巧妙的歐拉演算法

❶ 歐拉公式的三種形式

歐拉公式的三種形式如下：R+V-E=2，在任何一個規則球面地圖上，用R記區域個數，V記頂點個數，E記邊界個數，則R+V-E=2，這就是歐拉定理，它於1640年由Descartes首先給出證明，後來Euler於1752年又獨立地給出證明，我們稱其為歐拉定理，在國外也有人稱其為Descartes定理。

歐拉公式又稱為歐拉定理，也稱為尤拉公式，是用在復分析領域的公式，歐拉公式將三角函數與復數指數函數相關聯，之所以叫作歐拉公式，那是因為歐拉公式是由萊昂哈德·歐拉提出來的，所以用他的名字進行了命名。

為什麼歐拉公式被稱為世界上最完美的公式了？

歐拉公式的巧妙之處在於，它沒有任何多餘的內容，將數學中最基本的e、i、π放在了同一個式子中，同時加入了數學也是哲學中最重要的0和1，再以簡單的加號相連。高斯曾經說：「一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力，他不可能成為數學家。」雖然不敢肯定她是世界上「最偉大公式"，但是可以肯定它是最完美的數學公式之一。

❷ 改進歐拉法的改進的演算法

先用歐拉法求得一個初步的近似值，稱為預報值，然後用它替代梯形法右端的yi+1再直接計算fi+1，得到校正值yi+1，這樣建立的預報-校正系統稱為改進的歐拉格式：
預報值 y~i+1=yi + h*f(xi,yi)
校正值 yi+1 =yi+(h/2)*[f(xi,yi)+f(xi+1,y~i+1)]
它有下列平均化形式：
yp=yi+h*f(xi,yi)
且 yc=yi+h*f(xi+1,yp)
且 yi+1=(yp+yc)/2
它的局部截斷誤差為O(h^3)，可見，改進歐拉格式較歐拉格式提高了精度，其截斷誤差比歐拉格式提高了一階。
註：歐拉法用差商 [y(xi+1)-y(xi)]/h 近似代替y(xi)的導數，局部截斷誤差較大；改進歐拉法先用歐拉法求出預報值，再利用梯形公式求出校正值，局部截斷誤差比歐拉法低了一階，較大程度地提高了計算精度。

❸ 改進歐拉法的歐拉演算法

所謂數值求解，就是求問題的解y(x)在一系列點上的值y(xi)的近似值yi。對於常微分方程：


可以將區間[a,b]分成n段，那麼方程在第xi點有y'(xi)=f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替導數則為：(y(xi+1)-y(xi))/h= f(xi,y(xi))，在這里，h是步長，即相鄰兩個結點間的距離。因此可以根據xi點和yi點的數值計算出yi+1來：
yi+1= yi+h*f(xi ,yi)，i=0,1,2,L
這就是歐拉公式，若初值yi+1是已知的，則可依據上式逐步算出數值解y1,y2,L。
為簡化分析，人們常在yi為准確即yi=y(xi)的前提下估計誤差y(xi+1)-yi+1，這種誤差稱為局部截斷誤差。
如果一種數值方法的局部截斷誤差為O(h^（p+1）)，則稱它的精度是p階的，或稱之為p階方法。歐拉格式的局部截斷誤差為O(h^2)，由此可知歐拉格式僅為一階方法。

❹ 歐拉公式為什麼叫上帝公式是什麼

歐拉公式歐拉恆等式，它是數學里最令人著迷的公式之一，它將數學里最重要的幾個常數聯繫到了一起：兩個超越數自然對數的底e，圓周率π，兩個單位，虛數單位i和自然數的單位1，以及數學里常見的0。因此，數學家們評價它是上帝創造的公式，我們只能看它而不能理解它。

歐拉恆等式是指下列關系式

eiπ＋1=0。

其中e是自然指數的底，i是虛數單位，π是圓周率。

這條恆等式第一次出現於1748年歐拉在洛桑出版的書Introction。這是復分析的歐拉公式的特例：對任何實數x，作代入即給出恆等式。

理查德·費曼稱這恆等式為數學最奇妙的公式，因為它把5個最基本的數學常數簡潔地聯系起來。

歐拉這個公式已經融合於廣義相對論和量子力學結合的m理論。詳見網路費馬大定理，霍奇猜想。成為虛時間的基本架構。也是光量子糾纏的數學表示。

❺ 改進的歐拉公式是什麼

y(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)且xi=x0+i*h (i=0,1,2,…,n-1)，局部截斷誤差是O(h^2)。

改進歐拉法是對歐拉演算法的改進方法。微分方程的本質特徵是方程中含有導數項，數值解法的第一步就是設法消除其導數值，這個過程稱為離散化。

實現離散化的基本途徑是用向前差商來近似代替導數，這就是歐拉演算法實現的依據。歐拉(Euler)演算法是數值求解中最基本、最簡單的方法，但其求解精度較低，一般不在工程中單獨進行運算。

注意：

歐拉公式在數學、物理和工程領域應用廣泛。物理學家理查德·費曼(Richard Phillips Feynman)將歐拉公式稱為：「我們的珍寶」和「數學中最非凡的公式」。

法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace)曾這樣評價歐拉對於數學的貢獻：「讀歐拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們的大師」。

❻ 「歐拉問題」的數學題是怎樣的

無獨有偶。大數學家歐拉也很重視數學的普及教育。他經常親自到中學去講授數學知識，為學生編寫數學課本。尤其感人的是，1770年，年邁的歐拉雙目都已失明了，仍然念念不忘給學生編寫《關於代數學的全面指南》。這本著作出版後，很快就被譯成幾種外國文字流傳開來，直到20世紀，有些學校仍然用它作基本教材。

為了搞好數學普及教育，歐拉潛心研究了許多初等數學問題，還編了不少有趣的數學題。也許因為歐拉是歷史上最偉大的數學家之一，這些題目流傳特別廣。例如，在各個國家的數學課外書籍里，都能見到下面這道叫做「歐拉問題」的數學題。

「兩個農婦共帶了100隻雞蛋去集市上出售。兩人的雞蛋數目不一樣，賺得錢卻一樣多。第一個農婦對第二個農婦說：『如果我有你那麼多的雞蛋，我就能賺15枚銅幣。』第二個農婦回答說：『如果我有你那麼多的雞蛋，我就只能賺6枚銅幣。』問兩個農婦各帶了多少只雞蛋？」

歷史上，像這樣由對話形式給出等量關系的題目並不少見。例如公元前3世紀時，古希臘數學家歐幾里得曾編了一道驢和騾對話的習題：

「驢和騾馱著貨物並排走在路上，驢不住地抱怨馱的貨物太重，壓得受不了。騾子對它說：『你發什麼牢騷啊！我馱的比你更重。如果你馱的貨物給我1口袋，我馱的貨物就比你重1倍；而我若給你1口袋，咱倆才剛一般多。』問驢和騾各馱了幾口袋貨物？」

12世紀時，印度數學家婆什迦羅也曾編了一道相似的習題：

「某人對一個朋友說：『如果你給我100枚銅幣，我將比你富有2倍。』朋友回答說：『你只要給我10枚銅幣，我就比你富有6倍。』問兩人各有多少銅幣？」

但是，「歐拉問題」卻編出了新意，由於兩種「如果」出的答數無倍數關系可言，使得題中蘊含的等量關系更加行蹤難覓，解題途徑與上述兩題也不相同。

下面是歐拉提供的一種解法。

假設第二個農婦的雞蛋數目是第一個農婦的m倍。因為最後兩人賺得的錢一樣多。所以，第一個農婦出售雞蛋的價格必須是第二個農婦的m倍。

如果在出售之前，兩個農婦已將所帶的雞蛋互換，那麼，第一個農婦帶有的雞蛋數目和出售雞蛋的價格，都將是第二個農婦的m倍。也就是說，她賺得的錢數將是第二個農婦的m2倍。

於是有m2＝15∶62/3。

捨去負值後得m＝3/2，即兩人所帶雞蛋數目之比為3∶2。這樣，由雞蛋總數是100，就不難算出題目的答案了。

想出這種巧妙的解法是很不容易，連一貫謹慎的歐拉也忍不住稱贊自己的解法是「最巧妙的解法」。

❼ 歐拉的演算法

這是個沒有通常意義極限的病態級數，比如:
(1-1)+(1-1)+..+(1-1)+...=0
1+(-1+1)+(-1+1)+... =1
根據1+x+...+x^n+..=1/(1-x)，雖然收斂域(-1,1),但把(-1)代進去就得到1/2,又是另一種答案
在數學分析的高級教程中應該對這種病態級數的和有一個嚴格定義，使得計算出的結果唯一。但我對這方面的知識也不了解。你可以去找找相關資料。

❽ 歐拉演算法怎麼實現 javascript

歐拉演算法
微分方程的本質特徵是方程中含有導數項，數值解法的第一步就是設法消除其導數值，這個過程稱為離散化。實現離散化的基本途徑是用向前差商來近似代替導數，這就是歐拉演算法實現的依據。歐拉(Euler)演算法是數值求解中最基本、最簡單的方法，但其求解精度較低，一般不在工程中單獨進行運算。所謂數值求解，就是求問題的解y(x)在一系列點上的值y(xi)的近似值yi。對於常微分方程：
dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b]
y(a)=y0
可以將區間[a,b]分成n段，那麼方程在第xi點有y'(xi)=f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替導數則為：(y(xi+1)-y(xi))/h= f(xi,y(xi))，在這里，h是步長，即相鄰兩個結點間的距離。因此可以根據xi點和yi點的數值計算出yi+1來：
yi+1= yi+h*f(xi ,yi)，i=0,1,2,L
這就是歐拉格式，若初值yi+1是已知的，則可依據上式逐步算出數值解y1,y2,L。
為簡化分析，人們常在yi為准確即yi=y(xi)的前提下估計誤差y(xi+1)-yi+1，這種誤差稱為局部截斷誤差。
如果一種數值方法的局部截斷誤差為O(h^p+1)，則稱它的精度是p階的，或稱之為p階方法。歐拉格式的局部截斷誤差為O(h^2)，由此可知歐拉格式僅為一階方法。
歐拉公式：
y(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)
且xi=x0+i*h (i=0,1,2,…,n-1)
局部截斷誤差是O(h^2)

改進的歐拉演算法
先用歐拉法求得一個初步的近似值，稱為預報值，然後用它替代梯形法右端的yi+1再直接計算fi+1，得到校正值yi+1，這樣建立的預報-校正系統稱為改進的歐拉格式：
預報值 y~i+1=yi+1 + h*f(xi,yi)
校正值 yi+1 =yi+(h/2)*[f(xi,yi)+f(xi+1,y~i+1)]
它有下列平均化形式：
yp=yi+h*f(xi,yi)
且 yc=yi+h*f(xi+1,yp)
且 yi+1=(xp+yc)/2
它的局部截斷誤差為O(h^3)，可見，改進歐拉格式較歐拉格式提高了精度，其截斷誤差比歐拉格式提高了一階。
註：歐拉法用差商 [y(xi+1)-y(xi)]/h 近似代替y(xi)的導數，局部截斷誤差較大；改進歐拉法先用歐拉法求出預報值，再利用梯形公式求出校正值，局部截斷誤差比歐拉法低了一階，較大程度地提高了計算精度。

改進歐拉演算法
#include<iostream.h>
#define N 20
void ModEuler(float (*f1)(float,float),float x0,float y0,float xn,int n)
{
int i;
float yp,yc,x=x0,y=y0,h=(xn-x0)/n;
cout<<"x[0]="<<x<<'t'<<"y[0]"<<y<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
{
yp=y+h*f1(x,y);
x=x0+i*h;
yc=y+h*f1(x,yp);
y=(yp+yc)/2.0;
cout<<"x["<<i<<"]="<<x<<" y["<<i<<"]="<<y<<endl;
}
}
void main()
{
float xn=5.0,x0=0.0,y0=2.0;
float f1(float ,float);
ModEuler(f1,x0,y0,xn,N);
}
float f1(float x,float y)
{
return -x*y*y;
}

❾ 什麼是歐拉方法(Euler's method)

歐拉法是常微分方程的數值解法的一種，其基本思想是迭代。其中分為前進的EULER法、後退的EULER法、改進的EULER法。所謂迭代，就是逐次替代，最後求出所要求的解，並達到一定的精度。誤差可以很容易地計算出來。歐拉法是考察流體流動的一種方法。通常考察流體流動的方法有兩種，即拉格朗日法和歐拉法。

歐拉法的特點

單步，顯式，一階求導精度，截斷誤差為二階。

歐拉法的缺點

歐拉法簡單地取切線的端點作為下一步的起點進行計算，當步數增多時，誤差會因積累而越來越大。因此歐拉格式一般不用於實際計算。

❿ 圖論中，求歐拉路徑的演算法有哪些

首先要根據歐拉路徑的存在條件來判斷一個圖是否存在歐拉路徑,判斷條件為如下3條
對於一個無向圖，如果它每個點的度都是偶數，那麼它存在一條歐拉迴路；
如果有且僅有2個點的度為奇數，那麼它存在一條歐拉路；
如果超過2個點的度為奇數，那麼它就不存在歐拉路了。
然後可以用Fleury演算法求歐拉路徑,可以參照
http://www.cnblogs.com/Lyush/archive/2013/04/22/3036659.html