cnk演算法

❶ 冷凝組合公式原理

原理：用排列公式證明，從n個互不相同的小球中取出k個的所有取法數就是組合數，把每種組合進行全排列，把所有組合的排列數加起來就是從n個中取出k個的排列數。

從而排列數就等於組合數乘每種組合的全排列數，用公式就是：Ank=Cnk*k！而組合Cnk=Ank/k！證畢，排列數Ank的計算方法是很容易得出來的，只用一個一個取小球，把每次的取法乘起來就行了，全排列也可以同理得出。

定義及公式

排列的定義：從n個不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數,下同）個不同的元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數。

❷ 程序員的數學-讀書筆記

計數法分為 按位計數法 和 羅馬計數法
按位計數法常用的有2進制、8進制、10進制、16進制等幾種。

理論上多少進制在數學上都可以存在，瑪雅人用20進制，巴比倫人用10進制和60進制的混合計數法。瑪雅人20進制可能是和手腳趾加起來的數量有關。巴比倫人採用60進制也可能是因為記錄數字的黏土版比較難記錄文字記號，為了在大數的書寫上少佔位便採用了60進制。
從這一點來看，環境對文明和文化的形成真的是有決定性的影響。假如巴比倫人掌握了造紙術或者在竹子上書寫文字的話，60進制這種違反人類天性的計數方法一定不會出現。話說，漢莫拉比法典就是寫在黑色的玄武岩上的。能夠記錄的文字也就屈指可數吧。

作者提到了其實人也是可以採用2進制計數法的，可是同樣大小的數字用2進制書寫起來位數太多，一來書寫不方便，二來計算時易發生馬虎出現錯誤。而10進制的數天生就是順應人類人性的，即使是幼兒也可以通過數手指頭的方式來計數。
相反對於計算機的物理構造來講，0代表開關斷開，1代表開關連接，這種二極體的物理限制正好決定了計算機較為適用2進制。不過如果你想做出一個10進制的計算機也不是沒有可能的。

這一章比較有趣的是羅馬計數法，我以前也沒有接觸過超過20的羅馬數字，也不知道羅馬數字各個數位上的數字相加之和為數字本身所代表的量。例如：

反觀阿拉伯數字

由此引發作者在兩個程序領域上的思考：

關鍵詞：真值表、文氏圖、邏輯表達式、卡諾圖、三值邏輯、完整性、排他性

- 能夠判斷對錯的陳述句叫做命題（proposition）

邏輯非 --不是A

逆命題

逆否命題

德摩根定律

卡諾圖 （二燈游戲、三燈游戲引出）

未定義邏輯（undefined）

三值邏輯的德摩根定律

本章探討的是通過余數來解決存在規律、周期性的問題。通過規律和周期性的重復，將大問題簡化成容易解決的小問題。

首先作者通過解決星期幾問題，引入了余數的思考概念。

上面的問題在 大問題通過余數規律簡化為小問題 這個方法上表現的還不明顯，於是引入了第三個問題：1234567^7654321的個位數是多少。

以上三個問題是小學奧賽便涉及到的問題，然而其思想在解決真實面對的復雜問題或具象的實際問題時卻很好用。

將一個數字除以2，他的余數應該為0或者1二者之一。我們也可以叫 奇偶問題 。
書中有幾個案例：

這樣分析過來就很好解決七橋問題，確定每個點所連接的橋的點數，與上述結論做對比。
A點為3，B點為，C點為3，D點為3.
由此可以得出七橋問題不可能實現。這個問題的解決也是通過奇偶性來解決的。

作者舉了高斯求和的故事來講如何用數學歸納法來解決無窮數列的求和問題。
兩個小例子便是從0開始到N的和，以及1開始的奇數和。

數學歸納法 是證明[ 有關整數的斷言對於0以上的所有整數（0,1,2...）是否成立 ]所用的方法。
證明方法歸結為兩歩：

根據上述方法，假若某個假設成立，那麼P(0)成立，因為P(0)成立，所以P(0+1)即P(1)也成立。反復如此，對於無窮數列遵守這個規律的證明，就像多米諾骨牌，推到第一個，後面的都會按照第一個的規則倒下去。

然而要避免整個證明出錯，就要重視第二個步驟，也就是歸納。歸納在證明時一定要考慮 是否在所有定義條件下均成立 ，尤其要注意的是在P(0)的條件下是否實現。

課後對話很有意思：

計數是人類每天生活都要運用的方法。
計數的關鍵就在於 注意「遺漏」和「重復」
例如：

綜上，在計數時要發現事物的規則。
要 認清計數對象的本質
要 認清計數對象的本質
要 認清計數對象的本質
重要的事情說三遍。

將計數對象進行 歸納總結 ，使其作為普通規則來掌握。這樣一般不容易出錯。

接下來，作者在 加法法則 里寫到：

乘法法則 的概念比較有意思。

接下來，本章提到了置換、排列、組合3個概念。以下是幾個小例子。

最後提到的 重復組合 里的思考問題比較有趣。

解答的思想是：

這是一種典型的將復雜問題簡單化，並規律化的解答方法。

最後還是要強調下：
要 認清計數對象的本質

遞歸與歸納的區別

歸納（inctive） 是從個別性前提推出一般性結論。

本質上都是 將復雜問題簡化 ，但方向不同。
個人理解是

遞歸是發現第n項和前一兩項之間的關系，實證確定後，往回不斷遞推的一種個別性結論。
即這個結論不是在n為任何自然數時都成立的。需要注意n為0和1的兩項。

通過遞歸解決問題的線路是： 找到遞歸結構——建立遞推公式——找到解析式（只帶n的式子） ，如果不能以解析式的方式描述遞歸結構，也可以用遞推公式的方法描述。如下圖所示的漢諾塔的遞推公式：（它也可以描述成解析式的方式）

歸納所謂的個別性前提是指

斐波那契數列就是運用了遞歸的思想。通過研究和思考復雜問題，抓住事務本質，得到f(n)=f(n-1)+f(n-2)

所以當我們想要用遞歸的方法解決問題時，注意思考第n元素與前後元素的關系。由一個點推開，成一條貫穿始終的線。

利用帕斯卡三角形來研究Cnk=Cn-1(k-1) + Cn-1k的思考方式另闢蹊徑。將兩個加數假設成組合問題里含一個元素和不含那個元素的兩個情況。從而證明了式子。利用的便是組合的數學分析法。（這句話組合的意思不是數學意義上的）。

所以以上將復雜問題簡化的方法是遞歸解法之一，是為了在復雜問題中找到隱含的遞歸結構。其思路是：

通過思考一張1mm的紙，折多少次能夠有地月距離那麼厚，作者引出指數的概念。

這一章的內容比較簡單，對於 指數爆炸 大家應該都不陌生。而 對數 估計也很熟悉。之前接觸到的漢諾塔問題的解析式和斐波那契數列都屬於指數的范疇。

然而在解決 測試所有設定選項的程序時，檢查次數也是一個指數問題 。所以我們應該如何輕松的解決這類問題呢？

利用二分法查找

利用二分法，先詢問最中間的人，如果在左邊，就繼續在左邊的范圍內重復此項方法，直到找到罪犯。這便被稱為 2分法 。他和漢諾塔的解析式如出一轍，可以利用指數原理經過很少的步驟便可找到目標。

二分法本身也是 遞歸結構 ，經過n次詢問，可以在2^n-1人中確定目標。每判斷一次就可以查找近一半的對象。
二分法需要注意的是，所有元素一定要 按順序排列 ，這點至關重要。

指數思想也被用於加密的實現中。因為每多加密一位，暴力破解就需要指數次的運算能力的提升。原則上有限時間里根本不可能破解。指數以其數字的巨大增長能力在加密領域有基本性的作用。

對於指數問題的解決方法，主要有4種，但均不太容易應付規模大的數字。

作為指數函數的逆函數，文章涉及了對數。同時也簡單介紹了古代科學家用過的計算尺。

無窮可以分為 可數無窮 和 不可數無窮 。
所謂 可數無窮 是指 可以按照一定的規律或者表達方式來表達 。
即集合中所有元素都與正整數一一對應。如果每一個元素都可以與1.2.3....等數字對應，也就是說可以按規律表達出來就是可數無窮。
例如：

所以有不可數的集合嗎？
此時運用到了 對角論證法 和 反證法（也叫歸謬法）
假設我們要證明 所有整數數列的集合是不可數的 ，那麼反證就是 假設所有整數數列的集合是可數的 ，此處是運用的反證法。
現在我們按下圖的方式來列出所有整數數列，編號為k的整數列在表的k行。

如果按照圖中第k行的第k個元素ak單獨組出一組數列{a1,a2,a3......}的話，他也是應該包含在所有整數數列里的，然而並沒有，他是游離在所有整數數列之外的。此處得出矛盾，說明命題錯誤，命題 所有整數數列的集合是不可數的 為真。此方法被稱為 對角論證法
除此之外
-所有實數的集合是不可數的
-所有函數的集合也是不可數的

隨後書中討論到了不可解的問題
對於不可解的問題的定義是

事實上，不能寫成程序的函數是存在的。
有些函數不能用文字表達，而且要寫成程序的函數必須 嚴謹定義確切和文字表達 兩個概念。

停機問題
不可解問題的一例。定義是

有限時間並不指時間長短，而是指無論耗時多長，只要能有終止的一刻就好。
事實上，程序本身並不能判斷某一程序是否可以在有限時間內結束運行
所以停機問題也是 不可解問題 之一。

這一章是對之前8章的回顧和總結。

前幾章作者分別對 0的意義、邏輯、余數、數學歸納、排列組合、遞歸、指數爆炸、不可解問題 進行了簡單的介紹和探討。其實所有的章節最後都是在引領讀者產生如何解決問題的思考。

1.認清模式，進行抽象化

2.由不擅長催生出的智慧

3.幻想法則

本書比較適合作為第一本接觸演算法的書籍。目前開始在上 Khan的Algorithms ，9月份跟上 coursera的Algorithms Part I 的開課。

前方的路註定不好走，但是要慢慢嘗試和堅持。

❸ 硬幣概率問題

大家說得都不對，第一次投正面的幾率為50%。

然後如果第一次投背面，要想在達到終點就要連續投三次正面，這樣投四次要想第一次背面，第二次，第三次，第四次都是正面的機會率是6.25%，所以這兩次都能達到終點的機率為56.25%。

但是如果第二三四次中有一次是反面，那麼我們就需要在第五六七次都拋出正面，也就是說在投7次中，第一次是背面後，第二三四次中任何一次也是背面，其餘全部是正面，這樣的幾率是3/128=2.34%。總體幾率就是58.6%。

以後的以此類推，1次反需要2+1次正，2次反需要4+1次正，3次反需要6+1次正，4次反需要8+1次正。。。如果這么計算還是很容易，但是有一個拋出反面的分布問題，比如2次反5次正必須是第一次反，和第2，3，4次中有一次反。我列出以下投10次可以可以達到終點的概率演算法：1/2+1/16+3/128+12/1024=59%

後面的自己算吧。

感謝鐵砣陳， 給我提醒，最後鐵托陳給出最後的正確答案是黃金比例點，也就是61.8%。個人感覺很靠譜的數字。

❹ (x+y)^n的展開公式

(x+y)^n=x^n+C(n,1)*x^(n-1)*y+C(n,2)*x^(n-2)*y^2+.....+C(n,n)*y^n。

解：根據二項式定理，

其中(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)=C(n,k)。

所以(x+y)^n的展開式為，

(x+y)^n=C(n,0)*x^n*y^0+C(n,1)*x^(n-1)*y^1+C(n,2)*x^(n-2)*y^2+...+C(n,k)*x^(n-k)*y^k+...+C(n,n)*x^(n-n)*y^n

即(x+y)^n=x^n+C(n,1)x^(n-1)y+C(n,2)x^(n-2)y²+.....+C(n,n)y^n。

(4)cnk演算法擴展閱讀：

二項式定理的驗證推導

當n=1時，則(a+b)^1=C(1,0)*a^1*b^0+C(1,1)*a^0*b^1=a+b。

假設二項展開式在n=m時成立。

設n=m+1，則有，

(a+b)^(m+1)=a*(a+b)^m+b*(a+b)^m

=a*(a^n+C(m,1)a^(m-1)b+.....+C(m,m)b^m)+b*(a^m+C(m,1)a^(m-1)*b+.....+C(m,m)b^m)

=a^(m+1)+C(m,1)a^m*b+.....+C(m,m)a*b^m+a^m*b+C(m,1)a^(m-1)b^2+.....+C(m,m)b^(m+1)

=C(m+1,0)*a^(m+1)+C(m+1,1)*a^m*b+C(m+1,2)*a^(m-1)*b^2+...+C(m+1,m)*a*b^n+C(m+1,m+1)b^(m+1)

因此可推知(a+b)^n=a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+.....+C(n,n)*b^n。

參考資料來源：網路-二項式定理

❺ paperpass檢查是30%,知網會是多少

這個沒有確切答案，因為數據是不固定的。

PaperPass查重比知網高多少，PaperPass和知網重復率差多少，這個很難說，其實是不一樣的。有的時候知網高，有的時候PaperPass高。但是毋庸置疑，學校最後檢測用的才是最好的。很多同學會問「paperpass30%知網多少」,再或者「paperpass查重20%知網多少」；

其實更多的是「PaperPass查重30%知網多少」。因為30%是個臨界點，很多學生都比較關心。PaperPass和知網查重差別多少很難確定，只能作為參考，具體原因如下：

1、查重語種

中國知網cnk：可以檢測中英文，而PaperPass：只檢測中文。

2、查重演算法

知網cnki：以13字左右為單位檢測的，外加系統自動識別功能。而PaperPass是以句子為最小單位檢測的。

3、准確權威程度

中國知網cnki：中國知識基礎設施工程（China National Knowledge Infrastructure）。CNKI工程是以實現全社會知識資源傳播共享與增值利用為目標的信息化建設項目，由清華大學、清華同方發起，始建於1999年6月。是公認的中國最權威的學術不端檢測系統。

paperpass是以句為單位

如果只是無關的橙色和概念重復的話，知網更低一般是個位數，如果是整段抄襲後簡單降重知網會更高。paperpass是以句為單位，一句內出現相同幾個詞就認為抄襲，短句就很明顯。

總而言之，具體哪個高是無法確定的。只能根據經驗提供一些參考性的分析而已。毋庸置疑的只有學校最後檢測用的才是最好的。

❻ 數學難題

數碼相機定位（數學建模） 我們組的答案，文章中的有些公式復制不上，大家就湊和這看吧，呵呵

數碼相機定位

【摘要】 雙目測試法的數碼相機定位，精度准確的關鍵在於對相機內外參數的標定[1]。在不考慮切向畸和變徑向畸變的前提下建立理想的針孔成像模型，通過基於Sobel運算元圖像的邊緣檢測法確定靶標上偏移以後的象上成像邊緣在平面中的坐標，然後根據基於隨機Hough變換的圖形檢測法確定成像上的靶標的圓心的坐標，採用傳統的線性法求出相機參數初值，再用最小二乘法進行線性擬合優化初值，利用投影成像的幾何關系容易得出要特徵點在相機坐標系的坐標，進而求出相機的相對位置。

【關鍵詞】雙目測試 相機標定 線性法 靶標定位最小二乘法 Sobel運算元邊緣檢測 隨機Hough變換

一、 模型的基本假設與符號說明

1.模型的基本假設：

（1）假設拍攝時光線正常。

（2）假設 , 位於圖像中心[2]

（3）假設成像過程嚴格遵守針孔成像模型無幾何畸變

（4）假設實體靶標平面平行與世界坐標系的Ow-XwYw即 =0

2.符號說明：

（1） 以實物的固定點為原點建立世界坐標系Ow-XwYwZw。

（2） Pw表示實物上的觀測點。

（3） 以O為原點建立以像素為單位的像平面的坐標系O-UV。

（4） 以主光軸和像平面的交點為原點建立以mm為單位的像平面物理坐標系O1-XY。

（5） Pd 為實際在像平面上的影像。

（6） 以相機的固定點為原點建立相機的坐標系Oc-XcYcZc.

二、 模型的建立

1.相機成像模型

相機的成像過程可以用傳統的針孔成像模型來模擬，那麼建立模型如圖1所示包含世界坐標系Ow-XwYwZw、相機坐標系Oc-XcYcZc、像平面坐標系O-UV(像素單位)、像平面物理坐標系O1-XY(毫米單位)。Pw(Xw,Yw,Zw) 為世界坐標系中點Pw的坐標，Pc (Xc,Yc,Zc)為同一點在相機坐標系下的坐標, Pu(u,v)為理想針孔模型下Pw的像點坐標, Pu(x,y)則為理想情況下的像平面物理坐標。

圖1-1

1.1針孔成像模型

根據針孔成像原理，世界坐標點Pw(Xw,Yw,Zw)到理想坐標點Pu(u,v)的齊次變換如下：

= (1-1)

其中A為內參矩陣，[R T]為相機外參矩陣，和T分別為平板相對相機的旋轉矩陣和平移矩陣。定義如下[3]：

, ，

其中 , 分別分別表示在x方向和y方向上像點的物理坐標到圖像坐標的比例系數， 、 表示主光軸與像平面交點的圖像坐標。設世界坐標系的0-XY面平行於平板，則 =0，代入公式(1-1)式可得：

(1-2)

進一步消去s即可得到理想針孔成像的數學模型：

(1-3)

而實際像點物理坐標 到實際像點 的關系如下：

(1-4)

那麼由公式(1-3)、(1-4)可得理想像點的物理坐標與世界坐標之間的關系：

(1-5)

2.相機標定模型

從實際成像模型可以看出需要標定的有6個外部參數，即旋轉矩陣中反映的繞3個坐標軸的旋轉角以及平移矩陣中沿3個坐標軸方向的位移，4個內部參數，即 、 , 。這里採用逐步推導求解的方法。

2.1投影矩陣模型

根據題意可知 在圖像中心，所以選擇其為初值，由公式(1-2)可得

(1-6)

那麼可以設投影矩陣

(1-7)

則(1-9)可以重寫為

(1-8)

將(1-8)消去 ，移項整理得

(1-9)

其中 T

每組像點與世界坐標點可以確定一個方程組，8組對應點則可求出未知參數 ，而圖像坐標的取值存在誤差，實際標定點應該多於8個，然後統計結果用正態分布來獲取最接近實際值的結果。

2.2轉換矩陣模型(外部參數)

先利用旋轉矩陣R的正交性，通過變換可得

然後便可根據(1-7)求出旋轉矩陣R和平移矩陣T。

2.3內部參數模型

根據轉換矩陣模型可計算出 ，則由消去S的理想針孔成像模型(1-3)解得 。

3.求取成像坐標的模型的建立

依據圖像處理演算法得到的圖象二值化、高通濾波、Sobel邊緣運算元的處理結果，再用Sobel運算元進行處理後，又對它進行了二值化處理，最終得到了成像邊緣上的一個點在成像平面上的坐標，把坐標值D[0][0]存放到數組D[m][n]中。如此重復有限次，獲得圖象邊緣上的足夠多的點，並把點的坐標值D[i][j]保存到數組D[m][n]中。在數組D[m][n]中任意取三點D[X1][Y1]、D[X2][Y2]、D[X3][Y3]根據基於隨機Hough變換為基礎直接提取橢圓的技術獲取橢圓的重心這個重心就是實際圖像對應的靶標Pd

3.1圖像邊緣檢測

採用邊緣檢測來在實際的成像中取出任意多個份額有效的點常用的邊緣檢測運算元有五種（梯度演算法、Prewitt，Sobel，Roberts，Robins．Mar-Hildret等）在這里主要採用梯度運算元，其優點是簡單有效。

3.1.1邊緣檢測演算法的基本步驟：

1)濾波：改善與雜訊有關的邊緣檢測器的性能；一般濾波器降導

致了邊緣的損失；增強邊緣和降低雜訊之間需要折衷。

2)增強：將鄰域強度值有顯著變化的點突顯出來，邊緣增強一般

是通過計算梯度幅值來完成的。

3)檢測：最簡單的邊緣檢測判據是梯度幅值閥值。

4)定位：邊緣的位置和方位在子像素解析度上估計，在平面坐標系中確定實際成像點的坐標。

3.2定理公式的整理

Sobel運算元是一種一階微分運算元，它利用像素鄰近區域的梯度值來計算1個像素的梯度，然後根據一定的閾值來取捨。它由下式給出：

M= (2)

其中的偏導數用下式計算

Sx=(a2+ca3+a4)-(a0+cd7+a6)

Sy=(a0+ca1+a2)+(a6+ca5+a4)

其中常熟c=2。Sx、Sy+可用卷積模板來實現，如下圖：

-1
0
1

Sx=
-2
0
2

-1
0
1

(圖3-1 卷積模板x)

1
2
1

Sy=
0
0
0

-1
-2
-1

(圖3-2 卷積模板y)

圖像中的每個點都用這兩個模板做卷積。一個模板對通常的

垂直邊緣響應最大．而另一個對水平邊緣響應最大。兩個卷積的最大值作為該點的輸出值。運算結果是1幅邊緣幅度圖像。此運算元對灰度漸變雜訊較多的圖像處理得較好

a0
A1
A2

A7
[i.j]
A3

A6
A5
A4

(圖3-3 際對應的坐標)

對於平面中不規則圖形可以用以及差分代替一階微分

求梯度時對於平方和運算及開方運算，可以用兩個分量的

絕對值之和表示，即：

Sobel梯度運算元是先做成加權平均，再微分，然後求梯度，即：

G[f(x,y)]=|Δxf(x,y) |+|Δyf(x,y) |

上述各式中像素之間的關系見下圖：

f(x-1,y-1)
f(x,y-1)
F(x+1,y_1)

f(x-1,y)
f(x,y)
f(x+1,y)

f(x-1,y+1)
f(x,y+1)
f(x+1,y+1)

(圖3-4 像素關系表)

3.3.基於隨機Hough變換的橢圓型檢測法求橢圓中心模型

演算法簡要描述如下:設D為圖像空間的邊緣點集;P為參數空間的參數單元集，是動態鏈表結構。從D中隨機采樣5點，計算這5點所確定的二次曲線參數P，看是否存在一參數PC和P的誤差在容許范圍之內。若有，則將參數單元PC的計數值score加1並將參數單元PC更新;若沒有，則在P中插入新的參數單元P。當參數單元PC的計數值score達到指定閡值Nt(它是一個很小的數，例如2, 3)時，該參數對應的橢圓成為候選橢圓，判斷該候選橢圓是否為真實橢圓，若是，則說明已檢測到了一個橢圓，將落在該橢圓上的點從D中去掉，並釋放P中所有參數單元佔用的內存，然後繼續檢測下一個橢圓;否則，說明該侯選的橢圓為虛假橢圓，從P中去掉該參數單元，繼續檢測。

4.1具體標定的過程

二次曲線在空間坐標系中的表示：

Ax2+Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 （4-1）

其中(x,y)為圖像控制項的坐標，A、B、C、D、E、F是二次曲線的參數，其中F是自由參數。

B2-AC<0 (4-2)

B2-AC<0且A=C (4-3)

若A、B、C滿足(1-2)二次曲線為橢圓，若A, B, C滿足(1-3)則二次曲線為圓。

將隨機Hough變換(RHT)直接用於橢圓檢測時，需隨機采樣5個點，由方程(1-1)得5個方程，由它們構成關於參數的線形方程組，對其進行求解，若有解且該解滿足式（1-1），則對該解（也就是求得的參數)進行累積。

4.2橢圓中心提取方法

本演算法是利用由橢圓的極點一極線性質開發的三點組到橢圓參數的收斂映射，是一個以隨機Hough變換為基礎直接提取橢圓的技術。

橢圓的基本性質

定義:若橢圓上的任意兩點P和Q的切線交於點N，則稱這兩點間的連線PN為點A所對應的極線，點A為弦PN所對應的極點，三角形APN為橢圓的極三角形。如下圖所示：

（圖 3-5 橢圓中心的確定示意圖）

性質1:如圖3-5所示，極點A、極線P口的中點E與橢圓中心。共線。

性質2:如圖3-5所示，若點D為射線OA與弧PN的交點，則過點D的切線平行

性質3：如圖3-5所示，若三點組K, P和N在橢圓上，則此三點組所對應的3個極三角形APN, BPK, CNK的極線邊PN, KP,NK上的中線延長線必共點於橢圓的中心Oo

利用橢圓方程和橢圓的極點一極線性質可推導出橢圓點的方向和中心位置所應滿足的約束條件。這樣，就可以確定橢圓中心位置。即靶標象Pu的坐標。

在圖像上（如下圖3-6）根據上述的「求取成像坐標的模型的建立」利用邊緣取點法，求取有限組點坐標數據記錄到無窮大的一個二維數組D[i][j]記錄到下表中

（圖3-6 成像照片上的一個變形後的形狀）

A'
B'
C'
D'
E'

X坐標
Y坐標
X坐標
Y坐標
X坐標
Y坐標
X坐標
Y坐標
X坐標
Y坐標

102.8
56.9
137.4
61.3
212.8
77.1
87.0
178.8
192.8
180.1

103.6
56.6
139.3
59.4
215.2
68.8
87.4
173.4
198.3
170.2

107.2
54.9
148.7
55.6
220.4
63.8
94.7
106.7
202.5
167.4

112.7
52.5
155.1
57.4
229.2
69.7
99.4
164.9
215.8
169.6

118.0
52.9
162.1
64.3
233.6
64.5
105.7
165.7
216.9
177.3

120.5
53.9
160.8
76.3
238.4
72.7
109.6
167.5
213.2
184.3

126.1
72.6
155.2
81.4
235.2
82.1
112.4
170.0
207.8
188.6

126.8
71.5
151.5
83.1
228.7
87.6
114.1
173.7
202.3
189.2

115.9
81.1
140.1
79.8
223.0
88.5
112.7
180.9
197.6
186.8

108.1
80.1
139.6
79.6
215.3
84.9
108.9
185.1
193.6
182.3

102.8
76.1
136.7
75.5
213.6
82.3
93.3
188.3
192.7
177.9

112.1
65.4
145.3
64.2
220.1
72.1
102.3
179.2
205.1
179.6

113.4
66.8
148.6
69.3
225.4
75.2
100.1
176.9
205.5
177.3

（表3-7 實際測量數據）

然後根據上述的「基於隨機Hough變換的橢圓型檢測法求橢圓中心模型」確定不規則圖形的中心。分別如下：

推算的靶標象的坐標
靶標象對應的坐標

X坐標
Y坐標
X坐標
Y坐標

A'
112.1
65.4
113.4
66.8

B'
145.3
64.2
148.6
69.3

C'
220.1
72.1
225.4
75.2

D'
102.3
179.2
100.1
176.9

E'
205.1
179.6
205.5
177.3

(表3-8 實際靶標的位置和計算的到的靶標 )

4.求兩相機距離d的模型

4.1求平面夾角

（圖4-1 兩平面夾角）

如上圖4-1所示：在以左相機為基準的空間坐標系中原圖象所在的平面可以通過世界坐標系和基準坐標系的轉換公式(1-3)得到其在基準坐標系中的平面表示公式：

(4-1)

即上圖中的CDEF平面在基準坐標系中的表示

又由於平面ABCD和基準平面的xy平面相平行，故平面ABCD的坐標表示也可以求出設其表示公式如下：

（4-2）

應為兩平面無限延伸會得到一個交線（假設不是在特設的情況下兩平面）通過公式()和公式()可以求出一條交線CD在空間坐標系中的表示，其公式表示：

下面利用空間點到直線的距離即圖中直線O』Oc』和直線OO』的距離。在由點Oc點O、點O』構成的三角形平面中直線O』Oc』、 直線OO』和直線OOc的三角形中根據餘弦定理知道角∠OO』Oc的角度即兩個平面平面ABCD和平面CDEF間的面夾角。

4.2

(圖4-2 求取d的示意圖))

圖中點說明：（此圖為從整個空間上方的俯視圖）

Oc：左側相機的光學中心即三維原點

Oc』：右側相機的三維原點

O: 實際物體所在三位坐標的原點該點在平面ABCD中

Pu: 左面相機理想成像點

Pu』: 右面相機理想點成像

直線OO』：Oc和Oc』在平面ABCD中的投影

平面ABCD: 空間俯視後對原圖象的平面

通過點Pu向原圖象ABCD做垂線，在直角三角形P』PuO和平面ABCD的三垂線定理計算出O』』O與OcO的夾角∠O』』OOc.同理可以求出∠O』OOc』，則根據平角定理可以求出∠OcOoC』：

∠OcOoC』=Л-∠O』OOc』-∠O』』OOc

在三角形O』OOc』中已經知道兩邊和兩邊夾角利用餘弦定理可以求得相機的相對位置d：

三、 模型的求解

1. 相機成像模型和相機標定模型的求解

求解針孔成像模型必然要先進行相機內外參數的標定即相機標定模型。在引入先前的假設 在圖像中心後求的投影矩陣，通過投影矩陣D分離其參數可以簡化計算。然後根據多組對應點利用公式(9)即可求得D的參數。這里假設世界坐標的原點為靶標的中心(即正方形中心),則可得對應點的結果：

A
C
D
E

X坐標
Y坐標
X坐標
Y坐標
X坐標
Y坐標
X坐標
Y坐標

世界坐標系的坐標
-50
50
50
50
50
-50
-50
-50

像平面的坐標
113.4
66.8
225.4
75.2
100.1
176.9
205.5
177.3

用MATLAB求得

在利用投影矩陣的變換求得 後，便可通過(7)來求得轉換矩陣 ，進而由(1-3)求出 。

2.成像坐標模型的求解

3.兩相機距離d模型的求解

四、 模型檢驗方法和評價

五、 參考文獻

[1]馬頌德，張正友．《計算機視覺——計算理論與演算法基礎[M]》．北京：科學出版社，1998

[2] 毛劍飛 鄒細勇 諸靜. 改進的平面模板兩步法標定攝像機 中國圖象圖形學報：A輯.2004,9(7).-846-852

[3]Heikkila J．Geometric camera calibration using Circular control

points l-J]．IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，2000，22(10)：1066～ 1077．

Tag標簽: 數學建模,數碼相機定位,雙面定位

❼ 求賈憲三角的通項公式或規律，謝謝

通項公式是二項式定理

在我國被稱為「賈憲三角」或「楊輝三角」，一般認為是北宋數學家賈憲所首創。它記載於楊輝的《詳解九章演算法》(1261)之中。在阿拉伯數學家卡西的著作《算術之鑰》(1427)中也給出了一個二項式定理系數表，他所用的計算方法與賈憲的完全相同。在歐洲，德國數學家阿皮安努斯在他1527年出版的算術書的封面上刻有此圖。但一般卻稱之為「帕斯卡三角形」，因為帕斯卡在1654年也發現了這個結果。無論如何，二項式定理的發現，在我國比在歐洲至少要早300年。

（1）二項式定理
(a+b)n=cn0an+cn1an-1b+…+cnran-rbr+…+cnnbn（這里的顯示有點出路，相信你能看懂），其中r=0,1,2,……，n，n∈N.
其展開式的通項是：
Tr+1=cnran-rbr(r=0,1,…n),
其展開式的二項式余數是：cnr(r=0,1,…n)
(2)二項式余數的性質
①其二項展開式中，與首末兩端等距離的二項式余數相等，即cnr=cnn-r(r=0,1,2…n) ②由 cnr≥cnr-1
cnr≥cn+1r
得(n－1)/2≤r≤(n＋1)/2
當n為偶數時，其展開式中央項是Tn/2＋1，其二項式余數cnn/2為最大；
當n為奇數時，其展開式中間兩項是T(n+1)/2＋1與T(n+1)/2＋1，其二項式系數cn(n-1)/2(或cn(n+1)/2)
為最大。
③相鄰兩項二項式系數的關系：cnr+1＝(n＋r)/(r＋1)cnr (r≤n，n∈N，r∈)
④二項展開式的所有二項式系數的和：cn0+cn1+cn2+…+cnn＝Zn,
⑤二項展開式中，奇數項的二項式系數之和等於偶數項的二項式系數之和：
cn0+cn2+cn4+…＝cn1+cn31+cn5+…＝2n-1

可能看起來有點亂，因為這里格式不對
告訴你一個圖片，你去看一下應該會明白的
http://www.pep.com.cn/gzwljxyj/jszx/qrzptgjzxjc/dzkb/decxb/200412/W020070327682373018833.jpg

❽ 排列組合cn和an公式

排列的公式：A（n，m）=n×（n-1）...（n-m+1）=n!/（n-m）!（n為下標，m為上標,以下同）。

例如：A（4，2）=4!/2!=4*3=12。

組合的公式：C（n，m）=P（n，m）/P（m，m） =n!/m!*（n-m）!。

例如：C（4，2）=4!/（2!*2!）=4*3/(2*1)=6。

加法原理和分類計數法

1、加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

2、第一類辦法的方法屬於集合A1，第二類辦法的方法屬於集合A2，……，第n類辦法的方法屬於集合An，那麼完成這件事的方法屬於集合A1UA2U…UAn。

3、分類的要求 ：每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同（即分類不重）；完成此任務的任何一種方法，都屬於某一類（即分類不漏）。

❾ 中國知網怎麼檢測重復率

在網路上搜索「中國學位學術不端文獻檢測系統-CNK查重入口」。