割圓術的演算法

㈠ 割圓術這個圖是什麼意思

一般指割圓術
三國時代數學家劉徽的割圓術是中國古代數學中「一個十分精彩的演算法」。在此之前，圓周率採用「徑一周三」的實驗數據。東漢科學家張衡採用和。劉徽認為過大。。東漢天文學家王蕃採用。這些圓周率都是實驗值，都只准確到二位數字。劉徽是中國數學史上最先創造了一個從數學上計算圓周率到任意精確度的迭代程序。他自己通過分割圓為192邊形，計算出圓周率在3.14 與 3.142704之間，取其近似，並以表示。這個數值准確到三位數字，比前人的圓周率數值都准，但他自己次承認這個數值偏小。後來劉徽發明一種快捷演算法，可以只用96邊形得到和1536邊形同等的精確度，從而得令他自己滿意的。 劉徽割圓術簡單而又嚴謹，富於程序性，可以繼續分割下去，求得更精確的圓周率。南北朝時期著名數學家祖沖之用劉徽割圓術計算11次，分割圓為12288邊形，得圓周率=3.1415929，成為此後千年世界上最准確的圓周率。 劉徽在圓周率領域的貢獻，不僅在於求得和，更重要的在於他創造了一世界數學史上最精彩的割圓術：阿基米德割圓術和劉徽割圓術一樣用雙向迫近，因而同樣嚴謹完備，但遠不如劉徽簡潔；阿基米德用雙歸謬法推證圓面積，不如劉徽用極限論先進；托勒密割圓術和阿爾·卡西割圓術只是單向迫近，不如劉徽嚴謹；趙友欣割圓術和日本關孝和割圓術從正方開割，屬於劉徽割圓術的變化，而且也是單向迫近。劉徽割圓術雖然不是世界最早，卻是數學史上最嚴謹完備簡潔的割圓

㈡ 劉徽的割圓術具體內容是什麼

劉徽從圓內接正六邊形開始，使邊數逐次加倍，作出正十二邊形、正二十四邊形…，並依次計算出它們的面積，這些結果將逐漸逼近圓面積，這樣就可以求出圓周率的值，這種方法被稱為劉徽割圓術。用劉徽的話來說，「割之彌細，失之彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。」意思就是說把圓周分得越細，即圓內接正多邊形的邊數越多，用它的面積去代替圓面積，就丟失的越少。不斷地分割下去，讓邊數不斷地增多，那麼邊數無限多的正多邊形的面積就與圓面積相等了。

㈢ 劉徽創造的割圓術計算方法是怎樣的

劉徽創造的割圓術計算方法，只用圓內接多邊形面積，而無需外切形面積，從而簡化了計算程序。同時，為解決圓周率問題，劉徽運用了初步的極限概念和直曲轉化思想，這在古代也是非常難能可貴的。

在劉徽之後，南北朝時期傑出數學家祖沖之，把圓周率推算到更加精確的程度，取得了極其光輝的成就。

㈣ 小議「割圓術」

                            小議「割圓術」

                  ---圓周率的計算歷程

      「割圓術」是什麼？「割圓術」並不是把圓割開，而是為了計算 圓周率 ，不斷倍增圓內接正多邊形的邊數求出圓周率的方法。由3世紀中期，魏晉時期的數學家 劉徽 首創。劉徽用這種演算法得到圓周率約是3.1416，這個數值在當時已經非常領先。直至兩百年後數學大拿祖沖之橫空出世，把圓周率計算到了3.1415926<π<3.1415927之間，這個結果領先西方國家1000多年，不得不說中國古代的數學家太厲害了！祖沖之的計算方法「綴術」很不幸已失傳，但我國現代著名數學家華羅庚認為「綴術」仍然是割圓術。可見割圓術的方法非同一般。

      那「割圓術」是怎樣計算圓周率的呢？割圓術的關鍵在於計算所需要的正多邊形的周長，讓其作為圓的周長，除以直徑便可以得到圓周率。另外解決這個問題我們應該弄明白割圓術中的倍增，也就是成倍數增加。比如開始給定的是正四邊形，那麼下一次就要用到正八邊形，下一次就是正十六邊形，以此類推。

      下面是割圓術計算圓周長的部分推導過程：涉及勾股定理，即直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。如果兩條直角邊用a和b表示，斜邊用c表示，那麼勾股定理可以用符號語言表達為：

    首先做一個半徑是1的圓，如下圖：

    而我們不難得出，當N=6時，BD長度為1，所以代入上面的公式，我們便可求出正12邊形的邊長，用正12邊形的邊長我們就可求出正24邊形的邊長，依次倍增即可。然後用求得的正多邊形的周長，作為圓的周長，除以直徑便可以得到圓周率的近似值。當然邊長數越大這個近似值也就越精確。

    其實，我們也可以用割圓術，計算正多邊形的面積，用正多邊形的面積逼近圓的面積，也可得圓周率的近似值。

    現代社會，已經有很多方法求導圓周率，大數學家歐拉就用級數的方法計算，似乎「割圓術」已經過時了。但義務教育階段仍然會出現，小學6年級推導圓的面積時，割圓術作為其中一種方法出現，可能是因為這種逼近思想恰巧是微積分的萌芽吧！

㈤ 劉徽割圓術的完整證明（帶圖）

割圓術的主要內容是：一、在圓內作內接正六邊形，每邊邊長均等於半徑；再作正十二邊形，從勾股定理出發，求得正十二邊形的邊長，如此類推，從內接n邊形的邊長可推知內接2n邊形的邊長。二、從圓內接正n邊形每邊邊長，可求得內接2n邊形的面積。如圖正十二邊形的一部分（四邊形OADB）的面積，等於正六邊形邊長AB乘以半徑OD的一半，這樣，即使邊數極多的內接正多邊形面積也可以一步步求解。三、圓的面積介於兩個可求得的值之間。 依據極限觀念，劉徽指出：隨著圓內接正多邊形邊數的增加，它的周長和面積越來越接近圓周長和圓面積，「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣」。將這種極限思想和上述不等式結合起來，通過不斷增加多邊形邊數，就可以從不足近似值和過剩近似值兩個方面逼近圓周率的真值。這兩個數據的精確度是當時世界上前所未有的。 與劉徽類似的是，古希臘的阿基米德也用正多邊形法去求圓周率。但是阿基米德是用歸謬法證得這一結果的，避開了極限概念，而劉徽卻大膽地應用了以直代曲、無限趨近的思想方法；且阿基米德的方法需另外計算圓外切正多邊形面積，劉徽的方法則只需求內接正多邊形面積。與阿基米德比，劉徽的割圓術可謂事半功倍。

㈥ 割圓法究竟是怎麼割的

先用內接正六邊形求出圓周率的下界為3，再用外接正六邊形並藉助勾股定理求出圓周率的上界小於4。然後對內接正六邊形和外接正六邊形的邊數分別加倍，將它們分別變成內接正12邊形和外接正12邊形，再藉助勾股定理改進圓周率的下界和上界。

逐步對內接正多邊形和外接正多邊形的邊數加倍，直到內接正96邊形和外接正96邊形為止。最後，求出圓周率的下界和上界分別為223/71 和22/7， 並取它們的平均值3.141851 為圓周率的近似值。

(6)割圓術的演算法擴展閱讀：

3世紀中期，魏晉時期的數學家劉徽首創割圓術，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的演算法，所謂割圓術，就是不斷倍增圓內接正多邊形的邊數求出圓周率的方法。

劉徽個人成就：割圓術與圓周率， 他在《九章算術 圓田術》注中，用割圓術證明了圓面積的精確公式，並給出了計算圓周率的科學方法。

他首先從圓內接六邊形開始割圓，每次邊數倍增，算到192邊形的面積，得到π=157/50=3.14，又算到3072邊形的面積，得到π=3927/1250=3.1416，稱為「徽率」。

㈦ 劉徽的「割圓術」是什麼

割圓術（cyclotomic method）
所謂「割圓術」，是用圓內接正多邊形的周長去無限逼近圓周並以此求取圓周率的方法。
「圜，一中同長也」。意思是說：圓只有一個中心，圓周上每一點到中心的距離相等。早在我國先秦時期，《墨經》上就已經給出了圓的這個定義，而公元前11世紀，我國西周時期數學家商高也曾與周公討論過圓與方的關系。認識了圓，人們也就開始了有關於圓的種種計算，特別是計算圓的面積。我國古代數學經典《九章算術》在第一章「方田」章中寫到「半周半徑相乘得積步」，也就是我們現在所熟悉的公式。
為了證明這個公式，我國魏晉時期數學家劉徽於公元263年撰寫《九章算術注》，在這一公式後面寫了一篇1800餘字的注記，這篇注記就是數學史上著名的「割圓術」。
http://ke..com/view/31917.htm

㈧ 祖沖之是怎樣計算出圓周率的割圓術具體是怎麼回事

。在祖沖之之前，中國數學家劉徽提出了計算圓周率的科學方法－－「割圓術」，用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長，用這種方法，劉徽計算圓周率到小數點後4位數。
祖沖之在前人的基礎上，經過刻苦鑽研，反復演算，將圓周率推算至小數點後7位數（即3.1415926與3.1415927之間），並得出了圓周率分數形式的近似值。祖沖之究竟用什麼方法得出這一結果，現在無從查考。如果設想他按劉徽的「割圓術」方法去求的話，就要計算到圓內接16000多邊形，這需要化費多少時間和付出多麼巨大的勞動啊！

㈨ 割圓術的基本演算法

根據劉徽的記載，在劉徽之前，人們求證圓面積公式時，是用圓內接正十二邊形的面積來代替圓面積。應用出入相補原理，將圓內接正十二邊形拼補成一個長方形，借用長方形的面積公式來論證《九章算術》的圓面積公式。劉徽指出，這個長方形是以圓內接正六邊形周長的一半作為長，以圓半徑作為高的長方形，它的面積是圓內接正十二邊形的面積。這種論證「合徑率一而弧周率三也」，即後來常說的「周三徑一」，當然不嚴密。他認為，圓內接正多邊形的面積與圓面積都有一個差，用有限次數的分割、拼補，是無法證明《九章算術》的圓面積公式的。因此劉徽大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數學證明。他從圓內接正六邊形開始割圓，「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣。」也就是說將圓內接正多邊形的邊數不斷加倍，則它們與圓面積的差就越來越小，而當邊數不能再加的時候，圓內接正多邊形的面積的極限就是圓面積。劉徽考察了內接多邊形的面積，也就是它的「冪」，同時提出了「差冪」的概念。「差冪」 是後一次與前一次割圓的差值，可以用圖中陰影部分三角形的面積來表示。同時，它與兩個小黃三角形的面積和相等。劉徽指出，在用圓內接正多邊形逼近圓面積的過程中，圓半徑在正多邊形與圓之間有一段余徑。以余徑乘正多邊形的邊長，即2倍的「差冪」，加到這個正多邊形上，其面積則大於圓面積。這是圓面積的一個上界序列。劉徽認為，當圓內接正多邊形與圓是合體的極限狀態時，「則表無余徑。表無余徑，則冪不外出矣。」就是說，余徑消失了，余徑的長方形也就不存在了。因而，圓面積的這個上界序列的極限也是圓面積。於是內外兩側序列都趨向於同一數值，即，圓面積。
利用圓內接或外切正多邊形，求圓周率近似值的方法，其原理是當正多邊形的邊數增加時，它的邊長和逐漸逼近圓周。早在公元前5世紀，古希臘學者安蒂豐為了研究化圓為方問題就設計一種方法：先作一個圓內接正四邊形，以此為基礎作一個圓內接正八邊形，再逐次加倍其邊數，得到正16邊形、正32邊形等等，直至正多邊形的邊長小到恰與它們各自所在的圓周部分重合，他認為就可以完成化圓為方問題。到公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德在《論球和圓柱》一書中利用窮竭法建立起這樣的命題：只要邊數足夠多，圓外切正多邊形的面積與內接正多邊形的面積之差可以任意小。阿基米德又在《圓的度量》一書中利用正多邊形割圓的方法得到圓周率的值小於三又七分之一而大於三又七十分之十 ，還說圓面積與外切正方形面積之比為11：14，即取圓周率等於22/7。公元263年，中國數學家劉徽在《九章算術注》中提出「割圓」之說，他從圓內接正六邊形開始，每次把邊數加倍，直至圓內接正96邊形，算得圓周率為3.14或157/50，後人稱之為徽率。書中還記載了圓周率更精確的值3927/1250（等於3.1416）。劉徽斷言「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失矣」。其思想與古希臘窮竭法不謀而合。割圓術在圓周率計算史上曾長期使用。1610年德國數學家柯倫用2^62邊形將圓周率計算到小數點後35位。1630年格林貝爾格利用改進的方法計算到小數點後39位，成為割圓術計算圓周率的最好結果。分析方法發明後逐漸取代了割圓術，但割圓術作為計算圓周率最早的科學方法一直為人們所稱道。
π=lim(n→∞）1/2*sin(360/n)*n