牛頓的演算法原理

㈠ 什麼是「牛頓法」或「牛頓迭代法」 請簡述過程及原理,有例子更好

牛頓法是牛頓在17世紀提出的一種求解方程f(x)=0.多數方程不存在求根公式,從而求精確根非常困難,甚至不可能,從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.
設r是f(x)=0的根,選取x0作為r初始近似值,過點（x0,f(x0)）做曲線y=f(x)的切線L,L的方程為y=f(x0)+f'(x0)(x-x0),求出L與x軸交點的橫坐標 x1=x0-f(x0)/f'(x0),稱x1為r的一次近似值,過點（x1,f(x1)）做曲線y=f(x)的切線,並求該切線與x軸的橫坐標 x2=x1-f(x1)/f'(x1)稱x2為r的二次近似值,重復以上過程,得r的近似值序列{Xn},其中Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn),稱為r的n+1次近似值.上式稱為牛頓迭代公式.

㈡ 牛頓定律所有公式

牛頓第一運動定律：孤立質點保持靜止或做勻速直線運動；用公式表達為：

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牛頓定律特點

牛頓運動定律的內在邏輯符合自洽一致性，即三定律順承邏輯相容構成有機整體：

牛頓運動定律在研究對象上呈遞進關系。第一、第二定律只研究單一物體（可以只有一個物體，也可以從眾多物體中隔離出一個物體來作為研究對象），解決其不受力或受很多力作用後的運動問題；第三定律擴展了研究對象，至少研究是兩個物體之間的相互作用，這種相互作用制約或影響了研究對象或研究對象以外的其它物體的運動。

只有把第一、第二和第三定律有機結合才能解決全部的復雜動力學問題，由質點的動力學出發去解決質點系、剛體、流體、振動、波動等的力學問題。牛頓運動定律都只在第一定律確定的慣性參考系成立。

牛頓的絕對時空觀中的慣性系雖然存在邏輯循環（或稱邏輯同一）之難，但是在動力學的力的語言表達中是理論體系必不可少的。一切動力學問題確定了慣性系便能解決。

由於任何科學都不可能做到絕對真理，力學也是一門近似程度比較高的科學，絕對的慣性系不存在，但近似的慣性系是始終存在。牛頓運動定律只在慣性系中適用，說明了三定律的一致性。

㈢ 牛頓的數學原理對近代科學產生了怎樣的影響

完成了微積分發明中最關鍵的一步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開辟了數學上的一個新紀元。

微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯系的數學理論的，牛頓稱之為"流數術"。

牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的結論加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統一為兩類普通的演算法——微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關系。

人物評價

他在1688年發表的著作《自然哲學的數學原理》里，對萬有引力和三大運動定律進行了描述。這些描述奠定了此後三個世紀里物理世界的科學觀點，並成為現代工程學的基礎。

他通過論證開普勒行星運動定律與他的引力理論間的一致性，展示了地面物體與天體的運動都遵循著相同的自然定律；從而消除了對太陽中心說的最後一絲疑慮，並推動了科學革命。

㈣ 牛頓法的原理

把非線性函數在處展開成泰勒級數
取其線性部分，作為非線性方程的近似方程，則有
設 ，則其解為
因為這是利用泰勒公式的一階展開， 處並不是完全相等，而是近似相等，這里求得的 並不能讓 ，只能說 的值比 更接近 ，於是乎，迭代求解的想法就很自然了，
再把f(x)在x1 處展開為泰勒級數，取其線性部分為 的近似方程，若 ，則得 如此繼續下去，得到牛頓法的迭代公式： ，通過迭代，這個式子必然在 的時候收斂。整個過程如右圖：
例1 用牛頓法求方程 在 內一個實根，取初始近似值=1.5。 解 所以迭代公式為：

列表計算如下： 01.511.737121.698731.6975......

㈤ 牛頓是如何計算圓周率的（一）

牛頓，微積分的奠基者之一。他稱其發明為「流數法」。後來證明，本質上跟萊布尼茲發明的微積分是一樣的。他在發明「流數法」以後，閑極無聊，就算算圓周率。人和人是多麼不同啊。

還要提到的是，牛頓年輕時候推廣的二項式定理。這個定理，普通的時候很普通，

就是用賈憲-楊輝-帕斯卡三角展開，只要用乘法，就能驗證。

牛頓在24歲的時候，就把這個定理推廣到分數的形式了。原始的二項式定理用的是所謂「組合數」的觀念，例如，從5樣東西里選擇3樣，有多少中選法呢？ 第一個有5種選擇，第二個有4種選擇，第三個有3種選擇。然而，3個東西的排列次序是無所謂的。3個東西排列的方式有3×2×1=6種。因此，5選3的方法就是 (5*4*3)/(3*2*1)，10種。記做C(5 3)=10。傳統的寫法是把5寫成下標，把3寫成上標，看起來像C5的3次方一樣，數學符號就是如此的混亂。上面5次方的多項式，x的3次方系數就是10。

牛頓推廣的時候，基本沒怎麼變動，就是把C(n r)的分子寫成從n開始的r個數相乘（每個遞減1），分母還是r的階乘法。但這個 r 從 0 一直增加的無窮大。而且，對x也有要求，x的絕對值必須小於1。

不知道人們為何又改用括弧的方法表示，括弧的寫法同C的寫法正好顛倒n和r的上下，但算式是一樣的。於是，我也習慣用括弧的寫法了。不必展開，反正知道每個括弧對應一個數字就可以了。展開來太長了。

下面是r=1/2時，（1+x）^r 展開後前幾項的系數，

1  ， 1/2， -1/8 ，1/16 ，-5/128， 7/256， -21/1024， 33/2048， -429/32768 ，715/65536

注意到系數是正負交替的，因此，人們常常展開 (1-x)^r，乾脆把後面的符號都統一了。注意冪是從0開始的，0次冪系數是1，1次冪系數為1/2, 2次冪的系數為-1/8...

這個定理，經牛頓推廣以後，就太神奇了。

這個定理，我在很多書上尋找證明，暫時還沒有找到。但看見過用泰勒級數證明的，我以為不妥，因為泰勒出生的年代比牛頓晚，泰勒級數是在牛頓二項式定理啟發而發現的，因此用泰勒級數證明牛頓的二項式定理是顛倒因果的做法。就好比用兩點間距離公式證明勾股定理一樣。

暫且算牛頓的女神托夢送他的吧。真的很好用。牛頓也很喜歡，有了二項式定理，各種開方運算像吃飯喝水一樣簡單。

然後是積分的運算。定積分，是求曲線下的面積;不定積分，是求一個函數的原函數。原函數的兩個函數值一減，就可以得到定積分的值。這東西，打個比方說就是，假設一個人在走路，距離一直在變，距離的相對時間變化率就是速度，速度累積在時間上的效果就是距離。

如果求直線 y=x 下的面積（同x軸一起圍成），顯然是個三角形，結果是(x^2)/2。結果的次數比y=x中升高一次，系數正好乘以次數的倒數。類推，上面這個拋物線 y=(x^2)/8 下的面積也是，次數升高一次變為3，系數乘以1/3.那麼就是  (x^3)/24 。

所以，冪函數的積分運算相當簡單，升高次數，調整系數。就是這么簡單。

知道冪函數的積分和二項式定理，就可以開啟分析法計算圓周率了。

先精心挑選這樣一個圓

圓的方程如下：

得到這個方程以後，有的人直接就開始用分部積分公式計算面積了。有的人先對後面展開。先展開，看起來容易些。

展開以後，就可以一項的積分了，於是，可以得到面積的公式

假如直接用這個公式，取x=1,計算，也可以得到半圓的面積，但是，收斂會非常非常緩慢。實際上，牛頓取x=1/4，也就是只計算0到1/4部分圓面積，加上旁邊的一個三角形，直接就獲得1/6圓面積。三角形KDC的面積為 （1/2）×（1/4）× (SQRT(3) /4) = SQRT(3)/32  。

㈥ 牛頓迭代法是什麼原理呢

牛頓迭代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根。另外該方法廣泛用於計算機編程中。

設r是f(x) = 0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0)）做曲線y = f(x)的切線L，L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L與x軸交點的橫坐標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，稱x1為r的一次近似值。過點（x1,f(x1)）做曲線y = f(x)的切線，並求該切線與x軸交點的橫坐標 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，稱x2為r的二次近似值。重復以上過程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。

解非線性方程f(x)=0的牛頓法是把非線性方程線性化的一種近似方法。把f(x)在x0點附近展開成泰勒級數 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其線性部分，作為非線性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展開的前兩項，則有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 設f'(x0)≠0則其解為x1=x0－f(x0)/f'(x0) 這樣，得到牛頓法的一個迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

㈦ 牛頓的方法論原理是什麼呢

牛頓在科學方法論上的貢獻正如他在物理學特別是力學中的貢獻一樣，不只是創立了某一種或兩種新方法，而是形成了一套研究事物的方法論體系，提出了幾條方法論原理。在牛頓《原理》一書中集中體現了以下幾種科學方法：

①實驗理論，應用的方法。牛頓在《原理》序言中說：「哲學的全部任務看來就在於從各種運動現象來研究各種自然之力，而後用這些方去論證其他的現象。」科學史家I.B.Cohen正確地指出，牛頓「主要是將實際世界與其簡化數學表示反復加以比較」。牛頓是從事實驗和歸納實際材料的巨匠，也是將其理論應用於天體、流體、引力等實際問題的能手。

②分析，綜合方法。分析是從整體到部分（如微分、原子觀點），綜合是從部分到整體（如積分，也包括天與地的綜合、三條運動定律的建立等）。牛頓在《原理》中說過：「在自然科學里，應該像在數學里一樣，在研究困難的事物時，總是應當先用分析的方法，然後才用綜合的方法……。一般地說，從結果到原因，從特殊原因到普遍原因，一直論證到最普遍的原因為止，這就是分析的方法；而綜合的方法則假定原因已找到，並且已經把它們定為原理，再用這些原理去解釋由它們發生的現象，並證明這些解釋的正確性」。

③歸納，演繹方法。上述分析一綜合法與歸納一演繹法是相互結合的。牛頓從觀察和實驗出發。「用歸納法去從中作出普通的結論」，即得到概念和規律，然後用演繹法推演出種種結論，再通過實驗加以檢驗、解釋和預測，這些預言的大部分都在後來得到證實。當時牛頓表述的定律他稱為公理，即表明由歸納法得出的普遍結論，又可用演繹法去推演出其他結論。

④物理，數學方法。牛頓將物理學范圍中的概念和定律都「盡量用數學演出」。愛因斯坦說：「牛頓才第一個成功地找到了一個用公式清楚表述的基礎，從這個基礎出發他用數學的思維，邏輯地、定量地演繹出范圍很廣的現象並且同經驗相符合」，「只有微分定律的形式才能完全滿足近代物理學家對因果性的要求，微分定律的明晰概念是牛頓最偉大的理智成就之一」。牛頓把他的書稱為《自然哲學的數學原理》正好說明這一點。 牛頓的方法論原理集中表述在《原理》第三篇「哲學中的推理法則」中的四條法則中，此處不再轉引。概括起來，可以稱之為簡單性原理（法則1），因果性原理（法則2），普遍性原理（法則3），否證法原理（法則4，無反例證明者即成立）。有人還主張把牛頓在下一段話的思想稱之為結構性原理：「自然哲學的目的在於發現自然界的結構的作用，並且盡可能把它們歸結為一些普遍的法規和一般的定律——用觀察和實驗來建立這些法則，從而導出事物的原因和結果」。

㈧ 牛頓法和PQ法的原理是什麼

這是牛頓法原理

把非線性函數f(x)在x = 0處展開成泰勒級數

牛頓法

取其線性部分，作為非線性方程f(x)=0的近似方程，則有

f(0 )+(x-0 ) f′(0 )=0

設f′(0 )≠0?，則其解為x = - xf(1)

再把f(x)在x 處展開為泰勒級數，取其線性部分為f(x)=0的近似方程，若f′(x ) ≠0，則得x = - 如此繼續下去，得到牛頓法的迭代公式：x = - ...(n=0,1,2,…) (2)

例1 用牛頓法求方程f(x)=x +4x -10=0在[1,2]內一個實根，取初始近似值x =1.5。 解 ?f′(x)=3x +8x??所以迭代公式為：

x = -... n=0,1, 2，...

列表計算如下：

n

0

1

2

3

1.5

1.3733333

1.36526201

1.36523001