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Ⅰ 稀疏表示的性質

信號稀疏表示的目的就是在給定的超完備字典中用盡可能少的原子來表示信號，可以獲得信號更為簡潔的表示方式，從而使我們更容易地獲取信號中所蘊含的信息，更方便進一步對信號進行加工處理，如壓縮、編碼等。信號稀疏表示方向的研究熱點主要集中在稀疏分解演算法、超完備原子字典、和稀疏表示的應用等方面。
在稀疏表示理論未提出前，正交字典和雙正交字典因為其數學模型簡單而被廣泛的應用，然而他們有一個明顯的缺點就是自適應能力差，不能靈活全面地表示信號，1993年，Mallat基於小波分析提出了信號可以用一個超完備字典進行表示，從而開啟了稀疏表示的先河，經研究發現，信號經稀疏表示後，越稀疏則信號重建後的精度就越高，而且稀疏表示可以根據信號的自身特點自適應的選擇合適的超完備字典。對信號稀疏表示的目的就是尋找一個自適應字典使得信號的表達最稀疏。
稀疏分解演算法首先是由Mallat提出的，也就是眾所周知的匹配追蹤演算法（Matching Pursuit,MP）演算法，該演算法是一個迭代演算法，簡單且易於實現，因此得到了廣泛的應用。隨後，Pati等人基於MP演算法，提出了正交匹配追蹤演算法（Orthogonal Matching Pursuit,OMP），OMP演算法相較於MP演算法，收斂速度更快。在以後的研究中，為了改進OMP演算法，學者也提出了各種不同的其它演算法，例如：壓縮采樣匹配追蹤（Conpressive Sampling Matching Pursuit,CoSaMP）演算法、正則化正交匹配追蹤（Regularized Orthogonal Matching Pursuit,ROMP）演算法、分段式正交匹配追蹤（Stagewise OMP,StOMP）演算法、子空間追蹤（Subspace Pursuit,SP）演算法等等。
信號稀疏表示的兩大主要任務就是字典的生成和信號的稀疏分解，對於字典的選擇，一般有分析字典和學習字典兩大類。常用的分析字典有小波字典、超完備DCT字典和曲波字典等，用分析字典進行信號的稀疏表示時，雖然簡單易實現，但信號的表達形式單一且不具備自適應性；反之，學習字典的自適應能力強，能夠更好的適應不同的圖像數據，在目前的研究中，常用的學習字典的方法包括：Engan於1999年提出的最優方向（Method Of Optimal Directions,MOD）演算法，該演算法是學習字典的鼻祖，它的字典更新方式簡單，但與此同時，它的收斂速度很慢，在該演算法的基礎上，一些研究人員同時還提出了一些其它的字典學習演算法，如FOCUSS字典學習演算法，廣義PCA（Generalized PCA）演算法等等，Micheal Elad也於2006年提出了基於超完備字典稀疏分解的K-SVD演算法，該演算法相較於MOD演算法，收斂速度有了很大的提高，但是隨著雜訊的逐漸加大，使用該演算法進行去噪後的圖像因紋理細節的丟失會產生模糊的效果。Mairal於2010年提出了一種online字典學習演算法，該演算法速度較快且適用於一些特殊的信號處理，例如視頻信號，語音信號等等 。