根式與方根的運演算法則

『壹』 初中根式的運演算法則全部

二次根式的運算性質：

①先開方再平方等於這個數本身；

②先平方再開方等於這個數的絕對值

乘法性質 ：

兩個二次根式相乘＝ 兩數相乘後開方

除法性質：

兩個二次根式相除＝兩數相除後開方

加法性質：

同類二次根式才可加減，原則：二次根式部分不變系數相加減。

看圖

『貳』 二次根式的運演算法則

二次根式的乘法：

（1）法則：根a ·根b =根ab （a≥0且b≥0）

（2）類型：

單項二次根式乘以單項二次根式；

單項二次根式乘以多項二次根式；

多項二次根式乘以多項二次根式

在進行乘法運算時,有時可以應用乘法公式,使計算簡便.

3.二次根式的除法：

（1）法則：根a/根b =根a/b （a≥0且b>0）

（2）類型：

單項二次根式除以單項二次根式（應用運演算法則計算）

多項二次根式除以單項二次根式（轉化為單項二次根式除以單項二次根式）

除數是二個二次根式的和或是一個二次根式與一個有理數的和（把分母有理化進行運算,或與分式的運算類比思考,約去分子,分母中的公因式）.

(2)根式與方根的運演算法則擴展閱讀：

一般地，形如√a的代數式叫做二次根式，其中，a叫做被開方數。當a≥0時，√a表示a的算術平方根；當a小於0時，√a的值為純虛數（在一元二次方程求根公式中，若根號下為負數，則方程有兩個共軛虛根）。

判斷一個二次根式是否為最簡二次根式主要方法是根據最簡二次根式的定義進行，或直觀地觀察被開方數的每一個因數（或因式）的指數都小於根指數2，且被開方數中不含有分母，被開方數是多項式時要先因式分解後再觀察。

最簡二次根式條件：

1.被開方數的因數是整數或字母，因式是整式；

2.被開方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因式。

二次根式化簡一般步驟：

1.把帶分數或小數化成假分數；

2.把開方數分解成質因數或分解因式；

3.把根號內能開得盡方的因式或因數移到根號外；

4.化去根號內的分母，或化去分母中的根號；

5.約分。

二次根式的應用主要體現在兩個方面：

（1）利用從特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解決一些規律探索性問題；

（2）利用二次根式解決長度、高度計算問題，根據已知量，求出一些長度或高度，或設計省料的方案，以及圖形的拼接、分割問題。這個過程需要用到二次根式的計算，其實就是化簡求值。

『叄』 根式運演算法則

根式的運演算法則為：同次根式相乘，把根式前面的系數相乘，作為積的系數；把被開方數相乘，作為被開方數，根指數不變，然後再化成最簡根式。非同次根式相乘，應先化成同次根式後，再按同次根式相乘的法則進行運算。
根式定義：若x的n次方=a，則x叫作a的n次方根，記作n√a=x，n√a叫做根式。根式的各部分名稱：在根式n√a中，n叫做根指數，a叫做被開方數，「√」叫做根號。
根式中含有開方運算的代數式，如n√a=x（n為大於1的正整數，n為奇數時，a為一切實數；n為偶數時，a≥0），其中a叫作被開方數。

『肆』 根式運演算法則是什麼

根式的加減法法則各個根式相加減，應先把根式化成最簡根式，然後合並同類根式。

二次根式加減法法則先把各個二次根式化簡成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合並。

同類根式亦稱相似根式，是代數學術語，指做加減法時允許合並的諸根式，當幾個根式化成最簡根式後，如果它們的根指數和被開方數分別都相同，那麼這些根式稱為同類根式。

(4)根式與方根的運演算法則擴展閱讀：

根號的由來：

古時候，埃及人用記號「┌」表示平方根。印度人在開平方時，在被開方數的前面寫上ka。阿拉伯人用 表示 。1840年前後，德國人用一個點「．」來表示平方根，兩點「．．」表示4次方根，三個點「．．．」表示立方根。

與此同時，有人採用「根」字的拉丁文radix中第一個字母的大寫R來表示開方運算，並且後面跟著拉丁文「平方」一字的第一個字母q，或「立方」的第一個字母c，來表示開的是多少次方。例如，中古有人寫成R.q.4352。

『伍』 初中根號之間運算公式是什麼

根號內的數可以化成相同或相同則可以相加減，不同不能相加減。

如果根號裡面的數相同就可以相加減，如果根號裡面的數不相同就不可以相加減，能夠化簡到根號裡面的數相同就可以相加減了。

舉例如下：

（1）2√2 +3√2=5√2（根號裡面的數都是2，可以相加）

（2）2√3 +3√2（根號裡面的數一個是3，一個是2，不同不能相加）

（3）√5+√20=√5+2√5=3√5（根號內的數雖然不同，但是可以化成相同，可以相加）

（4）3√2-2√2=√2

（5）√20-√5=2√5-√5=√5

根號的乘除法：

√ab=√a·√b﹙a≥0b≥0﹚，如：√8=√4·√2=2√2

√a／b=√a÷√b

(5)根式與方根的運演算法則擴展閱讀：

一個數有多少個方根，這個問題既與數的所在范圍有關，也與方根的次數有關。在實數范圍內，任一實數的奇數次方根有且僅有一個，例如8的3次方根為2，-8的 3次方根為-2。

正實數的偶數次方根是兩個互為相反數的數，例如16的4次方根為2和-2；負實數不存在偶數次方根；零的任何次方根都是零。在復數范圍內，無論n是奇數或偶數，任一個非零的復數的n次方根都有n個。

當根式滿足以下三個條件時，稱為最簡根式。

①被開方數的指數與根指數互質；

②被開方數不含分母，即被開方數中因數是整數，因式是整式；

③被開方數中不含開得盡方的因數或因式。

『陸』 根式運算怎麼做

一般形如
（a≥0）的代數式叫做二次根式，其中，a 叫做被開方數。當a≥0時，表示a的算術平方根；當a小於0時，非二次根式（在一元二次方程求根公式中，若根號下為負數，則無實數根），被開方數必須大於或等於0。
平方根
定義和概念

如果一個數的平方等於a，那麼這個數叫做a的平方根，即如果

=a，則x叫做a的平方根，記作x=

，其中a叫被開方數。

性質

1.任何一個正數的平方根有兩個，它們互為相反數。如正數a的算術平方根是x，則a的另一個平方根為﹣x。

2.零的平方根是零，即

；

3.負數沒有平方根。

4.有理化根式：如果兩個含有根式的代數式的積不再含有根式，那麼這兩個代數式互為有理化根式,也稱互為有理化因式。

5.若a,b,c,d都是有理數,為無理數，且，則a=b,c=d。
√a的性質和幾何意義
1）a≥0 ;

≥0 [ 雙重非負性 ]
2）

=a
（a≥0）[任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式]
3) c=

表示直角三角形內，斜邊等於兩直角邊的平方和的根號，即勾股定理推論

算術平方根

正數a的正的平方根和零的平方根統稱為算術平方根，用

(a≥0)來表示。[1]

開平方運算

求一個非負數的平方根的運算，叫做開平方。開平方與平方互為逆運算。[2]

運演算法則

乘除法

1.積的算數平方根的性質

（a≥0，b≥0）

2. 乘法法則

（a≥0，b≥0）

二次根式的乘法運演算法則，用語言敘述為：兩個因式的算術平方根的積，等於這兩個因式積的算術平方根。

3.除法法則

（a≥0，b>0）

二次根式的除法運演算法則，用語言敘述為：兩個數的算術平方根的商，等於這兩個數商的算術平方根。

加減法

1、同類二次根式

一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式後，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。

2、合並同類二次根式

把幾個同類二次根式合並為一個二次根式就叫做合並同類二次根式。

3、二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的進行合並。

例如：（1）

；（2）

4、注意：有括弧時，要先去括弧。

化簡

化簡二次根式是初中階段考試必考的內容，初中競賽的題目中也常常會考察這一內容。

分母有理化

分母有理化即將分母從非有理數轉化為有理數的過程，以下列出分母有理化的幾種方法：

（1）直接利用二次根式的運演算法則：

例：

（2）利用平方差公式：

例：

[3]

（3）利用因式分解：

例：

（此題可運用待定系數法便於分子的分解）

換元法

換元法即把根式中的某一部分用另一個字母代替的方法，是化簡的重要方法之一。

例：在根式

中，令

，即可得到

原式=

典型例題

1、化簡根式：

分析：利用因式分解將大根號下的數化為一個完全平方式，即可去掉大根號。

2、計算

分析：通關換元法換元，將根號下的數化簡，最後求值。

混合運算

1、確定運算順序。

2、靈活運用運算定律。

3、正確使用乘法公式。

4、大多數分母有理化要及時。

5、在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化。

6、字母運算時注意隱含條件和末尾括弧的註明。

7、提公因式時可以考慮提帶根號的公因式。

應用

二次根式的應用主要體現在兩個方面：

（1）利用從特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解決一些規律探索性問題；

（2）利用二次根式解決長度、高度計算問題，根據已知量，求出一些長度或高度，或設計省料的方案，以及圖形的拼接、分割問題。這個過程需要用到二次根式的計算，其實就是化簡求值。[4]

『柒』 根號的四則運算公式

根號的四則運算公式：√a*√b=√ab(a≥0，b≥0)，√a/√b=√a/b(a≥0，b＞0)，如√75+√2-√8+√27=5√3+√2-2√2+3√3=8√3-√2。
根式的加減：首先將根式轉化為最簡根式，然後找出同類根式，類似於合並同類項進行加減。
根式運算注意事項：
1、根式相加減，先把各根式化為最簡根式，再合並同類根式。
2、根式的乘除法常用乘法公式或除法公式來簡化計算，運算結果一定要寫成最簡根式。
3、利用三角形的三邊關系進行化簡。利用根式的雙重非負性的性質，被開方數開方出來後，等於它的絕對值。

『捌』 根號的運演算法則是什麼

根號運演算法則是√a+√b=√b+√a，√a-√b=-(√b-√a)，√a√b=√(ab)，√a/√b=√(a/b)等等根號是一個數學符號。

二次根式加減乘除相關：

一、二次根式的加減。

二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合並。

根號的書寫規范：

1、寫根號：

先在格子中間畫向右上角的短斜線，然後筆畫不斷畫右下中斜線，同樣筆畫不斷畫右上長斜線再在格子接近上方的地方根據自己的需要畫一條長度適中的橫線，不夠再補足。

2、寫被開方的數或式子：

被開方的數或代數式寫在符號左方v形部分的右邊和符號上方一橫部分的下方共同包圍的區域中，而且不能出界，若被開方的數或代數式過長，則上方一橫必須延長確保覆蓋下方的被開方數或代數式。

3、寫開方數或者式子：

開n次方的n寫在符號√￣的左邊，n=2（平方根）時n可以忽略不寫，但若是立方根（三次方根）、四次方根等，是必須書寫。