二面角角度演算法

A. 求二面角的方法(越詳細越好)

平面內的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角（這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面)。二面角的大小可以用它的平面角度來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

以二面角的公共直線上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直於公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

兩個平面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。

0≤θ≤π（不小於0°，不大於180°）

（註：既然二面角是空間立體圖形，那麼我們可以將180°～360°的另一邊看成0°～180°）

作二面角的平面角的常用方法有六種：

1、定義法：在棱上取一點A，然後在兩個平面內分別作過棱上A點的垂線。有時也可以在兩個平面內分別作棱的垂線，再過其中的一個垂足作另一條垂線的平行線。

2、垂面法：作與棱垂直的平面，則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角

3、面積射影定理：二面角的餘弦值等於某一個半平面在另一個半平面的射影的面積和該平面自己本身的面積的比值。即公式cosθ=S'/S（S'為射影面積，S為斜面面積）。運用這一方法的關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影，而且它們的面積容易求得。

4、三垂線定理及其逆定理法：先找到一個平面的垂線，再過垂足作棱的垂線，連結兩個垂足即得二面角的平面角。

5、向量法：分別作出兩個半平面的法向量，由向量夾角公式求得。二面角就是該夾角或其補角。

6、轉化法：在二面角α-l-β其中一個半平面α上找一點P，求出P到β的距離h和P到l的距離d，那麼arcsin(h/d)（二面角為銳角）或π-arcsin(h/d)（二面角為鈍角）就是二面角的大小。

7,、三面角餘弦定理法：詳細見相關詞條。

8、三正弦定理法：詳細見相關詞條。

9、異面直線的距離法：設二面角為C-AB-D，其中AC和BD互為異面直線且AC⊥AB，BD⊥AB（即AB是異面直線AC和BD的公垂線）。設AB=d，CD=l，AC=m，BD=n，根據

來求異面直線所成角θ。利用該方法求θ必須先由圖像判斷二面角是銳角還是鈍角。如果是銳角，那麼取正號；鈍角，那麼取負號。待求出θ以後，如果二面角是銳角，那麼二面角的大小就是θ；鈍角，那麼二面角的大小就是π-θ。

其中，（1）、（2）點主要是根據定義來找二面角的平面角，再利用三角形的正、餘弦定理解三角形。

二面角一般都是在兩個平面的相交線上，取恰當的點，經常是端點和中點。過這個點分別在兩平面做相交線的垂線，然後把兩條垂線放到一個三角形中考慮。有時也經常做兩條垂線的平行線，使他們在一個更理想的三角形中。

幾何法

（1）作出二面角的平面角

A：利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點作平面角；

B：利用面的垂線（三垂線定理或其逆定理）作平面角；

C：利用與棱垂直的直線，通過作棱的垂面作平面角；

D：利用無棱二面角的兩條平行線作平面角。

（2）證明該角為平面角

（3）歸納到三角形求角

B. 二面角的做法

高中數學二面角不會做？來傳授你不一樣的空間角解法！

立體幾何空間角考點在高考會如何考查，有無更加簡便快捷的解題方法解題？A+課堂區今天給大家來點不一樣的空間角解法！

二面角是高考理科數學的常客，出現的幾率超過80%，通常最直接的考法就是讓你求出二面角或者是二面角的各種三角函數值，另外的一種則是給出某個二面角的三角函數值作為條件。

而同學們在遇到第一種情況的時候，通常通過建立空間直角坐標系，求出法向量的辦法來解決，但是遇到第二種情況的時候，更多的同學則是無從下手。

究其原因，就是從2004年高考引入空間直角坐標系的做法之後，很多同學都開始不重視二面角或者其他空間角的本質，不懂如何畫出空間角的平面角，更不要說用別的方法來解決這類型的題目了，這樣的情況就導致了去年全國一卷裡面的一道需要求出異面直線的夾角選擇題，文科的同學大面積失分，而部分的理科同學雖然通過建立坐標系解決了本題，但是卻失去了很多寶貴的時間，最終分數沒達到理想。

下面我們來看看例題↓↓

這個方法是求異面直線求角的基本方法，通過平移成角，最後連線在三角形裡面簡單的運用解三角形的方法求出角的大小。

這種異面直線的夾角由於文科的考生也會考，所以，還是有些同學懂的，但是假如是理科中二面角的題目，如果不讓建系，估計大部分的同學都兩眼一黑，暈倒了。其實，在考試中，如果我們能夠熟練地運用不建系的方法來解決二面角的問題的話，將會大大地節省各位的時間，另外，面對二面角的條件，也能更好地運用了。

簡單來說，傳統的二面角求法有類似異面直線的直接法，還有射影法等等，這次我們就通過2017年廣州一模理科數學的第19題，給大家簡單介紹一下這兩種方法是如何運用的。

2017年廣州一模理科數學19（本小題滿分12分）↓↓

這就是我們常見的傳統求二面角大小的兩種方法，假如大家能掌握的話，自然在高考中會比其他同學要節省下不少時間。當然，對於實在喜歡建系解題的同學，其實法向量也有另外一種更加方便的求法——行列式秒殺法向量大法。這一個方法在我們的寒假直播課有講到，想學的同學可以看看我在寒假班所講的內容。

另外，行列式除了能夠秒殺法向量的題目以外，還有很多妙用，想學的同學請留意A+課堂直播課的內容。