分形演算法樹

A. 什麼是分形樹

你好！

做植物模擬比較好的是L系統--構造分形的一種方法。
如果只是做棵分形樹的話，看點L系統的知識懂點編程足矣。
想研究樹的分形的話最好研究一下分形圖形學，圖論，拓撲學，L系統,IFS。有一個分形網站-----分形頻道，蠻出名的哦。裡面有分形入門。去看看吧！

PS：~你的採納是我前進的動力~~
O(∩_∩)O，互相幫助，祝你好運！O(∩_∩)O
————希望可以幫到您！覺得好就請點採納答案吧，你的採納是我的動力，謝謝！————

B. 2019622李善友公開課

本資料由混沌北京分社學霸 馮清揚&李敏同學 整理！

持續更新中……

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第一部分：進化論

從個體差異推導出遺傳變異，從生存競爭推導出自然選擇，遺傳變異和自然選擇共同推導出達爾文的第一性原理：進化論。

達爾文的根本思想：「存在沒有設計師的設計」。

變異+選擇=進化

生物自發地變異，自然自發地選擇，沒有上帝之手設計，自然自發形成最完美的設計。

基於簡單法則和反饋，計算機能夠自發進化出沒有人編寫的復雜程序，正如大自然能自發進化出復雜世界，整個過程不需要一個指手畫腳的設計師。

變異+選擇+隔離=進化

進化演算法特別適合用於以下三件事：

1.如何到達你想去卻找不到路的領域？

2.如何到達你無法想像的領域？

3.如何開辟全新領域？

進化演算法與創新思維：

1.變異：自下而上、多樣探索

2.選擇：一二曲線、自我破壞

3.隔離：錯位競爭、邊緣創新

進化演算法與創新思維：

1.變異——個體差異：自下而上、多樣探索

——企業需要有足夠豐富的多樣性，多樣性是創新的來源。

除非在系統中注入多樣性，否則內生增長將徹底消失。

進化演算法與創新思維：

2.選擇——生存競爭：一二曲線、自我破壞

有利於生存的變異會被選擇下來，不利於生存的變異會被淘汰，這就是自然選擇。

更為究竟的說：自然只會淘汰不利於生存的變異，有利於生存的變異被剩下來而不是被主動選擇。

創新的過程往往就是新組合對舊組合通過競爭熱加以消滅的過程。熊彼特把這一過程稱為「創造性破壞」。

市場經濟就是進化經濟，它的核心精神是：想生就生，該死就死

市場的創造性破壞，對於企業增長有什麼啟示呢？

答：將市場的創造性破壞模式引入到企業中去！

問題1:我們都希望第一曲線基業長青，但是任何曲線豆無法避免極限點，這時候怎麼辦？

答：一次又一次地跨越第二條曲線。

問題2:什麼時候啟動第二曲線？

答：第一曲線過了破局點；第一曲線還在增長，但增長加速度開始下降；deadline:第一曲線到達財務極限點之前。

問題3:如果第二曲線已經過了破局點，而且和第一曲線之間形成了競爭，該如何選擇？

答：創造性自我破壞。像市場淘汰過氣企業一樣，企業要破壞自己的過氣業務和產品。

在企業中，第二曲線終將超越第一曲線；正如在家庭中，兒子終將代替父親成為家裡的頂樑柱。

進化演算法與創新思維：

3.隔離：錯位競爭、邊緣創新

如果沒有隔離，在原有大種群之中，變異很快就被稀釋掉了。

地理隔離——生殖隔離——新物種

對於企業而言隔離的含義：

（1）內部：第一二曲線之間的隔離

對內：獨立小團隊

除非企業成立兩個彼此獨立的機構（從屬於不同的價值網），來應對新的機遇，發展第二曲線。

（2）外部：與在位巨頭的錯位競爭

對外：錯位競爭

與其更好，不如不同——減少競爭

在領先企業已經建立主導性優勢的環境中，任何類似產品都會淪為雞肋。

進化樹表現為不斷生出側枝得以發展。進化樹的主枝生長最終形成盲端，而生長出的側枝得以進一步演化，側枝又會長出新的側枝演化出新的生物。

企業的進化樹：

一條曲線上的指數式增長必將由於臨近奇點而崩塌，通過創新重啟增長曲線，實現曲線轉換，創新與曲線轉換的發生將越來越快。

第二部分：熵增理論

對今天所有人影響最大的人是牛頓（沒有之一），牛頓機械論世界觀：

邏輯奇點：慣性；引力

第一性原理：經典運動定律

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牛頓機械論世界觀：宇宙就是一台（封閉）機器。

封閉系統的熵隨著時間的推移不斷增加，且不可逆。任何封閉系統，最終的命運是死亡。

基於牛頓世界觀，科學管理把組織視為機器，把人視為機器的零件。傳統商業組織必然是封閉的、機械的、有邊界的，因此不得不面對「組織熵增」——渙散化、官僚化、失效化、並最終走向滅亡。

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生命系統是熵增的「特例」，生命以負熵為生。

[強]生命系統是開放系統（耗散結構）：具有不斷從外部環境吸收能量（陽光、食物等）和對外輸出熵（二氧化碳）的能力。

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相應地，去組織熵增的路徑：

①機械型組織（機器） 到 生物型組織（生命）

②控制 到 走出控制（out of control）

③熵增 到 反熵增

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反熵增案例：任正非

任正非及華為價值觀背後的思維——反熵增思維

1.任正非第一性原理

（1）年輕時：控制論+軍事思想=狼性文化

華為取得長達十年的高速發展。

2000年，機械論世界觀+狼文化開始對華為形成一定程度的反噬。

2001-2003，任正非的至暗時刻——閱讀和思考，是任正非走出黑暗最重要的依仗，他加速從西方管理學、科學、哲學中汲取養分。

（2）熱力學第二定律，猶如為任正非開了天眼。

死亡是一個哲學命題，而活下去則是一個現實命題。

前些年我把「活下去」作為華為的最低綱領，現在我終於明白，「活下去」是企業的最高綱領。

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2.反熵增實踐

任正非的反熵增：

耗散結構——優勢耗散，把自己的優勢耗散出去，把企業的優勢耗散出去

（1）財富耗散於人才

「炸開人才金字塔的塔尖」，提高人才濃度。

在華為的投入結構中，人力資本的投入處於優先的、超前的地位，是先有人力資本的投入才有財務資本的增長和高投資回報。

近三年，就有700多名世界頂級科學家加入華為。

例：5G極化碼發現者：埃爾多爾.艾利坎

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（2）財富耗散於技術

例：1993年的華為與聯想——現在這兩家公司成為對方應該成為的樣子，因為他們把錢花成了不同的樣子。

1998年頒布的《華為基本法》：我們保證按照銷售額的10%撥付研發經費。

華為過去十年累計研發投入近4000億人民幣。面向未來，華為將加大基礎研究投入，每年150-200億美元的研發費用中，20-30%將用於基礎研究。

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3.華為使命

華為近三年來的使命關鍵詞：連接（三個階段）

（1）管道連接

通訊連接：運營商管道業務，競爭對手是諾基亞、愛立信等

（2）雲管端

CT+IT連接：雲管端業務（雲計算、運營商管道、手機終端），競爭對手是蘋果、思科等。

（3）萬物連接

萬物連接：構建萬物互聯的智能世界。

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第三部分：分形創新

❔一個物種怎麼可能變成另外一個物種？

達爾文思想一個決定性的轉折：尺度變換

生存競爭的主角不是物種，而是同一物種之內的個體；遺傳變異的主角甚至不是生物個體，而是基因；基因變異的場景是個體之間的繁殖。

變異+選擇=進化（新物種）

達爾文：自然界無飛躍。

「創新無飛躍」

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第二曲線的產生方法

管理創新+市場選擇

跟生物學類比：管理=遺傳，創新=變異

第一曲線的某一個創新，被挑選出來，成長為第二曲線。

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分形創新的操作步驟

1.第一曲線要素拆解

2.組合創新內部MVP

3.市場選擇10倍速增長

4.單一要素最大化

5.成長為第二曲線

案例2:

【好未來的分形創新】

第一曲線：理科+教研+小班+線下

十年前在線下業務如日中天時，開始探索線上業務。

第二曲線：雙師模式的網校——學而思網校

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生物從細胞到生態，物種豐富多樣，但背後的規律卻非常簡潔優雅。

從生物視角看企業經濟系統：

Step1:變異與多樣

Step2:選擇與破壞

Step3:隔離與獨立

Step4:分形與新生

[強]案例3

【頭條的分形創新】

頭條第一曲線：今日頭條[機智]

新聞資訊時外衣，推薦引擎是內核。

Step1:變異與多樣：第一曲線探索分形

Step2:選擇與破壞：分形要素十倍變異

內容分形；

呈現形式分形；

分發分形：社交分發

分發分形：商品分發

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Step3:隔離與獨立，獨立環境隔離成長

每一個新產品立項，負責人就去三個部門挑人，分別負責留存、拉新和變現，臨時成立一個虛擬項目組。

若虛擬項目組表現不錯，再穩固為獨立團隊，進化為獨立公司。

以最小消耗建立最優路線的自然聚焦。

圖片: https://images.smcdn.cn/K5E2rZ4FqukEzXsk/15611869354774.jpgStep4:分形與新生，分形衍生第二曲線

變異+選擇+隔離=新物種=第二曲線

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【頭條第二曲線：抖音】

分形的關鍵是：有一個可遷移的自相似的同構性。

張一鳴：我覺得我們還是很專注的，其實他們都是一類產品。

張一鳴：這個時代也許是進化論的最好證明。

在全世界范圍內促進信息的創造（分形業務）和流動（主航道）。

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分形實際上是一門關於混沌的復雜性數學

李善友：分形是我個人的第一性原理

視頻：分形學（強烈推薦，同學們可以搜索看一下）

[嘿哈]

【分形演算法】

分形創新可以極大地緩解創業中的競爭和增長壓力。打破「增長魔咒」，打破」組織熵增「。

分形演算法逆熵的核心機制是：增加了維度。

常規戰略：平面思維，靜態思維（地盤之爭，你有我無）

分形創新：從二維穿透，增加了維度（同一尺度沒有空間，但從細分切口突破進去，無限空間！）

擊穿閾值點，一花一世界。

案例1:美團酒旅——本地住宿

✌案例2:拼多多——貨找人

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分形演算法，是一種創新哲學，也是一種過程哲學。

常規思維：未來是「一」。結果是目的，過程服務於結果。

過程哲學：當下是「一」。過程本身就是目的，結果反而不再重要。——活在當下

【分形演算法】

1.互指迭代。2.過程哲學。

案例：

喬布斯——」喬布斯深受禪的影響」。

讓生命服務於使命——一方面，他追尋個人精神世界的領悟；另一方面，他想要打造足以改變世界的產品。禪使他得以將這兩個目標融為一體：作出偉大的產品成為喬布斯獨特的禪修方式。

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第四部分：涌現創新

《復雜》一書中指出「隨著成員數目的增加，成員之間的相互作用呈指數增長，當連接度超過某一臨界值時引發涌現。」

✨涌現是一種特殊的分形。涌現，整體大於部分之和。

單個神經元的行為特別簡單，但無數神經元組合在一起，就涌現出思維和意識。

《失控》中指出「成千上萬條沙丁魚如一頭巨獸游動，破浪前行，它們如同一個整體，這種一致性從何而來？」

答案是涌現的層次性：大量個體合成了一個更高層次的新秩序。

重新定義什麼叫「涌現」：涌現就是出現新的超生命體。涌現就是生命。——「涌現論世界觀」，這是一種徹底告別物理學機械論的新世界觀。

自組織：大量個體基於簡單規則的相互作用，無需中央調控，就能涌現出整體上的新秩序。

自組織的關鍵特徵：同步性

魚群同步的簡單規則：

規則1:跟上前面的魚

規則2:與身邊的魚保持同步

規則3:與後面的魚保持距離

Boids魚群模擬軟體「博德三原則」

視頻名稱→【Boids模擬魚群】

機械繫統總是無法抵抗衰敗，生命系統總是可以不斷進化。

❔馮諾伊曼的革命性問題：生命有自組織，機器能否自復制？——尋找抵抗熵增定律的另類途徑

1957 年馮諾伊曼從數學上證明了：自復制機器原則上是可能的。

復雜性系統的理想模型：「元胞自動機」

✌視頻→【生命游戲】

三、信息流

同構性問題：進化是隨機的嗎？

答：第一步，產生可遺傳的變異，這一步具有偶然性。

第二步，對各種變異的自然選擇。——正反饋

正反饋是如何產生的？

答案：蟻群演算法——螞蟻自組織的兩種規則①集中行動②隨機探索

1.進化學：變異+選擇=進化

2.遺傳學：基因型決定表現型

生命遺傳的「中心法則」：

遺傳型：自指性（DNA是復制蛋白質的遺傳密碼，DNA也包含能夠復制自己的遺傳密碼）——第一性原理是自指性法則

遺傳型到表現型：單向性

破界創新：用第一性原理的推理方式去發現更大尺度的第一性原理（自指性）

為什麼螞蟻「眾愚成智」，而人類「眾智成愚」（烏合之眾）？

涌現的關鍵含義是：涌現就是生命！

涌現世界觀：把你做的事情當作一條命！一條真正的生命！

人類比動物多了小我，我們的世界產生了二元對立，我們認為我們做的事情是為「我」服務的。

使命涌現，人生隨之改變。

上半場：成功

下半場：意義+成功——這樣做不但人生有了幸福感，事業反而更成功。

案例1:「產品之神」喬布斯：蘋果的產品要有靈魂。

案例2:「壽司之神」小野二郎：（1）你必須愛自己的工作。（2）做壽司是奏交響樂。（3）職人精神，一生懸命。

✨「天命所歸的事兒」

1.喜歡的（心流）

2.擅長的（天賦）

3.有意義（至善）

一個組織里，如果能夠鼓勵每個成員去尋找自己的使命，個體使命與組織使命的同頻共振，就是涌現。

在一個涌現的組織里，創新將是自然而然的結果，自組織，自復制，自生長。

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C. 分形維數的計算方法有那些能具體說一下嗎

被譽為大自然的幾何學的分形（Fractal）理論，是現代數學的一個新分支，但其本質卻是一種新的世界觀和方法論。它與動力系統的混沌理論交叉結合，相輔相成。它承認世界的局部可能在一定條件下。過程中，在某一方面（形態，結構，信息，功能，時間，能量等）表現出與整體的相似性，它承認空間維數的變化既可以是離散的也可以是連續的，因而拓展了視野。 分形幾何的概念是美籍法國數學家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德國數學家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構造了處處連續但處處不可微的函數，集合論創始人康托（G.Cantor，德國數學家）構造了有許多奇異性質的三分康托集。1890年，義大利數學家皮亞諾（G.Peano）構造了填充空間的曲線。1904年，瑞典數學家科赫（H.von Koch）設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年，波蘭數學家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。1910年，德國數學家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質與量的研究，提出分數維概念。1928年布利干（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度應用於非整數維，由此能將螺線作很好的分類。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質和奇異集的分數維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻，從而產生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數概念。以後，這一領域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅們的工作只是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。二1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態時，發現了價格在大小尺度間的對稱性。同年在研究信號的傳輸誤差時，發現誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康托集排列。在對尼羅河水位和英國海岸線的數學分析中，發現類似規律。他總結自然界中很多現象從標度變換角度表現出的對稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴格定義可由相似映射給出。他認為，歐氏測度不能刻劃這類集的本質，轉向維數的研究，發現維數是尺度變換下的不變數，主張用維數來刻劃這類集合。1975年，曼德爾布羅特用法文出版了分形幾何第一部著作《分開：形狀、機遇和維數》。1977年該書再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德爾布羅特關於分形幾何的主要思想，它將分形定義為豪斯道夫維數嚴格大於其拓樸維數的集合，總結了根據自相似性計算實驗維數的方法，由於相似維數只對嚴格自相似這一小類集有意義，豪斯道夫維數雖然廣泛，但在很多情形下難以用計算方法求得，因此分形幾何的應用受到局限。1982年，曼德爾布羅特的新著《自然界的分形幾何》出版，將分形定義為局部以某種方式與整體相似的集，重新討論盒維數，它比豪斯道夫維數容易計算，但是稠密可列集盒維數與集所在空間維數相等。為避免這一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充維數，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普羅克西婭（I.Procaccia）提出根據觀測記錄的時間數據列直接計算動力系統吸引子維數的演算法。1985年，曼德爾布羅特提出並研究自然界中廣泛存在的自仿射集，它包括自相似集並可通過仿射映射嚴格定義。1982年德金（F.M.Dekking）研究遞歸集，這類分形集由迭代過程和嵌入方法生成，范圍更廣泛，但維數研究非常困難。德金獲得維數上界。1989年，鍾紅柳等人解決了德金猜想，確定了一大類遞歸集的維數。隨著分形理論的發展和維數計算方法的逐步提出與改進，1982年以後，分形理論逐漸在很多領域得到應用並越來越廣泛。建立簡便盛行的維數計算方法，以滿足應用發展的需要，還是一項艱巨的任務。 自然界中的分形，與概率統計、隨機過程關系密切。確定性的古典分形集加入隨機性，就會產生出隨機康托集、隨機科契曲線等各種隨機分形。1968年，曼德爾布羅特研究布朗運動這一隨機過程時，將其推廣到與分形有關的分數布朗運動。1974年他又提出了分形滲流模型。1988年，柴葉斯（j.T.Chayes）給出了詳細的數學分析。1984年，扎樂（U.Zahle）通過隨機刪除而得到十分有趣的分形構造，隨機分形能更真實地描述和模擬自然現象。三動力系統中的分形集是近年分形幾何中最活躍和引人入勝的一個研究領域。動力系統的奇異吸引子通常都是分形集，它們產生於非線性函數的迭代和非線性微分方程中。1963年，氣象學家洛倫茲（E.N.Lorenz）在研究流體的對流運動時，發現了以他的名字命名的第一個奇異吸引子，它是一個典型的分形集。1976年，法國天文學家伊儂（M.Henon）考慮標准二次映射迭代系統時獲得伊儂吸引子。它具有某種自相似性和分形性質。1986年勞威爾（H.A.Lauwerier）將斯梅爾的馬蹄映射變形成勞威爾映射，其迭代下不穩定流形的極限集成為典型的奇異吸引子，它與水平線的截面為康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等構造了一個二維迭代函數系統，其吸附界是維爾斯特拉斯函數，並得到盒維數。1985年，邁克多納（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三種類型：（！）局部不連通的分形集；（2）局部連通的分形擬圓周；（3）既不局部連能又不是擬圓周。前兩者具有擬自相似性。 動力系統中另一類分形集來源於復平面上解析映射的迭代。朱利亞（G.Julia）和法圖（P.Fatou）於1918-1919年間開創這一研究。他們發現，解析映射的迭代把復平面劃分成兩部分，一部分為法圖集，另一部分為朱利亞集（J集）。他們在處理這一問題時還沒有計算機，完全依賴於他們自身固有的想像力，因此他們的智力成就受到局限。隨後50年間，這方面的研究沒有得到什麼進展。隨著可用機算機來做實驗，這一研究課題才又獲得生機。1980年，曼德爾布羅特用計算機繪出用他名字命名的曼德爾布羅特集（M集）的第一張圖來。1982道迪（A.Douady）構造了含參二次復映射fc ，其朱利亞集J（fc）隨參數C的變化呈現各種各樣的分形圖象，著名的有道迪免子，聖馬科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集與映射系數的關系，解新局面了解析映射擊集豪斯道夫維數的計算問題。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫維數的數值解法。1983年，韋當（M.Widom）進一步推廣了部分結果 。法圖1926年就就開始整函數迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）證明指數映射的J集為復平面，解決了法圖提出的問題，引起研究者極大興趣。發現超越整函數的J集與有理映射J的性質差異，1984年德萬尼（R.L.Devanney）證明指數映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或復平面而J（fc）是康托塵或連通集。 復平面上使J（fc）成為連通集的點C組成M集即曼德爾布羅特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）認為，M集的性質過去一直是並且將來繼續是數學研究的一個巨大難題。通過將數學理論與計算機圖形學實驗加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在這方面進行的基礎性研究工作，在解決這一難題方面已取得重大進展，使人們加深了對M集的了解。道迪和扈巴德1982年證明M集是連通的和單連通的，人們猜測M集是局部連通的，目前每一張計算機圖形都證實了這一猜測，但至今還沒有人能給予證明。M是否為弧連通，目前尚不清楚。M集邊界的維數也是值得研究的問題之一。 M集除了將J集分成連通與非連通的兩類之外，還起著無窮個J集的圖解目錄表作用，即把M集C點周圍的圖形放大就是與C點有關的J集的組成部分。但這一發現的數學密性至今仍未確定，譚磊（Tan Lei）1985年證明了在每一個密休威茨點鄰近M集與相關的J集之間存在著相似性。尤金斯等在M集的靜電位研究中獲得與自然形貌相似的分形圖象。目前包括尤金斯等在內的很多研究人員都致力於藉助計算機活動錄象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得進展。1990年德萬尼通過數值實驗觀察到M集的復雜圖形由許多不同周期的周期軌道的穩定區域共同構成。1991年黃永念運用他提出的代數分析法證明了這一事實，研究了M集及其廣義情況周期軌道整體解析特性。 巴斯萊（B.M.Barnsley）和德門科（S.Demko）1985年引入迭代函數系統，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函數的吸引集，用其它方法產生的分形集也可用迭代函數系逼近。1988年，勞威爾通過數值研究發現畢達哥拉斯樹花是一迭代函數系的J集。1985年巴斯萊等研究含參數的函數系迭代動力系統，得到M集D並D與M在連通性上的差異。在一線性映射系迭代下，可以產生著名的分形曲線——雙生龍曲線。1986年水谷（M.Mitzutani）等對其動力系統進行了研究。 一般動力系統中的分形集，其豪斯道夫維數dH難以通過理論方法或計算方法求得。對於有迭式構造的分形集，貝德浮德（T.Bedford）等在1986年已給出卓有成效的演算法，但對一般非線性映射迭代動力系統產生的分形集，這些結果都難以應用，其豪斯道夫維數dH的結論與演算法實際上沒有。卡普蘭（j.L.Kaplan）和約克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫維數dL並猜測dL=dH。1981年勒拉皮爾證明dH≤dL。楊（L.S.Young）1982年證明二維情況下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年給出例子說明高維情形卡普蘭-約克猜測不成立。這一猜測力圖從動力學特徵推斷幾何結構，其反問題是由吸引子維數推斷混沌力學，這是值得研究的問題。但目前工作甚少且主要限於計算機研究。此外，含參動力系統在混沌臨界態或突變處的分形集維數也有待進一步研究。 多重分形（multifractals）是與動力系統奇異吸引子有關的另一類重要分形集，其概念首先由曼德布羅特和倫依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定義了多重分形廣義維數。1988年博爾（T.Bohr）等人將拓撲熵引入多重分形的動力學描述與熱力學類比。1988年，阿內多（A.Arneodo）等人將子波變換用於多重分形研究。費德（J.Feder）、特爾（T.Tel）等人進行了多重分形子集及標度指數的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆問題，提出廣義配分函數，給出廣義超越維數，對過去的維數進行了修正。李（J.Lee）等發現了多重分形熱力學形式上的相變。1990年，伯克（C.Beck）得到廣義維數的上下界和極限並研究了多重分形的均勻性量度。曼德布羅特研究了隨機多重分形及負分維。1991年科維克（Z.Kov.acs）等引入雙變數迭代系統，最大特徵值和吉布斯勢導出維數、熵、李雅普洛夫指數，提供了對多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形目前雖已提出不少處理方法，但從數學的觀點上看，還不夠嚴格，部分問題的數學處理難度也較大。四分形理論真正發展起來才十餘年，並且方興未艾，很多方面的理論還有待進一步研究。值得注意的是，近年分形理論的應用發展遠遠超過了理論的發展，並且給分形的數學理論提出了更新更高的要求。各種分形維數計算方法和實驗方法的建立、改進和完善，使之理論簡便，可操作性強，是喁喁分形的科學家們普遍關注的問題。而在理論研究上，維數的理論計算、估計、分形重構（即求一動力系統，使其吸引集為給定分形集）、J集和M集及其推廣形式的性質、動力學特徵及維數研究將會成為數學工作者們十分活躍的研究領域。多重分形理論的完善、嚴格以及如何用這些理論來解決實際問題可能會引起科學家們廣泛的興趣，而動力學特徵、相變和子波變換可能會成為其中的幾個熱點。 在哲學方面，人們的興趣在於自相似性的普適性，M集和J集表現出的簡單性與復雜性，復數與實數的統一性，多重分形相變與突變論的關系，自組織臨界（SOC）現象的刻畫以及分形體系內部的各種矛盾的轉化等。可以預言，一場關於分形科學哲學問題的討論即將在國內展開。

D. 2022-03-29

分形幾何 是幾何數學中的一個分支，也稱大自然幾何學，由著名數學家本華曼德勃羅（ 法語：BenoitB.Mandelbrot）在 1975 年構思和發展出來的一種新的幾何學。

分形幾何是對大自然中 微觀與宏觀 和諧統一之美的發現，分形幾何最大的特點：

整體與局部的相似性：  一個完整的圖形是由諸多相似的微圖形組成，而整體圖形又是微圖形的放大。

局部是整體的縮影，整體是局部的放大。

具有自我疊加性：  整體圖形是由微圖形不斷重復疊加構成，且具有無限疊加能力。

什麼是分形演算法？

所謂 分形演算法 就是使用計算機程序模擬出大自然界的分形幾何圖案，是 分形幾何數學 與 計算機科學 相融合的藝術。

由於分形圖形相似性的特點，分形演算法多採用遞歸實現。

2. 分形演算法

2.1 科赫雪花

科赫雪花是由瑞典數學家科赫在 1904 年提出的一種不規則幾何圖形，也稱為雪花曲線。

分形圖形的特點是 整體幾何圖形 是由一個 微圖形結構 自我復制、反復疊加形成，且最終形成的整體圖案和微圖形結構一樣。在編寫分形演算法時，需要先理解微圖案的生成過程。

科赫雪花的微圖案生成過程：

先畫一條直線。科赫雪花本質就由一條直線演化而成。

三等分畫好的直線。

取中間線段，然後用夾角為 60° 的兩條等長線段替代。

可在每一條線段上都採用如上方式進行迭代操作，便會構造出多層次的科赫雪花。

科赫微圖形演算法實現：

使用  Python  自帶小海龜模塊繪制，科赫雪花遞歸演算法的出口的是畫直線。

importturtle'''

size：直線的長度

level: 科赫雪花的層次

'''defkoch(size, level):ifn ==1:        turtle.fd(size)else:foriin[0,60, -120,60]:            turtle.left(i)# 旋轉後，再繪制koch(size //3, level -1)

參數說明：

size：  要繪制的直線長度。

level：  科赫雪花的層次。

0 階和 1 階 科赫雪花遞歸流程：

importturtleturtle.speed(100)defke_line(line_, n):ifn ==0:        turtle.fd(line_)else:        line_len = line_ //3foriin[0,60, -120,60]:            turtle.left(i)            ke_line(line_len, n -1)# 原始直線長度line =300# 移動小海龜到畫布左下角turtle.penup()turtle.goto(-150, -150)turtle.pendown()# 1 階科赫雪花di_gui_deep =1ke_line(line, di_gui_deep)turtle.done()

2 階科赫雪花：

可以多畫幾個科赫雪花，布滿整個圓周。

importturtleturtle.speed(100)defke_line(line_, n):ifn ==0:        turtle.fd(line_)else:        line_len = line_ //3foriin[0,60, -120,60]:            turtle.left(i)            ke_line(line_len, n -1)# 原始線長度line =300# 移動小海龜畫布左下角turtle.penup()turtle.goto(-150, -150)turtle.pendown()# 幾階科赫雪花di_gui_deep =int(input("請輸入科赫雪花的階數："))whileTrue:# 當多少科赫雪花圍繞成一個圓周時，就構成一個完整的雪花造型count =int(input("需要幾個科赫雪花："))if360% count !=0:print("請輸入 360 的倍數")else:breakforiinrange(count):    ke_line(line, di_gui_deep)    turtle.left(360// count)turtle.done()

4 個 3 階科赫雪花：  每畫完一個後旋轉 90 度，然後再繪制另一個。

6 個 3 階科赫雪花：  每畫完一個後，旋轉 60 度再畫另一個。

科赫雪花的繪制並不難，本質就是畫直線、旋轉、再畫直線……

2.2 康托三分集

由德國數學家 格奧爾格·康托爾 在1883年引入，是位於一條線段上的一些點的集合。最常見的構造是 康托爾三分點集 ，由去掉一條線段的中間三分之一得出。

構造過程：

繪制一條給定長度的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留下兩段。

再將剩下的兩段再分別三等分，同樣各去掉中間一段，剩下更短的四段……

將這樣的操作一直繼續下去，直至無窮，由於在不斷分割捨棄過程中，所形成的線段數目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾點集。

E. 分形樹是幾維的

可以搜搜關於波洛克作品維度計算的資料。

F. matlab 分形中一排樹怎麼做

給你兩個我以前做分形的例子

G. 求改正，這個隨機分形樹的MATLAB程序到底哪兒錯了，運行錯誤

代碼有很多小錯誤，我幫你修改了下，

這是函數文件

function S1tree(n)

clc;

S='F';a=pi/10;A=pi/2;z=0;zA=[0,pi/2];

p1='FF+[+F+F]-[+F]';

p2='F[+F]F[-F[+F]]';

p3='FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]';

for k=2:n

c=rand(1);

if c>=0.7 S=strrep(S,'F',p1);

elseif c>=0.35 S=strrep(S,'F',p2);

else S=strrep(S,'F',p3);

end

end

figure;

for k=1:length(S)

switch S(k)

case 'F'

plot(real(z+2*exp(i*A)),imag(z+2*exp(i*A)),'g','LineWidth',2);

hold on;

z=z+2*exp(i*A);

case '+'

A=A+a;

case '-'

A=A-a;

case '['

zA=[zA;[z,A]];

case ']'

z=zA(end,1);

A=zA(end,2);

zA(end,:)=[];

otherwise

end

end

在主窗口中輸入

S1tree(7)

畫出的圖如下（由於每次運行S1tree(7)代碼產生隨機數不一樣，得到的圖不一樣但是類似）

H. 關於用幾何畫板製作分形樹

迭代是分形的基礎，但被稱為分形樹的作品很多。不知道你想要哪個？在幾何畫板安裝路徑下，有一個help文件夾，其中有一個「迭代全解」，其中就有介紹迭代和迭代樹的做法。