NlogN和N1演算法分析

『壹』 如何從最大的N個數中選出最大或者最小的n個數

首先，我們假設n和N都是內存可容納的，也就是說N個數可以一次load到內存里存放在數組里（如果非要存在鏈表估計又是另一個challenging的問題了）。從最簡單的情況開始，如果n=1，那麼沒有任何疑惑，必須要進行N-1次的比較才能得到最大的那個數，直接遍歷N個數就可以了。如果n=2呢？當然，可以直接遍歷2遍N數組，第一遍得到最大數max1，但是在遍歷第二遍求第二大數max2的時候，每次都要判斷從N所取的元素的下標不等於max1的下標，這樣會大大增加比較次數。對此有一個解決辦法，可以以max1為分割點將N數組分成前後兩部分，然後分別遍歷這兩部分得到兩個最大數，然後二者取一得到max2。 也可以遍歷一遍就解決此問題，首先維護兩個元素max1，max2（max1=max2），取到N中的一個數以後，先和max1比，如果比max1大（則肯定比max2大），直接替換max1，否則再和max2比較確定是否替換max2。採用類似的方法，對於n=2，3，4一樣可以處理。這樣的演算法時間復雜度為O（nN）。當n越來越大的時候（不可能超過N/2，否則可以變成是找N-n個最小的數的對偶問題），這個演算法的效率會越來越差。但是在n比較小的時候（具體多小不好說），這個演算法由於簡單，不存在遞歸調用等系統損耗，實際效率應該很不錯. 堆：當n較大的時候採用什麼演算法呢？首先我們分析上面的演算法，當從N中取出一個新的數m的時候，它需要依次和max1，max2，max3max n比較，一直找到一個比m小的max x，就用m來替換max x，平均比較次數是n/2。可不可以用更少的比較次數來實現替換呢？最直觀的方法是，也就是網上文章比較推崇的堆。堆有這么一些好處：1.它是一個完全二叉樹，樹的深度是相同節點的二叉樹中最少的，維護效率較高；2.它可以通過數組來實現，而且父節點p與左右子節l，r點的數組下標的關系是s[l] = 2*s[p]+1和s[r] = 2*s[p]+2。在計算機中2*s[p]這樣的運算可以用一個左移1位操作來實現，十分高效。再加上數組可以隨機存取，效率也很高。3.堆的Extract操作，也就是將堆頂拿走並重新維護堆的時間復雜度是O（logn），這里n是堆的大小。 具體到我們的問題，如何具體實現呢？首先開辟一個大小為n的數組區A，從N中讀入n個數填入到A中，然後將A維護成一個小頂堆（即堆頂A[0]中存放的是A中最小的數）。然後從N中取出下一個數，即第n+1個數m，將m與堆頂A[0]比較，如果m<=A[0]，直接丟棄m。否則應該用m替換A[0]。但此時A的堆特性可能已被破壞，應該重新維護堆：從A[0]開始，將A[0]與左右子節點分別比較（特別注意，這里需要比較兩次才能確定最大數，在後面我會根據這個來和敗者樹比較），如果A[0]比左右子節點都小，則堆特性能夠保證，勿需繼續，否則如左（右）節點最大，則將A[0]與左（右）節點交換，並繼續維護左（右）子樹。依次執行，直到遍歷完N，堆中保留的n個數就是N中最大的n個數。 這都是堆排序的基本知識，唯一的trick就是維護一個小頂堆，而不是大頂堆。不明白的稍微想一下。維護一次堆的時間復雜度為O（logn），總體的復雜度是O（Nlogn）這樣一來，比起上面的O（nN），當n足夠大時，堆的效率肯定是要高一些的。當然，直接對N數組建堆，然後提取n次堆頂就能得到結果，而且其復雜度是O（nlogN）,當n不是特別小的時候這樣會快很多。但是對於online數據就沒辦法了，比如N不能一次load進內存，甚至是一個流，根本不知道N是多少。 敗者樹：有沒有別的演算法呢？我先來說一說敗者樹（loser tree）。也許有些人對loser tree不是很了解，其實它是一個比較經典的外部排序方法，也就是有x個已經排序好的文件，將其歸並為一個有序序列。敗者樹的思想咋一看有些繞，其實是為了減小比較次數。首先簡單介紹一下敗者樹：敗者樹的葉子節點是數據節點，然後兩兩分組（如果節點總數不是2的冪，可以用類似完全樹的結構構成樹），內部節點用來記錄左右子樹的優勝者中的敗者（注意記錄的是輸的那一方），而優勝者則往上傳遞繼續比較，一直到根節點。如果我們的優勝者是兩個數中較小的數，則根節點記錄的是最後一次比較中的敗者，也就是所有葉子節點中第二小的那個數，而最小的那個數記錄在一個獨立的變數中。這里要注意，內部節點不但要記錄敗者的數值，還要記錄對應的葉子節點。如果是用鏈表構成的樹，則內部節點需要有指針指向葉子節點。這里可以有一個trick，就是內部節點只記錄敗者對應的葉子節點，具體的數值可以在需要的時候間接訪問（這一方法在用數組來實現敗者樹時十分有用，後面我會講到）。關鍵的來了，當把最小值輸出後，最小值所對應的葉子節點需要變成一個新的數（或者改為無窮大，在文件歸並的時候表示文件已讀完）。接下來維護敗者樹，從更新的葉子節點網上，依次與內部節點比較，將敗者更新，勝者往上繼續比較。由於更新節點佔用的是之前的最小值的葉子節點，它往上一直到根節點的路徑與之前的最小值的路徑是完全相同的。內部節點記錄的敗者雖然稱為敗者，但卻是其所在子樹中最小的數。也就是說，只要與敗者比較得到的勝者，就是該子樹中最小的那個數（這里講得有點繞了，看不明白的還是找本書看吧，對照著圖比較容易理解）。 註：也可以直接對N構建敗者樹，但是敗者樹用數組實現時不能像堆一樣進行增量維護，當葉子節點的個數變動時需要完全重新構建整棵樹。為了方便比較堆和敗者樹的性能，後面的分析都是對n個數構建的堆和敗者樹來分析的。 總而言之，敗者樹在進行維護的時候，比較次數是logn+1。與堆不同的是，敗者樹是從下往上維護，每上一層，只需要和敗者節點比較一次即可。而堆在維護的時候是從上往下，每下一層，需要和左右子節點都比較，需要比較兩次。從這個角度，敗者樹比堆更優一些。但是，請注意但是，敗者樹每一次維護必定需要從葉子節點一直走到根節點，不可能中間停止；而堆維護時，有可能會在中間的某個層停止，不需要繼續往下。這樣一來，雖然每一層敗者樹需要的比較次數比堆少一倍，但是走的層數堆會比敗者樹少。具體少多少，從平均意義上到底哪一個的效率會更好一些？那我就不知道了，這個分析起來有點麻煩。感興趣的人可以嘗試一下，討論討論。但是至少說明了，也許堆並非是最優的。 具體到我們的問題。類似的方法，先構建一棵有n個葉子節點的敗者樹，勝出者w是n個中最小的那一個。從N中讀入一個新的數m後，和w比較，如果比w小，直接丟棄，否則用m替換w所在的葉子節點的值，然後維護該敗者樹。依次執行，直到遍歷完N，敗者樹中保留的n個數就是N中最大的n個數。時間復雜度也是O（Nlogn） 類快速排序方法： 快速排序大家大家都不陌生了。主要思想是找一個軸節點，將數列交換變成兩部分，一部分全都小於等於軸，另一部分全都大於等於軸，然後對兩部分遞歸處理。其平均時間復雜度是O（NlogN）。從中可以受到啟發，如果我們選擇的軸使得交換完的較大那一部分的數的個數j正好是n，不也就完成了在N個數中尋找n個最大的數的任務嗎？當然，軸也許不能選得這么恰好。可以這么分析，如果jn，則最大的n個數肯定在這j個數中，則問題變成在這j個數中找出n個最大的數；否則如果j<n，則這j個數肯定是n個最大的數的一部分，而剩下的j-n個數在小於等於軸的那一部分中，同樣可遞歸處理。 需要注意的是，這里的時間復雜度是平均意義上的，在最壞情況下，每次分割都分割成1：N-2，這種情況下的時間復雜度為O（n）。但是我們還有殺手鐧，可以有一個在最壞情況下時間復雜度為O（N）的演算法，這個演算法是在分割數列的時候保證會按照比較均勻的比例分割，at least 3n/10-6。具體細節我就不再說了，感興趣的人參考演算法導論（Introction to Algorithms 第二版第九章 Medians and Orders Statistics）。 還是那個結論，堆不見得會是最優的。 本文快要結束了，但是還有一個問題：如果N非常大，存放在磁碟上，不能一次裝載進內存呢？怎麼辦？對於介紹的Naive方法，堆，敗者樹等等，依然適用，需要注意的就是每次從磁碟上盡量多讀一些數到內存區，然後處理完之後再讀入一批。減少IO次數，自然能夠提高效率。而對於類快速排序方法，稍微要麻煩一些：分批讀入，假設是M個數，然後從這M個數中選出n個最大的數緩存起來，直到所有的N個數都分批處理完之後，再將各批次緩存的n個數合並起來再進行一次類快速排序得到最終的n個最大的數就可以了。在運行過程中，如果緩存數太多，可以不斷地將多個緩存合並，保留這些緩存中最大的n個數即可。由於類快速排序的時間復雜度是O（N），這樣分批處理再合並的辦法，依然有極大的可能會比堆和敗者樹更優。當然，在空間上會佔用較多的內存。 總結：對於這個問題，我想了很多，但是覺得還有一些地方可以繼續深挖：1. 堆和敗者樹到底哪一個更優？可以通過理論分析，也可以通過實驗來比較。也許會有人覺得這個很無聊；2. 有沒有近似的演算法或者概率演算法來解決這個問題？我對這方面實在不熟悉，如果有人有想法的話可以一塊交流。如果有分析錯誤或遺漏的地方，請告知，我不怕丟人，呵呵！最後請時刻謹記，時間復雜度不等於實際的運行時間，一個常數因子很大的O（logN）演算法也許會比常數因子小的O（N）演算法慢很多。所以說，n和N的具體值，以及編程實現的質量，都會影響到實際效率。

『貳』 時間復雜度o(nlogn)的演算法是什麼

時間復雜度o(nlogn)的演算法是採用「分治思想」，將要排序的數組從中間分成前後兩個部分，然後對前後兩個部分分別進行排序，再將排序好的兩部分合並在一起，這樣數組就有序。

每次劃分區域都選擇中間點進行劃分，所以遞歸公式可以寫成：T(n) = T(n/2) + T(n/2) + n， T(1) = C(常數) //每次合並都要調用Merge()函數，時間復雜度為O(n)，等價T(n) = 2kT(n/2k) + k * n， 遞歸的最終狀態為T(1)即友搭n/2k = 1，所以k = log2n。

原理分析：

1、運用了分治的思想。選取分區值，將待排序列分為兩個前後兩部分，前部分數據元素的值小於等於分區值，後部分的數據元素的逗枯值大於等於好指拿分區值；繼續對前後兩部分分別進行分區，直到分區大小為1。

2、交換操作的執行次數可以由時間復雜度分析過程得出，Merge()中總的交換次數為n * logn，因為不管兩個子序列的大小，子序列中的各個元素都會先放入臨時數組temp中，再重新放回原序列；比較操作的次數小於等於交換操作次數，最大交換次數為n * logn。