benders分解演算法

1. 淺談學習運籌與優化軟體的心得

科普推廣運籌學一直以來是【運籌OR帷幄】平台的初衷。本次我們邀請到了平台優化板塊的責編團隊的成員，結合各自獨特的業界工作體會，分享他們眼中在業界發光發熱的運籌學。

一、元器件行業中的運籌學

本人在一家做元器件服務的公司實習，軍用元器件使用的時候有兩個典型場景：替代和統型。

替代是設計師針對進口元器件找到可替代的國產型號；統型是在一個產品的BOM內確定某幾個不同元器件是否可以統一使用一種，以此減少元器件品種數。

目前行業內開始從依賴專家經驗（比如知道某個國產元器件就是對標某個進口元器件做的），轉向從元器件性能參數的相似度出發進行判斷，所以涉及到相似度和聚類方法的應用。

相比方法本身，解決問題的更大阻礙是元器件性能參數數據的復雜性和不規范性。例如不同類別的元器件性能參數不同，即使在同一類別下，不同生廠商給出的性能參數形式也不同，對此進行規范需要有元器件專業知識，所以實際中，數據清洗往往耗費最多人力，也是影響方法使用效果的一大因素。

2. 7. 大規模線性規劃：行生成和Benders分解

行生成就是指的不斷添加約束的演算法。
因為在求解矩陣中，一個約束條件對應一行，因此添加約束條件的方法自然叫做行生成演算法。相對應的，添加變數的方法就叫做列生成演算法。
這一節先看行生成演算法，用在求解變數不多，但是約束條件特別多的情況下。

Benders分解（Benders Decomposition，BD）的基本思路是：使用 子問題（primal problem） 來尋找合適的約束不斷添加到 鬆弛主問題（relaxed master problem） 中。子問題可以給上界（UB），鬆弛主問題可以給下界（LB），不斷迭代就可以逐步找到最優解。具體可以參考論文： http://www.ie.boun.e.tr/~taskin/pdf/taskin_benders.pdf ，這里做一下簡單的概述：
問題模型是：

Benders分解將上述模型拆分為只包含x變數的子問題和只包含y變數的主問題。

子問題（SP）為：
min cx
s.t. Ax = b - By

使用對偶法求解子問題（DSP）：
max α(b-By』)
s.t. Aα ≤ c
α無限制

這是個線性規劃問題，枚舉可行域{α : Aα≤c}的極點（I）和極方向（J）便可以求解了，上面DSP等價於：
min q
s.t. α i (b-By) ≤ q
α j (b-By) ≤ 0
q無限制

定義q(y)為SP問題的最優解，則原問題可以重新寫為如下主問題的形式：
min q(y)+fy
s.t. y∈Y

等價於下面的主問題（MP）：
min q+fy
s.t. α i (b-By) ≤ q
α j (b-By) ≤ 0
y∈Y，q無限制

由於約束條件較多，因此α也是非常多的，直接上所有約束條件求解MP比較困難。因此從少量約束條件的鬆弛主問題開始，逐步把約束條件加上。

在下面的問題中，y∈{0,1}屬於復雜約束，因此將原問題按如圖的顏色拆分開。

一輪迭代後，UB = 23，LB = 8，還需要繼續迭代。後面的求解過程省略。

Benders分解法要求子問題必須為線性，而廣義Benders分解法（Generalized Benders Decomposition，GBD）針對這個問題作了改進。廣義Benders分解的問題模型是：

由於涉及到了非線性規劃，因此要用到拉格朗日法。求解的步驟是：

3. 用什麼演算法解決最優演算法比較合適

問題是線性的，還是非線性的。線性的，分枝定界、分枝割平面、分枝定價、列生成等演算法都可以求解；非線性的，還要分是否凸，凸的話，廣義Benders分解、外部近似、分枝定界、擴展割平面演算法等，非凸的話，可採用全局最優演算法。判斷一下是否是凸規劃，是的話，用上面的演算法可以求到全局最優；否則，可能得到局部最優解。

4. 如何對數學模型進行benders分解演算法

控制和優化、基於可實時測定的過程輸入輸出時間序列數據和黑箱模型的
最優化控制方法9
參考文獻10

第二章生物過程參數在線檢測技術11
第一節ph的在線測量13
一、自回歸移動平均模型詳解184
二、利用遺傳演算法實時在線跟蹤和更新非構造式動力學模型的
參數210
二、生物過程中反饋控制與前饋控制的並用84
第六節pid反饋控制系統的設計和解析86
一、模糊神經網路控制系統及其在發酵過程中的實際應用253
三、優化、生物過程最基本的合成和代謝分解反應51
二、代謝網路模型146
三、化學工程等相關專業領域研究的科研人員、青黴素發酵過程的特點和控制上的困難307
二、復膜電極測定kla35
第五節發酵罐內細胞濃度的在線測量和比增殖速率的計算36
一、優化的基本特徵1
第二節生物過程式控制制和優化的目的及研究內容2
第三節發酵過程式控制制概論4
第四節發酵過程的狀態變數、模糊語言數值表現法和模糊成員函數218
三、在線激光濁度計38
第六節生物感測器在發酵過程檢測中的應用39
一、模糊邏輯控制器的特點和簡介217
二、積分動作88
四、生物過程的反饋控制83
四、利用代謝信號傳遞線圖處理代謝網路281
三、系統控制演算法及優化305
第四節青黴素發酵過程專家控制系統307
一、基於人工神經網路的在線自適應控制250
二、利用人工神經網路的發酵過程狀態變數預測模型169
六、利用人工神經網路在線識別發酵過程的生理狀態和濃度變化
模式167
五、控制和優化等方面的研究、代謝網路模型的簡化、過程對於輸入變數變化的響應特性71
第四節過程的穩定性分析74
一、輔酶q10發酵生產過程的模糊控制241
四、過程的傳遞函數gp(s)——線性狀態方程式的拉普拉斯函數
表現形式69
六、溶氧電極法32
三、人工神經網路模型147
五、模糊規則的執行和實施——解模糊規則的方法225
五、系統結構設計303
二、引流分析與控制（fia）45
四、教師和工程師使用、人工神經網路的誤差反向傳播學習演算法163
四、呼吸代謝參數的計算26
第四節發酵罐內氧氣體積傳質系數kla的測量31
一，寫成此書、有理函數的反拉普拉斯變換69
五、直接以葡萄糖濃度為反饋指標的流加培養控制101
五、模糊規則223
四;stat法95
二、組態設計304
三、反饋控制系統的穩定性分析89
七、連續攪拌式生物反應器的穩定特性的解析77
第五節生物過程的反饋控制和前饋控制79
一、生物工程，既關繫到能否發揮菌種的最大生產能力、發酵過程狀態方程式在「理想操作點」近旁的線性化64
第三節拉普拉斯變換與反拉普拉斯變換67
一、遺傳演算法在酸乳多糖最優化生產中的應用138
參考文獻143

第五章發酵過程的建模和狀態預測144
第一節描述發酵過程的各類數學模型簡介144
一、溶氧電極19
三、特點和方法106
第二節最大原理及其在發酵過程最優化控制中的應用107
一，博採眾家之長、控制、過程傳遞函數的框圖和轉換70
七、ph感測器的工作原理13
二，以及在線控制和最優化控制的技術及方法進行了比較系統詳細的介紹、遺傳演算法簡介131
二、生物感測器的類型和結構原理39
二、卡爾曼濾波器及其演算法176
二、pid反饋控制器的構成特徵89
六、生物化工、閉迴路pid反饋控制的性能特徵86
二、集散控制系統的特點298
三、比例動作87
三、格林定理在乳酸菌過濾培養最優化控制中的應用125
四。目錄
第一章緒論1
第一節生物過程的特點以及生物過程的操作、過程介面技術299
第三節檸檬酸發酵過程計算機控制系統設計302
一、結合使用最大原理和遺傳演算法的在線最優化控制212
參考文獻214

第七章人工智慧控制216
第一節模糊邏輯控制器217
一、表述。
全書結合具體的發酵過程實例、有機酸等）濃度的在線
測量47
參考文獻48

第三章發酵過程式控制制系統和控制設計原理及應用49
第一節過程的狀態方程式49
第二節生物過程的典型和基本數學模型51
一、菌體濃度的檢測方法及原理36
二
作為發酵工業中游技術核心的發酵過程式控制制和優化技術。本書作者多年來一直從事發酵過程的在線檢測、利用網路信號傳遞線圖的代謝網路分析282
第三節代謝網路模型在賴氨酸發酵過程在線狀態預測和控制中的
應用284
一，又會影響到下游處理的難易程度、取樣極譜法35
六、操作變數和可測量變數6
第五節用於發酵過程式控制制和優化的各類數學模型7
第六節發酵過程最優化控制方法概論8
一、發酵過程的各種得率系數和各種比反應速率的表現形式57
四、酵母菌流加培養過程的比增殖速率在線自適應最優控制193
四、利用遺傳演算法確定過程模型參數157
第三節利用人工神經網路建模和預測發酵過程的狀態159
一、亞硫酸鹽氧化法31
二、計算和求解272
二，特別是在線檢測、微分動作89
五、利用人工神經網路的非線性回歸模型173
七、模糊邏輯控制系統的構成、谷氨酸流加發酵過程的模糊控制237
三，分別對發酵過程的解析、模糊神經網路控制器及其在發酵過程中的應用260
參考文獻268
第八章利用代謝網路模型的過程式控制制和優化270
第一節代謝網路模型解析270
一、利用簡化代謝網路模型進行在線狀態預測的結果288
參考文獻290

第九章計算機在生化反應過程式控制制中的應用291
第一節過程工業的特點和計算機控制291
一，並引入了模糊邏輯推理、過程在平衡點（特異點）近旁的穩定特性的分類75
三、溶氧電極的使用21
第三節發酵罐內氧氣和二氧化碳分壓的測量以及呼吸代謝參數的計算23
一、代謝網路模型等新型的控制、數字計算機在過程式控制制中應用概述293
第二節集散控制系統及介面技術296
一、集散控制系統簡介296
二、基於在線時間序列數據的自回歸平均移動模型146
四、利用代謝網路模型的狀態預測277
第二節網路信號傳遞線圖和利用網路信號傳遞線圖的代謝網路模型278
一，在整個發酵過程中是一項承上啟下的關鍵技術、最大原理的數值解法及其在生物過程最優化控制中的應用116
第三節格林定理及其在發酵過程最優化控制中的應用121
一、人工神經網路模型、動態測定法34
五、格林定理121
二、「最優控制」型的在線自適應控制系統190
三、氧分析儀23
二、青黴素發酵過程專家控制系統308
三、系統功能設計305
四、網路信號傳遞線圖及其簡化278
二、生物過程典型的數學模型形式55
三、遺傳演算法的演算法概要及其在重組大腸桿菌培養的最優化控制
中的應用132
三、「極配置」 型的在線自適應控制系統189
二、以溶氧濃度（do）變化為反饋指標的流加培養控制——
do57361、ph感測器的使用15
第二節溶氧濃度的在線測量18
一、流加操作的生物過程中常見的前饋控制方式80
三、過程工業的特點291
二、拉普拉斯變換的定義68
二、狀態預測以及模式識別等方法和技術、基於非構造式動力學模型的最優化控制方法8
二、利用格林定理求解流加培養（發酵）的最短時間軌道問題122
三、反拉普拉斯變換69
四、乳酸連續過濾發酵過程的在線自適應控制196
第三節基於自回歸移動平均模型的在線最優化控制201
一、最大原理及其演算法簡介107
二、結合使用人工神經網路模型和遺傳演算法的過程優化175
第四節卡爾曼濾波器在發酵過程狀態預測中的應用176
一。
本書適合於從事發酵工程、酵母流加培養過程的模糊控制231
二、非構造式動力學模型145
二、發酵罐基質（葡萄糖等）濃度的在線測量43
三、溶氧濃度測量原理18
二，也可供大專院校相關專業的高年級本科生和研究生參考、尾氣co2分壓的檢測26
三、物料衡演算法33
四、開關反饋控制94
第七節反饋控制系統在生物過程式控制制中的實際應用95
一、簡化代謝網路模型的建立286
二、利用最大原理確定流加培養過程的最優基質流加策略和方式111
三、利用非線性規劃法確定非構造式動力學數學模型的模型參數148
二、生物過程的前饋控制79
二、模糊推理技術在發酵過程在線狀態預測中的應用245
第三節基於人工神經網路的控制系統及其在發酵過程中的應用250
一、發酵罐器內一級代謝產物（乙醇、生物反應器的基本操作方式62
五、神經細胞和人工神經網路模型159
二、以代謝副產物濃度為反饋指標的流加培養控制103
參考文獻105

第四章發酵過程的最優化控制106
第一節最優化控制的研究內容、麵包酵母連續生產的在線最優化控制201
二;stat法98
三、拉普拉斯變換的基本特性以及基本函數的拉普拉斯變換68
三、過程穩定的判別標准74
二、設計和調整228
第二節模糊邏輯控制系統在發酵過程中的實際應用231
一、反饋控制系統的設計和參數調整91
八、乳酸連續過濾發酵的在線最優化控制205
第四節基於遺傳演算法的在線最優化控制210
一、以ph變化為反饋指標的流加培養控制——ph57361、解析、利用逐次最小二乘回歸法計算和確定自回歸移動平均模型的
模型參數186
第二節基於自回歸移動平均模型的在線自適應控制189
一、利用卡爾曼濾波器在線推定菌體的比增殖速率178
參考文獻180

第六章發酵過程的在線自適應控制182
第一節基於在線時間序列輸入輸出數據的自回歸移動平均模型解析184
一、利用格林定理進行乳酸菌過濾培養最優化控制的計算機模擬和
實驗結果128
第四節遺傳演算法及其在發酵過程最優化控制中的應用131
一、以rq為反饋指標的流加培養控制100
四、人工神經網路模型的類型161
三，在借鑒國外的有關最新研究成果和作者自身完成的研究實例的基礎上、正交或多項式回歸模型148
第二節非構造式動力學數學模型的建模方法148
一、在線狀態預測和模式識別