傅里葉成像演算法

『壹』 傅里葉變換的原理是什麼

傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的演算法，要知道傅立葉變換演算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。

傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信臘頃棚號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換演算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。

傅立葉變換的提出：

用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波來表示的原因乎備在於，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正餘弦來表示原信號會更加簡單，因為正餘弦擁有原信號所不具有的性質輪則：正弦曲線保真度。

一個正弦曲線信號輸入後，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。

『貳』 傅里葉變換

雖然是通信專業的學生，但是研究生階段一直做著與通信不那麼相關的圖像視頻的東西。工作後開始進入無線通信的領域，一邊看協議的同時一邊惡補已經還給老師的通信基礎知識。

OFDM技術是4G和5G中都很重要的一個知識點。我們都知道OFDM是通過FFT來是實現的。那麼FFT的基礎又是DFT。DFT，FFT是令很多通信專業本科生頭疼的課程DSP中的重要內容。從網上鬧慶搜颳了一些相關資料，覺得液前握李永樂老師的視頻是最清晰明了的。這里記錄一下。

1, 變換與反變換

在直角坐標系中有兩個向量A和B，單看上去，這兩個向量是兩個圖。我們悔搜也可以用數字的形式來表示這兩個圖。A對應（2，1），B對應（1，2）。這種使用圖和數字兩種形式來表示向量的方法就可以看作是一種簡單的變換與反變換。見圖1.

2. 標准正交基

同樣我們還是直角坐標系中的兩個向量，ex和ey. 我們知道這兩個向量有個特點就是他們之間相互內積為0，而他們對自己做內積則值為1.我們就說ex和ey是標准正交基。見圖2.

3.傅里葉級數

我們在大學的高等數學裡面學過傅里葉級數。他是法國數學家傅里葉發現的。他發現任何周期函數都可以表示成正弦和餘弦的級數和的形式。見圖3.那麼我們就可以將一個周期函數分解成無數個正弦（餘弦）和的形式。我們把這些和在三維中畫出來。從不同的角度，看到的東西是不一樣的。見圖4.從y軸的方向上看，它是一個周期函數，從z軸看過去，它是各個頻率分量上的值（值的大小就是振幅的大小），這就是頻域表達。再細心看會發現，每個頻率上的起始點是不一樣的，這就是相位的不同。這裡面不僅引入了時域，頻域的概念，而且引入了頻率，振幅和相位的概念。

4.歐拉公式

5.傅里葉變換

傅里葉級數提出來之後，有好學的同學就要問了，那不是周期的函數我們怎麼提取它的頻率分量呢？這里我們就會用到標准正交基的概念了。根據正交基的定義，我們知道1，sinwt和coswt也是正交基。那麼如果我們把這個非周期函數與正弦函數做積分將會得到什麼樣的結果呢？結果就會是含有w的項不為零，不含w的項為零。從而就得到了傅里葉變換。

6. DFT

學過DSP課程我們知道，時域和頻域上的信號有這樣的關系：

那麼在實際應用中我沒辦法准確的表示出連續信號，但是可以准確的表示出離散信號。一對發送端和接收端都喜歡離散的信號，因為能夠用數字准確的表示出來。但是我們日常生活中的信號一般並不是周期信號，聰明的人就會想到，我們可以把它離散化，再周期化，不就可以了嗎。是的，就這么干。而實際上DFT也就是這么乾的。

DFT的變換與反變換公式：這里不做詳細推導，網上有很多推導過程。

但是當n很大時，計算量很大，這就引入了FFT。1965年,庫利(cooley)和圖基(Tukey)首先提出FFT演算法.對於N點DFT,僅需(N/2)log2N 次復數乘法運算.例如N=1024=2的10次冪時，需要(1024/2)log2 2的10次冪 =512*10=5120次。5120/1048576=4.88% ,速度提高20倍。

『叄』 如何用傅立葉演算法測得一正弦波形經過采樣後的幅值頻率相位

用FFT得到諧波的頻譜，裡面含有頻率，幅度和相位，同時可以通過這個三個而求得其他參數。
FFT是一陪答種DFT的高效演算法，稱為快速傅悔亂咐立葉變換（fast Fourier transform），它根據離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅立葉變換的演算法進行改進獲得的。FFT對傅氏碧純變換的理論並沒有新的發現，但是對於在計算機系統或者說數字系統中應用離散傅立葉變換，可以說是進了一大步。

『肆』 傅里葉解析

傅立葉變換
定義
f(t)滿足傅立葉積分定理條件時，下圖①式的積分運算稱為f(t)的傅立葉變換，②式的積分運算叫做F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的象函數，f(t)叫做F(ω)的象原函數。 應用

傅里葉變換在物理學、電子類學科、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）。
概要介紹
* 傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的（參見：林家翹、西格爾著《自然科學中確定性問題的應用數學》，科學出版社，北京。原版書名為 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。
* 傅里葉變換屬於諧波分析。
* 傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;
* 正弦基函數是微分運算的本徵函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取;
* 卷積定理指出:傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;
* 離散形式的傅里葉變換可以利用數字計算機快速的算出(其演算法稱為快速傅里葉變換演算法(FFT)).
基本性質
線性性質
兩函數之和的傅里葉變換等於各自變換之和。數學描述是：若函數f \left( x\right )和g \left(x \right)的傅里葉變換\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和 β 為任意常系數，則\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里葉變換算符\mathcal可經歸一化成為么正算符；
頻移性質
若函數f \left( x\right )存在傅里葉變換，則對任意實數 ω0，函數f(x) e^{i \omega_ x}也存在傅里葉變換，且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 ) 。式中花體\mathcal是傅里葉變換的作用運算元，平體F表示變換的結果（復函數），e 為自然對數的底，i 為虛數單位\sqrt；
微分關系
若函數f \left( x\right )當|x|\rightarrow\infty時的極限為0，而其導函數f'(x)的傅里葉變換存在，則有\mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)] ，即導函數的傅里葉變換等於原函數的傅里葉變換乘以因子 �6�1 iω 。更一般地，若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0，且\mathcal[f^{(k)}(x)]存在，則\mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f] ，即 k 階導數的傅里葉變換等於原函數的傅里葉變換乘以因子( �6�1 iω)k。
卷積特性
若函數f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上絕對可積，則卷積函數f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅里葉變換存在，且\mathcal[f*g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] 。卷積性質的逆形式為\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)] ，即兩個函數乘積的傅里葉逆變換等於它們各自的傅里葉逆變換的卷積。
Parseval定理
若函數f \left( x\right )可積且平方可積，則\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^d\omega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里葉變換。
傅里葉變換的不同變種
連續傅里葉變換
主條目：連續傅立葉變換
一般情況下,若「傅立葉變換」一詞的前面未加任何限定語，則指的是「連續傅里葉變換」。「連續傅里葉變換」將平方可積的函數f(t) 表示成復指數函數的積分或級數形式。
f(t) = \mathcal^[F(\omega)] = \frac{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.
上式其實表示的是連續傅里葉變換的逆變換，即將時間域的函數f(t)表示為頻率域的函數F(ω)的積分。反過來,其正變換恰好是將頻率域的函數F(ω)表示為時間域的函數f(t)的積分形式。一般可稱函數f(t)為原函數,而稱函數F(ω)為傅里葉變換的像函數,原函數和像函數構成一個傅立葉變換對(transform pair)。
一種對連續傅里葉變換的推廣稱為分數傅里葉變換（Fractional Fourier Transform）。
當f(t)為奇函數(或偶函數)時,其餘弦(或正弦)分量將消亡,而可以稱這時的變換為餘弦轉換(cosine transform) 或 正弦轉換(sine transform).
另一個值得注意的性質是,當f(t) 為純實函數時,F(�6�1ω) = F(ω)*成立.
傅里葉級數
主條目：傅里葉級數
連續形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和運算元而已。對於周期函數，其傅里葉級數是存在的：
f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^ ,
其中Fn 為復振幅。對於實值函數，函數的傅里葉級數可以寫成：
f(x) = \fraca_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],
其中an和bn是實頻率分量的振幅。
離散時間傅里葉變換
主條目：離散時間傅里葉變換
離散傅里葉變換是離散時間傅里葉變換（DTFT）的特例（有時作為後者的近似）。DTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級數的逆。

http://ke..com/view/191871.htm

『伍』 求傅里葉變化 詳細過程 謝謝 又追加懸賞

盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特徵。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類，這一想法跟化學上的原子論想法何其相似！奇妙的是,現代數學發現傅立葉變換具有非常好的性質,使得它如此的好用和有用,讓人不晌緩得不感嘆造物的神奇: 1. 傅立葉變換是線性運算元,若賦予適當的范數,它還是酉運算元; 2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似; 3. 正弦基函數是微分運算的本徵函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取; 4. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段; 5. 離散形式的傅立葉變換可以利用數字計算機快速的算出(其演算法稱山滑為快速傅立葉變換演算法(FFT)). 正是由於上述的良好性質,傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。 有関傅立葉變換的FPGA實現 傅立葉變換是數字信號處理中的基本操作，廣泛應用於表述及分析離散時域信號領域。但由於其運算量與變換點數N的平方成正比關系，因此，在N較大時，直接應用DFT演算法進行譜變換是不切合實際的。然而，快速傅立葉變換技術的出現使情況發生了根本性的變化。本文主要描述了採用FPGA來實現2k/4k/8k點FFT的設計方法。
整體結構
一般情況下，N點的傅立葉變換對為： 其中，WN=exp(－2pi/N)。X(k)和x(n)都為復數。與之相對的快速傅立葉變換有很多種,如DIT(時域抽取法)、DIF（頻域抽取法）、Cooley－Tukey和Winograd等。對於2n傅立葉變換，Cooley－Tukey演算法可導出DIT和DIF演算法。本文運用的基本思想是Cooley－Tukey演算法，即將高點數的傅立葉變換通過多重低點數傅立葉變換來實現。雖然DIT與DIF有差別，但由於它們在本質上都是一種基於標號分解的演算法，故在運算量和演算法復雜性等方面完全一樣，而沒有性能上的優劣之分，所以可以根據需要任取其中一種，本文主要以DIT方法為對象來討論。 N=8192點DFT的運算表達式為： 式中，m=(4n1+n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2，k=2048k1+k2)其中n1和k2可取0,1,．．．,2047,k1和n2可取0,1,2,3。 由式（3）可知，8k傅立葉變換可由4×2k的傅立葉變換構成。同理，4k傅立葉變換可由2×2k的傅立葉變換構成。而2k傅立葉變換可由128×16的傅立葉變換構成。128的傅立葉變換可進一步由16×8的傅立葉變換構成，歸根結底，整個傅立葉變換可由基2、基4的傅立葉變換構成。2k的FFT可以通過5個基4和1個基2變換來實現；4k的FFT變換可通過6個基4變換來實現；8k的FFT可以通過6個基4和1個基2變換來實現。也就是說：FFT的基本結構可由基2/4模塊、復數乘法器、存儲單元和存儲器控制模塊構成，其整體結構如圖1所示。 圖1中，RAM用來存儲輸入數據、運算過程中的中間結果以及運算完成後的數據，ROM用來存儲旋轉因子表。蝶形運算單元即為基2/4模塊，控逗謹臘制模塊可用於產生控制時序及地址信號，以控制中間運算過程及最後輸出結果。
蝶形運算器的實現
基4和基2的信號流如圖2所示。圖中，若A=r0+j*i0，B=r1+j*i1，C=r2+j*i2，D=r3+j*i3是要進行變換的信號，Wk0=c0+j*s0=1，Wk1=c1+j*s1，Wk2=c2+j*s2，Wk3=c3+j*s3為旋轉因子，將其分別代入圖2中的基4蝶形運算單元，則有： A′=[r0+(r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2)+(r3×c3－i3×s3)]+j[i0+(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]? （4） B′=[r0+(i1×c1+r1×s1)－(r2×c2－i2×s2)－(i3×c3+r3×s3)]+j[i0－(r1×c1－i1×s1)－(i2×c2+r2×s2)+(r3×c3－i3×s3)] (5） C′=[r0－(r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2)－(r3×c3－i3×s3)]+j[i0－(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)－(i3×c3+r3×s3)] （6） D′=[r0－(i1×c1+r1×s1)－(r2×c2－i2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]+j[i0+(r1×c1－i1×s1)－(i2×c2+r2×s2)－(r3×c3－i3×s3)]? （7） 而在基2蝶形中，Wk0和Wk2的值均為1，這樣，將A，B，C和D的表達式代入圖2中的基2運算的四個等式中，則有： A′=r0+(r1×c1－i1×s1)+j[i0+(i1×c1+r1×s1)]? （8） B′=r0－ (r1×c1－i1×s1)+j[i0－(i1×c1+r1×s1)] （9） C′=r2+(r3×c3－i3×s3)+j[i0+(i3×c3+r3×s3)]? （10） D′=r2－(r3×c3－i3×s3)+j[i0－(i3×c3+r3×s3)]? （11） 在上述式（4）～（11）中有很多類同項，如i1×c1+r1×s1和r1×c1－i1×s1等，它們僅僅是加減號的不同，其結構和運算均類似，這就為簡化電路提供了可能。同時，在蝶形運算中，復數乘法可以由實數乘法以一定的格式來表示，這也為設計復數乘法器提供了一種實現的途徑。 以基4為例，在其運算單元中，實際上只需做三個復數乘法運算，即只須計算BWk1、CWk2和DWk3的值即可，這樣在一個基4蝶形單元裡面，最多隻需要3個復數乘法器就可以了。在實際過程中，在不提高時鍾頻率下，只要將時序控制好?便可利用流水線（Pipeline）技術並只用一個復數乘法器就可完成這三個復數乘法，大大節省了硬體資源。 圖2 基2和基4蝶形演算法的信號流圖
FFT的地址
FFT變換後輸出的結果通常為一特定的倒序,因此，幾級變換後對地址的控制必須准確無誤。 倒序的規律是和分解的方式密切相關的，以基8為例，其基本倒序規則如下： 基8可以用2×2×2三級基2變換來表示，則其輸入順序則可用二進制序列（n1 n2 n3）來表示，變換結束後，其順序將變為（n3 n2 n1），如：X?011→ x?110，即輸入順序為3，輸出時順序變為6。 更進一步，對於基16的變換，可由2×2×2×2，4×4，4×2×2等形式來構成，相對於不同的分解形式，往往會有不同的倒序方式。以4×4為例，其輸入順序可以用二進制序列（n1 n2 n3n4）來表示變換結束後，其順序可變為（（n3 n4）（n1 n2）），如： X?0111→ x?1101。即輸入順序為7，輸出時順序變為13。 在2k/4k/8k的傅立葉變換中，由於要經過多次的基4和基2運算，因此，從每次運算完成後到進入下一次運算前，應對運算的結果進行倒序，以保證運算的正確性。
旋轉因子
N點傅立葉變換的旋轉因子有著明顯的周期性和對稱性。其周期性表現為： FFT之所以可使運算效率得到提高，就是利用了對稱性和周期性把長序列的DFT逐級分解成幾個序列的DFT，並最終以短點數變換來實現長點數變換。 根據旋轉因子的對稱性和周期性，在利用ROM存儲旋轉因子時，可以只存儲旋轉因子表的一部分，而在讀出時增加讀出地址及符號的控制，這樣可以正確實現FFT。因此,充分利用旋轉因子的性質，可節省70%以上存儲單元。 實際上，由於旋轉因子可分解為正、餘弦函數的組合，故ROM中存的值為正、餘弦函數值的組合。對2k/4k/8k的傅立葉變換來說，只是對一個周期進行不同的分割。由於8k變換的旋轉因子包括了2k/4k的所有因子，因此，實現時只要對讀ROM的地址進行控制，即可實現2k/4k/8k變換的通用。
存儲器的控制
因FFT是為時序電路而設計的，因此，控制信號要包括時序的控制信號及存儲器的讀寫地址，並產生各種輔助的指示信號。同時在計算模塊的內部，為保證高速，所有的乘法器都須始終保持較高的利用率。這意味著在每一個時鍾來臨時都要向這些單元輸入新的操作數，而這一切都需要控制信號的緊密配合。 為了實現FFT的流形運算，在運算的同時，存儲器也要接收數據。這可以採用乒乓RAM的方法來完成。這種方式決定了實現FFT運算的最大時間。對於4k操作，其接收時間為4096個數據周期，這樣?FFT的最大運算時間就是4096個數據周期。另外，由於輸入數據是以一定的時鍾為周期依次輸入的，故在進行內部運算時，可以用較高的內部時鍾進行運算，然後再存入RAM依次輸出。 為節省資源，可對存儲數據RAM採用原址讀出原址寫入的方法，即在進行下一級變換的同時，首先應將結果回寫到讀出數據的RAM存貯器中；而對於ROM，則應採用與運算的數據相對應的方法來讀出存儲器中旋轉因子的值。 在2k/4k/8k傅立葉變換中，要實現通用性，控制器是最主要的模塊。2k、4k、8k變換具有不同的內部運算時間和存儲器地址，在設計中，針對不同的點數應設計不同的存儲器存取地址，同時，在完成變換後，還要對開始輸出有用信號的時刻進行指示。
硬體的選擇
本設計的硬體實現選用的是現場可編程門陣列(FPGA)來滿足較高速度的需要。本系統在設計時選用的是ALTERA公司的STRATIX晶元，該晶元中包含有DSP單元，可以完成較為耗費資源的乘法器單元。同時，該器件也包含有大量存儲單元，從而可保證旋轉因子的精度。 除了一些專用引腳外，FPGA上幾乎所有的引腳均可供用戶使用，這使得FPGA信號處理方案具有非常好的I/O帶寬。大量的I/O引腳和多塊存儲器可使設計獲得優越的並行處理性能。其獨立的存儲塊可作為輸入/工作存儲區和結果的緩存區，這使得I/O可與FFT計算同時進行。在實現的時間方面，該設計能在4096個時鍾周期內完成一個4096點的FFT。若採用10MHz的輸入時鍾，其變換時間在200μs左右。而由於最新的FPGA使用了MultiTrack互連技術，故可在250MHz以下頻率穩定地工作，同時，FFT的實現時間也可以大大縮小。 FFT運算結果的精度與輸入數據的位數及運算過程中的位數有關，同時和數據的表示形式也有很大關系。一般來說，浮點方式比定點方式精度高。而在定點計算中，存儲器數據的位數越大，運算精度越高，使用的存儲單元和邏輯單元也越多。在實際應用中，應根據實際情況折衷選擇精度和資源。本設計通過MATLAB進行模擬證明：其實現的變換結果與MATLAB工具箱中的FFT函數相比，信噪比可以達到65db以上，完全可以滿足一般工程的實際應用要求。

『陸』 快速傅里葉變換fft原理

基礎原理講述：

FFT（快速傅里葉變換）：

FFT演算法是DFT演算法的改良版，而DFT是FFT的離散化。理解FFT，就從傅里葉變換到DFT再到FFT的思路進行推導。筆者也會按照這樣的思路進行講解推導。

傅里葉變換：

傅里葉變換是傅里葉級數的推廣，所以在談傅里葉變換之間，先說一下傅里葉級數。在大學期間學習無窮級數有相關基礎的同學可以跳著看。

傅里葉級數：

傅里葉級數是把類似波的函數表示成簡單正弦波的方式，更嚴肅來說的話：對於滿足狄利克雷定理的周期函數，其傅里葉級數是由一組簡單的振盪函數加權和表示的，表示周期函數為正弦波和餘弦波之和。和或諧波（諧波頻率是原周期信號頻率整數倍的波），可以用諧波分析開確定每一個諧波的相位和幅度。傅里葉級數中就可能有無限諧猛大首波數。對於函數的傅里葉級數的部分但不是所有的諧波求和會產生該函數的近似值，例如：傅里葉級數前幾個諧波用於方波就會產生方波的近似值。

方波的傅立葉級數的前四個部分和。隨著更多諧波的添加，部分和會收斂到（變得越來越像）

『柒』 傅里葉變換的公式表

傅里葉變換的公式表如下：

Fourier transform或Transformée de Fourier有多個中文譯名，常見派瞎的有「傅里葉變換」、「付立葉變換」、「傅立葉轉換」、「傅氏轉換」、「傅氏變換」、等等。

傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅里葉變換用正弦波作為信號的成分。

『捌』 傅里葉變換

離散傅里葉變換(discrete Fourier transform) 傅里葉分析方法是信號分析的最基本方法，傅里葉變換是傅里葉分析的核心，通過它把信號從時間域變換到頻率域，進而研究信號的頻譜結構和變化規律。但是它的致命缺點是： 計算量太大，時間復雜度太高，當采樣點數太高的時候，計算緩慢， 由此出現羨梁了DFT的快速實現，即下面的快速傅里葉變換FFT。

這里原始信號的三個正弦波的頻率分別為，200Hz、400Hz、600Hz,最大頻率為600赫茲。根據采樣定理，fs至少是600赫茲的2倍，這里選擇1400赫茲，即在一秒內選擇1400個點。

1400
[-4.18864943e-12+0.j 9.66210986e-05-0.04305756j 3.86508070e-04-0.08611996j
8.69732036e-04-0.12919206j 1.54641157e-03-0.17227871j]

換之後的結果數據長度和原始采樣信號是一樣的

每一個變換之後的值是一個復數，為a+bj的形式下標為0和 N /2的兩個復數的虛數部分為0，下標為i和 N - i 的兩個復數共輒，也就是其虛部數值相同、符號相反。再用ifft()從頻域轉回時域之後，出現了由誤差引起的很小的虛部，用np.real()取其實部即可．
 由於一半是另一半的共軛，因此只需要關心一半數據．fft轉換後下標為0的春派巧實數表示時域信號中的直流成分（不隨時間變化）

振幅譜的縱坐標很大，而且具有對稱性
Y=A1+A2 cos(2πω2+φ2）+A3 cos(2πω3+φ3）+A4*cos(2πω4+φ4）

經過FFT之後，得到的「振幅圖」中，
第一個峰值（頻率位置）的模是A1的N倍，N為采樣點，本例中為N=1400，此例中沒有，因為信號沒有常數項A1
第二個峰值（頻率位置）的模是A2的N/2倍，N為采樣點，
第三個峰值（頻率位置）的模是A3的N/2倍，N為采樣點，
第四個峰值（頻率位置）的模是A4的N/2倍，N為采樣點，

STFT短時傅里葉變換，實際上是對一系列加窗數據做FFT。有的地方也會提到DCT（離散傅里葉變換），而DCT跟FFT的關系就是：FFT是實現DCT的一種快速演算法。

FFT有個參數N，表示對多少個點做FFT，如果一幀裡面的點的個數小於N就會zero-padding到N的長度。每個點對應一個頻率點，某一點n（n從1開始）表示的頻率為:

第一個點（n=1，Fn等於0）表示直流信號，最後一個點N的下一個點（實際上這個點是不存在的）表示采樣頻率Fs。

FFT後我們可以得到N個頻點，比如，采樣頻率為16000，N為1600，那麼FFT後就會得到1600個點扒鍵，FFT得到的1600個值的模可以表示1600個頻點對應的振幅。因為FFT具有對稱性，當N為偶數時取N/2+1個點，當N為奇數時，取(N+1)/2個點，比如N為512時最後會得到257個值。
scipy.signal.stft（x，fs = 1.0，window =『hann』，nperseg = 256，noverlap = None，nfft = None，detrend = False，return_oneside = True，boundary =『zeros』，padded = True，axis = -1 ）