連續函數復合運演算法則

『壹』 復合函數求導法則口訣

復合函數求導數，分清楚內層函數與外層函數，設外層函數為u外層函數對u求導數，乘以內層函數對x求導，然後把u還回去。

『貳』 怎麼求函數的連續性

如果一個多元函數是連續的，那麼在該處極限值等於函數值。極限的求法可以通過通過夾逼定理，h(x)<f(x)<g(x)，而h(x)與 g(x)的極限又是相等的，從而求得其極限值。然後通過對比f(x)在這一點的函數值，最後得出結論是否相等。而一般的,這種題目往往是探求在(0,0)這一點的連續性，而又往往左邊h(x)是0，右邊g(x)也是趨於零的。而g(x)趨於零通常又是運用基本不等式對它進行放縮最後求得極限。還有就是無窮小量的代換，以及sinx/x這種在一元函數常用的公式在多元函數的極限過程中也經常用到
如果一個多元函數是不連續的，根據定義，通過取不同的路徑，極限值不相同。比如y = kx,y = kx^2等等，最後發現極限與k相關，k取不同的值極限也取不同的值,所以極限是不存在的。

『叄』 復合函數導數公式及運演算法則

復合函數導數公式是f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)。

復合函數的運演算法則：

設函數y=f(u)的定義域為Du，值域為Mu，函數u=g(x）的定義域為Dx，值域為Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那麼對於Mx∩Du內的任意一個x經過u；有唯一確定的y值與之對應，則變數x與y之間通過變數u形成的一種函數關系。

以此類推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)，y'={sin(3-x)]'=-cos(x)，一開始會做不好，老是要對照公式和例子。

但只要多練練，並且熟記公式，最重要的是記住一兩個例子，多練習就會了。

『肆』 連續函數的運算性質是什麼

1：連續函數的和，差，積，啇仍是連續函數但是商的情況時，分母不為零。
2：連續函數的復合函數為連續函數。
3：單調連續函數的反函數是連續的。
4：在閉區間上連續的函數，在該區間上必可取到最大值與最小值，也可取到最大值與最小值之間的任何中間值。

『伍』 連續函數的四則運演算法則

連續函數具有四則運演算法則：若函數f和g在x0連續，則f±g，f·g，f/g(g(x0)≠0)也在點x0連續.

連續函數是指函數y=f（x）當自變數x的變化很小時，所引起的因變數y的變化也很小。例如，氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如，自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的。

對於這種現象，因變數關於自變數是連續變化的，連續函數在直角坐標系中的圖像是一條沒有斷裂的連續曲線。由極限的性質可知，一個函數在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。

在函數極限的定義中曾經強調過，當x→x0時f(x)有沒有極限，與f(x)在點x0處是否有定義並無關系。但由於函數在x0處連續，則表示f(x0)必定存在，顯然當Δx=0（即x=x0）時Δy=0<ε。於是上述推導過程中可以取消0<|Δx|這個條件。

法則

定理一 在某點連續的有限個函數經有限次和、差、積、商（分母不為0） 運算，結果仍是一個在該點連續的函數。

定理二 連續單調遞增 （遞減）函數的反函數，也連續單調遞增 （遞減）。

定理三 連續函數的復合函數是連續的。

這些性質都可以從連續的定義以及極限的相關性質中得出。

『陸』 復合函數極限運演算法則是什麼

極限代表的是一種趨向性，函數f(x)在x=x0處的極限與f(x)在x=x0處的函數值無關（假設f(x)在x=x0處有定義），所以函數極限定義用的是x0的去心鄰域，因為當x=x0時，|f(x)-A|=|f(x0)-A|<ε就不一定成立了，比如f(x)=0(當x≠0時),f(x)=1(當x=0時)，lim(x->0)f(x)=0,而f(0)=1,而f(x)在x=x0處的極限與f(x)在x=x0處的函數值的統一依靠連續性實現的。所以書上一般不說復合函數的極限運算，而是給出復合函數的連續性，因為復合函數的極限運算是有條件的。先給個例子：
當u=0時，y=f(u)=0,當u≠0時，y=f(u)=1,u=g(x)=x*sin(1/x)（x≠0）
顯然有lim(x->0)g(x)=0,lim(u->0)f(u)=1,但是f(g(x))在x=0處沒有極限。
因為在0的任意小的去心鄰域內都有存在ξ,使得g(ξ)=0.
這樣在0的任意小的去心鄰域內，f(g(x))=0和f(g(x))=1都可以取到，f(g(x))在x=0處沒有極限。
所以滿足lim(x->x0)g(x)=u0,且x0的任意小的去心鄰域內都有g(x)≠u0,lim(u->u0)f(u)=A.
才可以證明lim(x->x0)f(g(x))=A.證明如下：
因為lim(u->u0)f(u)=A,所以對任意ε>0,存在δ1>0,當u滿足：0<|u-u0|<δ1時，|f(u)-A|<ε,
又因為lim(x->x0)g(x)=u0,所以對上述的δ1>0,存在δ2>0，當x滿足：0<|x-x0|<δ2時，|g(x)-u0|<δ1,
又x0的任意小的去心鄰域內都有g(x)≠u0,所以當x滿足：0<|x-x0|<δ2時，0<|g(x)-u0|<δ1,
於是對任意ε>0,存在δ2>0,當x滿足：0<|x-x0|<δ2時，有0<|g(x)-u0|<δ1，進而有|f(g(x))-A|<ε,
這就證明了lim(x->x0)f(g(x))=A.(如果沒有條件「x0的任意小的去心鄰域內都有g(x)≠u0」，則只能有「|g(x)-u0|<δ1」，而不能進一步得到「0<|g(x)-u0|<δ1」，就會出現像上面一樣的反例。)

『柒』 連續函數之間的加減乘除還是不是連續函數

不一定。

連續函數與間斷函數的加減一定是間斷的，可以用反證法得到（若連續，設f連續，g間斷，則g=(f+g)-f連續，矛盾。）連續函數與間斷函數的乘除是不一定的，例如一個恆為0，另一個隨便，那麼乘除都為0。

函數y=f（x）當自變數x的變化很小時，所引起的因變數y的變化也很小。例如，氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如，自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的。

對於這種現象，我們說因變數關於自變數是連續變化的，連續函數在直角坐標系中的圖像是一條沒有斷裂的連續曲線。由極限的性質可知，一個函數在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。

（分段函數在x=0處的左右極限都存在，但不等於f(0)）。

閉區間上的連續函數在該區間上一定有界。

所謂有界是指，存在一個正數M，使得對於任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。