圖的連通性演算法

A. 圖論演算法及其MATLAB實現的圖書目錄

第1章 圖論的基礎知識1
1.1圖論的起源1
1.2著名的圖論學者——歐拉1
1.3圖2
1.4特殊圖類3
1.5有向圖4
1.6圖的矩陣表示5
1.6.1鄰接矩陣5
1.6.2關聯矩陣5
1.7圖論的基本性質和定理6
1.8計算有向圖的可達矩陣的演算法及其MATLAB實現6
1.9關聯矩陣和鄰接矩陣的相互轉換演算法及其MATLAB實現7
習題一11
第2章 最短路12
2.1路12
2.2最短路問題13
2.3求連通圖最短距離矩陣的演算法及其MATLAB實現14
2.4求兩點間最短路的Dijkstra演算法及其MATLAB實現15
2.4.1 Dijkstra演算法16
2.4.2 Dijkstra演算法的MATLAB實現16
2.5求兩點間最短路的改進的Dijkstra演算法及其MATLAB實現18
2.5.1 Dijkstra矩陣演算法Ⅰ18
2.5.2 Dijkstra矩陣演算法Ⅱ18
2.6 求兩點間最短路的WarshallFloyd演算法及其MATLAB實現21
2.6.1 Floyd演算法的基本思想22
2.6.2 Floyd演算法的基本步驟22
2.6.3 WarshallFloyd演算法的MATLAB實現22
2.7求任意兩點間最短路的演算法及其MATLAB實現25
2.8求從一固定點到其他所有點最短路的演算法及其MATLAB實現27
2.9求必須通過指定兩個點的最短路的演算法及其MATLAB實現29
2.10求圖的兩頂點間最短路與次短路的演算法及其MATLAB實現32
2.11求最大可靠路的演算法及其MATLAB實現34
2.12求最大期望容量路的演算法及其MATLAB實現36
習題二38
第3章 連通圖40
3.1判斷圖的連通性演算法及其MATLAB實現40
3.2連通圖的中心和加權中心的演算法及其MATLAB實現42
3.3連通無向圖一般中心的演算法及其MATLAB實現44
習題三46
第4章 樹48
4.1樹及其性質48
4.2割點、割邊、割集50
4.3二元樹與Huffman樹51
4.3.1有序二元樹51
4.3.2 Huffman樹51
4.4求Huffman樹及其MATLAB實現52
4.5廣度優先搜索演算法及其MATLAB實現55
4.6深度優先搜索演算法及其MATLAB實現57
4.7求割點演算法及其MATLAB實現61
4.8生成樹及其個數65
4.9求無向圖的生成樹演算法及其MATLAB實現67
4.10求有向圖的生成樹演算法及其MATLAB實現69
4.11求有向連通圖的外向樹與內向樹數目的演算法及其MATLAB實現71
4.12最小生成樹問題73
4.13求最小生成樹的Kruskal演算法及其MATLAB實現74
4.13.1 Kruskal演算法的基本思想74
4.13.2 Kruskal演算法的MATLAB實現74
4.14求最小生成樹的Prim演算法及其MATLAB實現76
4.14.1 Prim演算法的基本思想76
4.14.2 Prim演算法的MATLAB實現77
習題四79
第5章Euler圖和Hamilton圖81
5.1 Euler圖81
5.2「一筆畫」問題及其理論81
5.3中國郵遞員問題82
5.4 Fleury演算法及其MATLAB實現82
5.4.1 Fleury演算法的步驟82
5.4.2 Fleury演算法的MATLAB實現82
5.5 Hamilton圖87
5.6旅行售貨員問題88
5.7改良圈演算法及其MATLAB實現89
習題五92
第6章 匹配問題及其演算法93
6.1問題起源——婚配問題93
6.2二分圖的有關知識93
6.3匹配、完美匹配、最大匹配93
6.4匹配的基本定理94
6.5應用案例——BernolliEuler錯放信箋問題95
6.6尋求圖的一個較大基數匹配演算法及其MATLAB實現95
6.7人員分配問題97
6.8匈牙利演算法及其MATLAB實現97
6.8.1匈牙利演算法基本步驟97
6.8.2匈牙利演算法的MATLAB實現98
6.8.3案例及其MATLAB實現100
6.9最優分配問題101
6.10 KuhnMunkres演算法及其MATLAB實現101
6.10.1 KuhnMunkres演算法的基本思想101
6.10.2利用可行頂點標記求最佳匹配的KuhnMunkras演算法步驟102
6.10.3 KuhnMunkres演算法的MATLAB實現102
6.10.4簡單實驗105
習題六107
第7章 網路流的演算法108
7.1網路、流和割108
7.1.1網路和流108
7.1.2割109
7.2網路的最大流問題110
7.3最大流最小割定理110
7.4 FordFulkerson標號演算法及其MATLAB實現111
7.4.1 FordFulkerson標號演算法的基本步驟111
7.4.2 FordFulkerson 標號演算法的MATLAB實現112
7.4.3案例及其MATLAB實現113
7.5 Dinic演算法及其MATLAB實現114
7.5.1 Dinic演算法的基本思想114
7.5.2 Dinic演算法的MATLAB實現115
7.5.3案例

B. 普里姆演算法的相關概念

1）生成樹一個連通圖的生成樹是它的極小連通子圖，在n個頂點的情形下，有n-1條邊。生成樹是對連通圖而言的，是連通圖的極小連通子圖，包含圖中的所有頂點，有且僅有n-1條邊。非連通圖的生成樹則組成一個生成森林；若圖中有n個頂點，m個連通分量，則生成森林中有n-m條邊。
2）和樹的遍歷相似，若從圖中某頂點出發訪遍圖中每個頂點，且每個頂點僅訪問一次，此過程稱為圖的遍歷，(Traversing Graph)。圖的遍歷演算法是求解圖的連通性問題、拓撲排序和求關鍵路徑等演算法的基礎。圖的遍歷順序有兩種：深度優先搜索（DFS）和廣度優先搜索（BFS）。對每種搜索順序，訪問各頂點的順序也不是唯一的。
3）在一個無向連通圖G中，其所有頂點和遍歷該圖經過的所有邊所構成的子圖G′稱做圖G的生成樹。一個圖可以有多個生成樹，從不同的頂點出發，採用不同的遍歷順序，遍歷時所經過的邊也就不同。
在圖論中，常常將樹定義為一個無迴路連通圖。對於一個帶權的無向連通圖，其每個生成樹所有邊上的權值之和可能不同，我們把所有邊上權值之和最小的生成樹稱為圖的最小生成樹。求圖的最小生成樹有很多實際應用。例如，通訊線路鋪設造價最優問題就是一個最小生成樹問題。常見的求最小生成樹的方法有兩種：克魯斯卡爾(Kruskal)演算法和普里姆（Prim）演算法。