開方的手工演算法

A. 開根號的計算方法（手工計算）

將數以小數點為界，分別往左、往右每兩位一節，在數上方用分號分開，左邊第一節也可能只有一位數。開方時從左邊第一節開始，看它可以是那個數的平方或那個數的平方與它最接近，如：625的第一節是6，可以商2, 2的平方得4，從6中減去4得2，然後這個2與下一節的25組成數225，然後試商，把剛才的商2×20+a的和再乘以a,積要小於或等於225，在這里可以商5，於是225-2×20+5=0，所以625開方得25.
如果第一節的余數與第二節組成的數（如225），減去乘積（如2×20+5），還有餘數，將這個余數再與下一節的數組成數，如62868開方，第二次余數3與後面的28組成328，328-(25×20+a),不夠，在328的後面不上兩個0，即328.00，在28折一節數商補0， 36800-（250×20+a)a, a可以為7， 36800-（250×20+7)7=1851， 1851後面再補兩個0，重復前面的步驟，到此為止62868的方根為250.7。

B. 開方運算怎麼算

開方的計算步驟
1．將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用撇號分開（豎式中的11』56），分成幾段，表示所求平方根是幾位數；
2．根據左邊第一段里的數，求得平方根的最高位上的數（豎式中的3）；
3．從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個余數（豎式中的256）；
4．把求得的最高位數乘以20去試除第一個余數，所得的最大整數作為試商（20×3除256，所得的最大整數是 4，即試商是4）；
5．用商的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商．如果所得的積小於或等於余數，試商就是平方根的第二位數；如果所得的積大於余數，就把試商減小再試（豎式中（20×3+4）×4=256，說明試商4就是平方根的第二位數）；
6．用同樣的方法，繼續求平方根的其他各位上的數．
如遇開不盡的情況，可根據所要求的精確度求出它的近似值．例如求 的近似值（精確到0.01），可列出上面右邊的豎式，並根據這個豎式得到

C. 怎樣手算開方

過最好的是記住根號2，根號3，根號5等一些數值的值因為很多數值都可以分解成這些數的乘積形式[解題過程]述求平方根的方法，稱為筆算開平方法，用這個方法可以求出任何正數的算術平方根，它的計算步驟如下：1．將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用撇號分開(豎式中的11'56)，分成幾段，表示所求平方根是幾位數；2．根據左邊第一段里的數，求得平方根的最高位上的數(豎式中的3)；3．從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個余數(豎式中的256)；4．把求得的最高位數乘以20去試除第一個余數，所得的最大整數作為試商(3×20除 256，所得的最大整數是 4，即試商是4)；5．用商的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商．如果所得的積小於或等於余數，試商就是平方根的第二位數；如果所得的積大於余數，就把試商減小再試(豎式中(20×3＋4)×4＝256，說明試商4就是平方根的第二位數)；6．用同樣的方法，繼續求平方根的其他各位上的數．徒手開n次方根的方法:原理:設被開方數為X,開n次方,設前一步的根的結果為a,現在要試根的下一位,設為b,則有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差與本段合成);且b取最大值用純文字描述比較困難,下面用實例說明:我們求 2301781.9823406 的5次方根:第1步:將被開方的數以小數點為中心,向兩邊每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在兩端用0補齊;23'01781.98234'06000'00000'00000'..........從高位段向低位段逐段做如下工作:初值a=0,差c=23(最高段)第2步:找b,條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且為最大值;顯然b=1差c=23-b^5=22,與下一段合成,c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781第3步:a=1(計算機語言賦值語句寫作a=10*a+b),找下一個b,條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,b取最大值8,差c=412213,與下一段合成,c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234第4步:a=18,找下一個b,條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,b取最大值7說明:這里可使用近似公式估算b的值:當10*a>>b時,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值差c=1508808527;與下一段合成,c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000第5步:a=187,找下一個b,條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,b取最大值2,差c=28335908584368;與下一段合成,c=c*10^5+下一段=2833590858436800000第6步:a=1872,找下一個b,條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,b取最大值4,差c=376399557145381376;與下一段合成,c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000

D. 怎樣手工開平方根，簡單一點的方法，過程要詳細點。

假設被開放數為a，如果用sqrt（a）表示根號a，設置一個約等於（x+a/x）/2的初始值，代入上面公式，可以得到一個更加近似的值，再將它代入，就得到一個更加精確的值。依此方法，最後得到一個足夠精度的（x+a/x）/2的值。

E. 如何手算開立方根

一、分為整數開平方和小數開平方。
1、整數開平方步驟：
（1）將被開方數從右向左每隔2位用撇號分開；

（2）從左邊第一段求得算數平方根的第一位數字；

（3）從第一段減去這個第一位數字的平方，再把被開方數的第二段寫下來，作為第一個余數；

（4）把所得的第一位數字乘以20，去除第一個余數，所得的商的整數部分作為試商（如果這個整數部分大於或等於10，就改用9左試商，如果第一個余數小於第一位數字乘以20的積，則得試商0）；

（5）把第一位數字的20倍加上試商的和，乘以這個試商，如果所得的積大於余數時，就要把試商減1再試，直到積小於或等於余數為止，這個試商就是算數平方根的第二位數字；

（6）用同樣方法繼續求算數平方根的其他各位數字。
2、小數部分開平方法：
求小數平方根，也可以用整數開平方的一般方法來計算，但是在用撇號分段的時候有所不同，分段時要從小數點向右每隔2段用撇號分開。

如果小數點後的最後一段只有一位，就填上一個0補成2位，然後用整數部分開平方的步驟計算。

二、

1.根據平方和（立方和）公式手算開平方（開立方）。以往初中教材上必學的手算開平方就是此法，開立方也可類似處理。

2.利用二分法以及不等式兩邊夾，如求2的平方根

1）1^2<2<2^2

2)(1.4)^2<2<(1.5)^2

......

此法運算量大。

3.利用微分求近似值——由於此法誤差不可控，可結合前一方法逐步提高精度，計算量比前一方法小。

4.原始的泰勒展開，計算量大，誤差可控。

5.變形的泰勒展開，計算方法里的。

參考鏈接：數學資源

F. 開根號的計算方法（手工計算）

任意數開立方根筆算步驟如下:
1、把所求數從右往左每3位分一段分成若干段,從左往右開始計算.
2、先從最左邊一段開始計算。用試演算法得出這段的得數（該得數要取其立方不溢出所求數第一段上的數時的最大數）設該得數為a
3、把第一段所求數與a^3的差,在其後面按位補上第二段的數,為第二段要算的數（所求數），取一個試算數b,在計算紙的其它地方第一行寫上3a^2,第二行往右移一位寫上3ab,第三行往右移一位寫上b^2,用豎式加法算出這三行數的和(上面兩行數,相應空位補上0).用這個和乘以試算數b所得的積與該段所求數進行比較.試算出最大的b(積不溢出所求數),該數b即為第二段上的得數.把該得數寫在算式相應段的上方。
4、相同的方法進行下一段的計算，所不同的是a要取前面已算出的得數，（如前面兩位得數分別是1，3，a就取13，如算到第四段，前面三位數分別是1，3，5，a就取135，）試算出相應的b寫在該段上方。
5、算到最後一段，如最後試算出來的余數不為0，則說明所求數的立方根不是整數，此時，用與求開方相似的方法，在該數後面補一段000，再算出的得數就是小數點後的第一位數，還有餘數，再補三位0，只到余數為0或者至算至足夠的小數位即可。
6、該演算法寫出來似乎很煩，但實際計算時並不復雜。可能會化點時間。當然，這都是在沒有辦法以的情況下才會用筆算進行開立方的。
希望對你有幫助。

G. 開方的簡便演算法

一、開平方的手動演算法
此方法是在高一學萬有引力和航天時，因需要大量開平方運算又不能用計算器，而被逼無奈研發的。
開平方的整個過程分為以下幾步：
（一）分位
分位，意即將一個較長的被開方數分成幾段。具體法則是：
1、分位的方向是從低位到高位；
2、每兩個數字為一段；
3、分到最後，最高位上可以不滿兩個數字，但不能沒有數字。
如：43046721分位後是43｜04｜67｜21
12321分位後是1｜23｜21
其中，每段中間的豎線在熟練了以後可不必寫。
分位以後，其實就能看出開方後的結果是幾位數了，如43046721分位後是四段，那麼開方結果就是四位數。
（二）開方
開方的運算過程其實與做除法很類似，都有一個相乘以後再相減的過程。
這里以43046721為例。
分位後是43｜04｜67｜21
運算時從高位到低位，先看前兩位43，由於62最接近43而不超過43，因而商（這里找不到合適的字眼，因而沿用除法時的字眼）6，然後做減法（如下圖）：
6
———————————————
4
3｜0
4｜6
7｜2
1
3
6
————————
7
0
4
這里一次落兩位，與除法不同。
下面的過程是整個演算法中最復雜的部分，稱為造數，之所以用這個詞是因為算出最後要減掉的數的過程較為麻煩。
首先，將已商數6乘以2：6×2=12
這里的12不是真正的12，實際上是120，個位上的0之所以空出來是為了寫下一個要商的數。
我們不妨假設下一個要商的數為A，我們下面要考慮的問題就是：從0-9中找一個A，使得：
12A×A最接近但不超過上面餘下的數704。注意，A在這里代表一個數位，若A=6，那麼12A的含義不是12×6，而是126。
以上過程與除法中的試商的過程很類似。
經驗證，125×5=625符合要求，因此下一個要商的數就是5。（如下圖）
往下依此類推：
65
×2
———
130
1306
×
6
————
7836
656
×2
———
1312
13121
×
1
————
13121
所以，43046721的算術平方根為6561
從開方的過程中我們可以看出，越到後面，計算量越大，因此，憑我們的計算量，再算一些開不盡的數時，如7的算術平方根，其精確程度是非常有限的。
以上就是開平方的一般方法，請列位指教。
二、開立方的手動演算法
此方法是昨天剛剛研發成功的，為了應付在由體積求分子半徑時產生的開立方的運算。
開立方的方法與開平方的方法很類似，但要復雜很多，如果不能熟練掌握，倒不如按大臉貓說的方法：湊！當然，熟練掌握以後，比湊的方法是快多了。
開立方的過程分以下幾步：
（一）分位
與開平方基本一致，只有一點：這次是每三位為一段
（二）開方
這里以41063625為例
第一個要商的數的確定與開平方是類似，只是變成了要找一個數的立方（如下圖）：
3
——————————————
4
1｜0
6
3｜6
2
5
2
7
————————
1
4
0
6
3
一次落三位！
下面的造數過程是最麻煩的，流程如下：
1、將已商數乘以3。3×3=9
2、將要商的數乘以3後，向後錯一位加在第1步算出的數上：
4×3=12
9
+
12
———
102
3、將第2步得出的數乘以已商數：102×3=306
4、將要商的數平方以後，向後錯一位加在第3步算出的數上
42=16
306
+
16
————
3076
5、將第4步中算出的數乘以要商的數，使它最接近又不超過餘下來的數：
3076×4=12304
12304就是我們要造的數，將這個數代回原來的開方式減掉就可以了。
3
4
——————————————
4
1｜0
6
3｜6
2
5
2
7
————————
1
4
0
6
3
1
2
3
0
4
—————————————
1
7
5
9
6
2
5
有人肯定會問，你怎麼知道要商的數就是4？的確，我一開始也不知道，確定要商的數的過程實際上就是類似開平方中的試商的過程，但這個過程比開平方是要繁瑣得多。
當做完造數過程的第1步以後，得出了9這個數，由於不知道應該商幾，所以，我們可以先假設商0，那麼依據第2步，90×3=270。270錯位加一個數，等於擴大了10倍還多，由於我們假設商0，由第3步，270變成了2700。這是我們就要看一看2700乘以一個什麼數最接近且不超過14063，這個數可能（這里說「可能」的原因從下文可以看到）就是我們要商的數。乍一看5非常合適，但你要考慮到我們在假設商0時少加了多少東西，所以商5可能就超了。經驗告訴我們，4和5都有可能，此時我們可先取5為要商的數，然後進行1-5各步，結果發現的數已經超過了14063，因此4就是我們要商的數。
註：這個試商的過程在熟練了以後是一眼就能看出來的。
下面的步驟可依此類推：
34
×3
————
102
+
15
（3×5）
————
1035
×
34
————
4140
3105
————
35190
+
25
52
————
351925
×
5
————
1759625
這里的5是怎麼商出來的不用我再說一遍了吧？
整個流程相當繁瑣，丟其中任何一步都可能導致前功盡棄，因此必須要求計算準確。熟練了以後，速度是可以保證的。我曾經把手動開方法和湊數法比較過，前者比後者至少快一倍。
另外，值得注意的是：如果已知結果是整數，那麼結果最後一位的確定可不必用以上方式，直接根據立方數末位的特異性就可確定，但前提是對1-9的立方表非常熟悉。1-5的立方表同志們應該都很熟悉，以下幾個是不常用的：
63=216
73=343
83=512
93=729
結語：這兩種方法可用來准確地進行開平方及開立方的運算，只要有耐心，想算幾位就算幾位。但開立方的過程實在是很復雜，很可能還存在優化方案，但由於時間緊迫，我沒有再考慮其他的方法。同志們誰要是有興趣，可以使這優化這兩個演算法，我的方法僅供參考。

H. 如何手算開方

手動開平方
1．將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用撇號分開，分成幾段，表示所求平方根是幾位數；小數部分從最高位向後兩位一段隔開，段數以需要的精度+1為准。
2．根據左邊第一段里的數，求得平方根的最高位上的數。（在右邊例題中，比5小的平方數是4，所以平方根的最高位為2。）
3．從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個余數。
4．把第二步求得的最高位的數乘以20去試除第一個余數，所得的最大整數作為試商。（右例中的試商即為[152/(2×20)]＝[3.8]＝3。）
5．用第二步求得的的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商。如果所得的積小於或等於余數，試商就是平方根的第二位數；如果所得的積大於余數，就把試商減小再試，得到的第一個小於余數的試商作為平方根的第二個數。（即3為平方根的第二位。）
6．用同樣的方法，繼續求平方根的其他各位上的數。用上一個余數減去上法中所求的積（即152－129＝23），與第三段數組成新的余數（即2325）。這時再求試商，要用前面所得到的平方根的前兩位數（即23）乘以20去試除新的余數（2325），所得的最大整數為新的試商。（2325/(23×20)的整數部分為5。）
7．對新試商的檢驗如前法。（右例中最後的余數為0，剛好開盡，則235為所求的平方根。）
http://ke..com/view/1188043.htm

I. 列豎式手算開平方。

(a*10+b)^2=a^2+2*a*10*b+b^2=a^2+(20*a+b)*b。

豎式算開平方步驟：（如：把625開方）。

（1）先把被開方的數由右到左每二位一組。（6,25)。

（2）由左到右取每一組。（取的是6）。

（3）取某數的平方，要比第一組數小，但某數+1的平方，要比第一組數大，這就是第一個開方值。（某數是2）。

（4）把第一組數減去第一個開方值的平方，再取第二組數，構成余數。（6-2*2=2，余數為225）。

(9)開方的手工演算法擴展閱讀：

電線截面積是平方毫米，一般分為：0.5、1、1.5、2.5、4、6、10、16、25、35、50、70、95、120、150、185、240平方等。10（平方毫米）以下的一般叫電線，10（平方）以上的叫電纜。在購買時說買電線，一般就認為是買10平方以下的，要說買電纜一般就認為是要10平方以上的。

10平方以上的電纜大都是多根銅線絞成一根組成。10平方以下的由毛絲銅線組成的一根電線叫軟線也叫膠合線，而只有一根的銅線叫硬線也叫獨股線。BV是指塑料銅線，LBV是指塑料鋁線，電線電纜都分為鋁線和銅線兩種材質。

銅線外沒有其它絕緣只有絕緣漆的叫漆包線，一般用於繞電機線圈等。兩根塑料銅線再用一層塑料絕緣包在一起叫護套線，X是指橡膠絕緣，兩根或兩以上的橡膠絕緣銅軟電線外層再用橡膠包起來，叫防水線。

硬電線用在不移動的地方，而軟電線用在移動的地方，比如電水壺，吸塵器，電飯鍋，等都用軟電線。電線的粗細是根據用電器的功率大小來選，功率大電線就選粗的，也就是平方數大一些。