傅里葉全波演算法

Ⅰ 傅里葉變換

雖然是通信專業的學生，但是研究生階段一直做著與通信不那麼相關的圖像視頻的東西。工作後開始進入無線通信的領域，一邊看協議的同時一邊惡補已經還給老師的通信基礎知識。

OFDM技術是4G和5G中都很重要的一個知識點。我們都知道OFDM是通過FFT來是實現的。那麼FFT的基礎又是DFT。DFT，FFT是令很多通信專業本科生頭疼的課程DSP中的重要內容。從網上鬧慶搜颳了一些相關資料，覺得液前握李永樂老師的視頻是最清晰明了的。這里記錄一下。

1, 變換與反變換

在直角坐標系中有兩個向量A和B，單看上去，這兩個向量是兩個圖。我們悔搜也可以用數字的形式來表示這兩個圖。A對應（2，1），B對應（1，2）。這種使用圖和數字兩種形式來表示向量的方法就可以看作是一種簡單的變換與反變換。見圖1.

2. 標准正交基

同樣我們還是直角坐標系中的兩個向量，ex和ey. 我們知道這兩個向量有個特點就是他們之間相互內積為0，而他們對自己做內積則值為1.我們就說ex和ey是標准正交基。見圖2.

3.傅里葉級數

我們在大學的高等數學裡面學過傅里葉級數。他是法國數學家傅里葉發現的。他發現任何周期函數都可以表示成正弦和餘弦的級數和的形式。見圖3.那麼我們就可以將一個周期函數分解成無數個正弦（餘弦）和的形式。我們把這些和在三維中畫出來。從不同的角度，看到的東西是不一樣的。見圖4.從y軸的方向上看，它是一個周期函數，從z軸看過去，它是各個頻率分量上的值（值的大小就是振幅的大小），這就是頻域表達。再細心看會發現，每個頻率上的起始點是不一樣的，這就是相位的不同。這裡面不僅引入了時域，頻域的概念，而且引入了頻率，振幅和相位的概念。

4.歐拉公式

5.傅里葉變換

傅里葉級數提出來之後，有好學的同學就要問了，那不是周期的函數我們怎麼提取它的頻率分量呢？這里我們就會用到標准正交基的概念了。根據正交基的定義，我們知道1，sinwt和coswt也是正交基。那麼如果我們把這個非周期函數與正弦函數做積分將會得到什麼樣的結果呢？結果就會是含有w的項不為零，不含w的項為零。從而就得到了傅里葉變換。

6. DFT

學過DSP課程我們知道，時域和頻域上的信號有這樣的關系：

那麼在實際應用中我沒辦法准確的表示出連續信號，但是可以准確的表示出離散信號。一對發送端和接收端都喜歡離散的信號，因為能夠用數字准確的表示出來。但是我們日常生活中的信號一般並不是周期信號，聰明的人就會想到，我們可以把它離散化，再周期化，不就可以了嗎。是的，就這么干。而實際上DFT也就是這么乾的。

DFT的變換與反變換公式：這里不做詳細推導，網上有很多推導過程。

但是當n很大時，計算量很大，這就引入了FFT。1965年,庫利(cooley)和圖基(Tukey)首先提出FFT演算法.對於N點DFT,僅需(N/2)log2N 次復數乘法運算.例如N=1024=2的10次冪時，需要(1024/2)log2 2的10次冪 =512*10=5120次。5120/1048576=4.88% ,速度提高20倍。

Ⅱ 傅里葉變換的原理是什麼

傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的演算法，要知道傅立葉變換演算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。

傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信臘頃棚號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換演算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。

傅立葉變換的提出：

用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波來表示的原因乎備在於，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正餘弦來表示原信號會更加簡單，因為正餘弦擁有原信號所不具有的性質輪則：正弦曲線保真度。

一個正弦曲線信號輸入後，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。

Ⅲ 傅里葉變換的公式表

傅里葉變換的公式表如下：

Fourier transform或Transformée de Fourier有多個中文譯名，常見派瞎的有「傅里葉變換」、「付立葉變換」、「傅立葉轉換」、「傅氏轉換」、「傅氏變換」、等等。

傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅里葉變換用正弦波作為信號的成分。