數列極限運演算法則證明

『壹』 極限運算除法法則證明

設limf(x)=a,limg(x)=b(b≠0),（x→x0)求證limf(x)/g(x)=a/b，證明：只要證明f(x)/g(x)-a/b是無窮小即可。

柯西收斂准則：數列{Xn}收斂的充分必要條件是：對於塵帶任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m>N，n > N時，且m≠n。我們把滿足該條件御型的{Xn}稱為柯西序列，那麼上述定理可表述成：數列{Xn}收斂，當且僅當它是一個柯西序列。

單調有界准則：單調增加（減少）有上（下）界的數列必定收斂。

在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ，並鎮兄猜且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函數 的極限值。

『貳』 數列極限的證明方法介紹

數列極限的證明方法一

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，並求該極限

求極限我會

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此類推，改變數列下標可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……橘李者

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

只要證明{x(n)}單調增加有上界就可以了。

用數學歸納法：

①證明{x(n)}單調增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);

設x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)

=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。

數列極限的證明方法二

證明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，

設x(k)<4，則

x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。

當0

當0

構造函數f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分別求導)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對於數列n*a^n，其極限為0

數列極限的證明方法三

根據數列極限的定義證明：

(1)lim[1/(n的平方)]=0

n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2

n→∞

(3)lim[根號(n+1)-根號(n)]=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個9

5幾道數列極限的證明題：

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實質就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等於無窮帶進去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數列極限變成函數極限，用羅比達法則(不知樓主學了沒，沒學的話以後會學的)

第圓薯三題，n趨於無窮時1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n)]/(1/n)=0*1=0

數列的極限知識點歸納

一、間斷點求極限

1、連續、間斷點以及間斷點的分類：判斷間斷點類型的基礎是求函數在間斷點處的左右極限；

2、可導和可微，分段函數在分段點處的導數或可導性，一律通過導數定義直接計算或檢驗存在的定義是極限存在；

3、漸近線，（垂直、水平或斜漸近線）；

4、多元函數積分學，二重極限的討論計算難度較大，常考查證明極擾局限不存在。

二、下面我們重點講一下數列極限的典型方法。

（一）重要題型及點撥

1、求數列極限

求數列極限可以歸納為以下三種形式。

2、抽象數列求極限

這類題一般以選擇題的形式出現，因此可以通過舉反例來排除。此外，也可以按照定義、基本性質及運演算法則直接驗證。

（二）求具體數列的極限，可以參考以下幾種方法：

a、利用單調有界必收斂准則求數列極限。

首先，用數學歸納法或不等式的放縮法判斷數列的單調性和有界性，進而確定極限存在性；其次，通過遞推關系中取極限，解方程，從而得到數列的極限值。

b、利用函數極限求數列極限

如果數列極限能看成某函數極限的`特例，形如，則利用函數極限和數列極限的關系轉化為求函數極限，此時再用洛必達法則求解。

（三）求項和或項積數列的極限，主要有以下幾種方法：

a、利用特殊級數求和法

如果所求的項和式極限中通項可以通過錯位相消或可以轉化為極限已知的一些形式，那麼通過整理可以直接得出極限結果。

b、利用冪級數求和法

若可以找到這個級數所對應的冪級數，則可以利用冪級數函數的方法把它所對應的和函數求出，再根據這個極限的形式代入相應的變數求出函數值。

c、利用定積分定義求極限

若數列每一項都可以提出一個因子，剩餘的項可用一個通項表示，則可以考慮用定積分定義求解數列極限。

d、利用夾逼定理求極限

若數列每一項都可以提出一個因子，剩餘的項不能用一個通項表示，但是其餘項是按遞增或遞減排列的，則可以考慮用夾逼定理求解。

e、求項數列的積的極限

一般先取對數化為項和的形式，然後利用求解項和數列極限的方法進行計算。

數列極限存在條件

單調有界定理在實數系中，單調有界數列必有極限。

緻密性定理任何有界數列必有收斂的子列。

『叄』 數列極限的運演算法則

數列極限的運演算法則如下：

前提條件：

各數列均有極限；

相加減時必須是有限個數列才能用法則。

極限的三大性質：

極限的唯一性、極限的有界性、極限的保序性。

極限森氏的定義（描述性的）：

如果當項數n無限增大時，無窮數列的項an無限地趨近於某個常數a（即 無限地接近於0），a叫數列的極限，可記桐沒做當n→+∞時，an→a。

an無限接近於a的方式有三種：

遞增的數列，an無限接此輪散近於a，即an是在常數a的左邊無限地趨近於a；

遞減數列，an無限地趨近於a，即an是在常數a的右邊無限地趨近於a；

擺動數列，an無限地趨近於a，即an是在無限擺動的過程中無限地趨近於a。

嚴格定義：

即ε－N定義：對於任何正數ε（不論它多麼小），總存在某正數N，使得當n＞N時，一切an都滿足 ，a叫數列的極限。

「xn以a為極限」的幾何解釋：

將常數a及數列各項x1,x2,...,xn,...在數軸上找出相應的點，再在數軸上作開區間(aε,a+ε)。

當n>N時，滿足|xn−a|<ε，亦即滿足a−ε<xn<a+ε。也就是說從N+1開始，以後無窮多項都落在開區間(a−ε,a+ε)內。

『肆』 數列極限四則運算的證明例題看不懂請高手指教！

首先要注意，目標是| An•Bn-AB |＜ε，但已知的是：limAn=A,limBn=B，所以證明中，一定要用到|An-A|和|Bn-B|。於是通過絕對值不等式| An•Bn-AB | ≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|找到與這兩個式子（|An-A|和|Bn-B|）的關系。如果|An-A||Bn|＜ε/2，|A||Bn-B|＜ε/2，問題就解決了。這兩個不等式等價於：|An-A|＜ε/(2|Bn|)，|Bn-B|＜ε/(2|A|),為了清晰起見，分母加了括弧。|A|是個常數，已經沒有問題，但|Bn|不是常數，於是根據收斂數列的有界性，即：|Bn|＜M，找到與n無關的正常數M。於是|An-A||Bn|<|An-A|M＜ε/2,後一個不等式等價於：|An-A|＜ε/(2M),這里已經假定M是正數，絕對值符號就不寫了。這就是ε/(2M)的由來，而不是突然冒出來的。

證明中，快到最後的時候有一句話：由於不等式①②③，當n＞N時，我們有|An•Bn-AB|＜ε/2+ε/2=ε
其實仔細寫來，應該是：
|An•Bn-AB|≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|<|An-A|M+|A||Bn-B|＜ε/(2M)•M+|A|•ε/(2|A|)=ε/2+ε/2=ε
第一個「≤」用了①，第二個「<」用了「|Bn|＜M 」，第三個「<」用了②③。

另外，如果limAn=A，一般得到|An-A|＜ε，肯定沒有問題，如果寫成|An-A|＜ε/2，空侍應該也要理解。證明中就強調「對於任意給定的ε＞0，無論怎樣小」。這句話一定要充分理解，一個是「任意」，一個是「無論怎樣小」。所以一定要理解「ε」是充分的小。因此，如果limAn=A，我們可以得到|An-A|＜ε，也可以得到|An-A|＜ε/2 或舉前者 |An-A|＜2ε，甚至如果常數 a>0，我們同樣可以得到|An-A|＜ε/a 或者 |An-A|＜aε。但是，一定要注意 a 與數列的下標 n 無關，是一般函數的話，務必和函數的自變數無關。證明中在引出常數「M」時，特別強調「存在一個與n無關的斗答吵正數M」。

其實如果我們最後得到：|An•Bn-AB|<ε'M+|A|•ε''也是可以的，這里的ε'是由limAn=A得到的，ε''是由limBn=B得到的。但這樣一則不漂亮，二則還要說明「ε'M+|A|•ε''」也是充分小。與其都要說明，那就放在中間了，這樣最後得到|An•Bn-AB|<ε，又漂亮又可以直接寫：「這就是說，An•Bn的極限存在，且等於AB」了。

至於ε要不要找一個正常數與其相乘除，找怎樣的正常數，就要看題目了。比如，上面的證明如果改成三個已知極限的乘積，或許就要用到ε/3了。給ε找一個正常數與其相乘除，是解這一類題目的「慣用伎倆」。

『伍』 數列求極限的方法總結

數列求極限的方法總結如下：

由定義求極限。

極限的本質一既是無限的過程,又有確定的結果一方面可從函數的變化過程的趨勢抽象得出結論,另一方面又可從數學本身的邏輯體系下驗證銷肆其結果。然而並不是每一道求極限的題我們都能通過直觀觀察總結出極限值,因此由定義法求極限就有一定的局限性,不適合比較復雜的題。

利用函數的連續性茄凱求極限。

此方法簡單易行，但不適合於f(x)在其定義區間內是不連續的函數,及f(x)在x處無定義的情況。

利用極限的四則運演算法則和簡單技巧求極限。

極限四則運演算法則的條件是充分而非必要的,因此,利用極限四則運演算法則求函數極限時,必須對所給的函數逐一進行驗證它是否虧納轎滿足極限四則運演算法則條件。

滿足條件者,方能利用極限四則運演算法則進行求之,不滿足條件者,不能直接利用極限四則運演算法則求之。

但是,並非不滿足極限四則運演算法則條件的函數就沒有極限,而是需將函數進行恆等變形,使其符合條件後,再利用極限四則運演算法則求之。而對函數進行恆等變形時,通常運用一些簡單技巧如折項,分子分母同乘某一因子,變數替換,分子分母有理化等等。

利用兩邊夾定理求極限。

定理如果 XsZsY,而lim=limy=,則limZ=A。

兩邊夾定理運用的關鍵：適當選取兩邊的函數（或數列),並且使其極限為同一值。

注意：在運用兩邊夾定理要保證所求函數（或數列）通過放縮後所得的兩邊的函數（或數列）的極限是同一值否則不能用此方法求極限。

利用單調有界原理求極限。

單調有界准則即單調有界數列必定存在極限。使用單調有界准則時需證明兩個問題:一個是數列的單調性,第二個是數列的有界性。

求極限時,在等式的兩邊同時取極限,通過解方程求出合理的極限值，利用單調有界原理求極限有兩個難點:一是證明數列的單調性,二是證明數列的有界性,在證明數列的單調性和數列的有界性時,我們通常都採用數學歸納法。

利用等價無窮小代換求極限。

在實際計算過程中利用等價無窮小代換法或與其它方法相結合,不失為一種行之有效的方法,但並非計算過程中所有的無窮小量都能用其等價的無窮小量來進行計算。用等價無窮小代換時,只能代換分子、分母中的乘積因子,而不能代換其中的加減法因子。

於是用等價無窮小代換的問題便集中到對於分子、分母中的加減法因子如何進行x的等價無窮小代換這一點上,在利用等價無窮小代換的方法求極限時,必須把分子(或分母)看作一個整體,用整個分子(或分母)的等價無窮小去代換。

利用泰勒展式求極限.

運用等價無窮小代換方法求某些極限,往往可以減少計算量,使問題得以簡化,但一般說來,這種方法僅限於求兩個無窮小量是乘或除的極限,而對兩個無窮小量非乘或非除的極限,對於一些未能定函數極限形態的關系式,不能用必達法則及等價無窮小代換方法,須用泰公式去求極限。

『陸』 極限四則運演算法則證明求解

具體回答如圖：

極限四則運演算法則的前提是兩個極限存在，當有一個極限本身是不存在的，則不能用四則運演算法則。

(6)數列極限運演算法則證明擴展閱讀：

設{xn} 是一個數列，如果對任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 滿足 n > N，則對於任意正整數p，都有|xn+p-xn|<ε。

在區間(a-ε，a+ε)之外至多隻有N個（有限個）點；所有其他的點xN+1，xN+2，...（無限個）都落在該鄰域之內。這兩個條件缺一不可，如果一個數列能達到這兩個要求，則數列收斂於a；而如果一個數列收斂於a，則這兩個條件都能滿足

『柒』 請問如何理解數列極限的乘法運演算法則，如何證明

數列a1,a2,...,an,...有極限a，數列b1,b2,...,bn,...也有極限b
極限乘法運算律：lim(an*bn)=lim(an)*lim(bn)=a*b
證明：
anbn-ab=(an-a)(bn-b)+b(an-a)+a(bn-b)
對任意ε<3|ab|
n>n₁時，有|b||an-a|<ε/3
n>n₂時，有|a||bn-b|<ε/3
那麼n>n=max(n₁,n₂)時，有|an-a||bn-b|<εε/|9ab|<ε/3,
所以同時還有|anbn-ab|<=|an-a||bn-b|+|b||an-a|+|a||bn-b|<ε/3+ε/3+ε/3<ε
得證