擬合詳細演算法過程

A. 曲線擬合的方法

用Matlab進行曲線擬合步驟：
一、 單一變數的曲線逼近
Matlab有一個功能強大的曲線擬合工具箱 cftool ，使用方便，能實現多種類型的線性、非線性曲線擬合。下面結合我使用的 Matlab R2007b 來簡單介紹如何使用這個工具箱。
假設我們要擬合的函數形式是 y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。
1、在命令行輸入數據：
》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475]；
》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50]；
2、啟動曲線擬合工具箱 》cftool
3、進入曲線擬合工具箱界面「Curve Fitting tool」 （1）點擊「Data」按鈕，彈出「Data」窗口；
（2）利用X data和Y data的下拉菜單讀入數據x,y，可修改數據集名「Data set name」，然後點擊「Create data set」按鈕，退出「Data」窗口，返回工具箱界面，這時會自動畫出數據集的曲線圖；
（3）點擊「Fitting」按鈕，彈出「Fitting」窗口；
（4）點擊「New fit」按鈕，可修改擬合項目名稱「Fit name」，通過「Data set」下拉菜單選擇數據集，然後通過下拉菜單「Type of fit」選擇擬合曲線的類型，工具箱提供的擬合類型有：  Custom Equations：用戶自定義的函數類型
 Exponential：指數逼近，有2種類型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x)  Fourier：傅立葉逼近，有7種類型，基礎型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)  Gaussian：高斯逼近，有8種類型，基礎型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
 Interpolant：插值逼近，有4種類型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
 Polynomial：多形式逼近，有9種類型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
 Power：冪逼近，有2種類型，a*x^b 、a*x^b + c
 Rational：有理數逼近，分子、分母共有的類型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子還包括constant型
 Smoothing Spline：平滑逼近（翻譯的不大恰當，不好意思）
 Sum of Sin Functions：正弦曲線逼近，有8種類型，基礎型是 a1*sin(b1*x + c1)  Weibull：只有一種，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)
選擇好所需的擬合曲線類型及其子類型，並進行相關設置：
——如果是非自定義的類型，根據實際需要點擊「Fit options」按鈕，設置擬合演算法、修改待估計參數的上下限等參數；
——如果選Custom Equations，點擊「New」按鈕，彈出自定義函數等式窗口，有「Linear Equations線性等式」和「General Equations構造等式」兩種標簽。
在本例中選Custom Equations，點擊「New」按鈕，選擇「General Equations」標簽，輸入函數類型y=a*x*x + b*x，設置參數a、b的上下限，然後點擊OK。
（5）類型設置完成後，點擊「Apply」按鈕，就可以在Results框中得到擬合結果，如下例： general model: f(x) = a*x*x+b*x
Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 0.009194 (0.009019, 0.00937) b = 1.78e-011 (fixed at bound)
Goodness of fit: SSE: 6.146 R-square: 0.997
Adjusted R-square: 0.997 RMSE: 0.8263
同時，也會在工具箱窗口中顯示擬合曲線。
這樣，就完成一次曲線擬合啦，十分方便快捷。當然，如果你覺得擬合效果不好，還可以在「Fitting」窗口點擊「New fit」按鈕，按照步驟（4）~（5）進行一次新的擬合。
不過，需要注意的是，cftool 工具箱只能進行單個變數的曲線擬合，即待擬合的公式中，變數只能有一個。對於混合型的曲線，例如 y = a*x + b/x ，工具箱的擬合效果並不好。下一篇文章我介紹幫同學做的一個非線性函數的曲線擬合。

B. 擬合貝塞爾曲線演算法 （50分）

這里有篇文章是演算法的C實現

http://hi..com/roooy/blog/item/5336d7dee09f9e50ccbf1a01.html

C. 曲線擬合一般有哪些方法

曲線擬合一般方法包括：

1、用解析表達式逼近離散數據的方法

2、最小二乘法

拓展資料：

實際工作中，變數間未必都有線性關系，如服葯後血葯濃度與時間的關系;疾病療效與療程長短的關系;毒物劑量與致死率的關系等常呈曲線關系。曲線擬合(curve fitting)是指選擇適當的曲線類型來擬合觀測數據，並用擬合的曲線方程分析兩變數間的關系。

最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據，並使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用於曲線擬合。其他一些優化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達。

D. [數學建模第四講] 擬合演算法

差值函數：曲線一定經過給出的樣本點

而擬合問題的目標是尋求一個完整的函數，使得該曲線在某種准則下與所有的數據點最為接近，即曲線的擬合度最好（最小化損失函數）

樣本點個數n>30時，稱為大樣本，一般用擬合。

最小二乘法 ：擬合的值與真實值的差的平方和最小時的 ：

數學表達：

形狀像一次線性函數的：

第二種方法：

利用cftool作圖。

E. 請問採用什麼方法能擬合出方程里的兩個參數

採用什麼方法能擬合出方程里的兩個參數？一般可以用nlinfit（）、 lsqcurvefit（）、 lsqnonlin（）這三個常用的函數來擬合系數，也可以用遺傳演算法來求。今以nlinfit函數為例說明，其擬合過程：
第一步，將三個自變數賦值給x，一個因變數賦值給y。即 x=[自變數1,自變數2,自變數3]；y=[因變數]；
第二步，自定義數學模型表達式。即 func=@(a,x) 數學模型表達式
第三步，初定擬合系數的初值，即a0=[a01,a02,a03,a04] %這里假定未知系數有4個
第四步，使用nlinfit函數求解其數學模型的系數，即
[a,r,J]=nlinfit(x,y,func,x0);
第五步，使用 nlparci函數求擬合系數的置信區間，即
ci = nlparci(p,r,J)
第六步，計算擬合值，即 yi=func(a,x)
第七步，計算擬合精度R²，判斷擬合是否成功。

F. 數據擬合演算法

解：設一共有n個方程，第i個方程形如aiX1+biX2=ci，其中ai,bi,ci是已知數
設di(x1,x2)=(ci-aix1-bix2)(ci-aix1-bix2)
設D= d1+d2+...dn
原問題就是求D的極小值，分別求D關於x1和x2的偏導數，得

Dx1=2a1(a1x1+b1x2-c1)+2a2(a2x1+b2x2-c2)+...2an(anx1+bnx2-cn)
Dx2=2b1(a1x1+b1x2-c1)+2b2(a2x1+b2x2-c2)+...2bn(anx1+bnx2-cn)
極小值處偏導數等於0，所以令Dx1=0,Dx2=0建立方程組，解得
x1=(F*B-G*E)/(A*B-E*E）
x2=(G*A-F*E)/(A*B-E*E)
其中F=a1c1+a2c2+...+ancn
G=b1c1+b2c2+...+bncn
E=a1b1+a2b2+...+anbn
A=a1a1+a2a2+...+anan
B=b1b1+b2b2+...+bnbn
具體數據這里就不算了，用excel把公式打進去就可以算，另外excel本身就帶擬合功能