❶ 什麼是反演計算，在網上找了很長時間，沒有找到具體的解釋
反演計算就是由現象求結果的計算，例如：利用一個物質（物體）產生的電、磁、波等信息，去求物質（物體）各種參數。
❷ 地震反演方法
地震反演的分類方法依其不同的目的有不同的分類方法。在地震反演的發展初期，地 震反演基本上分為疊前反演和疊後反演兩大類（王延光，2002）。後來隨著疊後反演技術 研究的深化，形成了許多不同的反演方法，並在實踐中獲得了很大的成功，成為儲層預測 中不可缺少的標准流程之一，因而針對疊後反演出現了許多不同的分類。形成這么多不同 的反演方法的基本原因是：當從一個地震道中消除子波來獲得一個合理的反射系數序列 時，有多種答案，即解不是唯一的（Rebecca，2002）。
所以一般反演都會以某種方式或條件約束答案，因此得到了在地震頻帶內通常能相對 正確反演地震數據的寬頻帶結果。因而，約束條件和頻率恢復結果的不同，演算法也不同。
最基本的反演方法可以分為基於道的反演方法和基於模型的方法（姚逢呂，2000）。基於道的演算法是最早研究的波阻抗反演方法，包括基於遞歸或道積分的演算法。這些方法中 地震道是唯一的輸入，因而計算簡單且速度很快。但是其結果局限於地震數據帶寬的范圍 內，因為隱含的子波沒有被消除，調諧和子波旁瓣效應沒有降低，因而其使用具有很大的 局限性。基於模型的波阻抗方法實際上就是以測井資料特別是聲阻抗資料（一般從密度 及速度測井資料獲得）作為約束，以地質模型為基礎，通過不斷修改模型，使模型正演 合成的地震資料與地震數據最佳匹配，所修改的最終的模型就是反演結果。常見的基於模 型的反演演算法主要分為以下幾種：
（1）地層或塊的反演
這種演算法假定地層是由波阻抗和時間構成的層塊結構，通過褶積模型與地震建立聯 系。通過限制與地震樣點數目相關的層的數目來抵消非唯一性。當地層變得薄於地震分辨 率時，反演結果變得不唯一，為了降低這種多解性，通常以初始模型來作為約束。
（2）稀疏脈沖反演
這種演算法假設地震反射系數序列是稀疏的（張永剛，2002），將地震道數據樣點進行 重新采樣而得到少於地震道樣點數目的反射系數序列，與塊反演相同的方法是通過褶積模 型來與地震相聯系，並且也可使用外部模型作為約束並用於恢復高頻及低頻成分，從而稀 疏脈沖反演也是寬頻的。
（3）最小平方反演
這種方法也是建立一個初始模型並使反演結果最大限度逼近初始模型，同樣可作地震 頻譜以外的頻率補償，因而也是寬頻的。
（4）地質統計學反演
這是一種全新的方法，Hass等（1994）提出了地質統計反演策略。該方法首先在地 震時間域內建立儲層的地質模型，然後建立三維地層網格，利用井和地震數據來確定地質 統計學參數，進行地質統計學建模，將生成的可能的波阻抗與地震道進行比較。在地質統 計反演中，當產生井間的儲層參數的估算值時，模擬演算法同時滿足井和地震數據。利用井 控和地質控制對波阻抗空間分布的影響，地質統計反演提供了一種強有力的從地震頻帶以 外獲得信息的方法。
（5）非線性反演
該方法適於解決地震反演中普遍存在的非線性目標函數的最優化問題，即多極值目標 函數的最優化問題。傳統方法在求解多極值目標函數的最優化問題時，只能獲取局部最優 的反演解，而無法獲取全局最優解。模擬退火方法在降溫參數的控制下，通過在解空間中 的隨機搜尋，獲得全局最優的反演解。與傳統方法比較，模擬退火方法對初始模型依賴性 低，反演計算過程的穩定性好。
利用非地震資料對地震反演進行約束是反演研究的一種方案。綜合多種信息的反演改 變了單一依靠地震資料進行反演的方法。該類方法可在一定程度上補償地震資料中缺失的 頻率成分，可獲得頻帶較寬反演結果，提高反演結果的解析度。把模擬退火方法和井約束 的反演相結合，可使該方法既具有模擬退火方法在解決非線性最優化問題中能獲得全局最 優的特點，又利用測井資料和地震解釋的結果構成合理的約束條件，保證獲得地質上可接 受的反演結果，但是非線性反演演算法由於計算量較大，收斂速度慢，還沒有得到廣泛的應 用（張永剛，2002）。
（6）物性參數反演
岩性儲層物性反演是近年來發展起來的一種反演方法（韓小俊，2006），其目的是更 為直接的把地震數據與地質認識結合起來，可以更為直觀地為地質人員提供儲層解釋依據 及油氣判別依據。常用的物性反演包括電阻率反演、伽馬反演、孔隙度反演、滲透率、飽 和度以及其他岩性參數反演。目前較為成熟的方法主要是孔隙度、GR、電阻率等反演。孔隙度反演的主要作用是作儲層量化預測，用於計算儲能系數，適用於評價及開發階段；GR反演用於判定泥質含量，通常在砂體預測中用於判定泥質分布情況，特別是在含氣砂 體的速度明顯低於泥質的情況下，利用GR反演可彌補速度反演的不足。GR反演也適用 於碳酸鹽儲層，可以由GR反演來判別碳酸鹽岩儲層與泥質層，降低了儲層預測的多解 性；電阻率反演主要用於汽水判別，在碳酸鹽岩儲集體中，含水層通常比含氣層電阻率 低，因而可以通過電阻率的反演來進行汽水識別。
❸ 地球物理學中的反演計算
反演是地球物理中的重要領域。依據地球表面觀測到的各種地球物理場資料，通過計算去推斷地球內部的結構、物質組成和動力學過程。可以說地球物理學從誕生起便踏著反演的進步路徑在發展。
1.地球物理反演理論的發展
地球物理學中的反演問題最早主要是針對地球內部結構的探索。1907年赫格羅斯（Herglotz）首先由地球物理資料的定量分析提出了地震波走時數據的反演；1909年莫霍洛維奇（MohorovicicA.）發現地殼與地幔之間的一級不連續面；1912年古登堡（Guten-berg）發現古登堡面；1923年康拉德（Conrad）發現地殼中間界面；1935年萊曼（Leh-mann）發現地球內核和外核的分界面。這些人在地球物理學發展史上均寫下了不朽的篇章，對地球物理反演學術思想的形成和發展起到極大的推動作用。
20世紀50年代前後，隨著觀測技術的不斷提高，人們對地球內部的認識不斷深化，地球內部圈層有了基本模型。由於電子計算機的使用，使得已發展起來的試錯法和擬合法可以通過計算機來實現。到了60年代地球物理工作者已可以利用電子計算機對地球模型參數進行自動的修正反演，即發展為自動擬合法或最優化法。
1970年以前地球物理反演研究的主要特點：
（1）採用均勻各向同性地球模型；
（2）反演問題在數學上僅涉及微積分或古典積分方程；
（3）觀測數據與假定模型正演計算結果等同；
（4）對解的不唯一性未做深入分析，而是以觀測數據與用推測模型求得結果進行類比；
（5）在計算技術上僅涉及了初等數值分析，如數值微積分、最小二乘法解超定方程組等。
20世紀60年代由於各類運用於計算的新演算法不斷涌現，快速傅里葉（Fourier）變換和高速褶積的廣泛應用，基於二次曲面分割的地球模型已不能滿足新的要求，而迫使地球物理反演計算必須提高解析度。因此反演理論在70年代前後發展迅速，並做出了重要貢獻（Backusetal.，1967，1968，1970）。
巴庫斯和吉伯特（一位是地球物理學家，另一位是數學家）的地球物理反演理論（BG理論）是建立在模型為連續的情況下，故必導致方程組欠定，難於在快速電子計算機上實現。為此，維津斯（Wiggins，1972）和傑克遜（Jackson，1972）先後提出了與BG理論相應的廣義反演方法。後經帕克（Parker，1976）等人的整理與推廣，使BG理論在20世紀70年代後期得到廣泛應用。
基於勘探地球物理學的快速發展，20世紀80年代以來的偏微分方程反演進一步得到發展。20世紀90年代以來，非線性理論在自然科學各個領域均得到極大重視，當然這要比線性反演復雜得多。
我國在地球物理反演理論和方法研究方面起步較晚。BG理論於20世紀70年代引入我國，並在解決某些地球物理數據分析中得以應用。
2.地球物理反演中解的不唯一性原因分析
地球物理學可以根據地面或者高空的觀測資料（如來自深部的地震波、電磁場、熱流、重力場等）來推斷地下的結構、構造和物質屬性等情況，即地球物理學中的反演或反問題（InversionProblem）。在各種地球物理場（重、磁、電、熱）給出的數據中，雖然含有地下各種物性結構的信息，但在對數據進行計算與解釋（即反演）的過程中，即便是使用同樣的資料，所得的答案卻不盡相同。這是反演的多解性，或解的非唯一性。
造成反演多解的原因，有數學上的問題，如解法不穩定、觀測誤差等，但其根本的原因是不可能得到地球深部直接的觀測數據，而僅靠地面的觀測資料，其「信息」量是不夠的。地震波雖然可以穿透地球，帶來深部的三維信息，但地震圖震相識別仍有很大的不確定性。為此，不論是一維、二維還是三維或四維反演，減少多解性都需要對各種地質地球物理資料進行綜合分析，加強對地震圖記錄的震相識別，需要依據豐富的資料，即在多因素約束下提出科學而又合理的初始模型，並對反演進行約束。反演問題是地球物理學中理論與方法核心問題之一。
❹ 反演技術是什麼
（1）首先介紹下什麼是反演技術。
①水平多層土壤的視在電阻率正演：是指已知水平多層土壤參數和四極法極距布置參數，計算不同四極法電極布置情況下的視在電阻率。水平多層土壤的視在電阻率正演模型是水平多層土壤的視在電阻率反演的基礎，反演其實就是由優化方法控制的正演迭代。
②接地理論中定義格林函數為單位點源對應的空間電位函數，而使用格林函數求解接地問題的方法稱為格林函數法。
（2）土壤反演技術
①土壤參數反演問題屬於小規模的優化問題(變數一般只有幾個)，但是土壤參數反演問題的非線性程度極高，基本上所有的優化方法都要花費大量的計算時間進行求解空間的搜索，同時也容易陷入局部解。
②迭代初值對於土壤反演來說是一個十分重要的參數。雖然沒有免費午餐定律說明所有演算法對所有優化問題的總體求解效率是相等的，但是對於土壤反演這種特殊問題，使用不同方法進行對比和分析後仍可以發掘和提出更多更有效方法。
（3）傳統優化方法
①鑒於現場土壤電阻率結構千差萬別，現場測量數據的反演解釋是整個反演過程最困難和抽象的部分。優化方法結合水平多層土壤視在電阻率的計算模型是反演過程的核心，
②優化函數庫的優化方法可分為以下兩種方法：
Ⅰ、直接搜索法：只需要使用目標函數值的方法。
Ⅱ、梯度法：可能需要目標函數的一階或者二階偏導數信息的表達方法。
❺ 哪位高手給個反演的SIRT的演算法~~~
#include<stdio.h> #include<math.h> #define M 5 #define N 5 void SIRT(float A[M][N],float D[M],float X[N]) { float R[M]={0.0},E[N]={0.0},S[M]={0.0},C[N],a=0,B=0; int i,j,k,n=0; 初始化矩陣 /*參量說明：A[M][N]線形方程組的系數矩陣；D[M]線形方程組等號右邊的數值矩陣； X[N]解向量；R[M]殘差矩陣；E[N]系數矩陣每列非零元素的個數矩陣；S[M]系數矩陣的每行元素的平方和矩陣； C[N]為第K+1次迭代解與第K次迭代解之差，用於解的精度控制。*/ for(i=0;i<M;i++) for(j=0;j<N;j++) { S[i]=S[i]+(float)(pow(A[i][j],2)); /*求出系數矩陣的每列元素的平方和 */ if(A[i][j] != 0) E[j]=E[j]+1; /*求出系數矩陣每列非零元素的個數 */ } do { k=0; for(i=0;i<M;i++) { a=0; for(j=0;j<N;j++) { a=a+A[i][j]*X[j]; } R[i]=D[i]-a; /*計算殘差*/ } for(j=0;j<N;j++) { B=0; for(i=0;i<M;i++) { B=B+A[i][j]*R[i]*(float)(pow(S[i],-1)); } C[j]=(float)(B*pow(E[j],-1)); X[j]=X[j]+C[j];
if(fabs(C[j])>=0.00001) k=1 ; }n++; }while(k); /*迭代求解，當-0.001<E[N]<0.001時，確定此時的X[N]為方程的近似解*/ printf("迭代次數為：%d\n",n); } void main() { FILE *fp1;FILE *fp2;FILE *fp3; float A[M][N], D[M],X[N]={0.0}; char ch1[10],ch2[10]; int i,j; printf("請輸入系數矩陣文件名："); scanf("%s",ch1); printf("請輸入方程常數項矩陣文件名："); scanf("%s",ch2); if((fp1=fopen(ch1,"r"))==NULL) { printf("can not open file!\n"); return; } /*打開增廣矩陣數據文件*/ if((fp2=fopen(ch2,"r"))==NULL) { printf("can not open file!\n"); return ; } /*打開方程常數項矩陣數據文件*/ for(i=0;i<M;i++) { for(j=0;j<N;j++) { fscanf(fp1,"%f",&A[i][j]); } fscanf(fp2,"%f",&D[i]); } fclose(fp1);fclose(fp2); SIRT(A,D,X); fp3=fopen("sirt_x.txt","w"); printf("解向量為：\n"); for(j=0;j<N;j++) { printf("%8.2f",X[j]); fprintf(fp3,"%8.2f",X[j]); } fclose(fp3); }
❻ 地層反演的概念
反演是根據經驗觀測進行推理的一種精確定量方法。反演模型的主要作用是通過確定其輸出結果與觀測匹配的正演模型的過程參數的大小和頻率來幫助分析和解釋經驗觀測結果。
反演是一種尋找能夠最佳擬合所觀察到的地層的正演模型的系統程序。反演可以說明所觀察到的結果是由那些作用共同產生的。從這個意義上講，地層反演與地質學家根據直覺和猜測所得出的結果相似。反演和其他方法的主要區別在於反演方法給出了准確度、誤差和不確定性信息，以及產生誤差的和不確定性的原因。如果使用其他方法，人們就不能夠確定為什麼某種模式與所觀察的地層擬合而其他的卻不擬合，不能確定何時獲得了最佳參數組，也不能確定錯誤在哪兒，以及怎樣才能提高模型與觀察之間的匹配程度。
反演模型由三個部分組成，這三個部分可以解釋反演模型是怎樣運作的（圖9-1）。第一部分是正演模型，此處為地層正演模型。正演模型用一組用戶確定的過程參數值（如海平面升降、構造運動、沉積物供給、載荷補償、地形梯度、壓實作用等）和描述正演模型參數行為（過程-響應相互作用）的邏輯組模擬地層。第二部分是被用於與正演模型輸出結果相比較的觀察資料。在地層學中，實際觀察可以是岩石類型、結構、厚度、幾何形態或岩石物性。對反演模型的觀察內容的限定是其必須可以與正演模型輸出的數據具有直接的和量的可比性。例如，如果正演模型模擬粒度分布，那麼觀察內容就應該是岩石的結構。上述兩個部分被第三部分，即數學反演演算法連接起來。反演演算法能夠比較正演模型輸出的值和實際觀測值。在進行比較之後，反演演算法亦能夠調整正演模型參數值，使模擬預測更接近於實際觀察。該演算法反復比較觀測值，並不斷調整正演模型參數值，直到模擬值與觀測值之間的差異達到最小並獲得最佳擬合為止。
圖9-1 地層反演模型流程圖
因此，建立一個反演模型需要以下幾個步驟：①選擇一個地層正演模型；②設計幾個簡單的數學函數，來最准確地描述一個沉積盆地中真實的地層過程，並能用於反演計算；③准備與正演模型輸出的類型相應的數據，並將其換成數學向量的形式；④選擇一個恰當的參數優選演算法；⑤構建一個連接第①步至第④步的地層反演模型。
如果地層資料的種類和數量含有足夠的過程參數的信息，使反演演算法能夠區分不同過程參數產生地層響應，那麼反演是可能的。反演法是一個建模過程，受到所有模型都遇到的表示真實世界過程響應系統近似性的准確度和精確度的限制。反演模型的計算結果受到用於反演模型的地層正演模型的准確度和精度的限制。反演模型結果的准確度和精度依靠觀測數據的類型、數量、質量和分布，還受到盆地地層的假定和地層過程響應系統的操作限制。幾種條件下不能進行反演，本文列出了這些條件中最重要的幾項：①如果地層過程參數可以互換，也就是說，一個過程參數可代替另一個參數並產生同樣的結果，那麼反演就不可能；②如果假設的或所理解的地層過程—響應系統是錯誤的、不可預測的或缺少基本的限定條件，那麼反演是不可能的；③如果一個位置的地層信息與另一個位置的地層信息沒有直接聯系，即如果某一位置的信息不能為另一個位置提供信息，那麼反演是不可能的；④如果正演模型不能很好地模擬真實的過程-響應系統，或者觀察資料的測定或解釋是錯誤的，那麼反演也是不可能的。
❼ 波阻抗反演方法
最基本的反演方法可以分為基於道的反演方法和基於模型的方法（姚逢昌等，2000）。基於道的演算法是最早研究的波阻抗反演方法，包括基於遞歸或道積分的演算法。這些方法中地震道是唯一的輸入，因而計算簡單且速度很快，但是其結果局限於地震數據帶寬的范圍內，因為隱含的子波沒有被消除，調諧和子波旁瓣效應沒有降低，因而其使用具有很大的局限性。基於模型的波阻抗方法實際上就是以測井資料特別是聲阻抗資料（一般從密度及速度測井資料獲得）作為約束，以地質模型為基礎，通過不斷修改模型，使模型正演合成的地震資料與地震數據最佳匹配，所修改的最終模型就是反演結果。常見的基於模型的反演演算法主要分為下述幾種。
（1）地層或塊的反演
這種演算法假定地層是由波阻抗和時間構成的層塊結構，通過褶積模型與地震建立聯系。通過限制與地震樣點數目相關的層的數目來抵消非唯一性。當地層變得薄於地震解析度時，反演結果變得不唯一，為了降低這種多解性，通常以初始模型來作為約束。
（2）稀疏脈沖反演
這種演算法假設地震反射系數序列是稀疏的，將地震道數據樣點進行重新采樣而得到少於地震道樣點數目的反射系數序列，與塊反演相同的是通過褶積模型來與地震相聯系，並且也可使用外部模型作為約束並用於恢復高頻及低頻成分，因此稀疏脈沖反演也是寬頻的。
（3）最小平方反演
這種方法也是建立一個初始模型並使反演結果最大限度地逼近初始模型，同樣可作地震頻譜以外的頻率補償，因而也是寬頻的。
（4）地質統計學反演
這是一種全新的方法，該方法首先在地震時間域內建立儲層的地質模型，然後建立三維地層網格，利用井和地震數據來確定地質統計學參數，進行地質統計學建模，將生成的可能的波阻抗與地震道進行比較。在地質統計反演中，當產生井間的儲層參數的估算值時，模擬演算法同時滿足井和地震數據。利用井控和地質控制對波阻抗空間分布的影響，地質統計反演提供了一種強有力的從地震頻帶以外獲得信息的方法。
（5）非線性反演
非線性反演方法是近年興起的實用性較強、效果較好的一種反演方法，在這里作較為詳細的介紹。
常用的波阻抗反演方法大多基於模型反演，即首先根據地質和測井等實際信息建立反演的初始模型，然後將模型正演計算得到的地震記錄與實際觀測得到的地震記錄進行比較，用偏差反復修改模型，當偏差很小時，認為當前的模型即為反演結果。模型反演又分為線性反演與非線性反演兩種，以模型為基礎的反演方法大都基於線性褶積的思想。
由於實際地震記錄是帶限的，並不可避免地含有噪音，又由於該類方法涉及到諸如地震子波的不確定性、噪音干擾及層位標定不準等問題，在求解反問題中，還不能完全保證反演條件的最優化，使計算得到的波阻抗剖面帶有多解性，阻礙了反演的大量使用及對反演結果的正確認識。對非線性反演的研究已經經歷了多年，從方法上研究的非線性反演有模擬退火法、遺傳演算法、人工神經網路法和混沌演算法等，這些方法在國內石油地球物理勘探中已經見到了明顯的效果，其反演結果大多優於以褶積模型為基礎的線性反演方法，具體表現在能進一步提高反演的縱向解析度，與井的匹配最好，但都有一個共同的缺點，就是運行時間很長，還不能完全大批量處理二維地震資料及三維數據體。
針對線性反演與非線性反演存在的問題，筆者採用改進的約束模擬退火反演方法，在提高反演解析度的同時又提高了處理效率。
在地震約束反演演算法中，一般是由已知井給出屬性參數的初始值，當由井外推時，將初始值合成地震記錄，求其與實際地震信號的差值，然後由此差值計算初始值的修改值，經過反復迭代計算使其差值達到極小，則由最終的修改結果獲得相應的屬性參數。以上迭代計算屬極小值的最優化問題，對此一般採用線性梯度法，而在地震反演中目標函數與模型之間的關系往往是高度非線性的，因而線性演算法就很難得到最優解。常規的線性優化法得到的最終結果對初始值依賴很大，當鑽井很少或井位偏開一定距離時，初始模型與實際模型相差較大，反演結果往往只能得到局部最優解，導致反演結果不理想。
在川東南地區地震反演中使用了新的模擬退火改進演算法能克服上述缺點，獲得全局最優解，並且比一般模擬退火演算法優化的速度快、效率高，對約束的條件要求不嚴格，只要給出反演參數的取值范圍，即可利用測井和地震資料形成合理的初始模型，這對於鑽井資料較少的地震工區是比較合適的，下面簡要介紹其方法原理。
設合成記錄的理論正演記錄為
y=f（m）
實際信號d與理論值f（m）之誤差為：
復雜儲層識別及預測
設e（m）符合Gauss分布，則期望值為零，設Ce為協方差矩陣，則有如下條件的概率密度函數：
復雜儲層識別及預測
上式中，A1為非負常數，eT為誤差e的轉置。將（5.1）式代入得
復雜儲層識別及預測
設用先驗信息形成的初始模型為m。當採用Gauss分布時，其先驗概率密度函數為：
復雜儲層識別及預測
上式中，A2為非負常數，Cm為協方差矩陣，m0為初始模型。根據Gages公式，已知實際資料d時，m的後驗概率密度函數為：
復雜儲層識別及預測
式中P（y）與m無關，可取常數，將（5.1）、（5.2）兩式代入（5.4）式中，得：
復雜儲層識別及預測
在模擬退火中，（5.5）式還有如下定義，即
復雜儲層識別及預測
其中A為非負的常數，S（m）為反演誤差的目標函數，T為溫度參數，由（5.5）（、5.6）式，可得目標函數：
復雜儲層識別及預測
在模擬退火中採用使後驗概率密度值最大化估計最優化解，這就等於使目標函數S（m）出現極小值，或相當於溫度參數T的減小，即不斷「降溫」或「退火」。在這一過程中對解空間進行隨機搜索，從而獲得目標函數全局極小所對應的最優解。同時，對突破局部極小加以限制，引入接受函數：
復雜儲層識別及預測
式中△S是相鄰兩次迭代的目標函數增量，令
復雜儲層識別及預測
對屬性參數的反演處理中，以時間平均方程作為密度、孔隙度、速度與波阻抗的橋梁，由目標函數可得反演的屬性參數。
❽ 反演方法分類與進展
反演水文地質參數的方法可根據正演計算所用的方法分為解析法和數值法。解析法主要以泰斯（Thies）公式為代表，具體又有配線法、直線圖解法等。數值法求參按其求解方法又可分為試估-校正法和最優化計算方法。
試估-校正法的優點是能充分利用水文地質工作者對一個地區水文地質條件的各種認識，達到識別參數的目的。但是，該方法無收斂判別准則，很難達到最優識別，工作量比較大。使用該方法，結果的可靠性和花費時間的多少取決於調參者的經驗和技巧。
最優化方法是將水文地質參數識別歸結為求極值問題。即求水文地質參數使得誤差評價函數達到最小。
在實際應用時，解析法求參的配線法和直線圖解法等很難應用於數值法的反演問題中，但數值法反演的各種方法均可用於解析法的反演求參之中，因此嚴格的分類是不存在的。
Neuman［2］按求參使用的判別原則將反演方法分為兩類，直接解法和間接解法。
直接解法是從聯系水頭和水文地質參數的偏微分方程或其離散形式出發，把水頭的實際觀測值作為已知數，把水文地質參數作為待求的未知數直接來解。具體方法有局部直接求逆法、數學規劃法等。實際上，利用裘布衣公式或蒂姆公式計算滲透系數也是一種直接解法。直接解法由於計算上穩定性差，在實際計算中應用較少。
間接解法利用正問題的解是適定的這一重要性質，把解逆問題化為解一系列的正問題。其基本思想是先假設一組水文地質參數作為初值，用數值法計算水頭。求出水頭的計算值和實測值之間的誤差，不斷修改水文地質參數，反復計算水頭，直到水頭的計算值和實測值很好擬合時為止。此時的水文地質參數值就是所求的水文地質參數值。
設共有n個水文地質參數，用符號p1，p2，…，pn來代表。同時假設在j號觀測點上i 時刻的計算水頭為（ti），實測水頭為（ti），比較的觀測點總數為 N 個，比較的時間段為 M 個。通常用平均誤差絕對值及平均誤差平方和來表示擬合的程度。稱為評價函數（也稱目標函數）E。顯然，E 是所給出的參數值的函數。評價函數的表達式如下：
含水層參數識別方法
由上面二式很易看出，目標函數愈小，擬合得愈好。只要改變水文地質參數p1，p2，…，pn的值，可得出不同的目標函數值。解逆問題實質上就是尋找一組水文地質參數，使目標函數為極小。一般而言，（1-15）式擬合判別准則最好，（1-16）式擬合判別准則次之。
無論是直接方法或間接方法求參，最終的問題均歸結為如何調整參數使得評價函數E達到極小值。到目前為止探索出的各種方法很多，William W-G Yeh在1986年綜述了參數反演方法。表1-1和表1-2是他列出的直接方法和間接方法參數識別的研究成果。從已有文獻看，用於識別水文地質參數的最優化方法主要有：最速下降法、逐個修正法、Gauss Newton法、Powell方法、單純形法、線性規劃法、二次規劃法、擬線性化方法和罰函數法等。
表1-1 直接法參數識別模型
地下水系統的參數估計方法可分為方程誤差准則法和輸出誤差准則法［11］，逆問題的這種分類方法最初來源於Neuman的直接方法和間接方法分類［2］。方程誤差准則方法在一般的逆邊值問題中將模型參數作為獨立的變數。逆問題的求解方法包括能量衰減法［12］，線性規劃法［13］，誤差流最小模方法［14］，多目標決策過程［2］，Galerkin方法［15］，代數逼近法［12］，歸納法［16］，線性規劃和二次規劃法［17］，罰函數法［18］，結合Kriging法的廣義逆矩陣法［19］。表1-1給出了方程誤差准則法的一個總結。
輸出誤差准則法進行參數估計是基於逆問題的優化或控制模型。優化模型的目標是最小化輸出誤差。參數估計的目的是在參數上下限的范圍內，盡可能地滿足含水層系統的水量或水質方程。參數值不斷地更新直到模型的響應最有效地逼近歷史的觀測數據。
基於擬線性化［20］的控制技術已用來求解含水層參數問題。演算法包括擬線性化［21，22］，優化控製法［23，24］，Kalman濾波技術［25，26］。
表1-2 間接方法參數識別模型
續表
數學規劃技術已廣泛應用於水文地質和石油工程的參數識別問題。梯度尋求法［27］，多水平優化方法［28］，線性規劃［29］，二次規劃［29］，Gauss-Newton法［30］，修正的Gauss-Newton法［31，32］，Newton-Raphson方法［33］，共軛梯度法［34］等均屬此類方法。輸出誤差准則法見表1-2。
近年來，禁忌搜索演算法、模擬退火演算法、遺傳演算法、人工神經網路法等近代優化方法不斷發展，其中部分研究成果已用來求解地下水逆問題。Harrouni等［35］用簡單二進制遺傳演算法和邊界元結合進行地下水邊界和參數識別，Morshed等［36］用簡單二進制遺傳演算法和神經網路結合進行滲透系數估計，金菊良等［37］用加速二進制遺傳演算法求解的泰斯（Thies）模型的逆問題，姚姚［38］分別用模擬退火方法和二進制遺傳演算法討論了地球物理反演問題，石琳珂用二進制遺傳演算法討論了地球物理反演問題，並對遺傳演算法進行了部分改進，這些方法均可對水文地質反演求參起到很好的引導作用。
❾ 數學模型反演解法概述
數值模擬反問題常常轉化為優化問題，函數優化就是求一個函數的最優值以及達到該最優值的最優點，而最優化演算法本質上是一個最優值的搜索過程。經典的優化演算法如牛頓法、單純形法、共軛方向法、最速下降法和罰函數法等，一般對目標函數要求連續、可微甚至於高階可微、單峰等；需要對函數求一階、二階導數；受初值影響較大，演算法容易陷入局部最小值，對於多峰函數優化問題具有較大局限性。
20世紀80年代初期以來，地下水水流與溶質遷移模型和數值優化方法相結合越來越普遍，目前常用的主要有以下兩種方法。
3.4.7.1 數學規劃方法
主要包括線性規劃（LP），該方法廣泛應用於線性目標函數及流量約束的地下水管理問題，解線性規劃的軟體主要有AQMAN，MODMAN，MODOFC，MODFLIP；非線性規劃（NLP）；混合整數線性規劃（MILP）；混合整數非線性規劃（MINLP）。其中線性規劃法計算效率較高，但僅適用於承壓含水層，通常不能有效地處理溶質運移問題。非線性規劃與動態規劃的應用較廣泛，計算效率上有優勢，但需要計算目標函數對決策變數的導數即梯度，因此，該方法又被稱為梯度法，在目標函數很復雜，而且為非線性時，結果往往會陷於一個局部最優解而不能識別全局最優解。
3.4.7.2 全局優化方法
主要以啟發式搜索技術為根據的一類優化方法，包括模擬退火法、遺傳演算法、禁忌搜索法、人工神經網路法、外圍近似法等，這些方法有識別全局或接近全局范圍內最優解的能力。全局優化法能夠模仿一定的自然系統，通常計算量很大。本書主要介紹4種現階段應用廣泛發展較為迅速的優化演算法。
遺傳演算法（Genetic Algorithms，GA）是一類借鑒生物界自然選擇（Natural Selection）和自然遺傳機制的隨機搜索演算法（Random Searching Algorithms），求解問題一般包括編碼、計算適應度、選擇、交叉、變異、循環回到計算適應度，反復進行直到滿足終止條件。該演算法是處理一般非線性數學模型優化的一類新的優化方法，對模型是否線性、連續、可微等不作限制，也較少受優化變數數目和約束條件的束縛，其本質是一種高效、並行、全局搜索的方法，能在搜索過程中自動獲取和積累相關搜索空間的知識，並自適應地控制搜索過程以求得最優解。目前已廣泛用於函數優化、參數辨識、機器學習、神經網路訓練、結構設計和模糊邏輯系統等方面。常用的GA計算程序有MGO（Molar Groundwater Optimizer），模塊化地下水優化程序，該程序是地下水水質管理的通用優化模型。將水流和遷移模擬程序與遺傳演算法相結合，能適應非線性復雜目標函數，能夠處理水頭、梯度、水流以及濃度等約束條件。SOMOS程序，實現了包括遺傳演算法和人工神經網路的優化演算法，能處理經濟、環境以及地下水管理體積等問題，同時SOMOS可以將MODFLOW和MT3DMS作為模型的組成部分進行運算。但是目前遺傳演算法的應用還存在明顯的不足，主要表現為以下幾點：
1）GA的演算法設計和關鍵控制參數選擇對優化性能的影響明顯，直接影響演算法的搜索效率和優化性能，甚至導致「早熟」收斂；
2）參數識別研究中的編碼方案以二進制編碼為主，計算量和存儲量大。
人工神經網路（Artificial Neural Network，ANN）是由大量神經元通過極其豐富和完善的聯結而構成的自適應非線性動態系統，它使用大量簡單的相連的人工神經元來模仿生物神經網路的能力，從外界環境或其他神經元獲得資訊，同時加以簡單的運算，將結果輸出到外界或其他人工神經元。神經網路在輸入資訊的影響下進入一定狀態，由於神經元之間相互聯系以及神經元本身的動力學特性，這種外界刺激的興奮模式會自動地迅速演變成新的平衡狀態。人工神經網路是一種計算系統，包括軟體與硬體，它使用大量簡單相連的人工神經元來模仿生物神經網路的能力。人工神經網路是生物神經元的簡單模擬，它從外界環境或者其他神經元取得資訊，同時加以非常簡單的運算，輸出其結果到外界環境或者其他人工神經元。人工神經網路系統反映了人腦功能的許多基本特性，但它並不是人腦神經系統的真實寫照，而只是對其作某種簡化、抽象和模擬，這也是當前的現實情況。是目前對人腦神經及其智能機理的研究水平所能做到的，對人腦智能機理的簡化、抽象和模擬是人工神經網路研究的基本出發點。
支持向量機是基於統計學理論的VC維理論和結構風險最小化原理而提出的一種新的機器學習方法。與傳統的神經網路學習方法相比，支持向量機從結構風險最小化原則出發，求解的是一個二次規劃問題而得到全局最優解，有效地解決了模型選擇與過學習問題、非線性和維數災難以及局部極小等問題，在解決小樣本、非線性、高維模式識別問題中表現出許多特有的優勢。
模擬退火演算法是對固體退火過程的模擬。在金屬熱加工工藝中，將金屬材料加熱到某一高溫狀態後，讓其慢慢冷卻，隨著溫度的降低，物質的能量將逐漸趨近於一個較低的狀態，並最終達到某種平衡。模擬退火演算法是基於金屬退火的機理而建立的一種全局最優化方法，它能夠以隨機搜索技術從概率的意義上找出目標函數的全局最小點。模擬退火演算法的主要缺點是解的質量與求解時間之間存在矛盾，該演算法對於多應力期模型和大量水文地質參數的反演，收斂緩慢，得不到滿意的結果。