論述差值演算法的基本思想

❶ 什麼是插值法

內插法即「直線插入法」。

其原理是，若A（i1，b1），B（i2，b2）為兩點，則點P（i，b）在上述兩點確定的直線上。而工程上常用的為i在i1，i2之間，從而P在點A、B之間，故稱「直線內插法」。

舉例說明：

20×5年1月1日，甲公司採用分期收款方式向乙公司銷售一套大型設備，合同約定的銷售價格為2 000萬元，分5次於每年l2月31日等額收取。

該大型設備成本為1 560萬元。在現銷方式下，該大型設備的銷售價格為1 600萬元。假定甲公司發出商品時開出增值稅專用發票，註明的增值稅額為340萬元，並於當天收到增值稅額340萬元。

根據本例的資料，甲公司應當確認的銷售商品收入金額為1 600萬元。

根據下列公式：

未來五年收款額的現值=現銷方式下應收款項金額。

可以得出：

400×（P/A，r，5）+340=1 600+340=1 940（萬元）。

因為系數表中或是在實際做題時候，都是按照r是整數給出的，即給出的都是10％，5％等對應的系數，不會給出5.2％或8.3％等對應的系數，所以是需要根據已經給出的整數r根據具體題目進行計算。

本題根據：400×（P/A，r，5）+340=1 600+340=1 940（萬元），得出（P/A，r，5）＝4。

查找系數表，查找出當r=7%，（P/A，r，5）＝4.1062。

r=8%，（P/A，r，5）＝3.9927（做題時候，題目中一般會給出系數是多少，不需要自己查表）。

那麼現在要是求r等於什麼時候，（P/A，r，5）＝4，即採用插值法計算：

根據：

r=7%，（P/A，r，5）＝4.1062。

r＝x％，（P/A，r，5）＝4。

r=8%，（P/A，r，5）＝3.9927。

那麼：

x％－7%－對應4－4.1062。

8％－7％－對應3.9927－4.1062。

即建立關系式：

（x％－7%）/（8％－7％）＝（4－4.1062）/（3.9927－4.1062）。

求得：x%=7.93%，即r=7.93%。

❷ 什麼是插值演算法

插值法又稱「內插法」，是利用函數f (x)在某區間中插入若干點的函數值，作出適當的特定函數，在這些點上取已知值，在區間的其他點上用這特定函數的值作為函數f (x)的近似值，這種方法稱為插值法。如果這特定函數是多項式，就稱它為插值多項式。
1、Lagrange插值：
Lagrange插值是n次多項式插值，其成功地用構造插值基函數的 方法解決了求n次多項式插值函數問題；
★基本思想將待求的n次多項式插值函數pn(x）改寫成另一種表示方式，再利 用插值條件⑴確定其中的待定函數，從而求出插值多項式。

2、Newton插值：
Newton插值也是n次多項式插值，它提出另一種構造插值多項式的方法，與Lagrange插值相比，具有承襲性和易於變動節點的特點；
★基本思想將待求的n次插值多項式Pn（x）改寫為具有承襲性的形式，然後利用插值條件⑴確定Pn（x）的待定系數，以求出所要的插值函數。

3、Hermite插值：
Hermite插值是利用未知函數f(x）在插值節點上的函數值及導數值來構造插值多項式的，其提法為：給定n+1個互異的節點x0,x1，……,xn上的函數值和導數值
求一個2n+1次多項式H2n+1(x）滿足插值條件
H2n+1(xk)=yk
H'2n+1(xk)=y'k k=0,1,2，……，n ⒀
如上求出的H2n+1(x）稱為2n+1次Hermite插值函數，它與被插函數
一般有更好的密合度；
★基本思想
利用Lagrange插值函數的構造方法，先設定函數形式，再利
用插值條件⒀求出插值函數.

4、分段插值：
插值多項式余項公式說明插值節點越多，誤差越小，函數逐近越好，但後來人們發現，事實並非如此，例如：取被插函數，在[-5，5]上的n+1個等距節點：計算出f(xk）後得到Lagrange插值多項式Ln(x），考慮[-5,5]上的一點x=5-5/n，分別取n=2,6,10,14,18計算f(x),Ln(x）及對應的誤差Rn(x），得下表
從表中可知，隨節點個數n的增加，誤差lRn(x)l不但沒減小，反而不斷的增大.這個例子最早是由Runge研究，後來人們把這種節點加密但誤差增大的現象稱為Runge現象.出現Runge現象的原因主要是當節點n較大時，對應
的是高次插值多項式，此差得積累"淹沒"了增加節點減少的精度.Runge現象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法，本節的分段插值就是克服Runge現象引入的一種插值方法.
分段多項式插值的定義為
定義2: a=x0<x1<…<xn=b: 取[a,b]上n+1個節點 並給定在這些節點 上的函數值f(xR)=yR R=0,1，…，n
如果函數Φ（x）滿足條件
i) Φ（x）在[a,b]上連續
ii) Φ（xr)=yR,R =0,1，…，n
iii) Φ（x)zai 每個小區間[xR,xR+1]是m次多項式，
R=0,1，…，n-1則稱Φ（x）為f(x）在[a,b]上的分段m次插值多項式
實用中，常用次數不超過5的底次分段插值多項式，本節只介紹分段線性插值和分段三次Hermite插值，其中分段三次Hermite插值還額外要求分段插值函數Φ（x)
在節點上與被插值函數f(x）有相同的導數值，即
★基本思想將被插值函數f〔x〕的插值節點 由小到大 排序，然後每對相鄰的兩個節點為端點的區間上用m 次多項式去近似f〔x〕.
例題
例1 已知f（x）=ln（x）的函數表為：
試用線性插值和拋物線插值分別計算f（3.27）的近似值並估計相應的誤差。
解：線性插值需要兩個節點，內插比外插好因為3.27 （3.2，3.3），故選x0=3.2，x1=3.3，由n=1的lagrange插值公式，有
所以有，為保證內插對拋物線插值，選取三個節點為x0=3.2,x1=3.3,x2=3.4，由n=2的lagrange插值公式有
故有
所以線性插值計算ln3.27的誤差估計為
故拋物線插值計算ln3.27的誤差估計為：
顯然拋物線插值比線性插值精確；

5、樣條插值：
樣條插值是一種改進的分段插值。
定義 若函數在區間〖a，b〗上給定節點a=x0<x1<；…<xn=b及其函數值yj，若函數S（x）滿足
⒈ S（xj）=yj，j=0,1,2，…，n；
插值法主要用於道路橋梁，機械設計，電子信息工程等 很多工科領域的優化方法。

❸ 請簡述數字增量插補演算法的基本思想及特點

以一個脈沖的方式輸出給步進電機。基本思想是：用折線逼近曲線。...第三節數字增量插補在數字增量插補這類演算法中，插補周期時一個重要的參數。一插補周期的選擇