演算法基礎入門動態規劃

⑴ ACM動態規劃問題（演算法競賽入門經典）

遞歸就不說了，明顯是需要棧的邏輯結構維護的。簡單說說對遞推和DP的個人見解，只供參考。

DP=狀態+狀態轉移方程
狀態的關鍵特點是無後效性，簡單地舉例：奧運會某項目淘汰賽1/N決賽，成績只跟以後的比賽有關，之前的成績不帶入（只考慮賽制）。如果你發現一個狀態後面階段決策需要用到前面階段的狀態信息，那麼這就不是一個標準的DP。比如：
A - B1 - C1 - D
\-- EX ------/
如果將EX歸為B段或C段，那麼EX-D或者A-EX就跨越了跳躍了一個階段，對於這個階段來說他後面的階段就用到了前面階段的狀態信息
當然這並不意味著不能採用DP演算法，對於上面的例子，可以將EX本身拆為B2 - C2就可以滿足DP條件了，對於連續狀態的DP，類似的調整更多。

狀態轉移方程是狀態到狀態的決策
簡單地說，就是貪心的那一部分，多條路你選擇一條路的過程

很多時候，遞推和DP難以區分，一般情況，狀態轉移決策明顯是「選擇」的時候，會當做DP，而如果計算比重較大，會當做遞推；狀態調整比較多時，可能認為是遞推；連續狀態可以歸為DP。
例：M*N的的帶權格子，從左上走到右下，每次只能向右或下移動一格，求權值加和最大（小）的路徑條數。

還有一個相關詞叫做「遞推規劃」，有興趣的話可以自己看下相關資料

解釋之後答案很明顯：DP要有狀態轉移方程。甚至可以說DP的關鍵就是狀態轉移方程。
你的第一個問題，希望你把書名報一下，我貌似沒有白皮的

⑵ 動態規劃演算法的基本思想是什麼

動態規劃演算法通常用於求解具有某種最優性質的問題。在這類問題中，可能會有許多可行解。每一個解都對應於一個值，我們希望找到具有最優值的解。動態規劃演算法與分治法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。與分治法不同的是，適合於用動態規劃求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的。若用分治法來解這類問題，則分解得到的子問題數目太多，有些子問題被重復計算了很多次。如果我們能夠保存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，這樣就可以避免大量的重復計算，節省時間。我們可以用一個表來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以後是否被用到，只要它被計算過，就將其結果填入表中。這就是動態規劃法的基本思路。具體的動態規劃演算法多種多樣，但它們具有相同的填表格式。

⑶ 動態規劃演算法詳解

動態規劃一般也只能應用於有最優子結構的問題。最優子結構的意思是局部最優解能決定全局最優解(對有些問題這個要求並不能完全滿足，故有時需要引入一定的近似)。簡單地說，問題能夠分解成子問題來解決。

將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解（這部分與分治法相似）。與分治法不同的是，適合於用動態規劃求解的問題，經分解得到的子問題往往不是互相獨立的。若用分治法來解這類問題，則分解得到的子問題數目太多，有些子問題被重復計算了很多次。如果我們能夠保存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，這樣就可以避免大量的重復計算，節省時間。通常可以用一個表來記錄所有已解的子問題的答案。

問題的一個最優解中所包含的子問題的解也是最優的。總問題包含很多個子問題，而這些子問題的解也是最優的。

用遞歸演算法對問題進行求解時，每次產生的子問題並不總是新問題，有些子問題會被重復計算多次。問題重疊性質是指在用遞歸演算法自頂向下對問題進行求解時，每次產生的子問題並不總是新問題，有些子問題會被重復計算多次。動態規劃演算法正是利用了這種子問題的重疊性質，對每一個子問題只計算一次，然後將其計算結果保存在一個表格中，當再次需要計算已經計算過的子問題時，只是在表格中簡單地查看一下結果，從而獲得較高的效率。

：很顯然，這道題的對應的數學表達式是

其中F(1)=1, F(2)=2。很自然的狀況是，採用遞歸函數來求解：

參考：
http://blog.csdn.net/zmazon/article/details/8247015
http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/41548557
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6110269
http://blog.csdn.net/trochiluses/article/details/37966729

⑷ 演算法分析中動態規劃的四個基本步驟

1、描述優解的結構特徵。
2、遞歸地定義一個最優解的值。
3、自底向上計算一個最優解的值。
4、從已計算的信息中構造一個最優解。
一、基本概念
動態規劃過程是：每次決策依賴於當前狀態，又隨即引起狀態的轉移。一個決策序列就是在變化的狀態中產生出來的，所以，這種多階段最優化決策解決問題的過程就稱為動態規劃。
二、基本思想與策略
基本思想與分治法類似，也是將待求解的問題分解為若干個子問題（階段），按順序求解子階段，前一子問題的解，為後一子問題的求解提供了有用的信息。在求解任一子問題時，列出各種可能的局部解，通過決策保留那些有可能達到最優的局部解，丟棄其他局部解。依次解決各子問題，最後一個子問題就是初始問題的解。
由於動態規劃解決的問題多數有重疊子問題這個特點，為減少重復計算，對每一個子問題只解一次，將其不同階段的不同狀態保存在一個二維數組中。
與分治法最大的差別是：適合於用動態規劃法求解的問題，經分解後得到的子問題往往不是互相獨立的（即下一個子階段的求解是建立在上一個子階段的解的基礎上，進行進一步的求解）。
三、適用的情況
能採用動態規劃求解的問題的一般要具有3個性質：
(1)
最優化原理：如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，就稱該問題具有最優子結構，即滿足最優化原理。
(2)
無後效性：即某階段狀態一旦確定，就不受這個狀態以後決策的影響。也就是說，某狀態以後的過程不會影響以前的狀態，只與當前狀態有關。
（3）有重疊子問題：即子問題之間是不獨立的，一個子問題在下一階段決策中可能被多次使用到。（該性質並不是動態規劃適用的必要條件，但是如果沒有這條性質，動態規劃演算法同其他演算法相比就不具備優勢）

⑸ 動態規劃演算法的基本思想

動態規劃演算法與分治法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題。

拓展資料：

動態規劃的實質是分治思想和解決冗餘，因此動態規劃是一種將問題實例分析為更小的、相似的子問題，並存儲子問題的解而避免計算重復的子問題，以解決最優化問題的演算法策略
動態規劃所針對的問題有一個顯著的特徵，即它對應的子問題樹中的子問題呈現大量的重復。動態規劃的關鍵在於，對於重復的子問題，只在第一次遇到時求解，並把答案保存起來，讓以後再遇到時直接引用，不必要重新求解。

⑹ 演算法題套路總結（三）——動態規劃

前兩篇我總結了鏈表和二分查找題目的一些套路，這篇文章來講講動態規劃。動態規劃從我高中開始參加NOIP起就一直是令我比較害怕的題型，除了能一眼看出來轉移方程的題目，大部分動態規劃都不太會做。加上後來ACM更為令人頭禿的動態規劃，很多題解看了之後，我根本就不相信自己能夠想出來這種解法，看著大佬們談笑間還加一些常數優化，一度懷疑自己的智商。以前一直覺得動態規劃是給大佬准備的，所以刻意地沒有去攻克它，主要也是沒有信心。但是後來慢慢的，我再做LC的時候，發現很多DP的題目我自己慢慢能夠推出轉移方程了，而且似乎也沒那麼難。我一直在思考，到底是我變強了，還是因為LC的題目相比ACM或者NOI太簡單了。其實主要還是後者，但是同時我也發現，動態規劃其實是有套路的，我以前方法不對，總結太少。
主要就是，站在出題人的角度，他幾乎不太可能完全憑空想出一個新的DP模型，因為動態規劃畢竟要滿足：

因此，能夠利用DP來解決的問題實際上是有限的，大部分題目都是針對現有的模型的一些變種，改改題目描述，或者加點限制條件。所以要想攻克DP題目，最根本的就是要充分理解幾個常見的DP模型。而要充分理解常見經典DP模型，就需要通過大量的做題和總結，而且二者不可偏廢。通過做題進行思考和量的積累，通過總結加深理解和融會貫通進而完成質的提升。

動態規劃是求解一個最優化問題，而最核心的思想就是：

解一道DP題目，先問自己幾個問題：

當然以上內容看起來比較抽象，雖然它深刻地揭露了動態規劃的本質，但是如果臨場要去想明白這些問題，還是有些難度。如果只是針對比賽和面試，就像前面說的，DP題型是有限的。只要刷的題目足夠多，總結出幾個經典模型，剩下的都是些變種+優化而已。

一般來說，動態規劃可以分成4個大類:

線性DP就是階段非常線性直觀的模型，比如：最長（上升|下降）序列，最長公共子序列(LCS)等，也有一些簡單的遞推，甚至都算不上是 經典模型 。

最長上升序列是一個非常經典的線性模型。說它是個模型，是因為它是一類題的代表，很多題目都只是換個說法，或者要求在這基礎上進一步優化而已。最長上升序列最基礎的轉移方程就是 f[i] = max{f[j]}+1 (a[i] > a[j]) , f[i] 表示一定要以 a[i] 結尾的序列，最長長度是多少。很顯然就是在前面找到一個最大的 f[j] 同時滿足 a[j]<a[i] 。因此是 N^2 的時間復雜度和N的空間復雜度。這種方法是最樸素直觀的，一定要理解。它非常簡單，因此很少有題目直接能夠這么做。大部分相關題目需要進一步優化，也就是有名的單調隊列優化，能夠把復雜度優化到nlogn。

說單調隊列優化之前必須明白一個貪心策略。因為要求的是最長上升序列，那麼很顯然長度為k的上升序列的最大值（最後一個數）越小越好，這樣後面的數才有更大的概率比它大。如果我們記錄下來不同長度的上升序列的最後一個數能達到的最小值，那麼對於後續每個數t，它要麼能放到某個長度為y的序列之後，組成長度為y+1的上升序列，要麼放到某個長度為x的序列後面，把長度為x+1的序列的最大值替換成t。同時我們可以發現，如果x<y，那麼長度為x序列的最後一個數一定比長度為y的序列最後一個數小。因此這個上升序列我們可以用一個數組來維護（所謂的單調隊列），數組下標就代表序列長度。 opt[i]=t 表示長度為i的上升序列最後一個數最小是t。那麼當我們在面對後續某個數x時，可以對單調隊列opt進行二分，把它插到對應的位置。因此總體復雜度就是NlogN。
相關題目比如：

但是你可以發現，其實這個題型其實變種很有限，吃透了也就那麼回事。所以一定要總結。

最長公共子序列也是線性DP中的一種比較常見的模型。說它是一種「模型」其實有點拔高了，其實它就是一類比較常見的題目。很多題目都是在LCS的基礎上進行簡單的擴展，或者僅僅就是換一個說法而已。
求兩個數組的最長公共子序列，最直觀地做法就是：設f[i][j]表示S[..i]和T[..j]的最長公共子序列，則有:

這個轉移方程也非常好理解，時間復雜度是 N^2 ，空間復雜度也是 N^2 。不過仔細觀察你可以發現，當我們計算第i行時只與i-1和i行有關。因此我們可以利用01滾動來優化空間復雜度為2N。
相關題目：

線性DP除了上述的兩種常見題型，還有很多別的類型，包括背包。我們要努力去嘗試理解這些題目的異同，它們的轉移方程，以及思路，可能的變化，這樣才能更好的應對未知的題目。以下是一些我總結的題型：

最終結果就是max(0, f[n][2]+f[n][4])。
不過實際上你可以發現，由於各個狀態只和前一維有關，且只能由固定的一個狀態轉移過來，因此我們可以省掉一維，只用4個變數來存儲：

剩下的，同123題類似，由於最多進行k次交易，那麼一天就有2k個狀態：第1次買/賣……第k次買/賣，結合123題的優化，我們只需要2k個變數就能存儲這些狀態。因此設f[i×2]為第i次買入的最優值，f[i×2+1]為第i次賣出的最優值：

以上都是對一些常見的線性DP的一些小結，實際上線性DP還有一個重要的題型就是背包。關於背包，有很多相關的講解，我這里就不多說了，推薦大家看看 背包九講 。下一章依然是DP專題，我講總結一些區間DP的題型。大部分區間DP都是hard級的，對於希望提高自己水平的人來說，需要投入更多精力去理解。