九章演算法中華數字

1. 數字的起源和中國數學的發展

數字的起源
早在原始人時代，人們在生產活動中注意到一隻羊與許多羊，一頭狼與整群狼在數量上的差異，隨著時間的推移慢慢的產生了數的概念。數的概念的形成可能與火的使用一樣古老，大約是在30萬年以前，它對於人類文明的意義也決不亞於火的使用。

最早人們利用自己的十個指頭來記數，當指頭不敷應用時，人們開始採用「石頭記數」「結繩記數」和「刻痕記數」。在經歷了數萬年的發展後，直到距今大約五千多年前，才出現了書寫記數以及相應的記數系統。早期記數系統有：公元前3400年左右的古埃及象形數字；公元前2400年左右的巴比倫楔形數字；公元前1600年左右的中國甲骨文數字；公元前500年左右的希臘阿提卡數字；公元前500年左右的中國籌算數碼；公元前300年左右的印度婆羅門數字以及年代不詳的瑪雅數字。這些記數系統採用不同的進制，其中巴比倫楔形數字採用六十進制、瑪雅數字採用二十進制外，其他均採用十進制。記數系統的出現使人類文明向前邁進了一大步，隨著生產力的不斷發展，數字不斷完善，數學就逐漸的發展起來。

中國數學發展
中國是世界文明古國之一，地處亞洲東部，瀕太平洋西岸。黃河流域和長江流域是中華民族文化的搖籃，大約在公元前2000年，在黃河中下游產生了第一個奴隸制國家——夏朝（前2033-前1562）,共經歷十三世、十六王。其後又有奴隸制國家商（前562年—1066年,共歷十七世三十一王）和西周〔前1027年—前771年,共歷約二百五十七年，傳十一世、十二王〕。隨後出現了中國歷史上的第一次全國性大分裂形成的時期——春秋（前770年-前476年）戰國（前403年-前221年），春秋後期,中國文明進入封建時代,到公元前221年秦王贏政統一全國,出現了中國歷史上第一個封建帝制國家——秦朝（前221年—前206年）,在以後的時間里,中國封建文明在秦帝國的封建體制的基礎不斷完善地持續發展,經歷了統一強盛的西漢（公元前206年—公元8年）帝國、東漢王朝（公元25年—公元220年）、戰亂頻仍與分裂的三國時期（公元208年-公元280年）、西晉（公元265年—公元316年）與東晉王朝（公元317年—公元420年）、漢民族以外的少數民族統治的南朝（公元420年—公元589年）與北朝（公元386年—公元518年）。到了公元581年，由隋再次統一了全國，建立了大一統的隋朝（公元581—618年），接著經歷了強大富庶文化繁榮的大唐王朝（公元618年—907年）、北方少數民族政權遼（公元916年-公元1125年）、經濟和文化發達的北宋（公元960年~公元1127年）與南宋（公元1127年-公元1279年）、蒙古族建立的控制范圍擴張至整個西亞地區的疆域最大的元朝（公元1271年-1368年）、元朝滅亡後，漢族人在華夏大地上重新建立起來的封建王朝——明朝（公元1368年-公元1644年），明王朝於17世紀中為少數民族女真族（滿族）建立的清朝（公元1616年-公元1911年）所代替。清朝是中國最後一個封建帝制國家。自此之後，中國脫離了帝制而轉入了現代民主國家。

中國文明與古代埃及、美索不達米亞、印度文明一樣，都是古老的農耕文明，但與其他文明截然不同，它其持續發展兩千餘年之久，在世界文明史上是絕無僅有的。這種文明十分注重社會事務的管理，強調實際與經驗，關心人和自然的和諧與人倫社會的秩序，儒家思想作為調解社會矛盾、維系這一文明持續發展的重要思想基礎。

一、中國數學的起源與早期發展

據《易·系辭》記載：「上古結繩而治，後世聖人易之以書契」。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數的文字。從一到十，及百、千、萬是專用的記數文字，共有13個獨立符號，記數用合文書寫，其中有十進制制的記數法，出現最大的數字為三萬。

算籌是中國古代的計算工具，而這種計算方法稱為籌算。算籌的產生年代已不可考，但可以肯定的是籌算在春秋時代已很普遍。

用算籌記數，有縱、橫兩種方式：

表示一個多位數字時，採用十進位值制，各位值的數目從左到右排列，縱橫相間〔法則是：一縱十橫，百立千僵，千、十相望，萬、百相當〕，並以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運算建立起良好的條件。

籌算直到十五世紀元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國古代數學就是在籌算的基礎上取得其輝煌成就的。

在幾何學方面《史記·夏本記》中說夏禹治水時已使用了規、矩、准、繩等作圖和測量工具，並早已發現「勾三股四弦五」這個勾股定理〔西方稱勾股定理〕的特例。戰國時期，齊國人著的《考工記》匯總了當時手工業技術的規范，包含了一些測量的內容，並涉及到一些幾何知識，例如角的概念。

戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。著名的有《墨經》中關於某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長也」、「平，同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。《莊子》記載了惠施等人的名家學說和桓團、公孫龍等辯者提出的論題，強調抽象的數學思想，例如「至大無外謂之大一，至小無內謂之小一」、「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其它數學命題是相當可貴的數學思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴密性的新思想未能得到很好的繼承和發展。

此外，講述陰陽八卦，預言吉凶的《易經》已有了組合數學的萌芽，並反映出二進制的思想。

二、中國數學體系的形成與奠基

這一時期包括從秦漢、魏晉、南北朝，共400年間的數學發展歷史。秦漢是中國古代數學體系的形成時期，為使不斷豐富的數學知識系統化、理論化，數學方面的專書陸續出現。

現傳中國歷史最早的數學專著是1984年在湖北江陵張家山出土的成書於西漢初的漢簡《算數書》，與其同時出土的一本漢簡歷譜所記乃呂後二年（公元前186年），所以該書的成書年代至晚是公元前186年（應該在此前）。

西漢末年〔公元前一世紀〕編纂的《周髀算經》，盡管是談論蓋天說宇宙論的天文學著作，但包含許多數學內容，在數學方面主要有兩項成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)測太陽高、遠的陳子測日法，為後來重差術（勾股測量法）的先驅。此外，還有較復雜的開方問題和分數運算等。

《九章算術》是一部經幾代人整理、刪補和修訂而成的古代數學經典著作，約成書於東漢初年〔公元前一世紀〕。全書採用問題集的形式編寫，共收集了246個問題及其解法，分屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內容包括分數四則和比例演算法、各種面積和體積的計算、關於勾股測量的計算等。在代數方面，《方程》章中所引入的負數概念及正負數加減法法則，在世界數學史上都是最早的記載；書中關於線性方程組的解法和現在中學講授的方法基本相同。就《九章算術》的特點來說，它注重應用，注重理論聯系實際，形成了以籌算為中心的數學體系，對中國古算影響深遠。它的一些成就如十進制值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過這些國家傳到歐洲，促進了世界數學的發展。

魏晉時期中國數學在理論上有了較大的發展。其中趙爽（生卒年代不詳）和劉徽（生卒年代不詳）的工作被認為是中國古代數學理論體系的開端。三國吳人趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明的最早的數學家之一，對《周髀算經》做了詳盡的注釋,在《勾股圓方圖注》中用幾何方法嚴格證明了勾股定理，他的方法已體現了割補原理的思想。趙爽還提出了用幾何方法求解二次方程的新方法。263年，三國魏人劉徽注釋《九章算術》，在《九章算術注》中不僅對原書的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理，而且在其論述中多有創造，在卷1《方田》中創立割圓術（即用圓內接正多邊形面積無限逼近圓面積的辦法），為圓周率的研究工作奠定理論基礎和提供了科學的演算法，他運用「割圓術」得出圓周率的近似值為3927/1250（即3.1416）；在《商功》章中，為解決球體積公式的問題而構造了「牟合方蓋」的幾何模型，為祖暅獲得正確結果開辟了道路；為建立多面體體積理論，運用極限方法成功地證明了陽馬術；他還撰著《海島算經》，發揚了古代勾股測量術----重差術。

南北朝時期的社會長期處於戰爭和分裂狀態，但數學的發展依然蓬勃。出現了《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》等算學著作。約於公元四-五世紀成書的《孫子算經》給出「物不知數」問題並作了解答，導致求解一次同餘組問題在中國的濫暢；《張丘建算經》的「百雞問題」引出三個未知數的不定方程組問題。

公元五世紀，祖沖之、祖暅父子的工作在這一時期最具代表性，他們在《九章算術》劉徽注的基礎上，將傳統數學大大向前推進了一步，成為重視數學思維和數學推理的典範。他們同時在天文學上也有突出的貢獻。其著作《綴術》已失傳，根據史料記載，他們在數學上主要有三項成就：(1)計算圓周率精確到小數點後第六位，得到3.1415926 <π< 3.1415927，並求得π的約率為22/7，密率為355/113，其中密率是分子分母在1000以內的最佳值，歐洲直到十六世紀德國人鄂圖（valentinus otto）和荷蘭人安托尼茲（a.anthonisz)才得出同樣結果；(2)祖暅在劉徽工作的基礎上推導出球體體積的正確公式，並提出"冪勢既同則積不容異"的體積原理，即二立體等高處截面積均相等則二體體積相等的定理。歐洲十七世紀義大利數學家卡瓦列利（bonaventura cavalieri）才提出同一定理；(3)發展了二次與三次方程的解法。

同時代的天文歷學家何承天創調日法，以有理分數逼近實數，發展了古代的不定分析與數值逼近演算法。

三、中國數學教育制度的建立

隋朝大興土木，客觀上促進了數學的發展。唐初王孝通撰《緝古算經》，主要是通過土木工程中計算土方、工程的分工與驗收以及倉庫和地窖計算等實際問題，討論如何以幾何方式建立三次多項式方程，發展了《九章算術》中的少廣、勾股章中開方理論。

隋唐時期是中國封建官僚制度建立時期，隨著科舉制度與國子監制度的確立，數學教育有了長足的發展。656年國子監設立算學館，設有算學博士和助教，由太史令李淳風等人編纂注釋《算經十書》〔包括《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《緝古算經》、《五曹算經》、《五經算術》和《綴術》〕，作為算學館學生用的課本。對保存古代數學經典起了重要的作用。

由於南北朝時期的一些重大天文發現在隋唐之交開始落實到歷法編算中，使唐代歷法中出現一些重要的數學成果。公元600年，隋代劉焯在制訂《皇極歷》時，在世界上最早提出了等間距二次內插公式，這在數學史上是一項傑出的創造，唐代僧一行在其《大衍歷》中將其發展為不等間距二次內插公式。

唐朝後期，計算技術有了進一步的改進和普及，出現很多種實用算術書，對於乘除演算法力求簡捷。

四、中國數學發展的高峰

唐朝亡後，五代十國仍是軍閥混戰的繼續，直到北宋王朝統一了中國，農業、手工業、商業迅速繁榮，科學技術突飛猛進。從公元十一世紀到十四世紀〔宋、元兩代〕，籌算數學達到極盛，是中國古代數學空前繁榮，碩果累累的全盛時期。這一時期出現了一批著名的數學家和數學著作，列舉如下：賈憲的《黃帝九章演算法細草》〔11世紀中葉〕，劉益的《議古根源》〔12世紀中葉〕，秦九韶的《數書九章》〔1247〕，李冶的《測圓海鏡》〔1248〕和《益古演段》〔1259〕，楊輝的《詳解九章演算法》〔1261〕、《日用演算法》〔1262〕和《楊輝演算法》〔1274-1275〕，朱世傑的《算學啟蒙》〔1299〕和《四元玉鑒》〔1303〕等等。 宋元數學在很多領域都達到了中國古代數學，也是當時世界數學的巔峰。其中主要的工作有：

公元1050年左右，北宋賈憲（生卒年代不詳）在《黃帝九章演算法細草》中創造了開任意高次冪的「增乘開方法」，公元1819年英國人霍納（william george horner）才得出同樣的方法。賈憲還列出了二項式定理系數表，歐洲到十七世紀才出現類似的「巴斯加三角」。（《黃帝九章演算法細草》已佚）

公元1088—1095年間，北宋沈括從「酒家積罌」數與「層壇」體積等生產實踐問題提出了「隙積術」，開始對高階等差級數的求和進行研究，並創立了正確的求和公式。沈括還提出「會圓術」，得出了我國古代數學史上第一個求弧長的近似公式。他還運用運籌思想分析和研究了後勤供糧與運兵進退的關系等問題。

公元1247年，南宋秦九韶在《數書九章》中推廣了增乘開方法，敘述了高次方程的數值解法，他列舉了二十多個來自實踐的高次方程的解法，最高為十次方程。歐洲到十六世紀義大利人菲爾洛（scipio del ferro）才提出三次方程的解法。秦九韶還系統地研究了一次同餘式理論。

公元1248年，李冶（李治，公元1192一1279年）著的《測圓海鏡》是第一部系統論述「天元術」（一元高次方程）的著作，這在數學史上是一項傑出的成果。在《測圓海鏡?序》中，李冶批判了輕視科學實踐，以數學為「九九賤技」、「玩物喪志」等謬論。

公元1261年，南宋楊輝（生卒年代不詳）在《詳解九章演算法》中用「垛積術」求出幾類高階等差級數之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了「九歸捷法」，介紹了籌算乘除的各種運演算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制訂《授時歷》時，列出了三次差的內插公式。郭守敬還運用幾何方法求出相當於現在球面三角的兩個公式。

公元1303年，元代朱世傑（生卒年代不詳）著《四元玉鑒》，他把「天元術」推廣為「四元術」（四元高次聯立方程）,並提出消元的解法，歐洲到公元1775年法國人別朱（etienne bezout）才提出同樣的解法。朱世傑還對各有限項級數求和問題進行了研究，在此基礎上得出了高次差的內插公式，歐洲到公元1670年英國人格里高利（james gregory)和公元1676一1678年間牛頓（issac newton）才提出內插法的一般公式。

公元十四世紀我國人民已使用珠算盤。在現代計算機出現之前，珠算盤是世界上簡便而有效的計算工具。

五、中國數學的衰落與日用數學的發展

這一時期指十四世紀中葉明王朝建立到明末的1582年。數學除珠算外出現全面衰弱的局面，當中涉及到中算的局限、十三世紀的考試制度中已刪減數學內容、明代大興八段考試制度等復雜的問題，不少中外數學史家仍探討當中涉及的原因。

明代最大的成就是珠算的普及，出現了許多珠算讀本，及至程大位的《直指演算法統宗》〔1592〕問世，珠算理論已成系統，標志著從籌算到珠算轉變的完成。但由於珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎上的古代數學也逐漸失傳，數學出現長期停滯。

六、西方初等數學的傳入與中西合璧

十六世紀末開始，西方傳教士開始到中國活動，由於明清王朝制定天文歷法的需要，傳教士開始將與天文歷算有關的西方初等數學知識傳入中國，中國數學家在「西學中源」思想支配下，數學研究出現了一個中西融合貫通的局面。

十六世紀末，西方傳教士和中國學者合譯了許多西方數學專著。其中第一部且有重大影響的是義大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷〔1607〕，其嚴謹的邏輯體系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測量異同》和《勾股義》便應用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國的勾股測望術。此外，《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創，且沿用至今。在輸入的西方數學中僅次於幾何的是三角學。在此之前，三角學只有零星的知識，而此後獲得迅速發展。介紹西方三角學的著作有鄧玉函編譯的《大測》〔2卷，1631〕、《割圓八線表》〔6卷〕和羅雅谷的《測量全義》〔10卷，1631〕。在徐光啟主持編譯的《崇禎歷書》〔137卷，1629-1633〕中，介紹了有關圓椎曲線的數學知識。

入清以後，會通中西數學的傑出代表是梅文鼎，他堅信中國傳統數學「必有精理」，對古代名著做了深入的研究，同時又能正確對待西方數學，使之在中國紮根，對清代中期數學研究的高潮是有積極影響的。與他同時代的數學家還有王錫闡和年希堯等人。 清康熙帝愛好科學研究，他「御定」的《數理精蘊》〔53卷，1723〕，是一部比較全面的初等數學書，對當時的數學研究有一定影響。

七、傳統數學的整理與復興

乾嘉年間形成一個以考據學為主的干嘉學派，編成《四庫全書》，其中數學著作有《算經十書》和宋元時期的著作，為保存瀕於湮沒的數學典籍做出重要貢獻。

在研究傳統數學時，許多數學家還有發明創造，例如有「談天三友」之稱的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。李善蘭在《垛積比類》〔約1859〕中得到三角自乘垛求和公式，現在稱之為「李善蘭恆等式」。這些工作較宋元時期的數學進了一步。阮元、李銳等人編寫了一部天文學家和數學家傳記《疇人傳》46卷〔1795-1810〕，開數學史研究之先河。

八、西方數學再次東進

1840年鴉戰爭後，閉關鎖國政策被迫中止。同文館內添設「算學」，上海江南製造局內添設翻譯館，由此開始第二次翻譯引進的高潮。主要譯者和著作有：李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》後9卷〔1857〕，使中國有了完整的《幾何原本》中譯本；《代數學》13卷〔1859〕；《代微積拾級》18卷〔1859〕。李善蘭與英國傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說》3卷，華蘅芳與英國傳教士傅蘭雅合譯《代數術》25卷〔1872〕，《微積溯源》8卷〔1874〕，《決疑數學》10卷〔1880〕等。在這些譯著中，創造了許多數學名詞和術語，至今仍在應用。 1898年建立京師大學堂，同文館並入。1905年廢除科舉，建立西方式學校教育，使用的課本也與西方其它各國相仿。

九、中國現代數學的建立

這一時期是從20世紀初至今的一段時間，常以1949年新中國成立為標志劃分為兩個階段。

中國近現代數學開始於清末民初的留學活動。較早出國學習數學的有1903年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時的熊慶來〔1915年轉留法〕，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數回國後成為著名數學家和數學教育家，為中國近現代數學發展做出重要貢獻。其中胡明復1917年取得美國哈佛大學博士學位，成為第一位獲得博士學位的中國數學家。隨著留學人員的回國，各地大學的數學教育有了起色。最初只有北京大學1912年成立時建立的數學系，1920年姜立夫在天津南開大學創建數學系，1921年和1926年熊慶來分別在東南大學〔今南京大學〕和清華大學建立數學系，不久武漢大學、齊魯大學、浙江大學、中山大學陸續設立了數學系，到1932年各地已有32所大學設立了數學系或數理系。1930年熊慶來在清華大學首創數學研究部，開始招收研究生，陳省身、吳大任成為國內最早的數學研究生。三十年代出國學習數學的還有江澤涵〔1927〕、陳省身〔1934〕、華羅庚〔1936〕、許寶騤〔1936〕等人，他們都成為中國現代數學發展的骨幹力量。同時外國數學家也有來華講學的，例如英國的羅素〔1920〕，美國的伯克霍夫〔1934〕、奧斯古德〔1934〕、維納〔1935〕，法國的阿達馬〔1936〕等人。1935年中國數學會成立大會在上海召開，共有33名代表出席。1936年〈中國數學會學報〉和《數學雜志》相繼問世，這些標志著中國現代數學研究的進一步發展。 解放以前的數學研究集中在純數學領域，在國內外共發表論著600餘種。在分析學方面，陳建功的三角級數論，熊慶來的亞純函數與整函數論研究是代表作，另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果；在數論與代數方面，華羅庚等人的解析數論、幾何數論和代數數論以及近世代數研究取得令世人矚目的成果;在幾何與拓撲學方面，蘇步青的微分幾何學，江澤涵的代數拓撲學，陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開創性的工作：在概率論與數理統計方面，許寶騤在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴密證明。此外，李儼和錢寶琮開創了中國數學史的研究，他們在古算史料的注釋整理和考證分析方面做了許多奠基性的工作，使我國的民族文化遺產重放光彩。

1949年11月即成立中國科學院。1951年3月《中國數學學報》復刊〔1952年改為《數學學報》〕，1951年10月《中國數學雜志》復刊〔1953年改為《數學通報》〕。1951年8月中國數學會召開建國後第一次國代表大會，討論了數學發展方向和各類學校數學教學改革問題。

建國後的數學研究取得長足進步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素數論》〔1953〕、蘇步青的《射影曲線概論》〔1954〕、陳建功的《直角函數級數的和》〔1954〕和李儼的《中算史論叢》5集〔1954-1955〕等專著，到1966年，共發表各種數學論文約2萬余篇。除了在數論、代數、幾何、拓撲、函數論、概率論與數理統計、數學史等學科繼續取得新成果外，還在微分方程、計算技術、運籌學、數理邏輯與數學基礎等分支有所突破，有許多論著達到世界先進水平，同時培養和成長起一大批優秀數學家。

60年代後期，中國的數學研究基本停止，教育癱瘓、人員喪失、對外交流中斷，後經多方努力狀況略有改變。1970年《數學學報》恢復出版，並創刊《數學的實踐與認識》。1973年陳景潤在《中國科學》上發表《大偶數表示為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》的論文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國數學家在函數論、馬爾可夫過程、概率應用、運籌學、優選法等方面也有一定創見。

1978年11月中國數學會召開第三次代表大會，標志著中國數學的復甦。1978年恢復全國數學競賽，1985年中國開始參加國際數學奧林匹克數學競賽。1981年陳景潤等數學家獲國家自然科學獎勵。1983年國家首批授於18名中青年學者以博士學位，其中數學工作者佔2/3。1986年中國第一次派代表參加國際數學家大會，加入國際數學聯合會，吳文俊應邀作了關於中國古代數學史的45分鍾演講。近十幾年來數學研究碩果累累，發表論文專著的數量成倍增長，質量不斷上升。1985年慶祝中國數學會成立50周年年會上，已確定中國數學發展的長遠目標。代表們立志要不懈地努力，爭取使中國在世界上早日成為新的數學大國。

十、中國數學的特點

（1）以演算法為中心，屬於應用數學。中國數學不脫離社會生活與生產的實際，以解決實際問題為目標，數學研究是圍繞建立演算法與提高計算技術而展開的。

（2）具有較強的社會性。中國傳統數學文化中，數學被儒學家培養人的道德與技能的基本知識---六藝（禮、樂、射、御、書、數）之一，它的作用在於「通神明、順性命，經世務、類萬物」，所以中國傳統數學總是被打上中國哲學與古代學術思想的烙印，往往與術數交織在一起。同時，數學教育與研究往往被封建政府所控制，唐宋時代的數學教育與科舉制度、歷代數學家往往是政府的天文官員，這些事例充分反映了這一性質。

（3）寓理於算，理論高度概括。由於中國傳統數學注重解決實際問題，而且因中國人綜合、歸納思維的決定，所以中國傳統數學不關心數學理論的形式化，但這並不意味中國傳統僅停留在經驗層次而無理論建樹。其實中國數學的演算法中蘊涵著建立這些演算法的理論基礎，中國數學家習慣把數學概念與方法建立在少數幾個不證自明、形象直觀的數學原理之上，如代數中的「率」的理論，平面幾何中的「出入相補」原理，立體幾何中的「陽馬術」、曲面體理論中的「截面原理」（或稱劉祖原理，即卡瓦列利原理）等等。

十一、中國數學對世界的影響

數學活動有兩項基本工作----證明與計算，前者是由於接受了公理化（演繹化）數學文化傳統，後者是由於接受了機械化（演算法化）數學文化傳統。在世界數學文化傳統中，以歐幾里得《幾何原本》為代表的希臘數學，無疑是西方演繹數學傳統的基礎，而以《九章算術》為代表的中國數學無疑是東方演算法化數學傳統的基礎，它們東西輝映，共同促進了世界數學文化的發展。

中國數學通過絲綢之路傳播到印度、阿拉伯地區，後來經阿拉伯人傳入西方。而且在漢字文化圈內，一直影響著日本、朝鮮半島、越南等亞洲國家的數學發展。

2. 中國古代數學有多牛，僅留下的書籍就將近1500萬字，中國古代有哪些數學成就

中國數學起源於上古至西漢末期，中國數學的全盛時期是隋中葉至元後期。接下來在元後期至清中期，中國數學的發展緩慢。
十七個成就
縱觀中國數學發展史，中國古代在數學方面的成就其實也算足以開一座陳列館，這里就我認為最矚目的17個成就列舉如下：
(1)十進位制記數法和零的採用。
十進位制記數法在我國原始社會就已經形成，完成於奴隸社會初期的商代，到商代已發展為完整的十進制系統，並且有了「十」、「百」、「千」、「萬」等專用的大數名稱。1899年從河南安陽發掘出來的象形文字，說明我國在公元前1600年，已經採用了十進位值制記數法，早於第二發明者印度1000多年。0是極為重要的數字，0的發現被稱為人類偉大的發現之一。
「0」這一數學符號的發明應歸功於公元6世紀的印度人。他們最早用黑點(·)表示零，後來逐漸變成了「0」。
0在我國古代叫做金元數字，(意即極為珍貴的數字)，說起「0」的出現，應該指出，我國古代文字中，「零」字出現很早，使用也較廣泛。
(2)二進位制思想起源。源於《周易》中的八卦法，早於第二發明者德國數學家萊布尼茲(公元1646—1716)2000多年。
著名的哲學家、數學家萊布尼茨(1646—1716)發明了對現代計算機系統有著重要意義的二進制，不過他認為在此之前，中國的《易經》中已經提到了有關二進制的初步思想。從《易經》可以看到二進制的起源，中國古代的二進制運用與現代電子計算機中的運用相同。我國上古的伏羲時代就有了《周易》，《周易》是研究日月之間的變化的一門科學，通過卦爻來說明天地之間、日月系統以內人生與事物變化的大法則，就藉助了二進制手段。
(3)幾何思想起源。源於戰國時期墨翟的《墨經》，早於第二發明者歐幾里德(公元前330—前275)100多年。
著名的《墨經》中給出了某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長也」、「 平，同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。
《墨經》中有8條論述了幾何光學知識，它闡述了影、小孔成像、平面鏡、凹面鏡、凸面鏡成像，還說明了焦距和物體成像的關系，這些比古希臘歐幾里德(約公元前330—275)的光學記載早百餘年。在力學方面的論說也是古代力學的代表作。對力的定義、杠桿、滑輪、輪軸、斜面及物體沉浮、平衡和重心都有論述。而且這些論述大都來自實踐。《墨經》光學八條，反映了春秋戰國時期我國物理學的重大成就。
(4)勾股定理(商高定理)。發明者商高(西周人)，早於第二發明者畢達哥拉斯(公元前580—前500)550多年。
勾股定理是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。西方稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理(英文：Pythagorean
theorem或Pythagoras's
theorem)是一個基本的幾何定理，相傳由古希臘的畢達哥拉斯首先證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。
法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。
我國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在中國，在公元前1000多年前，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又稱之為商高定理;三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。目前初中數學教材的證明方法採用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。
趙爽弦圖
青朱出入圖
勾股定理是一個基本的幾何定理，它是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數形結合的紐帶之一。
(5)幻方。我國最早記載幻方法的是春秋時代的《論語》和《書經》，而在國外，幻方的出現在公元2世紀，我國早於國外600多年。
幻方又稱為魔方，方陣或廳平方，它最早起源於我國，宋代數學家楊輝稱之為縱橫圖。幻方的幻在於：無論取哪一條路線，最後得到的和或積都是完全相同的，即在一個由若干個排列整齊的數組成的正方形中，圖中任意一橫行、一縱列及對角線的幾個數之和或積都相等，具有這種性質的圖表，稱為「幻方」。我國古代稱為「河圖」、「洛書」，
中國漢朝的數術記遺中，稱之為九宮算，又叫九宮圖。又叫「縱橫圖」。
在中國古典文獻《易經》中記載了洛書的傳說：公元前23世紀大禹治水之時，一隻巨大的神龜出現於黃河支流洛水中，龜甲上有9種花點的圖案，分別代表1,2,3,4,5,，6,7,8,9這9個數，而3行、3列以及兩對角線上各自的數之和均為15，世人稱之為洛書。
南宋數學家楊輝著《續古摘奇演算法》把類似於九宮圖的圖形命名為縱橫圖，書中列舉3、4、5、6、7、8、9、10階幻方。其中所述三階幻方構造法：
「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足」，比法國數學家Claude Gaspar
Bachet提出的方法早三百餘年。
三階幻方。射鵰英雄傳里黃蓉也背過這段三階幻方的口訣。
幻方最早記載於我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中，這說明我國人民早在2500年前就已經知道了幻方的排列規律。而在國外，公元130年，希臘人塞翁才第一次提起幻方。
我國不僅擁用幻方的發明權，而且是對幻方進行深入研究的國家。公元13世紀的數學家楊輝已經編制出3-10階幻方，記載在他1275年寫的《續古摘廳演算法》一書中。在歐洲，直到1514年，德國著名畫家丟勒才繪制出了完整的四階幻方。
(6)分數運演算法則和小數。中國完整的分數運演算法則出現在《九章算術》中，它的傳本至遲在公元1世紀已經出現。印度在公元7世紀才出現了同樣的法則，並被認為是此法的「鼻祖」。我國早於印度500多年。
中國運用最小公倍數的時間則早於西方1200年。運用小數的時間，早於西方1100多年。
(7)負數的發現。這個發現最早見於《九章算術》，這一發現早於印度600多年，早於西方1600多年。
據史料記載，早在兩千多年前,我國就有了正負數的概念，掌握了正負數的運演算法則。我國三國時期的學者劉徽在建立負數的概念上有重大貢獻。劉徽首先給出了正負數的定義，他說：「今兩算得失相反，要令正負以名之。」意思是說，在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數和負數來區分它們。劉徽第一次給出了區分正負數的方法。他說：「正算赤，負算黑;否則以邪正為異」。
我國古代著名的數學專著《九章算術》(成書於公元一世紀)中，最早提出了正負數加減法的法則：「正負數曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之;其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」
除《九章算術》定義有關正負運算方法外，東漢末年劉烘(公元206年)、宋代揚輝(1261年)也論及了正負數加減法則，都與九章算術所說的完全一致。特別值得一提的是，元代朱世傑除了明確給出了正負數同號異號的加減法則外，還給出了關於正負數的乘除法則。負數在國外得到認識和被承認，較之中國要晚得多。在印度，數學家婆羅摩笈多於公元628年才認識負數。直到十七世紀荷蘭人日拉爾(1629年)才首先認識和使用負數解決幾何問題。
(8)盈不足術。又名雙假位法。最早見於《九章算術》中的第七章。在世界上，直到13世紀，才在歐洲出現了同樣的方法，比中國晚了1200多年。
盈不足術是我國古代計算盈虧類問題的一種算術方法，借有餘、不足以求隱含之數，為《周禮》九數之一。《九章算術·盈不足》：「今有共買物，人出八，盈三;人出七，不足四。問：人數、物價各幾何?答曰：七人，物價五十三。」。在11—13世紀一些阿拉伯數學家的著作中，也出現了盈不足術，並稱之為天秤術或契丹演算法。當時阿拉伯人所說的「契丹」,即指中國，這也說明古代中國的盈不足術處於世界前沿。
(9)方程術。與現今不同，線性方程組在古代稱為方程，其解法稱為方程術。最早出現於《九章算術》中，其中解聯立一次方程組的方法，早於印度600多年，早於歐洲1500多年。在用矩陣排列法解線性方程組方面，我國要比世界其他國家早1800多年。
(10)最精確的圓周率「祖率」。中國數學家劉徽在注釋《九章算術》時(公元263年)只用圓內接正多邊形就求得π的近似值，得出精確到兩位小數的π值，他的方法被後人稱為割圓術，其中有求極限的思想。南北朝時代的數學家祖沖之利用割圓術進一步得出精確到小數點後7位的π值(公元466年)，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分數值，密率355/113和約率22/7，其中密率是分子分母在1000以內的最佳值，歐洲直到十六世紀德國人鄂圖(valentinus
otto)和荷蘭人安托尼茲(a.anthonisz)才得出同樣結果;這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。阿拉伯數學家卡西在15世紀初求得圓周率17位精確小數值，打破祖沖之保持近千年的紀錄。德國數學家柯倫於1596年將π值算到20位小數值，後投入畢生精力，於1610年算到小數後35位數，該數值被用他的名字稱為魯道夫數。
(11)等積原理。又名「祖暅」原理。保持世界紀錄1100多年。
等積原理是由我國南北朝傑出的數學家祖沖之的兒子祖暅(數學家、天文學家)首先提出來的。他同其父祖沖之一起圓滿解決了球面積的計算問題，得到正確的體積公式。現行教材中著名的「祖暅原理」，在公元五世紀，是祖暅對世界數學的傑出貢獻。祖暅總結了劉徽的有關工作，提出「冪勢既同則積不容異」，即「等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等」，這就是著名的祖暅公理(或劉祖原理)。祖暅應用這個原理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。該原理在西方直到十七世紀才由義大利數學家卡瓦列利﹝Bonavent
uraCavalieri﹞發現，比祖暅晚一千一百多年。
(12)二次內插法。隋朝天文學家劉焯最早發明，早於「世界亞軍」牛頓(公元1642—1727)1000多年。
我國古代早就發明了內插法(內插法是用一組已知的未知函數的自變數的值和與它對應的函數值來求一種未知函數其它值的近似計算方法，是一種數值逼近求法，天文學上和農歷計算中經常用的是白塞爾內插法。內插法當時稱為招差術，如公元前1世紀左右的《九章算術)中的「盈不足術」即相當於一次差內插(線性內插);公元600年，隋代劉焯在制訂《皇極歷》時，在世界上最早提出了等間距二次內插公式(拋物線內插);這在數學史上是一項傑出的創造，唐代僧一行在其《大衍歷》中將其發展為不等間距二次內插公式;元朝作《授時歷》的郭守敬進一步發明了三次差內插法。在劉焯1000年後，郭守敬400年後，英國牛頓才提出內插法的一般公式。
(13)增乘開方法。增乘開方法為中國古代數學中求高次方程數值解的一般方法，在現代數學中又名「霍納法」。
我國宋代數學家賈憲最早發明於11世紀，比19世紀英國數學家霍納提出的時間早800年左右。它由11世紀的賈憲首創，中經12世紀的劉益，到13世紀秦九韶最後完成，19歐洲出現的霍納法的步驟以及現代數學中綜合除法的原理與它相同。該方法由《九章算術》的開方術衍生而來，經過賈憲、劉益、楊輝等人的推廣和傳播，到13世紀被發展成為求高次方程數值解的系統方法，秦九韶、李冶、朱世傑的著作中都有記載，其中以秦九韶的《數書九章》論述最為詳細。霍納在1819年發表的《解所有次方程》論文中的算例，其演算法程序和數字處理都遠不及五百多年前的秦九韶有條理;秦九韶演算法不僅在時間上早於霍納，也比較成熟。增乘開平方法是北宋數學家賈憲發明的開方法，原收《釋鎖算書》一書。賈憲原作已佚，但他對數學的重要貢獻，被南宋數學家楊輝引用，被抄入《永樂大典》卷一萬六千三百四十四，幸得以保存下來，現存英國劍橋大學圖書館。
(14)楊輝三角。楊輝三角形，又稱賈憲三角形，帕斯卡三角形，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，實際上是一個二項展開式系數表。它本是賈憲創造的，見於他著作《黃帝九章演算法細草》中，後此書流失，南宋人楊輝在他的《詳解九章演算法》中又編此表，故名「楊輝三角」。
楊輝三角最本質的特徵是，它的兩條斜邊都是由數字1組成的，而其餘的數則是等於它肩上的兩個數之和。楊輝三角形所蘊含的數字排列規律，讓我們在感受數學美的同時，也體會到它的趣味性和實用性。
在世界上除了中國的賈憲、楊輝，第二個發明者是法國的數學家帕斯卡(公元1623—1662)，他的發明時間是年，比賈憲晚了近600年。
(15)中國剩餘定理。又稱孫子定理，是中國古代求解一次同餘式組的方法。中國剩餘定理，實際上就是解聯立一次同餘式的方法。這個方法最早見於《孫子算經》，1801年德國數學家高斯(公元1777—1855)在《算術探究》中提出這一解法，西方人以為這個方法是世界第一，稱之為「高斯定理」，但後來發現，它比中國晚1500多年，因此為其正名為「中國剩餘定理」，
它是數論中一個重要定理。
(16)數字高次方程方法，又名「天元術」。 中國古代求解高次方程的方法。13世紀，高次方程的數值解法是數學難題之一。
天元術是中國古代的代數學方法之一種，是中國古代建立高次方程的方法。1248年，金代數學家李冶在其著作《測圓海鏡》、《益古演段》中，系統地介紹了用天元術建立二次方程，並巧妙地把它表達在籌算中。元代數學家王恂廣泛使用天元術解高次方程。這個方法早於世界其他國家300年以上，為以後出現的多元高次方程解法打下很好的基礎。
(17)招差術。招差術即高次內插法，是現代計算數學中一種常用的插值方法，也就是高階等差級數求和方法。從北宋起中國就有不少數學家研究這個問題，到了元代，朱世傑首先發明了招差術，使這一問題得以解決。在世界上，比朱世傑晚近400年之後，牛頓才獲得了同樣的公式。中國古代關於高階等差數列和的差分能否相分於求內插公式的方法。朱世傑的《四元玉鑒》(1303)卷中「如像招數」中的問題都是討論招差問題的。
其中朱世傑給出了一個四次招差公式：
這與牛頓插值公式一致，但牛頓提出這一公式晚於朱世傑三百多年。
招差術的創立、發展和應用是中國數學史和天文學史上具有世界意義的重大成就。
總的來說，中國古代的數學發展缺乏公理化體系。而這恰恰是從初等數學到高等數學發展的瓶頸。中國數學從一開始就沒有向公理化發展的傾向，更多的是對某類具體問題的解法或者對某類規律的歸納。而西方數學家的代表人物歐幾里得所做的最重要的工作可以說就是幾何學的公理化。《幾何原本》就是以數個不證自明的公理為基礎的公理化體系的著作。這種方式建立的所謂數學的和諧之美、簡潔之美。這位古希臘數學家對整個歐洲科學都影響深遠。牛頓最重要的著作《自然哲學的數學原理》就是沿用的這種公理化體系的過程。對現象的描述，再把這類有規律的現象整理為最基本的數個公理、定律，再運用這些定律解釋更復雜的現象。其最更根本的便是萬有引力定律，以及三大運動定律。以當時的水平來講，這樣就足以「預言萬物的運動」了。
另外，中國古代數學水平的落後是和整個科技水平的落後也是聯系在一起的，兩者是共進共退的。中國古代科技水平的衰落那就是另一個大問題了。
參考文獻：
1.《探究勾股定理》同濟大學出版社
2.《 神奇的縱橫圖》 王前衛
3.《九章算術》張蒼 耿壽昌
4.《楊輝三角與棋盤形街道走法》 琚國起有

3. 中國古代數學的成就

最牛的當然是《九章算術》了
劉 徽
劉徽（生於公元250年左右），南北朝時期數學史上一個非常偉大的數學家，在世界數學史上，也佔有傑出的地位．他的傑作《九章算術注》和《海島算經》，是我國最寶貴的數學遺產．

賈 憲
賈憲，中國古代北宋時期傑出的數學家。曾撰寫的《黃帝九章演算法細草》（九卷）和《演算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：數導）均已失傳。

他的主要貢獻是創造了"賈憲三角"和增乘開方法，增乘開方法即求高次冪的正根法。目前中學數學中的混合除法，其原理和程序均與此相仿，增乘開方法比傳統的方法整齊簡捷、又更程序化，所以在開高次方時，尤其顯出它的優越性，這個方法的提出要比歐洲數學家霍納的結論早七百多年。

秦九韶
秦九韶（約1202--1261），字道古，四川安岳人。先後在湖北，安徽，江蘇，浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，（今廣東梅縣），不久死於任所。他與李冶，楊輝，朱世傑並稱宋元數學四大家。早年在杭州「訪習於太史，又嘗從隱君子受數學」，1247年寫成著名的《數書九章》。《數書九章》全書凡18卷，81題，分為九大類。其最重要的數學成就----「大衍總數術」（一次同餘組解法）與「正負開方術"(高次方程數值解法），使這部宋代算經在中世紀世界數學史上佔有突出的地位。

李冶
李冶(1192----1279)，原名李治，號敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學，被元世祖忽必烈聘為翰林學士，僅一年，便辭官回鄉。1248年撰成《測圓海鏡》，其主要目的是說明用天元術列方程的方法。「天元術」與現代代數中的列方程法相類似，「立天元一為某某」，相當於「設x為某某「，可以說是符號代數的嘗試。李冶還有另一步數學著作《益古演段》（1259）也是講解天元術的。

朱世傑
朱世傑（1300前後），字漢卿，號松庭，寓居燕山（今北京附近），「以數學名家周遊湖海二十餘年」，「踵門而學者雲集」(莫若、祖頤：《四元玉鑒》後序）。朱世傑數學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。《算術啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發展。《四元玉鑒》則是中國宋元數學高峰的又一個標志，其中最傑出的數學創造有「四元術」（多元高次方程列式與消元解法）、「垛積術」（高階等差數列求和）與「招差術」（高次內插法）．

祖沖之
祖沖之（公元429～500年）祖籍是現今河北省淶源縣，他是南北朝時代的一位傑出科學家。他不僅是一位數學家，同時還通曉天文歷法、機械製造、音樂等領域，並且是一位天文學家。

祖沖之在數學方面的主要成就是關於圓周率的計算，他算出的圓周率為3.1415926<π<3.1415927，這一結果的重要意義在於指出誤差的范圍，是當時世界最傑出的成就。祖沖之確定了兩個形式的π值，約率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，這兩個數都是π的漸近分數。

祖 暅
祖暅，祖沖之之子，同其父祖沖之一起圓滿解決了球面積的計算問題，得到正確的體積公式。現行教材中著名的「祖暅原理」，在公元五世紀可謂祖暅對世界傑出的貢獻。

楊輝
楊輝，中國南宋時期傑出的數學家和數學教育家。在13世紀中葉活動於蘇杭一帶，其著作甚多。
他著名的數學書共五種二十一卷。著有《詳解九章演算法》十二卷（1261年）、《日用演算法》二卷（1262年）、《乘除通變本末》三卷（1274年）、《田畝比類乘除演算法》二卷（1275年）、《續古摘奇演算法》二卷（1275年）。
他在《續古摘奇演算法》中介紹了各種形式的"縱橫圖"及有關的構造方法，同時"垛積術"是楊輝繼沈括"隙積術"後，關於高階等差級數的研究。楊輝在"纂類"中，將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈不足、方程、勾股等九類。

趙 爽
趙爽，三國時期東吳的數學家。曾注《周髀算經》，他所作的《周髀算經注》中有一篇《勾股圓方圖注》全文五百餘字，並附有雲幅插圖（已失傳），這篇注文簡練地總結了東漢時期勾股算術的重要成果，最早給出並證明了有關勾股弦三邊及其和、差關系的二十多個命題，他的證明主要是依據幾何圖形面積的換算關系。

趙爽還在《勾股圓方圖注》中推導出二次方程 (其中a>0,A>0)的求根公式 在《日高圖注》中利用幾何圖形面積關系，給出了"重差術"的證明。（漢代天文學家測量太陽高、遠的方法稱為重差術）。

4. 中國古代數學著作《九章演算法》中的「更相減損術」可用來求兩個正整數的最大公約數．現應用此法求168與93

168-93=75，
93-75=18，
75-18=57，
57-18=39，
39-18=21，
21-18=3，
18-3=15．
15-3=12．
12-3=9
9-3=6．
6-3=3
因此168與93的最大公約數是3．
記（168，93）為初始狀態，則第一步可得（75，93），第二步得到（75，18），…．以上解法中，不會出現的狀態是（6，9）．
故選：C．

5. 中國古代數學的歷史

春秋前中國數學的萌芽
我們的先民在從野蠻走向文明的漫長歷程中，逐漸認識了數與形的概念。出土的新石器時期的陶器大多為圓形或其他規則形狀，陶器上有各種幾何圖案，通常還有三個著地點，都是幾何知識的萌芽。先秦典籍中有「隸首作數」、「結繩記事」、「刻木記事」的記載，說明人們從辨別事物的多寡中逐漸認識了數，並創造了記數的符號。殷商甲骨文(公元前14—前11世紀)中已有13個記數單字，最大的數是「三萬」，最小的是「一」。一、十、百、千、萬，各有專名。其中已經蘊含有十進位置值制萌芽。傳說伏羲創造了畫圓的「規」、畫方的「矩」，也傳說黃帝臣子倕[chui垂]是「規矩」和「准繩」的創始人。早在大禹治水時，禹便「左准繩」(左手拿著准繩)，「右規矩」(右手拿著規矩)(《史記·禹本紀》)。因此，我們可以說，「規」、「矩」、「准」、「繩」是我們祖先最早使用的數學工具。人們丈量土地面積，測算山高谷深，計算產量多少，粟米交換，制定歷法，都需要數學知識。《周髀〔bi婢〕算經》載商高答周公問，提到用矩測望高深廣遠。相傳西周初年周公(公元前11世紀)制禮，數學成為貴族子弟教育中六門必修課程——六藝之一。不過當時學在官府，數學的發展是相當緩慢的。
春秋時期，隨著鐵器的出現，生產力的提高，中國開始了由奴隸制向封建制的過渡。新的生產關系促進了科學技術的發展與進步。此時王權衰微，疇人四散，私學開始出現。最晚在春秋末年人們已經掌握了完備的十進位置值制記數法，普遍使用了算籌這種先進的計算工具。人們已諳熟九九乘法表、整數四則運算，並使用了分數。
戰國至兩漢中國數學框架的確立
戰國時期，各諸侯國相繼完成了向封建制度的過渡。思想界、學術界諸子林立，百家爭鳴，異常活躍，為數學和科學技術的發展創造了良好的條件。盡管沒有一部先秦的數學著作留傳到後世，但是，人們通過田地及國土面積的測量，粟米的交換，收獲及戰利品的分配，城池的修建，水利工程的設計，賦稅的合理負擔，產量的計算，以及測高望遠等生產生活實踐，積累了大量的數學知識。據東漢初鄭眾記載，當時的數學知識分成了方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要九個部分，稱為「九數」。九數確立了《九章算術》的基本框架。
秦始皇結束了列國紛爭，首次建立了中央集權的封建帝國，本應有利於數學的發展。但他的專制政策窒息了百家爭鳴的學術空氣。秦朝的殘暴統治，尤其是焚書坑儒，給中國文化事業造成空前的浩劫。不久，劉邦利用推翻暴秦的農民起義，統一了中國，建立了漢朝，史稱西漢。西漢政府與民生息，社會生產力得到恢復、發展，給數學和科學技術的發展帶來新的活力，人們提出了若干算術難題，並創造了解勾股形、重差等新的數學方法。同時，人們注重先秦文化典籍的收集、整理。作為數學新發展及先秦典籍的搶救工作的結晶，便是《九章算術》的成書。《九章算術》(省稱《九章》)是中國最重要的數學經典，它之於中國和東方數學，大體相當於《幾何原本》之於希臘和歐洲數學。在世界古代數學史上，《九章》與《原本》像兩顆璀燦的明珠，東西輝映。
《九章》之前還有一部《周髀算經》，它本是一部以數學方法闡述蓋天說的天文著作，一般認為於公元前1世紀成書。卷上記載了商高答周公問，陳子答榮方問。前者有勾股定理的特例32+42=52，後者有用勾股定理及比例演算法測太陽高遠及直徑的內容。近年湖北省張家山出土的竹簡《算數書》正在整理，其少廣一問與《九章》少廣章第1問基本相同，兩者的關系有待於研究。
《九章》集先秦到西漢數學知識之大成。據東漢末大學者鄭玄(公元127—200年)引東漢初鄭眾(?—公元83年)說，西漢在先秦九數基礎上又發展出勾股、重差兩類數學方法。魏劉徽說：《九章》是由九數發展而來的，由於秦朝焚書而散壞。西漢張蒼(?—公元前152年)、耿壽昌(公元前1世紀)收集秦火遺殘，加以整理刪補，便成為《九章算術》。方田章提出了完整的分數運演算法則，各種多邊形、圓、弓形等的面積公式;粟米章提出了比例演算法;衰[cui崔]分①章提出了比例分配法則;少廣章給出了完整的開平方、開立方程序;商功章討論各種立體體積公式及工程分配方法;均輸章解決賦役中的合理負擔，也是比例分配問題，還有若干結合西漢社會實際的算術雜題;盈不足章解決盈虧問題及可以用盈不足術解決的一般算術問題;方程章是線性方程組解法，並給出了正負數加減法則;勾股章由旁要發展而成，提出了勾股定理、解勾股形及若干測望問題的方法。全書以計算為中心，有90餘條抽象性演算法、公式，246道例題及其解法，基本上採取演算法統率應用問題的形式。它的許多成就居世界領先地位，奠定了此後中國數學居世界前列千餘年的基礎。《九章》分類不甚合理，沒有任何定義和推導，少數公式不準確，個別公式有錯誤，則是不容諱言的缺點。《九章》的框架、形式、風格和特點深刻影響了中國和東方的數學。
《九章算術》成書後，注家蜂起。《漢書·藝文志》所載《許商算術》、《杜忠算術》(公元前1世紀)估計為研究《九章》的作品。東漢馬續、張衡、劉洪、鄭玄、徐岳、王粲等通曉《九章算術》，或為之作注。這些著作都未傳世，從後來劉徽(今山東鄒平人，生卒不詳)《九章算術注》所反映的信息看，這些研究基本上停留在歸納驗證《九章算術》的正確性方面，理論上未能在《九章》基礎上作出長足進步。
魏晉至唐初中國數學理論體系的建立
《九章算術》之後，中國的數學著述基本上採取兩種方式：一是為《九章算術》作注;二是以《九章算術》為楷模編纂新的著作。經過兩漢社會經濟和科學技術的大發展，到魏晉，中國封建社會進入一個新的階段，庄園農奴制和門閥士族占據了經濟政治舞台的中心。思想文化領域中，儒家的統治地位被削弱，讖緯迷信和繁瑣的經學退出歷史舞台，代之以談三玄——《周易》、《老子》、《莊子》為主的辯難之風。學者們通過析理，探討思維規律，思想界出現了戰國的百家爭鳴以來所未有過的生動局面。與此相適應，數學家重視理論研究，力圖把自先秦到兩漢積累起來的數學知識建立在必然的可靠的基礎之上。劉徽和他的《九章算術注》便是這個時代造就的最偉大的數學家和最傑出的數學著作。
大約與劉徽同時或稍前，有趙爽(又名嬰，字君卿，生卒不詳，估計是三國吳人)的《周髀算經注》，其可觀者為「勾股圓方圖」，用600餘字概括了兩漢以來勾股算術的成果。
劉徽《九章算術注》作於魏景元四年(公元263年)，原十卷。前九卷全面論證了《九章》的公式、解法，發展了出入相補原理、截面積原理、齊同原理和率的概念，在圓面積公式和錐體體積公式的證明中引入了無窮小分割和極限思想，首創了求圓周率的正確方法，指出並糾正了《九章》的某些不精確的或錯誤的公式，探索出解決球體積的正確途徑，創造了解線性方程組的互乘相消法與方程新術，用十進分數逼近無理根的近似值等，使用了大量類比、歸納推理及演繹推理，並且以後者為主。第十卷原名重差，為劉徽自撰自注，發展完善了重差理論，此卷後來單行，因第一問為測望一海島的高遠，名之曰《海島算經》。他還著有《九章重差圖》一卷，已佚。劉徽生活在辯難之風興起而尚未流入清談的魏晉之交，受思想界「析理」的影響，對《九章算術》「析理以辭，解體用圖」(《九章算術注·序》)，並對各種演算法進行總結分析，認為數學像一株枝條雖分而同本乾的大樹，發自一端，形成了一個完整的理論體系。劉徽博覽群書，諳熟諸子百家，他不迷信古人，敢於創新，實事求是。對他未能解決的牟合方蓋，坦誠直書，表示「以俟能言者」(《九章算術·少廣章注》)，表現了一位偉大學者寄希望於後學的坦盪胸懷。
《孫子算經》三卷，常被誤認為春秋軍事家孫武所著，實際上是公元400年前後的作品，作者不詳。這是一部數學入門讀物，給出了籌算記數制度及乘除法則等預備知識，其河上盪杯、雞兔同籠等問題後來在民間廣泛流傳，「物不知數」題則開一次同餘式解法之先河。張丘建(今山東人，生平不詳)著的《張丘建算經》三卷，成書於北魏(5世紀下半葉)。此書補充了等差級數的若干公式，其百雞問題是著名的不定方程問題，後世十分重視。
《綴術》包含了祖沖之(公元429—500年)和兒子祖暅〔geng 更〕之(一作祖暅，生平不詳)的數學貢獻。由於其內容深奧，隋唐算學館學官(相當於今天大學數學系教授)讀不懂，遂失傳。據認為，將圓周率精確到八位有效數字、球體積的解決及含有負系數的二次、三次方程皆是其中的內容。祖沖之，字文遠，祖籍范陽逎(今河北省淶源縣)人。劉宋大明六年(公元462年)造大明歷，使用歲差，改革閏制。他的改革遭到守舊派官僚戴法興的反對，祖沖之不畏權勢，據理駁斥，堅持了反對讖緯迷信，不虛推古人，實事求是的科學精神。他對機械深有研究，製造過水碓、水磨、指南車、千里船、漏壺等，並著《安邊論》、《述異記》等。祖暅之，字景爍。從小愛好數學，巧思入神，極其精微。專心致志之時，雷霆不能入。有一次走路時思考問題，僕射徐勉迎面而來竟然沒有發現，頭撞到徐勉身上，徐勉喚他，他才知道撞了人。其父的《大明歷》經他的努力在梁朝頒行。
北周甄鸞(今河北無極人，生卒不詳)有三部數學著作傳世，即《五曹算經》、《五經算術》、《數術記遺》。前二部內容淺近，無足道者。《數術記遺》一卷，傳本題(東)漢徐岳撰、北周甄鸞注，近人多以為系甄鸞自撰自注，假託徐岳。書中記載了三種大數進位制及14種演算法，其中珠算雖不同於元明的珠算盤，然開後者之先河，似無可疑。
隋唐是中國封建社會經濟政治文化的鼎盛時期，然而數學上除天文歷法研究中劉焯(公元544—610年)創造等間距內插公式(7世紀初)和僧一行(公元683—727年)創造不等間距內插公式(8世紀)外，幾無創造，數學成就及理論水平遠遠低於魏晉南北朝。唐初王孝通(生卒不詳)撰《緝古算經》一卷，解決了若干復雜的土方工程及勾股問題，且都用三次或四次方程解決，是為現存記載三次、四次方程的最早著作。然而，《緝古算經》未必是高於《綴術》的著作。王孝通是歷算博士，曾任太史丞，在天文歷法方面是保守的。他在《上〈緝古算經〉表》中指責《綴術》全錯不通，於理未盡，大約他與當時別的數學家一樣讀不懂《綴術》。他自詡他的《緝古算經》千金不能排其一字，他一旦瞑目，其方法後人莫曉。科學家不必作謙謙君子，但如此狂妄，也是不足取的。
隋唐統治者在國子監設算學館，置算學博士、助教指導學生學習。唐李淳風等奉敕於顯慶元年(公元656年)為《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《綴術》、《張丘建算經》、《五曹算經》、《五經算術》、《緝古算經》等十部算經作注，作為算學館教材，這就是著名的《算經十書》，該書是中國古代數學奠基時期的總結。李淳風等注釋保存了許多寶貴資料，但注釋水平並不高。由於種種原因，算學館實際未培養出像樣的數學家。
唐中葉至宋元中國數學的高潮
經過盛唐的大發展，唐中葉之後，生產關系和社會各方面逐漸產生新的實質性變革，到10世紀下半葉，趙匡胤建立宋朝，統一中國，中國封建社會進入了另一個新的階段，土地所有制以國有為主變為私有為主，租佃農民取代了魏唐的具有農奴身份的部曲、徒附。農業、手工業、商業和科學技術得到更大發展。中國古代四大發明，有三項——印刷術之廣泛應用及活字印刷，火葯用於戰爭，指南針用於航海——完成於唐中葉至北宋。宋秘書省於元豐七年(公元1084年)首次刊刻了《九章算術》等十部算經(時《夏侯陽算經》、《綴術》已失傳，因8世紀下半葉一部韓延《算術》開頭有「夏侯陽曰」雲雲而誤認為是前者而刻入，後者只好付之闕如)，是世界上首次出現的印刷本數學著作。後來南宋數學家鮑澣之翻刻了這些刻本，有《九章算術》(半部)、《周髀算經》、《孫子算經》、《五曹算經》、《張丘建算經》五種及《數術記遺》等孤本流傳到現在，是目前世界上傳世最早的印刷本數學著作。宋元數學家賈憲、李冶、楊輝、朱世傑的著作，大都在成書後不久即刊刻。數學著作藉助印刷術得以空前廣泛的流傳，對傳播普及數學知識，其意義尤為深遠。
宋元數學高潮早在唐中葉已見端倪。隨著商業貿易的蓬勃發展，人們改進籌算乘除法，新、舊《唐書》記載了大量這類書籍，可惜絕大多數失傳，只有韓延(生平不詳)《算術》(8世紀)以《夏侯陽算經》的名義流傳下來，該書提出了若干化乘除為加減的捷演算法，並在運算中使用了十進小數，極可寶貴。
11世紀上半葉賈憲(生平不詳)撰《黃帝九章算經細草》，是為北宋最重要的數學著作。賈憲曾任左班殿直(低級武官)，是當時著名天文學家、數學家楚衍的學生。還著有《演算法𢽾古集》二卷，已佚。他將《九章算術》未離開題設具體對象甚至數值的術文大都抽象成一般性術文，提高了《九章算術》的理論水平;他對某些類型的數學問題進行概括，比如提出開方作法本源即賈憲三角，作為他提出的立成釋鎖(即開方)法的算表，這是開方問題的綱;他提出了若干新的重要方法，其中最突出的是創造增乘開方法，並提出了開四次方的程序。賈憲的思想與方法對宋元數學影響極大，是宋元數學的主要推動者之一。《黃帝九章算經細草》因被楊輝《詳解九章演算法》抄錄而大部分保存了下來(闕卷一、二及卷三上半部，卷五的一部分)。
大科學家沈括(公元1031—1095年)對數學有獨到的貢獻。在《夢溪筆談》中首創隙積術，開高階等差級數求和問題之先河，又提出會圓術，首次提出求弓形弧長的近似公式。
12世紀北宋劉益(生平不詳)撰《議古根源》，亦失傳。楊輝《田畝比類乘除捷法》引用了它的若干題目與方法。《綴術》失傳之後，開方式的系數仍皆為正數，劉益突破了這個限制，首先引入負系數方程，並創造了益積開方術與減從開方術求其正根，楊輝譽之為「實冠前古」。
1127年金朝入主中原，趙宋南遷，史稱南宋。1234年，蒙古貴族滅金，後來建立元朝。1279年元滅南宋，佔領中國。13世紀中葉至14世紀初，是宋元數學高潮的集中體現，也是中國歷史上留下重要數學著作最多的半個世紀，並形成了南宋統治下的長江中下游與金元統治下的太行山兩側兩個數學中心。
南方中心以秦九韶、楊輝為代表，以高次方程數值解法、同餘式解法及改進乘除捷演算法的研究為主。北方中心則以李冶為代表，以列高次方程的天元術及其解法為主。元統一中國後的朱世傑，則集南北兩個數學中心之大成，達到了中國籌算的最高水平。
1247年秦九韶撰成《數書九章》18卷。秦九韶，字道古，自稱魯郡(今山東省)人，約1202年生於普州安岳縣(今四川省)。他生活在宋元激烈斗爭的南宋末年，並捲入了南宋統治集團戰和兩派的斗爭，支持抗戰派吳潛，屢遭劉克庄等人彈劾。賈似道專權後被貶到梅州(今廣東省)，不久(約公元1261年)死於任所，並在死後被追隨賈似道的周密丑詆不堪。他天資聰明好學，對數學、天文、土木建築、詩詞、音律、弓馬等都十分精通。他多次呼籲統治者施仁政，並把數學知識看成開源節流、施仁政、利國利民的有力工具。《數書九章》分大衍、天時、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易九類81題，其成就之大，題設之復雜都超過以往算經，有的問題有88個條件，有的答案多達180條，軍事問題之多也是空前的，反映了秦氏對抗元戰爭的關注。大衍總數術系統解決了一次同餘式組解法;正負開方術把以增乘開方法為主導的求高次方程正根的方法發展到十分完備的程度，有的方程高達十次;線性方程組解法完全以互乘相消法取代直除法;提出了與海倫公式等價的三斜求積公式;使用了完整的十進小數表示法，等等，都是其傑出成就。
楊輝共撰五部數學著作，傳世的有四部，居元以前數學家之冠。楊輝，字謙光，錢塘(今杭州市)人，生平不詳，只知在今江浙一帶管錢糧，為政清廉。與其他大家比較，他的著作偏重於教育與普及。1261年，楊輝在劉徽注、李淳風等注釋、賈憲細草的《九章算術》基礎上作解題、比類，並補充了圖、乘除、纂類三卷，是為《詳解九章演算法》，今圖、乘除、方田、粟米、衰分上半部、商功之一部分已佚。商功章的比類中的垛積術發展了沈括的隙積術;「纂類」則打破了《九章算術》的分類格局，按方法分成乘除、互換、合率、分率、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。1262年又撰《日用演算法》，著重於改進乘除捷演算法，只有少量題目保存下來。1274年撰《乘除通變本末》三卷。卷上的「習算綱目」是一個從啟蒙到《九章》主要方法的數學教學計劃。本書還總結了九歸等乘除捷演算法及其口訣。次年編纂《田畝比類乘除捷法》二卷，引用了劉益的方法與題目，批評了《五曹算經》四不等田求法的錯誤。同年，編纂《續古摘奇演算法》二卷，對縱橫圖即幻方研究頗有貢獻。後三部書又常合稱為《楊輝演算法》。
十二、十三世紀，北方出現了許多天元術著作，大都失傳，流傳至今的最早的以天元術為主要方法的著作是李冶的《測圓海鏡》12卷(公元1248年)、《益古演段》三卷(公元1259年)。李冶(公元1192—1279年)，字仁卿，號敬齋，真定欒城(今河北省)人，生於大興(今北京市)。其父為官清廉正直，李冶自幼受到良好的教養，且愛好數學，青年時便成為名重中原的學者，金詞賦科進士。入元，遂隱居於忻、崞〔guo郭〕(今山西省北部)一帶，在極為艱苦的條件下研究數學及各種學問，常粥𫘸〔zhan氈〕不繼，而聚書環堵。1251年起，主持封龍書院(今河北省)。1257、1260年兩次受到元主忽必烈召見，發表了立法度，正綱紀，進君子，退小人，減刑罰，止征戰，反對種族偏見的政治主張。他被聘為翰林學士。然而他羞於作唯天子、宰相之命是聽的御用文人，不久便以老病為辭回到封龍山。他一生文史著述頗多，僅存《敬齋古今黈》。《測圓海鏡》在洞淵九容基礎上考慮了勾股形與圓的10種基本關系，在卷二一十二中就15個勾股形與圓的關系提出了170個求圓徑長的問題，答案當然都相同。這些問題大都要用天元術列出方程。卷一是全書的理論基礎，包括圓城圖式、識別雜記等部分。圓城圖式以天、地、乾、坤等漢字表示點，是個創舉。識別雜記提出692條公式，除八條外都是正確的，集歷代勾股形與圓的關系研究之大成。《益古演段》64問，這是一部用天元術闡釋蔣周(可能是北宋人)《益古集》的方程列法的著作。其中保存了《益古集》的若干題目和舊術(方法)。
朱世傑有兩部重要著作《算學啟蒙》(公元1299年)、《四元玉鑒》(公元1303年)傳世。朱世傑，字漢卿，號松庭，燕山(今北京市)人，生平不詳。他在13世紀末以數學名家周遊全國20餘年，向他學習數學的人很多。《算學啟蒙》20門，259問，包括了從乘除及其捷演算法到增乘開方法、天元術等當時數學各方面的內容，形成了一個較完整的體系。《四元玉鑒》24門，288問，卷首給出古法七乘方圖(改進了的賈憲三角)等四種五幅圖，以及天元術、二元術、三元術、四元術的解法範例。創造四元消法，解決了多元高次方程組問題，以及高階等差級數求和問題，高次招差法問題，是本書最大的貢獻。此書是中國古代水平最高的數學著作。
楊輝、朱世傑等人對籌算乘除捷演算法的改進、總結，導致了珠算盤與珠算術的產生(大約在元中葉)，完成了我國計算工具和計算技術的改革。元中後期，又出現了《丁巨演算法》、賈亨《演算法全能集》、何平子《詳明演算法》等改進乘除捷演算法的著作。
明清數學——從衰落到艱難的復興
元中葉之後，中國數學急劇衰落，元末的幾部著作只是對乘除捷演算法有所改進。明永樂年間(公元1403—1425年)修《永樂大典》，將前此的中國數學著作按起源、各種數學方法及音義、纂類等分類抄錄。漢唐宋元數學著作在明代大都散佚，清中葉修《四庫全書》，中國古算書多賴此重新面世。
明代八股取士，思想禁錮嚴重，學者們很少留心數學。顧應祥、唐順之是明代數學大家，全然不懂天元術和增乘開方法。景泰元年(公元1450年)吳敬撰《九章演算法比類大全》十卷，收集歷代應用題，亦拋棄了增乘開方法和天元術。元明之後，隨著籌算捷演算法的完備，珠算術產生並得到普及，明朝出現了一批有關珠算的著作。其最著者為程大位的《演算法統宗》(公元1592年)，凡17卷，595問。此書適應商業發展的需要，以珠算為主要計算工具，並載有珠算開方法。此書在以後二、三百年問被多次翻刻、改編，流傳之廣是罕見的。程大位，字汝思，號渠賓，休寧(今黃山市屯溪區)人，曾在長江中下游地區經商，注意收集算經和數學問題，晚年撰成此書。
16世紀末，利瑪竇等歐洲傳教士來華，與徐光啟等一起翻譯《幾何原本》等著作。後來，傳教士們又引入了三角學、對數等西方初等數學，從此，中國數學開始了中西會通的階段。清朝260餘年，留下數學著作極多，都在不同程度上融會中西數學。
清宣城梅文鼎(公元1633—1721年)潛心於中西數學研究，著述甚多，其孫梅瑴成將他的著作編輯成《梅氏叢書輯要》60卷，其中數學著作13種40卷，內容遍及當時中國數學的各個門類，對清朝數學影響極大。
康熙皇帝愛好數學，他御定由梅瑴成、何國宗、明安圖、陳厚耀等編纂的《數理精蘊》53卷，全面系統地介紹了當時傳入的西方數學知識。上編立綱明體，為數理本源、幾何原本、算術原本等五卷;下編分條致用，為實用數學和借根方比例，以及對數、三角函數等40卷，表4種8卷，同樣對清朝數學產生了巨大影響。此書於雍正元年(公元1723年)印行。
1723年，雍正帝即位，認為傳教士不利於自己的統治，除少數供職於欽天監者外，將傳教士悉數趕到澳門。此後，西學的傳入遂告一段落，中國數學家一方面消化前此傳入的數學知識，一方面忙於整理中國古典數學著作。
1773年乾隆帝決定修《四庫全書》，戴震(公元1724—1777年)從《永樂大典》中輯出《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《五曹算經》、《五經算術》以及贗本《夏侯陽算經》等七部漢唐算經，並加校勘，《數書九章》、《測圓海鏡》、《四元玉鑒》等久佚的宋元算書也陸續輯出或發現，從此掀起了乾嘉時期(公元1736—1820年)研究整理中國古典數學的熱潮。古書注釋以李潢(?—公元1812年)《九章算術細草圖說》、羅士琳(公元1789—1853年)《四元玉鑒細草》影響較大。而開創性的研究則以焦循(公元1763—1820年)《里堂學算記》、汪萊(公元1768—1813年)《衡齋算學》、李銳(公元1768—1817年)《李氏算學遺書》最為有名。
18世紀初，法人杜德美(公元1668—1720年)傳入牛頓、格雷果里創造的三個三角函數的級數展開式。後來，三角函數和對數函數展開式的研究成為中國數學家的重要課題。明安圖(17世紀末至18世紀60年代)、董祐誠(公元1791—1823年)、項名達(公元1789—1850年)、戴煦(公元1805—1860年)等都作出了傑出貢獻。李善蘭(公元1811—1882年)的《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數探源》(公元1845年)在三角函數與對數函數的研究上取得了更大的成就。他創造的尖錐術提出了幾個相當於定積分的公式，在接觸西方微積分思想之前獨立地接近了微積分學。李善蘭，字壬叔，號秋紉，浙江海寧人。幼年即嗜好數學，30餘歲即獲創造性成果。
1840年，列強用大炮轟開了清朝閉關自守的大門，中國逐漸淪為半封建半殖民地社會。西方數學以前所未有的規模大量傳入。1852年李善蘭到上海，與英國傳教士偉烈亞力(公元1815—1887年)合譯《幾何原本》後九卷、《代數學》13卷、《代微積拾級》18卷等許多西方數學著作，後者是中國第一部微積分學譯著。後來，華衡芳(公元1833—1902年)與英人傅蘭雅合譯了《代數術》、《微積溯源》、《三角數理》、《決疑數學》等書，後者是中國第一部概率論譯著。他們創造的許多術語至今還在使用。李善蘭還融會中西，著述頗豐。《橢圓正術解》等四種是關於圓錐曲線的研究，《級數回求》等是關於冪級數的研究，而《垛積比類》則在朱世傑基礎上系統解決了高階等差級數求和問題，並提出了著名的李善蘭恆等式。1872年撰《考數根法》，證明了費爾馬小定理，提出了素數判定法則。他的著作匯集為《則古昔齋算學》，包括14種科學著作。李善蘭是開展現代數學研究的第一位中國數學家。然而，總的說來，時處清末，經濟衰落，社會動盪，有志於現代數學的人沒有與現代工程技術結合的條件，不可能有大量可觀的成果，而士大夫階層更多的人抱有西學為我中華所固有的偏見，不求甚解。此後不久，尤其是維新變法和新文化運動之後，中國古代數學傳統基本中斷，中國數學研究納入了統一的現代數學。20世紀是中國數學復興的世紀，人們期待，在下個世紀中國將重新取得數學大國的地位。

6. 中國古代數學輝煌史

中國古代數學輝煌史

中國古代數學的萌芽

原始公社末期，私有制和貨物交換產生以後，數與形的概念有了進一步的發展，仰韶文化時期出土的

陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字元號取代結繩記事了。

西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址

的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創造了規、矩、准、繩等作圖與測量工具

。據《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。

商代中期，在甲骨文中已產生一套十進制數字和記數法，其中最大的數字為三萬；與此同時，殷人用

十個天乾和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰

、陽符號構成的八卦表示八種事物發展為六十四卦，表示64種事物。

公元前一世紀的《周髀算經》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，並舉出勾股形的勾三、

股四、弦五以及環矩可以為圓等例子。《禮記·內則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數目和記

數方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數的訓練，作為「六藝」之一的數已經開始成為專門的課程。

春秋戰國之際，籌算已得到普遍的應用，籌算記數法已使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發

展是有劃時代意義的。這個時期的測量數學在生產上有了廣泛應用，在數學上亦有相應的提高。

戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，尤其是對於正名和一些命題的爭論直接與數學有關。名家

認為經過抽象以後的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出「矩不方，規不可以為圓」，把「大一」(

無窮大)定義為「至大無外」，「小一」(無窮小)定義為「至小無內」。還提出了「一尺之棰，日取其半，

萬世不竭」等命題。

而墨家則認為名來源於物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數學定義。例如圓、

方、平、直、次(相切)、端(點)等等。

墨家不同意「一尺之棰」的命題，提出一個「非半」的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限

分割下去，就必將出現一個不能再分割的「非半」，這個「非半」就是點。

名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果

。名家和墨家的數學定義和數學命題的討論，對中國古代數學理論的發展是很有意義的。

中國古代數學體系的形成

秦漢是封建社會的上升時期，經濟和文化均得到迅速發展。中國古代數學體系正是形成於這個時期，

它的主要標志是算術已成為一個專門的學科，以及以《九章算術》為代表的數學著作的出現。

《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立並鞏固時期數學發展的總結，就其數學成就來說，堪稱是

世界數學名著。例如分數四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數值解法)、

盈不足術(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法(

特別是勾股定理和求勾股數的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負數加減法則在世界數學發

展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。

《九章算術》有幾個顯著的特點：採用按類分章的數學問題集的形式；算式都是從籌算記數法發展起來

的；以算術、代數為主，很少涉及圖形性質；重視應用，缺乏理論闡述等。

這些特點是同當時社會條件與學術思想密切相關的。秦漢時期，一切科學技術都要為當時確立和鞏固

封建制度，以及發展社會生產服務，強調數學的應用性。最後成書於東漢初年的《九章算術》，排除了戰

國時期在百家爭鳴中出現的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重於與當時生產、生活密切相結合

的數學問題及其解法，這與當時社會的發展情況是完全一致的。

《九章算術》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，並成為這些國家當時的數學教科書。它的一些成就如十

進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數學的

發展。

中國古代數學的發展

魏、晉時期出現的玄學，不為漢儒經學束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析

義理，這些都有利於數學從理論上加以提高。吳國趙爽注《周髀算經》，漢末魏初徐岳撰《九章算術》注

，魏末晉初劉徽撰《九章算術》注、《九章重差圖》都是出現在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代

數學體系奠定了理論基礎。

趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明與推導的最早的數學家之一。他在《周髀算經》書中補充

的「勾股圓方圖及注」和「日高圖及注」是十分重要的數學文獻。在「勾股圓方圖及注」中他提出用弦圖

證明勾股定理和解勾股形的五個公式；在「日高圖及注」中，他用圖形面積證明漢代普遍應用的重差公式

，趙爽的工作是帶有開創性的，在中國古代數學發展中佔有重要地位。

劉徽約與趙爽同時，他繼承和發展了戰國時期名家和墨家的思想，主張對一些數學名詞特別是重要的

數學概念給以嚴格的定義，認為對數學知識必須進行「析理」，才能使數學著作簡明嚴密，利於讀者。他

的《九章算術》注不僅是對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且在論述的過程

中有很大的發展。劉徽創造割圓術，利用極限的思想證明圓的面積公式，並首次用理論的方法算得圓周率

為 157/50和 3927/1250。

劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恆為2:1，解決了一般立體體積的關鍵問

題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓台的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。

東晉以後，中國長期處於戰爭和南北分裂的狀態。祖沖之父子的工作就是經濟文化南移以後，南方數

學發展的具有代表性的工作，他們在劉徽注《九章算術》的基礎上，把傳統數學大大向前推進了一步。他

們的數學工作主要有：計算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間；提出祖(日恆)原理；提出二次與三次

方程的解法等。

據推測，祖沖之在劉徽割圓術的基礎上，算出圓內接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到了這

個結果。他又用新的方法得到圓周率兩個分數值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國在

圓周率計算方面，比西方領先約一千年之久；

祖沖之之子祖(日恆)總結了劉徽的有關工作，提出「冪勢既同則積不容異」，即等高的兩立體，若其

任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖(日恆)公理。祖(日恆)應用這個公理

，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。

隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進了數學的發展。唐初王孝通的《緝古算經》，主要討論土木

工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題，反映了這個時期數學的情況。王孝通在不

用數學符號的情況下，立出數字三次方程，不僅解決了當時社會的需要，也為後來天元術的建立打下基礎

。此外，對傳統的勾股形解法，王孝通也是用數字三次方程解決的。

唐初封建統治者繼承隋制，656年在國子監設立算學館，設有算學博士和助教，學生30人。由太史令李

淳風等編纂注釋《算經十書》，作為算學館學生用的課本，明算科考試亦以這些算書為准。李淳風等編纂

的《算經十書》，對保存數學經典著作、為數學研究提供文獻資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經

》、《九章算術》以及《海島算經》所作的註解，對讀者是有幫助的。隋唐時期，由於歷法的需要，天算

學家創立了二次函數的內插法，豐富了中國古代數學的內容。

算籌是中國古代的主要計算工具，它具有簡單、形象、具體等優點，但也存在布籌佔用面積大，運籌

速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點，因此很早就開始進行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和

珠算都是用珠的槽算盤，在技術上是重要的改革。尤其是「珠算」，它繼承了籌算五升十進與位值制的優

點，又克服了籌算縱橫記數與置籌不便的缺點，優越性十分明顯。但由於當時乘除演算法仍然不能在一個橫

列中進行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應用。

唐中期以後，商業繁榮，數字計算增多，迫切要求改革計算方法，從《新唐書》等文獻留下來的算書

書目，可以看出這次演算法改革主要是簡化乘、除演算法，唐代的演算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運

算，它既適用於籌算，也適用於珠算。

中國古代數學的繁榮

960年，北宋王朝的建立結束了五代十國割據的局面。北宋的農業、手工業、商業空前繁榮，科學技術

突飛猛進，火葯、指南針、印刷術三大發明就是在這種經濟高漲的情況下得到廣泛應用。1084年秘書省第

一次印刷出版了《算經十書》，1213年鮑擀之又進行翻刻。這些都為數學發展創造了良好的條件。

從11～14世紀約300年期間，出現了一批著名的數學家和數學著作，如賈憲的《黃帝九章演算法細草》，

劉益的《議古根源》，秦九韶的《數書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章

演算法》《日用演算法》和《楊輝演算法》，朱世傑的《算學啟蒙》《四元玉鑒》等，很多領域都達到古代數學

的高峰，其中一些成就也是當時世界數學的高峰。

從開平方、開立方到四次以上的開方，在認識上是一個飛躍，實現這個飛躍的就是賈憲。楊輝在《九

章演算法纂類》中載有賈憲「增乘開平方法」、「增乘開立方法」；在《詳解九章演算法》中載有賈憲的「開

方作法本源」圖、「增乘方法求廉草」和用增乘開方法開四次方的例子。根據這些記錄可以確定賈憲已發

現二項系數表，創造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數學發生重大的影響，其中賈憲三角比西方的

帕斯卡三角形早提出600多年。

把增乘開方法推廣到數字高次方程(包括系數為負的情形)解法的是劉益。《楊輝演算法》中「田畝比類

乘除捷法」卷，介紹了原書中22個二次方程和 1個四次方程，後者是用增乘開方法解三次以上的高次方程

的最早例子。

秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次

數為10)的問題。為了適應增乘開方法的計算程序，奏九韶把常數項規定為負數，把高次方程解法分成各種

類型。當方程的根為非整數時，秦九韶採取繼續求根的小數，或用減根變換方程各次冪的系數之和為分母

，常數為分子來表示根的非整數部分，這是《九章算術》和劉徽注處理無理數方法的發展。在求根的第二

位數時，秦九韶還提出以一次項系數除常數項為根的第二位數的試除法，這比西方最早的霍納方法早500多

年。

元代天文學家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數的內插值問題。秦九韶在「綴術推星」

題、朱世傑在《四元玉鑒》「如象招數」題都提到內插法(他們稱為招差術)，朱世傑得到一個四次函數的

內插公式。

用天元(相當於x)作為未知數符號，立出高次方程，古代稱為天元術，這是中國數學史上首次引入符號

，並用符號運算來解決建立高次方程的問題。現存最早的天元術著作是李冶的《測圓海鏡》。

從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯立方程組，是宋元數學家的又一項傑出的創造。留傳至今

，並對這一傑出創造進行系統論述的是朱世傑的《四元玉鑒》。

朱世傑的四元高次聯立方程組表示法是在天元術的基礎上發展起來的，他把常數放在中央，四元的各

次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世傑的最大貢獻是提出四元消元法，

其方法是先擇一元為未知數，其他元組成的多項式作為這未知數的系數，列成若干個一元高次方程式，然

後應用互乘相消法逐步消去這一未知數。重復這一步驟便可消去其他未知數，最後用增乘開方法求解。這

是線性方法組解法的重大發展，比西方同類方法早400多年。

勾股形解法在宋元時期有新的發展，朱世傑在《算學啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形

的方法，補充了《九章算術》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到九個

容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學的內容。

已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經余弧，求赤經余弧和赤緯度數，是一個解

球面直角三角形的問題，傳統歷法都是用內插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統的勾股形解法、

沈括用會圓術和天元術解決了這個問題。不過他們得到的是一個近似公式，結果不夠精確。但他們的整個

推算步驟是正確無誤的，從數學意義上講，這個方法開辟了通往球面三角法的途徑。

中國古代計算技術改革的高潮也是出現在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算

術書目，其數量遠比唐代為多，改革的主要內容仍是乘除法。與演算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已

出現。但如果把現代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的演算法和口訣，那麼應該說它最後完成於元

代。

宋元數學的繁榮，是社會經濟發展和科學技術發展的必然結果，是傳統數學發展的必然結果。此外，

數學家們的科學思想與數學思想也是十分重要的。宋元數學家都在不同程度上反對理學家的象數神秘主義

。秦九韶雖曾主張數學與道學同出一源，但他後來認識到，「通神明」的數學是不存在的，只有「經世務

類萬物」的數學；莫若在《四元玉鑒》序文中提出的「用假象真，以虛問實」則代表了高度抽象思維的思

想方法；楊輝對縱橫圖結構進行研究，揭示出洛書的本質，有力地批判了象數神秘主義。所有這些，無疑

是促進數學發展的重要因素。

中西方數學的融合

中國從明代開始進入了封建社會的晚期，封建統治者實行極權統治，宣傳唯心主義哲學，施行八股考

試制度。在這種情況下，除珠算外，數學發展逐漸衰落。

16世紀末以後，西方初等數學陸續傳入中國，使中國數學研究出現一個中西融合貫通的局面；鴉片戰

爭以後，近代數學開始傳入中國，中國數學便轉入一個以學習西方數學為主的時期；到19世紀末20世紀初

，近代數學研究才真正開始。

從明初到明中葉，商品經濟有所發展，和這種商業發展相適應的是珠算的普及。明初《魁本對相四言

雜字》和《魯班木經》的出現，說明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識字的課本，後者把算盤作為家庭

必需用品列入一般的木器傢具手冊中。

隨著珠算的普及，珠算演算法和口訣也逐漸趨於完善。例如王文素和程大位增加並改善撞歸、起一口訣

；徐心魯和程大位增添加、減口訣並在除法中廣泛應用歸除，從而實現了珠算四則運算的全部口訣化；朱

載墒和程大位把籌算開平方和開立方的方法應用到珠算，程大位用珠算解數字二次、三次方程等等。程大

位的著作在國內外流傳很廣，影響很大。

1582年，義大利傳教士利瑪竇到中國，1607年以後，他先後與徐光啟翻譯了《幾何原本》前六卷、《

測量法義》一卷，與李之藻編譯《圜容較義》和《同文算指》。1629年，徐光啟被禮部任命督修歷法，在

他主持下，編譯《崇禎歷書》137卷。《崇禎歷書》主要是介紹歐洲天文學家第谷的地心學說。作為這一學

說的數學基礎，希臘的幾何學，歐洲玉山若乾的三角學，以及納皮爾算籌、伽利略比例規等計算工具也同

時介紹進來。

在傳入的數學中，影響最大的是《幾何原本》。《幾何原本》是中國第一部數學翻譯著作，絕大部分

數學名詞都是首創，其中許多至今仍在沿用。徐光啟認為對它「不必疑」、「不必改」，「舉世無一人不

當學」。《幾何原本》是明清兩代數學家必讀的數學書，對他們的研究工作頗有影響。

其次應用最廣的是三角學，介紹西方三角學的著作有《大測》《割圓八線表》和《測量全義》。《大

測》主要說明三角八線(正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢、余矢)的性質，造表方法和用表方

法。《測量全義》除增加一些《大測》所缺的平面三角外，比較重要的是積化和差公式和球面三角。所有

這些，在當時歷法工作中都是隨譯隨用的。

1646年，波蘭傳教士穆尼閣來華，跟隨他學習西方科學的有薛鳳柞、方中通等。穆尼閣去世後，薛鳳

柞據其所學，編成《歷學會通》，想把中法西法融會貫通起來。《歷學會通》中的數學內容主要有比例對

數表》《比例四線新表》和《三角演算法》。前兩書是介紹英國數學家納皮爾和布里格斯發明增修的對數。

後一書除《崇禎歷書》介紹的球面三角外，尚有半形公式、半弧公式、德氏比例式、納氏比例式等。方中

通所著《數度衍》對對數理論進行解釋。對數的傳入是十分重要，它在歷法計算中立即就得到應用。

清初學者研究中西數學有心得而著書傳世的很多，影響較大的有王錫闡《圖解》、梅文鼎《梅氏叢書

輯要》(其中數學著作13種共40卷)、年希堯《視學》等。梅文鼎是集中西數學之大成者。他對傳統數學中

的線性方程組解法、勾股形解法和高次冪求正根方法等方面進行整理和研究，使瀕於枯萎的明代數學出現

了生機。年希堯的《視學》是中國第一部介紹西方****學的著作。

清康熙皇帝十分重視西方科學，他除了親自學習天文數學外，還培養了一些人才和翻譯了一些著作。

1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙養齋匯編官，會同陳厚耀、何國宗、明安圖、楊道聲等編纂天文演算法書。

1721年完成《律歷淵源》100卷，以康熙「御定」的名義於1723年出版。其中《數理精蘊》主要由梅彀成負

責，分上下兩編，上編包括《幾何原本》、《演算法原本》，均譯自法文著作；下編包括算術、代數、平面

幾何平面三角、立體幾何等初等數學，附有素數表、對數表和三角函數表。由於它是一部比較全面的初等

數學網路全書，並有康熙「御定」的名義，因此對當時數學研究有一定影響。

綜上述可以看到，清代數學家對西方數學做了大量的會通工作，並取得許多獨創性的成果。這些成果

，如和傳統數學比較，是有進步的，但和同時代的西方比較則明顯落後了。

雍正即位以後，對外閉關自守，導致西方科學停止輸入中國，對內實行高壓政策，致使一般學者既不

能接觸西方數學，又不敢過問經世致用之學，因而埋頭於究治古籍。乾嘉年間逐漸形成一個以考據學為主

的乾嘉學派。

隨著《算經十書》與宋元數學著作的收集與注釋，出現了一個研究傳統數學的高潮。其中能突破舊有

框框並有發明創造的有焦循、汪萊、李銳、李善蘭等。他們的工作，和宋元時代的代數學比較是青出於藍

而勝於藍的；和西方代數學比較，在時間上晚了一些，但這些成果是在沒有受到西方近代數學的影響下獨

立得到的。

與傳統數學研究出現高潮的同時，阮元與李銳等編寫了一部天文數學家傳記—《疇人傳》，收集了從

黃帝時期到嘉慶四年已故的天文學家和數學家270餘人(其中有數學著作傳世的不足50人)，和明末以來介紹

西方天文數學的傳教士41人。這部著作全由「掇拾史書，荃萃群籍，甄而錄之」而成，收集的完全是第一

手的原始資料，在學術界頗有影響。

1840年鴉片戰爭以後，西方近代數學開始傳入中國。首先是英人在上海設立墨海書館，介紹西方數學

。第二次鴉片戰爭後，曾國藩、李鴻章等官僚集團開展「洋務運動」，也主張介紹和學習西方數學，組織

翻譯了一批近代數學著作。

其中較重要的有李善蘭與偉烈亞力翻譯的《代數學》《代微積拾級》；華蘅芳與英人傅蘭雅合譯的《

代數術》《微積溯源》《決疑數學》；鄒立文與狄考文編譯的《形學備旨》《代數備旨》《筆算數學》；

謝洪賚與潘慎文合譯的《代形合參》《八線備旨》等等。

《代微積拾級》是中國第一部微積分學譯本；《代數學》是英國數學家德·摩根所著的符號代數學譯

本；《決疑數學》是第一部概率論譯本。在這些譯著中，創造了許多數學名詞和術語，至今還在應用，但

所用數學符號一般已被淘汰了。戊戌變法以後，各地興辦新法學校，上述一些著作便成為主要教科書。

在翻譯西方數學著作的同時，中國學者也進行一些研究，寫出一些著作，較重要的有李善蘭的《《尖

錐變法解》《考數根法》；夏彎翔的《洞方術圖解》《致曲術》《致曲圖解》等等，都是會通中西學術思

想的研究成果。

由於輸入的近代數學需要一個消化吸收的過程，加上清末統治者十分腐敗，在太平天國運動的沖擊下

，在帝國主義列強的掠奪下，焦頭爛額，無暇顧及數學研究。直到1919年五四運動以後，中國近代數學的

研究才真正開始。

7. 古代中國數學

古代數學萌芽
一、中國古代數學的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產生以後，數與形的概念有了進一步的發展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字元號取代結繩記事了。 西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創造了規、矩、准、繩等作圖與測量工具。據《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。 商代中期，在甲骨文中已產生一套十進制數字和記數法，其中最大的數字為三萬；與此同時，殷人用十個天乾和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示八種事物發展為六十四卦，表示64種事物。 祖沖之
公元前一世紀的《周髀算經》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，並舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環矩可以為圓等例子。《禮記·內則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數目和記數方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數的訓練，作為「六藝」之一的數已經開始成為專門的課程。 春秋戰國之際，籌算已得到普遍的應用，籌算記數法已使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發展是有劃時代意義的。這個時期的測量數學在生產上有了廣泛應用，在數學上亦有相應的提高。 戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，尤其是對於正名和一些命題的爭論直接與數學有關。名家認為經過抽象以後的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出「矩不方，規不可以為圓」，把「大一」(無窮大)定義為「至大無外」，「小一」(無窮小)定義為「至小無內」。還提出了「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等命題。 而墨家則認為名來源於物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數學定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。 墨家不同意「一尺之棰」的命題，提出一個「非半」的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現一個不能再分割的「非半」，這個「非半」就是點。 名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果。名家和墨家的數學定義和數學命題的討論，對中國古代數學理論的發展是很有意義的。
編輯本段古代數學體系形成
秦漢是封建社會的上升時期，經濟和文化均得到迅速發展。中國古代數學體系正是形成於這個時期，它的主要標志是算術已成為一個專門的學科，以及以《九章算術》為代表的數學著作的出現。 《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立並鞏固時期數學發展的總結，就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。例如分數四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數值解法)、盈不足術(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數的方法)等，水平都是很高的。其中方 中國數學史
程組解法和正負數加減法則在世界數學發展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。 《九章算術》有幾個顯著的特點：採用按類分章的數學問題集的形式；算式都是從籌算記數法發展起來的；以算術、代數為主，很少涉及圖形性質；重視應用，缺乏理論闡述等。 秦漢時期強調數學的應用性。成書於東漢初年的《九章算術》，排除了戰國時期在百家爭鳴中出現的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重於與當時生產、生活密切相結合的數學問題及其解法。 《九章算術》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，並成為這些國家當時的數學教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數學的發展。
編輯本段古代數學發展
魏、晉時期出現的玄學，不為漢儒經學束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析義理，這些都有利於數學從理論上加以提高。吳國趙爽注《周髀算經》，漢末魏初徐岳撰《九章算術》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術》注、《九章重差圖》都是出現在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數學體系奠定了理論基礎。 趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明與推導的最早的數學家之一。他在《周髀算經》書中補充的「勾股圓方圖及注」和「日高圖及注」是十分重要的數學文獻。在「勾股圓方圖及注」中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式；在「日高圖及注」中，他用圖形面積證明漢代普遍應用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創性的，在中國古代數學發展中佔有重要地位。 劉徽約與趙爽同時，他繼承和發展了戰國時期名家和墨家的思想，主張對一些數學名詞特別是重要的數學概念給以嚴格的定義，認為對數學知識必須進行「析理」，才能使數學著作簡明嚴密，利於讀者。他的《九章算術》注不僅是對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且在論述的過程中有很大的發展。劉徽創造割圓術，利用極限的思想證明圓的面積公式，並首次用理論的方法算得圓周率為 157/50和 3927/1250。 劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恆為2:1，解決了一般立體體積的關鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓台的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。 東晉以後，中國長期處於戰爭和南北分裂的狀態。祖沖之父子的工作就是經濟文化南移以後，南方數學發展的具有代表性的工作，他們在劉徽注《九章算術》的基礎上，把傳 考古發現
統數學大大向前推進了一步。他們的數學工作主要有：計算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間；提出祖暅原理；提出二次與三次方程的解法等。 據推測，祖沖之在劉徽割圓術的基礎上，算出圓內接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到了這個結果。他又用新的方法得到圓周率兩個分數值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國在圓周率計算方面，比西方領先約一千年之久； 祖沖之之子祖暅總結了劉徽的有關工作，提出「冪勢既同則積不容異」，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖暅公理。祖暅應用這個公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。 隋煬帝大興土木，客觀上促進了數學的發展。唐初王孝通的《緝古算經》，主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題，反映了這個時期數學的情況。王孝通在不用數學符號的情況下，立出數字三次方程，不僅解決了當時社會的需要，也為後來天元術的建立打下基礎。此外，對傳統的勾股形解法，王孝通也是用數字三次方程解決的。 唐初統治者繼承隋制，656年在國子監設立算學館，設有算學博士和助教，學生30人。由太史令李淳風等編纂注釋《算經十書》，作為算學館學生用的課本，明算科考試亦以這些算書為准。李淳風等編纂的《算經十書》，對保存數學經典著作、為數學研究提供文獻資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經》、《九章算術》以及《海島算經》所作的註解，對讀者是有幫助的。隋唐時期，由於歷法的需要，天算學家創立了二次函數的內插法，豐富了中國古代數學的內容。 算籌是中國古代的主要計算工具，它具有簡單、形象、具體等優點，但也存在 九章算術
布籌佔用面積大，運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點，因此很早就開始進行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤，在技術上是重要的改革。尤其是「珠算」，它繼承了籌算五升十進與位值制的優點，又克服了籌算縱橫記數與置籌不便的缺點，優越性十分明顯。但由於當時乘除演算法仍然不能在一個橫列中進行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應用。 唐中期以後，商業繁榮，數字計算增多，迫切要求改革計算方法，從《新唐書》等文獻留下來的算書書目，可以看出這次演算法改革主要是簡化乘、除演算法，唐代的演算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算，它既適用於籌算，也適用於珠算。
編輯本段古代數學繁榮
960年，北宋的建立結束了五代十國割據的局面。北宋的農業、手工業、商業空前繁榮，科學技術突飛猛進，火葯、指南針、印刷術三大發明就是在這種經濟高漲的情況下得到廣泛應用。1084年秘書省第一次印刷出版了《算經十書》，1213年鮑擀之又進行翻刻。這些都為數學發展創造了良好的條件。 從11～14世紀約300年期間，出現了一批著名的數學家和數學著作，如賈憲的《黃帝九章演算法細草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章演算法》《日用演算法》和《楊輝演算法》，朱世傑的《算學啟蒙》《四元玉鑒》 中國數學史
等，很多領域都達到古代數學的高峰，其中一些成就也是當時世界數學的高峰。 從開平方、開立方到四次以上的開方，在認識上是一個飛躍，實現這個飛躍的就是賈憲。楊輝在《九章演算法纂類》中載有賈憲「增乘開平方法」、「增乘開立方法」；在《詳解九章演算法》中載有賈憲的「開方作法本源」圖、「增乘方法求廉草」和用增乘開方法開四次方的例子。根據這些記錄可以確定賈憲已發現二項系數表，創造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數學發生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。 把增乘開方法推廣到數字高次方程(包括系數為負的情形)解法的是劉益。《楊輝演算法》中「田畝比類乘除捷法」卷，介紹了原書中22個二次方程和 1個四次方程，後者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。 秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數為10)的問題。為了適應增乘開方法的計算程序，奏九韶把常數項規定為負數，把高次方程解法分成各種類型。當方程的根為非整數時，秦九韶採取繼續求根的小數，或用減根變換方程各次冪的系數之和為分母，常數為分子來表示根的非整數部分，這是《九章算術》和劉徽注處理無理數方法的發展。在求根的第二位數時，秦九韶還提出以一次項系數除常數項為根的第二位數的試除法，這比西方最早的霍納方法早500多年。 元代天文學家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數的內插值問題。秦九韶在「綴術推星」題、朱世傑在《四元玉鑒》「如象招數」題都提到內插法(他們稱為招差術)，朱世傑得到一個四次函數的內插公式。 用天元(相當於x)作為未知數符號，立出高次方程，古代稱為天元術，這是中國數學史上首次引入符號，並用符號運算來解決建立高次方程的問題。現存最早的天元術著作是李冶的《測圓海鏡》。 從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯立方程組，是宋元數學家的又一項傑出的創造。留傳至今，並對這一傑出創造進行系統論述的是朱世傑的《四元玉鑒》。 朱世傑的四元高次聯立方程組表示法是在天元術的基礎上發展起來的，他把常數放在中央，四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世傑的最大貢獻是提出四元消元法，其方法是先擇一元為未知數，其他元組成的多項式作為這未知數的系數，列成若干個一元高次方程式，然後應用互乘相消法逐步消去這一未知數。重復這一步驟便可消去其他未知數，最後用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發展，比西方同類方法早400多年。 勾股形解法在宋元時期有新的發展，朱世傑在《算學啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到九個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學的內容。 中國數學史
已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經余弧，求赤經余弧和赤緯度數，是一個解球面直角三角形的問題，傳統歷法都是用內插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統的勾股形解法、沈括用會圓術和天元術解決了這個問題。不過他們得到的是一個近似公式，結果不夠精確。但他們的整個推算步驟是正確無誤的，從數學意義上講，這個方法開辟了通往球面三角法的途徑。 中國古代計算技術改革的高潮也是出現在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算術書目，其數量遠比唐代為多，改革的主要內容仍是乘除法。與演算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已出現。但如果把現代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的演算法和口訣，那麼應該說它最後完成於元代。 宋元數學家都在不同程度上反對理學家的象數神秘主義。秦九韶雖曾主張數學與道學同出一源，但他後來認識到，「通神明」的數學是不存在的，只有「經世務類萬物」的數學；莫若在《四元玉鑒》序文中提出的「用假象真，以虛問實」則代表了高度抽象思維的思想方法；楊輝對縱橫圖結構進行研究，揭示出洛書的本質，有力地批判了象數神秘主義。所有這些，無疑是促進數學發展的重要因素。