極限計演算法則例題

『壹』 高中數學極限題怎麼求解

一、利用極限四則運演算法則求極限

函數極限的四則運演算法則：設有函數，若在自變數f（x），g（x）的同一變化過程中，有limf（x）=A，limg（x）=B，則

lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B

lim［f（x）・g（x）］=limf（x）・limg（x）=A・B

lim==（B≠0）

（類似的有數列極限四則運演算法則）現以討論函數為例。
對於和、差、積、商形式的函數求極限，自然會想到極限四則運演算法則，但使用這些法則，往往要根據具體的函數特點，先對函數做某些恆等變形或化簡，再使用極限的四則運演算法則。方法有：

1.直接代入法

對於初等函數f（x）的極限f（x），若f（x）在x點處的函數值f（x）存在，則f（x）=f（x）。
直接代入法的本質就是只要將x=x代入函數表達式，若有意義，其極限就是該函數值。

2.無窮大與無窮小的轉換法

在相同的變化過程中，若變數不取零值，則變數為無窮大量?圳它的倒數為無窮小量。對於某些特殊極限可運用無窮大與無窮小的互為倒數關系解決。

（1）當分母的極限是「0」，而分子的極限不是「0」時，不能直接用極限的商的運演算法則，而應利用無窮大與無窮小的互為倒數的關系，先求其的極限，從而得出f（x）的極限。

（2）當分母的極限為∞，分子是常量時，則f（x）極限為0。

3.除以適當無窮大法

對於極限是「」型，不能直接用極限的商的運演算法則，必須先將分母和分子同時除以一個適當的無窮大量x。

4.有理化法

適用於帶根式的極限。

二、利用夾逼准則求極限

函數極限的夾逼定理：設函數f（x），g（x），h（x），在x的某一去心鄰域內（或|x|＞N）有定義，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），則g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（類似的可以得數列極限的夾逼定理）
利用夾逼准則關鍵在於選用合適的不等式。

三、利用單調有界准則求極限

單調有界准則：單調有界數列必有極限。首先常用數學歸納法討論數列的單調性和有界性，再求解方程，可求出極限。

四、利用等價無窮小代換求極限

常見等價無窮小量的例子有：當x→0時，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。

等價無窮小的代換定理：設α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自變數x在同一變化過程中的無窮小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，則lim=lim。

五、利用無窮小量性質求極限

在無窮小量性質中，特別是利用無窮小量與有界變數的乘積仍是無窮小量的性質求極限。

六、利用兩個重要極限求極限

使用兩個重要極限=1和（1+)=e求極限時，關鍵在於對所給的函數或數列作適當的變形，使之具有相應的形式，有時也可通過變數替換使問題簡化。

七、利用洛必達法則求極限

如果當x→a（或x→∞）時，兩個函數f（x）與g（x）都趨於零或趨於無窮小，則可能存在，也可能不存在，通常將這類極限分別稱為「」型或「」型未定式，對於該類極限一般不能運用極限運演算法則，但可以利用洛必達法則求極限。

『貳』 求極限的運演算法則

lim(n趨於∞）An=A,lim（n趨於∞）Bn=B,則有
法則1:lim（n趨於∞）(An+Bn)=A+B
法則2:lim（n趨於∞）(An-Bn)=A-B
法則3:lim（n趨於∞）(An·Bn)=AB
法則4:lim（n趨於∞）(An/Bn)=A/B.
法則5:lim（n趨於∞）(An的k次方)=A的k次方(k是正整數)

『叄』 求計算極限方法

1．利用極限的定義證明極限例1證明limn→－2x2＝4。證：x→－2，不妨設：｜x－（－2）｜＝｜x＋2｜＜1，即：－3＜x＜－1。∵｜x2－4｜＝｜x－2｜｜x＋2｜＜｜x＋2｜｜－3－2｜＝5｜x＋2｜，要使｜x2－4｜＜ε，只要5｜x＋2｜＜ε，ε＞0，即｜x＋2｜＜ε5。令δ0＝ε5，取δ＝min（δ0，1），則當0＜｜x＋2｜＜δ時，有｜x2－4｜＜ε，∴limn→－2x2＝4。2．利用極限四則運算求極限例2求limn→－2x2－4x－2。解：原式＝limn→－2（x－2）（x＋2）x－2＝limn→－2（x＋2）＝0。用極限的四則運演算法則求極限，條件是每項或每個因子極限存在，一般所給的變數都不滿足這個條件，如∞∞、00等情況，都不能直接用四則運演算法則，必須要對變數進行變形，設法消去分子、分母中的零因子，在變形時，要熟練掌握因式分解、有理化運算等恆等變形。3．利用無窮小的性質求極限例3limx→∞cosxx2。解：∵｜cosx｜≤1，1x2在x→∞時是無窮小量，由無窮小的性質得：limx→∞cosxx2＝0。

『肆』 一道湯家鳳老師視頻中的極限題

1、關於這一道湯家鳳老師視頻中的極限題的說明見上圖。

2、當x趨於-1時可以直接帶入求出極限是無窮大的理由：先求出倒數的函數的極限，極限為0，再利用無窮小的倒數是無窮大，這個定理，即得。

3、而當x趨於1時卻不能直接帶入求極限理由：此時分母極限是0，所以，不能用商的極限運演算法則。可以先約掉x-1後，再用商的運演算法則。

具體的這一道湯家鳳老師視頻中的極限題的詳細說明見上。

『伍』 極限運演算法則

1． 設數列收斂才有極限運算的加減乘除法則， 這里,我們不認為趨於無窮的數列或函數收斂; 2. 一個數列或者函數的極限為無窮，則有兩種情況： (1)趨於無正窮或負無窮 例如，n或－n (2)同時趨於正負無窮 例如，((-1)^n)*n 不論哪中情況都不存在極限，而且我們可以說極限是無窮，也就是說兩種說法都可以。 ps：極限是無窮的說法更加精確，因為極限是無窮必然有極限不存在，但極限不存在不能說明極限是無窮。

『陸』 高等數學極限運演算法則

1、本題是無窮大乘以無窮小型不定式；

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2、解答方法用到三個步驟：

A、分子有理化；

B、化無窮大計算為無窮小計算；

C、無窮小直接用0代入。

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3、具體解答如下，如有疑問，歡迎追問，有問必答。

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提供給樓主極限計算方法，跟具體示例。這些方法

應付一般的花拳綉腿的考研綽綽有餘。

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『柒』 一道極限運算題

lim[x→0] [(a^x+b^x)/2]^(3/x)
= lim[x→0] e^ln[(a^x+b^x)/2]^(3/x)
= e^lim[x→0] {3ln[(a^x+b^x)/2]}/x
=洛必達法則= e^lim[x→0] { 3*[(lna*a^x+lnb*b^x)/2] / [(a^x+b^x)/2] } / 1
= e^lim[x→0] 3(lna*a^x+lnb*b^x) / (a^x+b^x)
= e^[ 3(lna*a^0+lnb*b^0) / (a^0+b^0) ]
= e^[ 3(lna+lnb)/2 ]
= e^[ (lna+lnb)^(3/2) ]
= (ab)^(3/2)

『捌』 極限的運算

1.極限的四則運算、任何復合運算，只要是定式之間的運算都成立； 2.出錯。 3.極限不存在。 4.運用乘除法運算，乘號前後不能出現0乘以∞的情況，除法不能出現分子分母同趨於無窮大，或同趨於0的情況。 極限的運演算法則：（1）直接帶入法（2）無窮大與無窮小的關系例子：lim(x趨向於1）-（4x-1)/(x2+2x-3)根據無窮大無窮小的關系則為0。（3）「0/0」型未定式用因式分解法 （4）「無窮/無窮」未定式用X的最高次冪去除以每一項例子： lim(x趨向於無窮）（3x2+x+1)/(2x2+4x-3) 分子分母同除於X2得3/2