，布豐投針問題是應用幾何概率的一個典型例子。在概率論發展的早期，人們就注意到古典概率僅考慮試驗結果只有有限個的情況是不夠的，還必須考慮試驗結果是無限個的情況。為此可把無限個試驗結果用歐式空間的某一區域S表示，其試驗結果具有所謂「均勻分布」的性質，關於「均勻分布」的精確定義類似於古典概率中「等可能」只一概念。假設區域S以及其中任何可能出現的小區域A都是可以度量的，其度量的大小分別用μ(S)和μ(A)表示。如一維空間的長度，二維空間的面積，三維空間的體積等。並且假定這種度量具有如長度一樣的各種性質，如度量的非負性、可加性等。 ◆幾何概率的嚴格定義 設某一事件A（也是S中的某一區域），S包含A，它的量度大小為μ(A)，若以P(A)表示事件A發生的概率，考慮到「均勻分布」性，事件A發生的概率取為：P(A)=μ(A)/μ(S)，這樣計算的概率稱為幾何概率。 ◆若Φ是不可能事件，即Φ為Ω中的空的區域，其量度大小為0，故其概率P(Φ)=0。編輯本段獨立試驗序列假如一串試驗具備下列三條：（1）每一次試驗只有兩個結果，一個記為「成功」，一個記為「失敗」，P{成功}=p，P{失敗}=1-p=q （2）成功的概率p在每次試驗中保持不變（3）試驗與試驗之間是相互獨立的。則這一串試驗稱為獨立試驗序列，也稱為bernoulli概型。編輯本段必然事件與不可能事件在一個特定的隨機試驗中，稱每一可能出現的結果為一個基本事件，全體基本事件的集合稱為基本空間。隨機事件（簡稱事件）是由某些基本事件組成的，例如，在連續擲兩次骰子的隨機試驗中，用Z，Y分別表示第一次和第二次出現的點數，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一點（Z，Y）表示一個基本事件，因而基本空間包含36個元素。「點數之和為2」是一事件，它是由一個基本事件（1，1）組成，可用集合{（1，1）}表示，「點數之和為4」也是一事件，它由（1，3），（2，2），（3，1)3個基本事件組成，可用集合{（1，3），(3，1)，（2，2)}表示。如果把「點數之和為1」也看成事件，則它是一個不包含任何基本事件的事件，稱為不可能事件。在試驗中此事件不可能發生。如果把「點數之和小於40」看成一事件，它包含所有基本事件，在試驗中此事件一定發生，所以稱為必然事件。若A是一事件，則「事件A不發生」也是一個事件，稱為事件A的對立事件。實際生活中需要對各種各樣的事件及其相互關系、基本空間中元素所組成的各種子集及其相互關系等進行研究 舉個例子：小明要在4個抽屜中放入5個球，其中有一個抽屜會有2個球，這就是必然事件再舉個例子：小明要在5個抽屜中放入3個球，如果說其中每個抽屜都有球，那麼，這就是不可能事件【隨機事件，基本事件，等可能事件，互斥事件，對立事件】 在一定的條件下可能發生也可能不發生的事件，叫做隨機事件。一次實驗連同其中可能出現的每一個結果稱為一個基本事件。通常一次實驗中的某一事件由基本事件組成。如果一次實驗中可能出現的結果有n個，即此實驗由n個基本事件組成，而且所有結果出現的可能性都相等，那麼這種事件就叫做等可能事件。不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件。必有一個發生的互斥事件叫做對立事件。即P（必然事件）=1 P（可能事件）=(0-1)（可以用分數） P（不可能事件）=0 編輯本段性質性質1．P(Φ)=0. 性質2（有限可加性）．當n個事件A1，…，An兩兩互不相容時：P(A1∪。。.∪An)=P(A1)+...+P(An)．性質3．對於任意一個事件A：P(A)=1-P(非A)．性質4．當事件A,B滿足A包含於B時：P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B)．性質5．對於任意一個事件A，P(A)≤1．性質6．對任意兩個事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)．性質7（加法公式）．對任意兩個事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)．（註：A後的數字1，2，．．．，n都表示下標．）編輯本段頻率與概率對事件發生可能性大小的量化引入「概率」． 「統計規律性」 獨立重復試驗總次數n,事件A發生的頻數μ，事件A發生的頻率Fn(A)=μ/n,A的頻率Fn(A)有沒有穩定值？如前人做過的擲硬幣的試驗(P.44下面表) 如果有就稱頻率μn的穩定值p為事件A發生的概率記作P(A)=p[概率的統計定義] P(A)是客觀的，而Fn(A)是依賴經驗的。統計中有時也用n很大的時候的Fn(A)值當概率的近似值。編輯本段三個基本屬性 1．[非負性]：任何事件A，P(A)≥0 2．[完備性]：P(Ω)=1 3．[加法法則]如事件A與B不相容，即如果AB=φ，則P(A+B)=P(A)+P(B) 編輯本段加法法則如事件A與B不相容，A+B發生的時候，A與B兩者之中必定而且只能發生其中之一。獨立重復地做n次實驗，如記事件A發生的頻數為μA、頻率為Fn(A) ，記事件B發生的頻數為μB 、頻率為Fn(B) ，事件A+B發生的頻數為μA+B 、頻率為Fn(A+B) ，易知：μA+B =μA +μB，∴Fn(A+B) = Fn(A) + Fn(B) ,它們的穩定值也應有：P(A+B)=P(A)+P(B)[加法法則]如事件A與B不相容，即如果AB=φ，則 P(A+B)=P(A)+P(B)即：兩個互斥事件的和的概率等於它們的概率之和。請想一下：如A與B不是不相容，即相容的時候呢？進一步的研究得： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)這被人稱為：「多退少補」！編輯本段模糊和概率 1.是否不確定性就是隨機性？似然比、概率是否代表了所有的不確定性？ Bayesian camp：概率是一種主觀的先驗知識，不是一種頻率和客觀測量值 Lindley：概率是對不確定性唯一有效並充分的描述，所有其他方法都是不充分的相似：通過單位間隔[0,1]間的數來表述不確定性，都兼有集合、相關、聯系、分布方面的命題區別：對待。經典集合論，代表概率上不可能的事件。而模糊建立在（1）是否總是成立的？考慮能否邏輯上或部分地違背「無矛盾定理」（Aristotle的三個『思考定理』之一，同時排中定理同一性定理這些都是非黑即白的經典定理。）模糊（矛盾）的產生，就是西方邏輯的結束（2）是否可以推導條件概率運算元？經典集合論中：模糊理論：考慮超集是其子集的子集性程度，這是模糊集合的特有問題。 2.模糊和概率：是否與多少模糊是事件發生的程度。隨機是事件是否發生的不確定性。例子：明天有20%的幾率下小雨（包含復合的不確定性）停車位問題一個蘋果在冰箱里的概率和半個蘋果在冰箱里事件倒轉，地球演變恢復原點模糊是一種確定的不定性（deterministic uncertainty），是物理現象的特性。用模糊代表不確定性的結果將是震撼的，人們需要重新審視現實模型。編輯本段概率的經濟學概念 [1]概率是表示產生某種結果的可能性。概論是一個很難形式化的概念，因為它的形成依賴於不確定事件本事的性質和人們的主觀判斷。概論的一個較為客觀的衡量來源於以往同類事件發生的頻率。在無法根據過去的經驗進行判斷時，概率的形成便取決於依據直覺進行的主觀判斷，這時，不同的人會形成不同的判斷，從而進行不同的選擇。

H. 概率論 事件的運算和概率的運算關系

用集合法，p(ab)=p(bc)，他們同時發生的概率相同，所以當x最大時，a必定包含於b，而b與c的交集=x
所以x+x+2x=1,x=1/4

I. 交事件的概率計算公式

互斥事件是指事件A和B的交集為空，也叫互不相容事件。也可敘述為：不可能同時發生的事件。如A∩B為不可能事件（A∩B=Φ），那麼稱事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發生。 若A與B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)稱為：互斥事件且P(A)+P(B)≤1；若a是A的對立事件，則P(A)=1-P(a) 記住以下幾種情況就會對互斥事件有一定的了解了。 1、如果事件A與B互斥，那麼事件A+B發生(即A、B中恰有一個發生)的概率，等於事件A、B分別發生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，此公式可以由特殊情形中的既是互斥事件又是等可能性事件推導得到。一般地，如果事件A1、A2、…、An彼此互斥，那麼事件A1+A2+…+An發生(即A1、A2、…、An中有一個發生)的概率，等於這n個事件分別發生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。 2、對立事件是一種特殊的互斥事件。特殊有兩點：其一，事件個數特殊(只能是兩個事件)；其二，發生情況特殊(有且只有一個發生)。若A與B是對立事件，則A與B互斥且A+B為必然事件，故A+B發生的概率為1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1。 3、從集合的角度來看，事件A、B互斥，是指事件A所含的結果組成的集合與事件B所含的結果組成的集合的交集為空集，則有P(A+B)=card(A+B)/card(I)=card(A)+card(B)/card(I)=card(A)/card(I)+card(B)/card(I)=P(A)+P(B)；事件A與B對立，是指事件B所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集，即A∩B=Φ ，且A∪B=I。 4、公式P(A+B)=P(A)+P(B)=1的常用變形公式為P(A)=1-P(B)或P(B)=1-P(A)

J. 概率計算的概率的加法法則

概率的加法法則：

定理：設A、B是互不相容事件（AB=φ），則：

P（A∪B）=P（A）+P（B）

推論1：設A1、 A2、…、 An互不相容，則：P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An)

推論2：設A1、 A2、…、 An構成完備事件組，則：P(A1+A2+...+An)=1

推論3： 為事件A的對立事件。

推論4：若B包含A，則P(B－A)= P(B)－P(A)

推論5（廣義加法公式）：

對任意兩個事件A與B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)

(10)概率的計演算法則事件的相互關系擴展閱讀

柯爾莫哥洛夫於1933年給出了概率的公理化定義，如下：

設E是隨機試驗，S是它的樣本空間。對於E的每一事件A賦於一個實數，記為P(A)，稱為事件A的概率。這里P(A)是一個集合函數，P(A)要滿足下列條件：

（1）非負性：對於每一個事件A，有P(A)≥0;

（2）規范性：對於必然事件Ω，有P(Ω)=1;

（3）可列可加性：設A1，A2……是兩兩互不相容的事件，即對於i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），則有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……