面試數學二分演算法

Ⅰ 高中數學必修3演算法初步中二分法是什麼意思

二分法是一種解方程的方法，是把一個方程轉化成一個函數f(x)=0的形式，然後利用圖像找出方程解的近似值的方法。大致步驟為：
1.把方程轉化成f(x)=0；
2.畫出方程的圖像，找出方程的根所在的大致范圍。通常把方程的根的范圍定在（a,b）這樣的一個整數范圍內,a,b差值越小越好。判定的標准就是函數零點的存在性定理，需要使這個區間兩個端點的函數值符號相反，也就是f(a)f(b)<0.比如，f(x)=4x-7，根的范圍在（1,2）這個區間內，f(1)f(2)=-3<0.
3.由於兩個端點的函數值符號相反，所以在這個開區間內一定存在零點。我們可以把這個區間一分為二，就是得到（a+b)/2的值。然後再利用函數零點的存在性定理，確定零點是在（a,(a+b)/2)這個區間內還是在（(a+b)/2,b）這個區間內。只要端點函數值符號不同，那麼零點就在這個區間內。
4.上一步我們把函數的零點的范圍縮小了一半，那麼按照同樣的方法，可以把零點所在的開區間范圍再次縮小一半，以此類推，我們可以把這個過程無窮進行下去。當達到一定程度時，零點所在的范圍已經很小了，小到可以忽略（或者說在精確度范圍以內了）時，就可以把這個最小的區間的兩端的端點值的任意一個近似當做零點，也就是原方程的根。
6.這個無限對半（二分）縮小范圍來「逼」出方程的根的方法就是「二分法」。詳見必修1第三章。

Ⅱ 二分查找的演算法復雜度

二分查找的基本思想是將n個元素分成大致相等的兩部分，取a[n/2]與x做比較，如果x=a[n/2],則找到x,演算法中止；如果x<a[n/2],則只要在數組a的左半部分繼續搜索x,如果x>a[n/2],則只要在數組a的右半部搜索x.
時間復雜度無非就是while循環的次數！
總共有n個元素，
漸漸跟下去就是n,n/2,n/4,....n/2^k（接下來操作元素的剩餘個數），其中k就是循環的次數
由於你n/2^k取整後>=1
即令n/2^k=1
可得k=log2n,（是以2為底，n的對數）
所以時間復雜度可以表示O()=O(logn)
下面提供一段二分查找實現的偽代碼:
BinarySearch(max,min,des)
mid-<(max+min)/2
while(min<=max)
mid=(min+max)/2
if mid=des then
return mid
elseif mid >des then
max=mid-1
else
min=mid+1
return max
折半查找法也稱為二分查找法，它充分利用了元素間的次序關系，採用分治策略，可在最壞的情況下用O(log n)完成搜索任務。它的基本思想是，將n個元素分成個數大致相同的兩半，取a[n/2]與欲查找的x作比較，如果x=a[n/2]則找到x，演算法終止。如 果x<a[n/2]，則我們只要在數組a的左半部繼續搜索x（這里假設數組元素呈升序排列）。如果x>a[n/2]，則我們只要在數組a的右 半部繼續搜索x。

Ⅲ 面試演算法知識梳理(14) - 數字演算法

面試演算法知識梳理(1) - 排序演算法
面試演算法知識梳理(2) - 字元串演算法第一部分
面試演算法知識梳理(3) - 字元串演算法第二部分
面試演算法知識梳理(4) - 數組第一部分
面試演算法知識梳理(5) - 數組第二部分
面試演算法知識梳理(6) - 數組第三部分
面試演算法知識梳理(7) - 數組第四部分
面試演算法知識梳理(8) - 二分查找演算法及其變型
面試演算法知識梳理(9) - 鏈表演算法第一部分
面試演算法知識梳理(10) - 二叉查找樹
面試演算法知識梳理(11) - 二叉樹演算法第一部分
面試演算法知識梳理(12) - 二叉樹演算法第二部分
面試演算法知識梳理(13) - 二叉樹演算法第三部分

斐波那契數列 滿足下面的通項公式，要求給出 N ，輸出第 N 項的 F(N)

這里介紹兩種解決辦法， 循環演算法 和 矩陣演算法 。循環演算法比較容易理解，就是從 F(0) 開始，根據通項公式，得到下一個斐波那契數列中的數字即可。

對於上面的通項公式，可以用下面的矩陣乘法的形式來表示

一個台階總共有 n 級，如果一次可以跳 1 級，也可以跳 2 級，求總共有多少總跳法。

由於有兩種跳台階方式，因此跳 n 級台階可以轉換為下面兩個問題之和：

這就和之前的斐波那契數列的通項公式相同。

這個問題，需要先總結一下規律，我們根據數字 N 的 位數 來進行分析：

那麼 N>=1 時才會出現 1 ，並且出現 1 的次數為 1 次

在這種情況下，出現 1 的次數等於個位上出現 1 的次數加上十位上出現 1 的個數。

例如，如果要計算百位上 1 出現的次數，它要受到三方面的影響：百位上的數字，百位以下的數字，百位以上的數字。

對於一個二進制數，例如 1010 ，將其減 1 後得到的結果是 1001 ，也就是將最後一個 1 （倒數第二位）及其之後的 0 變成 1 ， 1 變成 0 ，再將該結果與原二進制數相與，也就是 1010 & 1001 = 1000 ，那麼就可以去掉最後一個 1 。

因此，如果需要計算兩個數的二進製表示中有多少位是不同的，可以 先將這兩個數異或 ，那麼不相同的位數就會變成 1 ，之後利用上面的技巧，通過每次去掉最後一個 1 ，來 統計該結果中 1 的個數 ，就可以知道兩個數的二進製表示中有多少是不同的了。

N! 的含義為 1*2*3*...*(N-1)*N ，計算 N! 的十進製表示中，末尾有多少個 0 。

N! 中能產生末尾是 0 的質數組合是 2*5 ，所以 N! 末尾的 0 的個數取決了 2 的個數和 5 的個數的最小值，有因為被 2 整除的數出現的概率大於 5 ，因此 5 出現的次數就是 N! 末尾 0 的個數。因此，該問題就轉換成為計算從 1~N ，每個數可以貢獻 5 的個數，也就是每個數除以 5 的值。

上面的解法需要從 1 到 N 遍歷每一個數，當然還有更加簡便的方法。以 26! 為例，貢獻 5 的數有 5、10、15、20、25 ，一共貢獻了 6 個 5 ，可以理解為 5 的倍數 5、10、15、20、25 貢獻了一個 5 ，而 25 的倍數又貢獻了一個 5 ，得到下面的公式：

首先，讓我們換一個角度考慮，其實這個問題就是求解二進製表示中從最低位開始 0 的個數，因為二進制最低位為 0 代表的是偶數，能夠被 2 整除，所以質因數 2 的個數就是二進製表示中最低位 1 後面的 0 的個數。

因此，我們的實現這就和上面 2.7 中求解質因數 5 的個數是一樣的。

最大公約數 的定義為 兩個或多個整數的共有約數中最大的一個 。這里採用的是 更相止損法 ，其操作步驟為：

則第一步中約掉的若干個 2 與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。

有限小數或者無限循環小數都可以轉化為分數，例如：

在 http://blog.csdn.net/flyfish1986/article/details/47783545 這邊文章中，詳細地描述了該題的解決思路，核心思想就是將原小數分為 有限部分 和 無限循環小數 部分，對於這兩部分別進行處理。

Ⅳ 對比順序查找,二分查找和哈希查找演算法,它們各自的特點是什麼

順序查找,二分查找和哈希查找演算法,它們各自的特點是：
1.對比順序查找的特點就是從表的第一個元素開始一個一個向下查找，如果有和目標一致的元素，查找成功;如果到最後一個元素仍沒有目標元素，則查找失敗。
2.二分查找的特點就是從表中間開始查找目標元素。如果找到一致元素，則查找成功。如果中間元素比目標元素小，則仍用二分查找方法查找表的後半部分(表是遞增排列的)，反之中間元素比目標元素大，則查找表的前半部分。
3.哈希演算法的特點是是使用給定數據構造哈希表，然後在哈希表上進行查找的一種演算法。先給定一個值，然後根據哈希函數求得哈希地址，再根據哈希地址查找到要找的元素。是通過數據元素的存儲地址進行查找的一種演算法。

Ⅳ 二分搜索演算法是利用什麼實現的演算法

二分搜索演算法是利用排除剩餘元素中一半的元素實現的演算法。

在計算機科學中，二分搜索（英語：binary search），也稱折半搜索（英語：half-interval search）、對數搜索（英語：logarithmic search），是一種在有序數組中查找某一特定元素的搜索演算法。

二分搜索演算法原理：

1、如果待查序列為空，那麼就返回－1，並退出演算法；這表示查找不到目標元素。如果待查序列不為空，則將它的中間元素與要查找的目標元素進行匹配，看它們是否相等。如果相等，則返回該中間元素的索引，並退出演算法；此時就查找成功了。如果不相等，就再比較這兩個元素的大小。

2、如果該中間元素大於目標元素，那麼就將當前序列的前半部分作為新的待查序列；這是因為後半部分的所有元素都大於目標元素，它們全都被排除了。

3、如果該中間元素小於目標元素，那麼就將當前序列的後半部分作為新的待查序列；這是因為前半部分的所有元素都小於目標元素，它們全都被排除了。

Ⅵ 面試會出哪些經典演算法題

1、排序演算法∶快速排序、歸並排序、計數排序

2、搜索演算法∶回溯、遞歸、剪枝技巧

3、圖論∶最短路、最小生成樹、網路流建模

4、動態規劃：背包問題、最長子序列、計數問題

5、基礎技巧：分治、倍增、二分、貪心

6、數組與鏈表：單/雙向鏈表、跳舞鏈

7、棧與隊列

8、樹與圖：最近公共祖先、並查集

9、哈希表

10、堆：大/小根堆、可並堆

11、字元串∶字典樹、後綴樹

(6)面試數學二分演算法擴展閱讀：

演算法的重要性：

1、演算法能力能夠准確辨別一個程序員的技術功底是否扎實；

2、演算法能力是發掘程序員的學習能力與成長潛力的關鍵手段；

3、演算法能力能夠協助判斷程序員在面對新問題時，分析並解決問題的能力；

4、演算法能力是設計一個高性能系統、性能優化的必備基礎。

Ⅶ 二分查找法的具體演算法

折半查找法也稱為二分查找法，它充分利用了元素間的次序關系，採用分治策略，可在最壞的情況下用O(log n)完成搜索任務。它的基本思想是，將n個元素分成個數大致相同的兩半，取a[n/2]與欲查找的x作比較，如果x=a[n/2]則找到x，演算法終止。如果x<a[n/2]，則我們只要在數組a的左半部繼續搜索x（這里假設數組元素呈升序排列）。如果x>a[n/2]，則我們只要在數組a的右半部繼續搜索x。二分搜索法的應用極其廣泛，而且它的思想易於理解，但是要寫一個正確的二分搜索演算法也不是一件簡單的事。第一個二分搜索演算法早在1946年就出現了，但是第一個完全正確的二分搜索演算法直到1962年才出現。Bentley在他的著作《Writing Correct Programs》中寫道，90%的計算機專家不能在2小時內寫出完全正確的二分搜索演算法。問題的關鍵在於准確地制定各次查找范圍的邊界以及終止條件的確定，正確地歸納奇偶數的各種情況，其實整理後可以發現它的具體演算法是很直觀的，我們可用C++描述如下：

template<class Type>

int BinarySearch(Type a[],const Type& x,int n)

{

int left=0;

int right=n-1;

while(left<=right){

int middle=(left+right)/2;

if (x==a[middle]) return middle;

if (x>a[middle]) left=middle+1;

else right=middle-1;

}

return -1;

}

模板函數BinarySearch在a[0]<=a[1]<=...<=a[n-1]共n個升序排列的元素中搜索x,找到x時返回其在數組中的位置，否則返回-1。容易看出，每執行一次while循環，待搜索數組的大小減少一半,因此整個演算法在最壞情況下的時間復雜度為O(log n)。在數據量很大的時候，它的線性查找在時間復雜度上的優劣一目瞭然。

Ⅷ 什麼是二分法

二分法（Bisection method） 即一分為二的方法. 設[a，b]為R的閉區間. 逐次二分法就是造出如下的區間序列([an，bn])：a0=a，b0=b，且對任一自然數n，[an+1，bn+1]或者等於[an，cn]，或者等於[cn，bn]，其中cn表示[an，bn]的中點。

(8)面試數學二分演算法擴展閱讀

典型演算法

演算法：當數據量很大適宜採用該方法。採用二分法查找時，數據需是排好序的。

基本思想：假設數據是按升序排序的，對於給定值key，從序列的中間位置k開始比較，

如果當前位置arr[k]值等於key，則查找成功；

若key小於當前位置值arr[k]，則在數列的前半段中查找,arr[low,mid-1]；

若key大於當前位置值arr[k]，則在數列的後半段中繼續查找arr[mid+1,high]，

直到找到為止,時間復雜度:O(log(n))。