『壹』 偽·從零開始學演算法 - 1.2 演算法的歷史
我在寫1.1節的時候本來是要寫這個的，但是突然就忘了……就作為一節來寫吧。
順便說一下，1946年的今天，世界上第一台通用電腦——電子數值積分計算機在美國賓夕法尼亞大學正式啟用，就是那個ENIAC。
別只想著情人節，要不是幾十年來科技的進步，你們才沒機會在朋友圈、空間什麼的大秀恩愛。
中文的「演算法」一詞至少在唐代就出現了，在此之前也有「術」「算術」等詞，最早出現在《周髀算經》《九章算術》。而且，「演算法」一詞的含義從古到今幾乎沒有發生變化。
英文的「演算法」（algorithm）一詞來源於9世紀波斯數學家花拉子米（al-Khwārizmī，780?~850?）——就是那個解決一次方程及一元二次方程的方法的人。花拉子米的拉丁文譯名是「Algoritmi」。英文對「演算法」原譯為「algorism」，意思是花拉子米的運演算法則，在18世紀演變為「algorithm」。這個詞出現於12世紀，指的是用阿拉伯數字進行算術運算的過程。
對於算籌、算盤的操作的方法，我不知道是否屬於演算法。
約公元前300年記載於《幾何原本》中的輾轉相除法（歐幾里得演算法）被人們認為是史上第一個演算法，可以求兩數的最大公約數。直到今天，它還有很大的用途。
《九章算術》給出了四則運算、最大公約數、最小公倍數、開平方根、開立方根、求素數的埃拉托斯特尼篩法，線性方程組求解的演算法。
三國時代的劉徽給出求圓周率的演算法：劉徽割圓術，比阿基米德割圓術得出的結果更加精確。祖沖之使用該方法將圓周率的准確值計算到了3.1415926和3.1415927之間，保持了世界最准確圓周率達900年之久。
唐代以來，歷代更有許多專門論述「演算法」的專著。宋代的秦九韶提出的秦九韶演算法，直到今天仍是多項式求值比較先進的演算法。
在9世紀的阿拉伯世界，花拉子米寫成《代數學》，其對解決一次方程及一元二次方程的方法催生了代數——大家熟知的求多元（尤其是二元）一次方程和一元二次方程的解法就來源於此。700多年後，三次方程、四次方程的求根公式才被得出。
牛頓於1671年提出的牛頓法，相比於二分法可以更快速地求函數的根或者是函數的極值。
17世紀起，早期的機械計算機出現了。從加法到傅里葉變換，它們的功能越來越強大。
工業革命帶來了紡織業的變革，出現了可以自動織出帶花紋的布的織布機，它們使用打孔卡輸入指令。這種設計也被英國數學家查爾斯·巴貝奇設計的分析機使用。
拜倫的女兒愛達·勒芙蕾絲（Ada Byron；Ada, Countess of Lovelace）於1842年為這個想像中的機器編寫求解伯努利微分方程的程序，因此愛達·勒芙蕾絲被大多數人認為是 世界上第一位程序員 。但是，這個機器因為種種原因，直到巴貝奇去世也沒有被真正地製造出來。
後來的數學家對演算法的貢獻大多在於數理邏輯的構建上，在此我因為知識缺乏，看不懂資料，不便講述。感興趣的話可以看一下參考資料。
20世紀的英國數學家圖靈提出了著名的圖靈論題，並提出一種假想的計算機的抽象模型，這個模型被稱為圖靈機。圖靈機的出現解決了演算法定義的難題，圖靈的思想對演算法的發展起到了重要的作用。
在此之後，演算法更偏向於計算機科學領域，各種解決不同問題的演算法也層出不窮，涉及排序、統計、線性規劃、搜索、壓縮等方面。
到了現在，隨著人工智慧和機器學習的發展，涉及到神經網路的演算法變得越發重要。
The Best of the 20th Century: Editors Name Top 10 Algorithms
http://www.uta.e/faculty/rcli/TopTen/topten.pdf
『貳』 什麼是演算法，都什麼，舉個例子，謝謝
根據我個人的理解：
演算法就是解決問題的具體的方法和步驟，所以具有以下性質：
1、有窮性： 一個演算法必須保證執行有限步之後結束（如果步驟無限，問題就無法解決）
2、確切性：步驟必須明確，說清楚做什麼。
3、輸入：即解決問題前我們所掌握的條件。
4、輸出：輸出即我們需要得到的答案。
5、可行性：邏輯不能錯誤，步驟必須有限，必須得到結果。
演算法通俗的講：就是解決問題的方法和步驟。在計算機發明之前便已經存在。只不過在計算機發明後，其應用變得更為廣泛。通過簡單的演算法，利用電腦的計算速度，可以讓問題變得簡單。
譬如：計算 1×2×3×4。。。。×999999999×1000000000
如果人為計算，可想而知，即使你用N卡車的紙張都很難計算出來，即使算出來了，也很難保證其准確性。
如果用VB演算法：
dim a as integer
a=1
For i =1 to 1000000000
a=a*i
next i
input a
就這樣，簡單的演算法，通過計算機強大的計算能力，問題就解決了。
關於這段演算法的解釋：i每乘一次，其數值都會增大1，一直乘到1000000000，這樣，就將從1到1000000000的每個數都乘了。而且每乘一次，就將結束賦給a,這樣，a就代表了前面的相乘的所有結果，一直乘到1000000000。最後得到的a，就是我們想要的。
〓以下是網路復制過來的，如果你有足夠耐心，可以參考一下。
演算法（Algorithm）是一系列解決問題的清晰指令，也就是說，能夠對一定規范的輸入，在有限時間內獲得所要求的輸出。如果一個演算法有缺陷，或不適合於某個問題，執行這個演算法將不會解決這個問題。不同的演算法可能用不同的時間、空間或效率來完成同樣的任務。一個演算法的優劣可以用空間復雜度與時間復雜度來衡量。
演算法可以理解為有基本運算及規定的運算順序所構成的完整的解題步驟。或者看成按照要求設計好的有限的確切的計算序列，並且這樣的步驟和序列可以解決一類問題。
一個演算法應該具有以下五個重要的特徵：
1、有窮性： 一個演算法必須保證執行有限步之後結束；
2、確切性： 演算法的每一步驟必須有確切的定義；
3、輸入：一個演算法有0個或多個輸入，以刻畫運算對象的初始情況，所謂0個輸入是指演算法本身定除了初始條件；
4、輸出：一個演算法有一個或多個輸出，以反映對輸入數據加工後的結果。沒有輸出的演算法是毫無意義的；
5、可行性： 演算法原則上能夠精確地運行，而且人們用筆和紙做有限次運算後即可完成。
計算機科學家尼克勞斯-沃思曾著過一本著名的書《數據結構十演算法= 程序》，可見演算法在計算機科學界與計算機應用界的地位。
[編輯本段]演算法的復雜度
同一問題可用不同演算法解決，而一個演算法的質量優劣將影響到演算法乃至程序的效率。演算法分析的目的在於選擇合適演算法和改進演算法。一個演算法的評價主要從時間復雜度和空間復雜度來考慮。
時間復雜度
演算法的時間復雜度是指演算法需要消耗的時間資源。一般來說，計算機演算法是問題規模n 的函數f(n)，演算法的時間復雜度也因此記做
T(n)=Ο(f(n))
因此，問題的規模n 越大，演算法執行的時間的增長率與f(n) 的增長率正相關，稱作漸進時間復雜度（Asymptotic Time Complexity）。
空間復雜度
演算法的空間復雜度是指演算法需要消耗的空間資源。其計算和表示方法與時間復雜度類似，一般都用復雜度的漸近性來表示。同時間復雜度相比，空間復雜度的分析要簡單得多。
詳見網路詞條"演算法復雜度"
[編輯本段]演算法設計與分析的基本方法
1.遞推法
遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關系求問題解的一種方法。它把問題分成若干步，找出相鄰幾步的關系，從而達到目的，此方法稱為遞推法。
2.遞歸
遞歸指的是一個過程：函數不斷引用自身，直到引用的對象已知
3.窮舉搜索法
窮舉搜索法是對可能是解的眾多候選解按某種順序進行逐一枚舉和檢驗，並從眾找出那些符合要求的候選解作為問題的解。
4.貪婪法
貪婪法是一種不追求最優解，只希望得到較為滿意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿意的解，因為它省去了為找最優解要窮盡所有可能而必須耗費的大量時間。貪婪法常以當前情況為基礎作最優選擇，而不考慮各種可能的整體情況，所以貪婪法不要回溯。
5.分治法
把一個復雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題……直到最後子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合並。
6.動態規劃法
動態規劃是一種在數學和計算機科學中使用的，用於求解包含重疊子問題的最優化問題的方法。其基本思想是，將原問題分解為相似的子問題，在求解的過程中通過子問題的解求出原問題的解。動態規劃的思想是多種演算法的基礎，被廣泛應用於計算機科學和工程領域。
7.迭代法
迭代是數值分析中通過從一個初始估計出發尋找一系列近似解來解決問題（一般是解方程或者方程組）的過程，為實現這一過程所使用的方法統稱為迭代法。
[編輯本段]演算法分類
演算法可大致分為基本演算法、數據結構的演算法、數論與代數演算法、計算幾何的演算法、圖論的演算法、動態規劃以及數值分析、加密演算法、排序演算法、檢索演算法、隨機化演算法、並行演算法。
[編輯本段]舉例
經典的演算法有很多，如："歐幾里德演算法"。
[編輯本段]演算法經典專著
目前市面上有許多論述演算法的書籍，其中最著名的便是《計算機程序設計藝術》（The Art Of Computer Programming) 以及《演算法導論》（Introction To Algorithms）。
[編輯本段]演算法的歷史
「演算法」即演演算法的大陸中文名稱出自《周髀算經》；而英文名稱Algorithm 來自於9世紀波斯數學家al-Khwarizmi，因為al-Khwarizmi在數學上提出了演算法這個概念。「演算法」原為"algorism"，意思是阿拉伯數字的運演算法則，在18世紀演變為"algorithm"。歐幾里得演算法被人們認為是史上第一個演算法。 第一次編寫程序是Ada Byron於1842年為巴貝奇分析機編寫求解解伯努利方程的程序，因此Ada Byron被大多數人認為是世界上第一位程序員。因為查爾斯·巴貝奇(Charles Babbage)未能完成他的巴貝奇分析機，這個演算法未能在巴貝奇分析機上執行。 因為"well-defined procere"缺少數學上精確的定義，19世紀和20世紀早期的數學家、邏輯學家在定義演算法上出現了困難。20世紀的英國數學家圖靈提出了著名的圖靈論題，並提出一種假想的計算機的抽象模型，這個模型被稱為圖靈機。圖靈機的出現解決了演算法定義的難題，圖靈的思想對演算法的發展起到了重要作用的。
『叄』 各種RL演算法
在現代RL空間中繪制精確的，無所不包的演算法分類法真的很難，因為演算法的模塊性沒有用樹結構很好地表示。此外，為了使某些東西適合頁面並且在介紹文章中可以合理地消化，我們必須省略相當多的更高級的材料（探索，轉移學習，元學習等）。也就是說，我們的目標是：
1. 強調深度RL演算法中最基本的設計選擇，包括學習內容和學習方法，
2. 揭示這些選擇中的權衡，
3. 並針對這些選擇將一些突出的現代演算法放入上下文中。
RL演算法中最重要的分支點之一是 agent是否可以獲得（或學習）環境模型的問題 。我們提到的環境模型，我們指的是一種預測狀態轉換和獎勵的函數。
擁有模型的主要好處是， 它允許agent 通過提前思考，查看一系列可能的選擇會發生什麼，以及明確決定其選項 來進行規劃 。然後， agent 可以將結果從提前計劃中提取到學習策略中。這種方法的一個特別著名的例子是 AlphaZero 。當這種方法有效時，與沒有模型的方法相比，它可以顯著提高樣本效率。
主要缺點是 agent通常無法獲得環境的真實模型。 如果 agent 想要在這種情況下使用模型，它必須純粹從經驗中學習模型，這會產生一些挑戰。最大的挑戰是模型中的偏差可以被 agent 利用，從而導致 agent 在學習模型方面表現良好，但在真實環境中表現得次優（或非常可怕）。模型學習從根本上來說很難，所以即使是非常努力——願意花費大量時間並對其進行計算——也無法獲得回報。
使用模型的演算法稱為 基於模型 的方法，而不使用模型的演算法稱為 無模型 。雖然無模型方法放棄了使用模型的樣本效率帶來的潛在增益，但它們往往更容易實現和調整。截至撰寫本簡介（2018年9月）時，無模型方法比基於模型的方法更受歡迎，並且得到了更廣泛的開發和測試。
RL演算法中的另一個關鍵分支點是 要學習什麼 的問題 。 通常可能的名單包括
1. 策略，無論是隨機的還是確定的，
2. 動作值函數（Q函數），
3. 值函數，
4. 和/或環境模型。
使用無模型RL表示和訓練agent有兩種主要方法：
Policy Optimization - 策略優化. 此系列中的方法將策略明確表示為 。它們直接通過性能指標 上的梯度上升來優化參數 ，或者通過最大化 的局部近似來間接地優化參數 。此優化幾乎總是以 on-policy 的方式運行，這意味著每個更新僅使用根據最新版本的策略執行時收集的數據。
策略優化通常還涉及學習on-policy值函數 的近似值 ，用於確定如何更新策略。策略優化方法的幾個例子是：
1. A2C / A3C ，執行梯度上升以直接最大化性能，
2. 和 PPO ，其更新間接地最大化性能，通過最大化替代 目標函數 ，該函數給出保守估計 將由於更新而改變多少。
Q-Learning. 該系列中的方法學習最優動作值函數 的近似值 。通常，它們使用基於Bellman方程的目標函數。此優化幾乎總是以 off-policy 的方式運行，這意味著每次更新都可以使用在訓練期間的任何時間點收集的數據，無論agent在獲取數據時如何選擇探索環境。通過 和 之間的連接獲得相應的策略：Q-learning agent所採取的動作由下式給出：
Q-learning方法的例子包括
1. DQN ，一個大規模推出DRL領域的經典之作，
2. 和 C51 ，一種學習回報分布的變體，其期望值為 。
Trade-offs Between Policy Optimization and Q-Learning.
策略優化方法的主要優勢在於它們是原則性的，在這種意義上，你可以直接針對你想要的東西進行優化。這往往使它們穩定可靠。
相比之下，Q-learning方法僅通過訓練 來滿足自洽方程，間接優化agent性能。這種學習有很多失敗模式，因此往往不太穩定 [1] 。但是，Q-learning方法的優勢在於它們在工作時具有更高的樣本效率，因為它們可以比策略優化技術更有效地重用數據。
Interpolating Between Policy Optimization and Q-Learning.
政策優化和Q學習並不矛盾（在某些情況下，事實證明，他們是 等價的 ），並且存在一系列存在於兩個極端之間的演算法。處在這一范圍內的演算法能夠在任何一方的優勢和劣勢之間進行謹慎的權衡。 例子包括
1. DDPG 一種同時學習確定性策略和Q函數的演算法，通過使用它們當中每一個來改進另一個，
2. 和 SAC ，一種使用隨機策略，熵正則化和一些其他技巧來穩定學習並在標准基準上得分高於DDPG的變體。
[1] For more information about how and why Q-learning methods can fail, see 1) this classic paper by Tsitsiklis and van Roy , 2) the (much more recent) review by Szepesvari (in section 4.3.2), and 3) chapter 11 of Sutton and Barto , especially section 11.3 (on 「the deadly triad」 of function approximation, bootstrapping, and off-policy data, together causing instability in value-learning algorithms).
與無模型RL不同，基於模型的RL不存在少量易於定義的方法集群：使用模型有許多正交方法。我們舉幾個例子，但這個清單遠非詳盡無遺。 在每種情況下，可以給出或學習模型。
背景：純粹的規劃. 最基本的方法從未明確地表示策略，而是使用純 模型 技術（如 模型預測控制 （MPC））來選擇操作。在MPC中，每次agent觀察環境時，它都會計算一個相對於模型最優的 規劃 ，其中 規劃 描述了在當前之後的某個固定時間窗口內採取的所有動作。 （ 規劃 演算法可以通過使用學習值函數來考慮超出視野的未來獎勵。）然後，代理執行 規劃 的第一個動作，並立即丟棄其餘部分。它每次准備與環境交互時計算新 規劃 ，以避免使用 規劃 范圍短於預期的 規劃 中的動作。
MBMF 的工作探討了MPC與深度RL的一些標准基準任務的學習環境模型。
專家迭代. 純粹 規劃 的直接後續涉及使用和學習策略 的明確表示。agent在模型中使用規劃演算法（如蒙特卡羅樹搜索），通過從當前策略中抽樣為該規劃生成候選動作。規劃演算法產生的動作優於單獨的策略產生的動作，因此它是相對於策略的「專家」。之後更新策略以生成更類似於規劃演算法輸出的動作。
該 ExIt 演算法使用這種方法來訓練深層神經網路玩Hex。
AlphaZero 是這種方法的另一個例子。
無模型方法的數據增強. 使用無模型RL演算法來訓練策略或Q函數，但是要麼1）在更新agent時增加虛構的實際經驗，要麼2） 僅 使用虛擬經驗來更新agent。
請參閱 MBVE ，了解增加虛構實際體驗的示例。
請參閱 世界模型 ，了解使用純粹的虛擬經驗訓練agent的例子，他們稱之為「在夢中訓練」。
將規劃循環嵌入到策略中。 另一種方法是將規劃程序直接嵌入到作為子程序的策略中——以便完整規劃成為策略的輔助信息 ——同時使用任何標準的無模型演算法訓練策略的輸出。關鍵概念是，在此框架中，策略可以學習如何以及何時使用規劃。這使得模型偏差不再成為問題，因為如果模型在某些狀態下不適合規劃，則策略可以簡單地學會忽略它。
有關具有這種想像力的agent的例子，請參閱 I2A 。
[2]. A2C / A3C (Asynchronous Advantage Actor-Critic): Mnih et al, 2016
[3]. PPO (Proximal Policy Optimization): Schulman et al, 2017
[4]. TRPO (Trust Region Policy Optimization): Schulman et al, 2015
[5]. DDPG (Deep Deterministic Policy Gradient): Lillicrap et al, 2015
[6]. TD3 (Twin Delayed DDPG): Fujimoto et al, 2018
[7]. SAC (Soft Actor-Critic): Haarnoja et al, 2018
[8]. DQN (Deep Q-Networks): Mnih et al, 2013
[9]. C51 (Categorical 51-Atom DQN): Bellemare et al, 2017
[10]. QR-DQN (Quantile Regression DQN): Dabney et al, 2017
[11]. HER (Hindsight Experience Replay): Andrychowicz et al, 2017
[12]. World Models : Ha and Schmidhuber, 2018
[13]. I2A (Imagination-Augmented Agents): Weber et al, 2017
[14]. MBMF (Model-Based RL with Model-Free Fine-Tuning): Nagabandi et al, 2017
[15]. MBVE (Model-Based Value Expansion): Feinberg et al, 2018
[16]. AlphaZero : Silver et al, 2017
『肆』 高一化學常用計算方法，比如說十字交叉法，差量法等等，都幫我詳細講解一下
一、差量法
在一定量溶劑的飽和溶液中，由於溫度改變（升高或降低），使溶質的溶解度發生變化，從而造成溶質（或飽和溶液）質量的差量；每個物質均有固定的化學組成，任意兩個物質的物理量之間均存在差量；同樣，在一個封閉體系中進行的化學反應，盡管反應前後質量守恆，但物質的量、固液氣各態物質質量、氣體體積等會發生變化，形成差量。差量法就是根據這些差量值，列出比例式來求解的一種化學計算方法。該方法運用的數學知識為等比定律及其衍生式：或。差量法是簡化化學計算的一種主要手段，在中學階段運用相當普遍。常見的類型有：溶解度差、組成差、質量差、體積差、物質的量差等。在運用時要注意物質的狀態相相同，差量物質的物理量單位要一致。
1.將碳酸鈉和碳酸氫鈉的混合物21.0g，加熱至質量不再變化時，稱得固體質量為14.8g。求混合物中碳酸鈉的質量分數。
2.實驗室用冷卻結晶法提純KNO3，先在100℃時將KNO3配成飽和溶液，再冷卻到30℃，析出KNO3。現欲制備500g較純的KNO3，問在100℃時應將多少克KNO3溶解於多少克水中。（KNO3的溶解度100℃時為246g，30℃時為46g）
3.某金屬元素R的氧化物相對分子質量為m，相同價態氯化物的相對分子質量為n，則金屬元素R的化合價為多少？
4.將鎂、鋁、鐵分別投入質量相等、足量的稀硫酸中，反應結束後所得各溶液的質量相等，則投入的鎂、鋁、鐵三種金屬的質量大小關系為（ ）
（A）Al＞Mg＞Fe （B）Fe＞Mg＞Al （C）Mg＞Al＞Fe （D）Mg=Fe=Al
二、十字交叉法
凡能列出一個二元一次方程組來求解的命題，即二組分的平均值，均可用十字交叉法，此法把乘除運算轉化為加減運算，給計算帶來很大的方便。
十字交叉法的表達式推導如下：設A、B表示十字交叉的兩個分量，表示兩個分量合成的平均量，xA、xB分別表示A和B佔平均量的百分數，且xA+xB=1，則有：
A•xA+B•xB= （xA+xB） 化簡得：
若把 放在十字交叉的中心，用A、B與其交叉相減，用二者差的絕對值相比即可得到上式。
十字交叉法應用非常廣，但不是萬能的，其適用范圍如表4—2：
含 化學
義 量
類型 A、B
xA、xB
1 溶液中溶質
質量分數 混合溶液中溶質質量質量分數 質量分數
2 物質中某元素
質量分數 混合物中某
元素質量分數 質量分數
3 同位素相對
原子質量 元素相對
原子質量 同位素原子
百分組成
4 某物質相對
分子質量 混合物平均相對分子質量 物質的量分數
或體積分數
5 某物質分子
組成 混合物的平均
分子組成 物質的量分數
6 用於某些綜合計算：如十字交叉法確定某些鹽的組成、有機物的組成等
正確使用十字交叉法解題的關鍵在於：（1）正確選擇兩個分量和平均量；（2）明確所得比為誰與誰之比；（3）兩種物質以什麼為單位在比。尤其要注意在知道質量平均值求體積或物質的量的比時，用此法並不簡單。
1. 現有50g 5%的CuSO4溶液，把其濃度增大一倍，可採用的方法有：（1）可將原溶液蒸發掉 g水；（2）可向原溶液中加入12.5% CuSO4溶液 g；（3）可向原溶液中加入膽礬 g；（4）可向原溶液中加入CuSO4白色粉末 g。
2 . 今有NH4NO3和CO(NH2)2混合化肥，現測得含氮質量分數為40%，則混合物中NH4NO3和CO(NH2)2的物質的量之比為（ ）
（A）4∶3 （B）1∶1 （C）3∶4 （D）2∶3
三、平均法
對於含有平均含義的定量或半定量習題，利用平均原理這一技巧性方法，可省去復雜的計算，迅速地作出判斷，巧妙地得出答案，對提高解題能力大有益處。平均法實際上是對十字交叉所含原理的進一步運用。解題時，常與十字交叉結合使用，達到速解之目的。原理如下：
若A>B，且符合 ，則必有A> >B，其中是A、B的相應平均值或式。xA•xB分別是A、B的份數。
常見的類型有：元素質量分數、相對原子質量、摩爾電子質量、雙鍵數、化學組成等平均法。有時運用平均法也可討論范圍問題。
1. 某硝酸銨樣品中氮的質量分數25%，則該樣品中混有的一組雜質一定不是（ ）
（A）CO(NH2)2和NH4HCO3 （B）NH4Cl和NH4HCO3
（C）NH4Cl和(NH4)2SO4 （D）(NH4)2SO4和NH4HCO3
2. 把含有某一種氯化物雜質的氯化鎂粉末95mg溶於水後，與足量的硝酸銀溶液反應，生成氯化銀沉澱300mg，則該氯化鎂中的雜質可能是（ ）
（A）氯化鈉 （B）氯化鋁 （C）氯化鉀 （D）氯化鈣
3. 某含雜質的CaCO3樣品只可能含有下列括弧中四種雜質中的兩種。取10g該樣品和足量鹽酸反應，產生了2.24L標准狀況下的CO2氣體。則該樣品中一定含有 雜質，可能含有 雜質。（雜質：KHCO3、MgCO3、K2CO3、SiO2）
4 .（1）碳酸氫銨在170℃時完全分解，生成的混和氣體平均相對分子質量是 。
（2）某爆鳴氣中H2和O2的質量分數分別為75%和25%，則該爆鳴氣對氫氣的相對密度是 。
（3）體積為1 L的乾燥容器充入HCl氣體後，測得容器中氣體對氧氣相對密度為1.082，用此氣體進行噴泉實驗，當噴泉停止後，進入容器中液體的體積是 。
附：平均摩爾質量（ ）的求法：
① m總—混和物叫質量 n總—混和物總物質的量
② =M1•n1%+M2•n2%+… M1、M2……各組分的摩爾質量，n1%、n2%……各組分的物質的量分數。（註： 如是元素的摩爾質量，則M1、M2……是各同位素的摩爾質量，n1%、n2%……是各同位素的原子分數（豐度）。）
③ 如是氣體混合物的摩爾質量，則有 =M1•V1%+M2•V2%+…（註：V1%、V2%……氣體體積分數。）
④ 如是氣體混合物的摩爾質量，則有 =d•MA (註：MA為參照氣體的摩爾質量，d為相對密度)
四、 守恆法
在化學反應中存在一系列守恆現象，如：質量守恆（含原子守恆、元素守恆）、電荷守恆、電子得失守恆、能量守恆等，利用這些守恆關系解題的方法叫做守恆法。電荷守恆即對任一電中性的體系，如化合物、混和物、溶液、膠體等，電荷的代數和為零，即正電荷總數和負電荷總數相等。電子得失守恆是指在發生氧化-還原反應時，氧化劑得到的電子數一定等於還原劑失去的電子數，無論是自發進行的氧化-還原反應還是以後將要學習的原電池或電解池均如此。
a. 質量守恆
1 . 有0.4g鐵的氧化物， 用足量的CO 在高溫下將其還原，把生成的全部CO2通入到足量的澄清的石灰水中得到0.75g固體沉澱物，這種鐵的氧化物的化學式為（ ）
A. FeO B. Fe2O3 C. Fe3O4 D. Fe4O5
2. 將幾種鐵的氧化物的混合物加入100mL、7mol•L―1的鹽酸中。氧化物恰好完全溶解，在所得的溶液中通入0.56L（標況）氯氣時，恰好使溶液中的Fe2+完全轉化為Fe3+，則該混合物中鐵元素的質量分數為 （ ）
A. 72.4% B. 71.4% C. 79.0% D. 63.6%
b. 電荷守恆法
3. 將8g Fe2O3投入150mL某濃度的稀硫酸中，再投入7g鐵粉收集到1.68L H2（標准狀況），同時，Fe和Fe2O3均無剩餘，為了中和過量的硫酸，且使溶液中鐵元素完全沉澱，共消耗4mol/L的NaOH溶液150mL。則原硫酸的物質的量濃度為（ ）
A. 1.5mol/L B. 0.5mol/L C. 2mol/L D. 1.2mol/L
4. 鎂帶在空氣中燃燒生成氧化鎂和氮化鎂，將燃燒後的產物全部溶解在50mL 1.8 mol•L-1鹽酸溶液中，以20mL 0.9 mol•L-1的氫氧化鈉溶液中和多餘的酸，然後在此溶液中加入過量鹼把氨全部釋放出來，用足量鹽酸吸收，經測定氨為0.006 mol，求鎂帶的質量。
c. 得失電子守恆法
5 . 某稀硝酸溶液中，加入5.6g鐵粉充分反應後，鐵粉全部溶解，生成NO，溶液質量增加3.2g，所得溶液中Fe2+和Fe3+物質的量之比為（ ）
A. 4∶1 B. 2∶1 C. 1∶1 D. 3∶2
6. （1）0.5mol銅片與足量的濃HNO3反應，收集到的氣體經乾燥後（不考慮損耗），測知其密度在標准狀況下為2.5 g•L-1，其體積為 L。
（2）0.5mol銅片與一定量的濃HNO3反應，收集到的氣體經乾燥後（不考慮損耗）在標准狀況下的體積為17.92L，則參加反應的硝酸物質的量為 ；若將這些氣體完全被水吸收，則應補充標准狀況下的氧氣體積為 L。（不考慮2NO2 N2O4反應）
7. 已知：2 Fe2++Br2 = 2 Fe3++2Br-，若向100mLFeBr2溶液中緩緩通入2.24L標准狀況下的氯氣，結果有三分之一的Br-離子被氧化成Br¬2單質，試求原FeBr2溶液的物質的量濃度。
五、極值法
「極值法」即 「極端假設法」，是用數學方法解決化學問題的常用方法，一般解答有關混合物計算時採用。可分別假設原混合物是某一純凈物，進行計算，確定最大值、最小值，再進行分析、討論、得出結論。
1. 常溫下，向20L真空容器中通a mol H2S和b mol SO2（a、b都是正整數，且a≤5，b≤5），反應完全後，容器內可能達到的最大密度約是（ ）
（A）25.5 g•L-1 （B）14.4 g•L-1 （C）8 g•L-1 （D）5.1 g•L-1
2. 在標准狀況下，將盛滿NO、NO2、O2混合氣的集氣瓶，倒置於水槽中，完全溶解，無氣體剩餘，其產物不擴散，則所得溶液的物質的量濃度（C）數值大小范圍為（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3. 當用m mol Cu與一定量的濃HNO3反應，在標准狀況下可生成nL的氣體，則m與n的數值最可能的關系是（ ）
（A） （B） （C） （D）無法判斷
4. 將一定質量的Mg、Zn、Al混合物與足量稀H2SO4反應，生成H2 2.8 L（標准狀況），原混合物的質量可能是( )
A. 2g B. 4g C. 8g D. 10g
計算方法》詳細答案：
一、1. 解析 混合物質量減輕是由於碳酸氫鈉分解所致，固體質量差21.0g-14.8g=6.2g，也就是生成的CO2和H2O的質量，混合物中m(NaHCO3)=168×6.2g÷62=16.8g，m(Na2CO3)=21.0g-16.8g=4.2g,所以混合物中碳酸鈉的質量分數為20%。
2.分析 本例是涉及溶解度的一道計算題。解答本題應具備理解透徹的概念、找准實際的差量、完成簡單的計算等三方面的能力。題中告知，在100℃和30℃時，100g水中分別最多溶解KNO3246g和46g，由於冷卻時溶劑的質量未變，所以溫度從100℃下降到30℃時，應析出晶體246g-46g=200g（溶解度之差）。由題意又知，在溫度下降過程中溶質的析出量，據此可得到比例式，求解出溶劑水的質量。再根據水的質量從而求出配製成100℃飽和溶液時溶質KNO3的質量。
解 設所用水的質量為x，根據題意，可列下式：
解得：x=250g
又設100℃時飽和溶液用KNO3的質量為y，根據溶質與溶劑的對應關系，列式如下：
解得：y=615g
答 將615KNO3溶解於250g水中。
3. 解 若金屬元素R的化合價為偶數x，則其相同價態的氧化物、氯化物的化學式分別為、RClx。根據關系式 ～RClx，相對分子質量差值為 ，所以n-m=27.5x，。若金屬元素R的化合價為奇數x，則其相同價態的氧化物、氯化物的化學式分別為R2Ox、RClx。由關系式R2Ox～2RClx可知，相對分子質量的差值為2×35.5x-16x=55x，所以2n-m=55x，x= 。
答 金屬元素R的化合價為 或 。
二、1.分析 本例是將稀溶液濃縮的一道填空題。若按通常方法，根據溶質守恆，列方程進行求解，則解題繁。若運用十字交叉法，運算簡潔，思路流暢。但應處理好蒸發掉水，或加入CuSO4粉末時CuSO4的質量分數，前者可視為0，後者視為100%。
解 （1） （負號代表蒸發） 說明水蒸發掉的質量為原溶液質量的，即25g。
（2） 說明加入12.5% CuSO4溶液的質量為原溶液質量的2倍，即100g。
（3）膽礬中CuSO4的質量分數為
說明加入膽礬的質量為原溶液質量的 ，即 。
（4） 說明加入CuSO4的質量為原溶液質量的，即 。
答 25 100 4.63 2.78
2. 解 方法1：NH4NO3中N%= =35%，CO(NH2)2中N%= =46.7%
說明NH4NO3與CO(NH2)2的物質的量之比為。
方法2：設混合物中NH4NO3的物質的量為1 mol，CO(NH2)2的物質的量為x。
根據題意，列式如下：
解得：x=1 mol
方法3：由於NH4NO3和CO(NH2)2分子中均含有2個N原子，根據混合物中N%=40%，可知該混合物的平均相對分子質量為。
說明NH4NO3與CO(NH2)2的物質的量之比為1∶1。
答 本題正確選項為（B）。
三、1. 解 NH4NO3中氮的質量分數是，而CO(NH2)2、NH4Cl、NH4HCO3和(NH4)2SO4中氮的質量分數分別是46.7%、26.2%、17.7%和21.1%，其中只有(NH4)2SO4和NH4HCO3一組氮的質量分數都小於25%。
因此，該樣品中混有的一組雜質一定不是(NH4)2SO4和NH4HCO3。
答 本題正確選項為（D）。
2. 解 若95mg全是MgCl2，則其反應後產生AgCl的質量為 g•mol-1
=287mg<300mg。
根據平均含義可推知：95mg雜質與足量AgNO3溶液反應生成AgCl的質量應大於300mg。這就要求雜質中Cl元素的質量分數比MgCl2中高才有可能。因此本題轉換成比較Cl元素含量的高低。現將每種的化學式作如下變形：MgCl2、Na2Cl2、Al Cl2、K2Cl2、CaCl2。顯然，金屬式量低的，Cl元素含量高，因此，只有AlCl3才有可能成為雜質。
答 本題正確選項為（B）。
3.略
4. 解 （1）NH4HCO3 NH3↑+H2O↑+CO2↑
根據質量守恆可知：n(NH4HCO3)•M(NH4HCO3)=n(混)• (混)，故 (混)= 79
g•mol-1，即混和氣體的平均相對分子質量為26.3。
（2）設爆鳴氣100g，則H2的物質的量為100g×75%÷2g•mol-1=37.5mol，O2物質的量為100g×25%÷32g•mol-1=0.78mol。
故爆鳴氣的平均摩爾質量為100g÷(37.5+0.78)mol=2.619g•mol-1，即對氫氣的相對密度為2.619 g•mol-1÷2 g•mol-1=1.31。
（3）乾燥容器中氣體的平均相對分子質量為1.082×32=34.62，由34.62<36.5，故該氣體應為HCl和空氣的混和氣體。
說明HCl與空氣的體積比為5.62∶1.88=3∶1，即混和氣體中HCl的體積為1L =0.75L。由於HCl氣體極易溶於水，所以當噴泉結束後，進入容器中液體的體積即為HCl氣體的體積0.75L。
答 （1）26.3 （2）1.31 （3）0.75L
四、1. 解析 由題意得知，鐵的氧化物中的氧原子最後轉移到沉澱物CaCO3中。且n(O)=n(CaCO3)=0.0075mol， m(O)=0.0075mol×16g/mol=0.12g。m(Fe)=0.4g-0.12g=0.28g，n(Fe)=0.005mol。n(Fe)∶n(O)=2:3，選B
2. 解析 鐵的氧化物中含Fe和O兩種元素，由題意，反應後，HCl中的H全在水中，O元素全部轉化為水中的O，由關系式：2HCl~H2O~O，得：n（O）= ，m（O）=0.35mol×16g•mol―1=5.6 g；
而鐵最終全部轉化為FeCl3，n（Cl）=0.56L ÷22.4L/mol×2+0.7mol=0.75mol，n（Fe）= ，m(Fe)=0.25mol×56g•mol―1=14 g，則 ，選B。
3. 解析 粗看題目，這是一利用關系式進行多步計算的題目，操作起來相當繁瑣，但如能仔細閱讀題目，挖掘出隱蔽條件，不難發現，反應後只有Na2SO4存在於溶液中，且反應過程中SO42―並無損耗，根據電中性原則：n（SO42―）= n（Na+），則原硫酸的濃度為：2mol/L，故選C。
4. 分析 本例是鎂及其化合物有關性質應用的一道計算題。本題涉及的反應較多，有2Mg+O2 2MgO，3Mg+N2 Mg3N2，MgO+2HCl = MgCl2+H2O，Mg3N2+8HCl = 3MgCl2+2NH4Cl，NaOH+HCl = NH4Cl等反應。若用常規方法審題和解題，則分析要求高，計算難度大，思維易混亂，很難正確解答本題。現運用圖示法審題如下：
發現：MgCl2、NH4Cl、NaCl溶液中，陰陽離子電荷濃度（或物質的量）相等即電荷守恆，再根據相關微粒的物質的量守恆，列出等式，從而一舉突破，從容解答本題。
解 根據圖示，對MgCl2、NH4Cl、NaCl溶液分析，由電荷守恆得知：
式中：
解得： ，即
5. 解析 設Fe2+為xmol，Fe3+為ymol，則：
x+y= =0.1（Fe元素守恆）
2x+3y= （得失電子守恆）
得：x=0.06mol，y=0.04mol。則x∶y=3∶2。故選D。
6. 解 （1）Cu與濃HNO3反應的化學方程式為：Cu+4HNO3(濃) = Cu(NO3)2+2NO2↑+2H2O，因是足量的濃硝酸，故還原產物只是NO2。理論上講，0.5mol Cu可得1mol NO2氣體。由於氣體的密度在標准狀況下為2.5g•L-1，即摩爾質量M= g•L-1 22.4 L•mol-1=56g•mol-1。顯然，56g•mol-1大於M(NO2)（46 g•mol-1），因此，不能認為收集到的氣體全是NO2，應考慮平衡2NO2 N2O4的存在。所以收集到的氣體是NO2和N2O4的混合氣體。根據質量守恆，混合氣體的質量應等於1 mol NO2氣體的質量即為46g，所以混和氣體的體積為46g 2.5g•L-1=18.4L。
（2）Cu與濃HNO3反應的化學方程式為：Cu+4HNO3(濃) = Cu(NO3)2+2NO2↑+2H2O，因是一定量的濃HNO3，隨著反應的進行，濃HNO3逐漸變成了稀HNO3，此時反應的化學方程式為：3Cu+8HNO3(稀)=3Cu(NO3)2+2NO↑+4H2O，故收集到的氣體應是NO和NO2的混合氣體。無法得知NO和NO2各自的物質的量，但它們物質的量之和為17.92L 22.4 L•mol-1=0 .8mol。根據N元素守恆，參加反應的硝酸的物質的量為2n[Cu(NO3)2]+n(NO)+
n(NO2)=2 0.5mol+0.8mol=1.8mol。
補充O2，NO和NO2被水吸收的化學方程式為：4NO+3O2+2H2O=4HNO3，4NO2+O2+2H2O = 4HNO3，從整個氧化還原過程來看，HNO3並沒有參加反應，參加的只是Cu與O2。因此，根據電子守恆，可列下式：
解得：V=5.6L
答 （1）18.4L；（2）1.8mol，5.6L
7. 分析 本例是有關氧化還原反應的一道計算題，涉及氧化還原的選擇性（即反應的先後順序）、進程性（即氧化劑或還原劑的量控制著反應的進程）和整體性（即無論有幾個氧化還原反應發生，始終存在氧化劑所得電子數等於還原劑所失電子數，或稱電子守恆）。根據題意分析，可知Fe2+與Br-還原能力大小為Fe2+ >Br-。因此，在FeBr2溶液中通入Cl2時，首先發生：Cl2+2Fe2+ = 2Fe3++2Cl -，然後再發生：Cl2+2 Br- = Br2+2Cl -。根據Cl2用量控制反應進程，所以Fe2+和Br-失去電子數目應等於Cl2得到電子數目。據此守恆關系，列出等式，很易求解。
解 設FeBr2物質的量濃度為C，由電子守恆可知：
解得：C=1.2 mol•L-1
答 原FeBr2溶液的物質的量濃度為1.2mol•L-1。
五、1. 本題提供的思路是運用極限法來分析求解。因為M(SO2)>M(H2S)，要達到最大密度，必然剩餘SO2氣體，且物質的量為最多，因此極端考慮，起始時，SO2物質的量取最大（5mol），H2S物質的量取最小（1 mol），故反應後剩餘SO2為 ，密度為 。所以（B）選項為本題正確答案。
答 本題正確選項為（B）。
2. （B） 3.略
4. 解析本題給出的數據不足，故不能求出每一種金屬的質量，只能確定取值范圍。三種金屬中產生等量的氫氣質量最大的為鋅，質量最小的為鋁。故假設金屬全部為鋅可求的金屬質量為8.125g，假設金屬全部為鋁可求的金屬質量為2.25g，金屬實際質量應在2.25g ～8.125g之間。故答案為B、C。
六、1. 解析 根據化學方程式，可以找出下列關系：FeS2～2SO2～2SO3～2H2SO4，本題從FeS2制H2SO4，是同種元素轉化的多步反應，即理論上FeS2中的S全部轉變成H2SO4中的S。得關系式FeS2～2H2SO4。過程中的損耗認作第一步反應中的損耗，得可製得98％硫酸的質量是 =3.36 。
七、1. 解析 CO和H2都有兩步反應方程式，量也沒有確定，因此逐步計算比較繁。Na2O2足量，兩種氣體完全反應，所以將每一種氣體的兩步反應合並可得H2+Na2O2=2NaOH，CO+ Na2O2=Na2CO3，可以看出最初的氣體完全轉移到最後的固體中，固體質量當然增加2.1g。選A。此題由於CO和H2的量沒有確定，兩個合並反應不能再合並!
八、1. 解析 變化主要過程為：
由題意得：Fe2O3與合金的質量相等，而鐵全部轉化為Fe2O3，故合金中Al的質量即為Fe2O3中氧元素的質量，則可得合金中鋁的質量分數即為Fe2O3中氧的質量分數，O%= ×100%=30%，選B。
九、1. 解析 。由題意，生成0.5mol H2，金屬失去的電子即為1mol，即合金的平均摩爾電子質量為10g/mol，鎂、鋁、鐵、鋅的摩爾電子質量分別為：12、9、28、32.5（單位：g/mol），由平均值可知，混合物中一種金屬的摩爾電子質量小於10g/mol，另一種大於10g/mol。故選A、C
十、1. 分析 本例是一道結合討論分析的天平平衡題，考查了在化學解題過程中的有序思維和問題解決的完整性。反應後天平仍然平衡，說明天平左右兩端加入金屬的質量與放出氫氣的質量數差值應相等。但不知鎂粉、鋁粉與鹽酸的量相對大小，所以必須通過討論判斷誰過量，從而以另一方計算產生H2的質量。因此如何判斷誰過量是解決本題的關鍵，另外，還需時刻注意調整a的取值范圍（由b的取值范圍及a和b的關系確定），才能得到本題完整解答，這一點在解題過程中是被常疏忽的。
解 根據題意，題中發生的兩個反應為：
Mg+2HCl = MgCl2+H2↑ 2Al+6HCl = 2AlCl3+3H2↑
若鹽酸完全反應，所需Mg粉質量為 ，所需鋁粉質量為 。
（1）當a≥12g，b≥9g，即鹽酸適量或不足，產生H2的質量應以HCl的量計算，因HCl的量是一定的，故產生H2的質量相等，要使天平平衡，即要求金屬的質量相等，所以a=b，此時b的范圍必須調整為b≥12g。
（2）當a<12g，b<9g，即Mg、Al不足，應以其計算產生H2的量。要使天平平衡，即要有：，解得： ，此時a的范圍必須調整為a<8.7g。
（3）當a<12g，b≥9g，即Mg不足，應以Mg算；Al過量或適量，以HCl算。要使天平平衡，必須滿足：
，解得： ，據（1）、（2）調整a的范圍為8.7g≤a<12g。
答 （1）當a≥12g時，a=b；（2）當8.7g<a<12g時，；（3）當0<a<8.7g時， 。
《常見化學計算方法》答案
一、1. 20% 2. 將615KNO3溶解於250g水中 3. R的化合價為 或。
4. 解：設Mg、Al、Fe的質量分別為x、y、z，故三者反應結束後，溶液質量增加為 x、 y、 z且相等，故有：，所以y＞x＞z。
5. 解 （1）水參加反應的質量為0.9g，則Na2CO3的質量為，NaHCO3的質量為9.5-5.3g=4.2g。（2）鹼石灰中CaO的質量為，NaOH的質量為9.6g-5.6g=4.0g。 6. 原混和物中CuSO4和Fe的質量分別為8.0g，4.8g。
二、1. 答 25 100 4.63 2.78 2. B
3.（1）等體積混和後，所得溶液質量分數應大於10x%。
（2） %的氨水物質的量濃度應大於 mol•L-1。
4. 該產物中Na2O的物質的量分數為20%。
5. n(Na2CO3)= 0.8 mol=0.2 mol，n(NaHCO3)= 0.8 mol=0.6 mol。
三、1. D 2.B 3.略
4. （1）26.3 （2）1.31 （3）0.75L
四、1. B 2. B 3. C
4. ，即 5. D
6. （1）18.4L；（2）1.8mol，5.6L
7. 原FeBr2溶液的物質的量濃度為1.2mol•L-1。
五、1. B 2. B 3.略 4. B C