矩界演算法

⑴ 大數據最常用的演算法有哪些

奧地利符號計算研究所(Research Institute for Symbolic Computation，簡稱RISC)的Christoph Koutschan博士在自己的頁面上發布了一篇文章，提到他做了一個調查，參與者大多數是計算機科學家，他請這些科學家投票選出最重要的演算法，以下是這次調查的結果，按照英文名稱字母順序排序。

大數據等最核心的關鍵技術：32個演算法

1、A* 搜索演算法——圖形搜索演算法，從給定起點到給定終點計算出路徑。其中使用了一種啟發式的估算，為每個節點估算通過該節點的最佳路徑，並以之為各個地點排定次序。演算法以得到的次序訪問這些節點。因此，A*搜索演算法是最佳優先搜索的範例。

2、集束搜索(又名定向搜索，Beam Search)——最佳優先搜索演算法的優化。使用啟發式函數評估它檢查的每個節點的能力。不過，集束搜索只能在每個深度中發現最前面的m個最符合條件的節點，m是固定數字——集束的寬度。

3、二分查找(Binary Search)——在線性數組中找特定值的演算法，每個步驟去掉一半不符合要求的數據。

4、分支界定演算法(Branch and Bound)——在多種最優化問題中尋找特定最優化解決方案的演算法，特別是針對離散、組合的最優化。

5、Buchberger演算法——一種數學演算法，可將其視為針對單變數最大公約數求解的歐幾里得演算法和線性系統中高斯消元法的泛化。

6、數據壓縮——採取特定編碼方案，使用更少的位元組數(或是其他信息承載單元)對信息編碼的過程，又叫來源編碼。

7、Diffie-Hellman密鑰交換演算法——一種加密協議，允許雙方在事先不了解對方的情況下，在不安全的通信信道中，共同建立共享密鑰。該密鑰以後可與一個對稱密碼一起，加密後續通訊。

8、Dijkstra演算法——針對沒有負值權重邊的有向圖，計算其中的單一起點最短演算法。

9、離散微分演算法(Discrete differentiation)。

10、動態規劃演算法(Dynamic Programming)——展示互相覆蓋的子問題和最優子架構演算法

11、歐幾里得演算法(Euclidean algorithm)——計算兩個整數的最大公約數。最古老的演算法之一，出現在公元前300前歐幾里得的《幾何原本》。

12、期望-最大演算法(Expectation-maximization algorithm，又名EM-Training)——在統計計算中，期望-最大演算法在概率模型中尋找可能性最大的參數估算值，其中模型依賴於未發現的潛在變數。EM在兩個步驟中交替計算，第一步是計算期望，利用對隱藏變數的現有估計值，計算其最大可能估計值;第二步是最大化，最大化在第一步上求得的最大可能值來計算參數的值。

13、快速傅里葉變換(Fast Fourier transform，FFT)——計算離散的傅里葉變換(DFT)及其反轉。該演算法應用范圍很廣，從數字信號處理到解決偏微分方程，到快速計算大整數乘積。

14、梯度下降(Gradient descent)——一種數學上的最優化演算法。

15、哈希演算法(Hashing)。

16、堆排序(Heaps)。

17、Karatsuba乘法——需要完成上千位整數的乘法的系統中使用，比如計算機代數系統和大數程序庫，如果使用長乘法，速度太慢。該演算法發現於1962年。

18、LLL演算法(Lenstra-Lenstra-Lovasz lattice rection)——以格規約(lattice)基數為輸入，輸出短正交向量基數。LLL演算法在以下公共密鑰加密方法中有大量使用：背包加密系統(knapsack)、有特定設置的RSA加密等等。

19、最大流量演算法(Maximum flow)——該演算法試圖從一個流量網路中找到最大的流。它優勢被定義為找到這樣一個流的值。最大流問題可以看作更復雜的網路流問題的特定情況。最大流與網路中的界面有關，這就是最大流-最小截定理(Max-flow min-cut theorem)。Ford-Fulkerson 能找到一個流網路中的最大流。

20、合並排序(Merge Sort)。

21、牛頓法(Newton』s method)——求非線性方程(組)零點的一種重要的迭代法。

22、Q-learning學習演算法——這是一種通過學習動作值函數(action-value function)完成的強化學習演算法，函數採取在給定狀態的給定動作，並計算出期望的效用價值，在此後遵循固定的策略。Q-leanring的優勢是，在不需要環境模型的情況下，可以對比可採納行動的期望效用。

23、兩次篩法(Quadratic Sieve)——現代整數因子分解演算法，在實踐中，是目前已知第二快的此類演算法(僅次於數域篩法Number Field Sieve)。對於110位以下的十位整數，它仍是最快的，而且都認為它比數域篩法更簡單。

24、RANSAC——是「RANdom SAmple Consensus」的縮寫。該演算法根據一系列觀察得到的數據，數據中包含異常值，估算一個數學模型的參數值。其基本假設是：數據包含非異化值，也就是能夠通過某些模型參數解釋的值，異化值就是那些不符合模型的數據點。

25、RSA——公鑰加密演算法。首個適用於以簽名作為加密的演算法。RSA在電商行業中仍大規模使用，大家也相信它有足夠安全長度的公鑰。

26、Sch?nhage-Strassen演算法——在數學中，Sch?nhage-Strassen演算法是用來完成大整數的乘法的快速漸近演算法。其演算法復雜度為：O(N log(N) log(log(N)))，該演算法使用了傅里葉變換。

27、單純型演算法(Simplex Algorithm)——在數學的優化理論中，單純型演算法是常用的技術，用來找到線性規劃問題的數值解。線性規劃問題包括在一組實變數上的一系列線性不等式組，以及一個等待最大化(或最小化)的固定線性函數。

28、奇異值分解(Singular value decomposition，簡稱SVD)——在線性代數中，SVD是重要的實數或復數矩陣的分解方法，在信號處理和統計中有多種應用，比如計算矩陣的偽逆矩陣(以求解最小二乘法問題)、解決超定線性系統(overdetermined linear systems)、矩陣逼近、數值天氣預報等等。

29、求解線性方程組(Solving a system of linear equations)——線性方程組是數學中最古老的問題，它們有很多應用，比如在數字信號處理、線性規劃中的估算和預測、數值分析中的非線性問題逼近等等。求解線性方程組，可以使用高斯—約當消去法(Gauss-Jordan elimination)，或是柯列斯基分解( Cholesky decomposition)。

30、Strukturtensor演算法——應用於模式識別領域，為所有像素找出一種計算方法，看看該像素是否處於同質區域( homogenous region)，看看它是否屬於邊緣，還是是一個頂點。

31、合並查找演算法(Union-find)——給定一組元素，該演算法常常用來把這些元素分為多個分離的、彼此不重合的組。不相交集(disjoint-set)的數據結構可以跟蹤這樣的切分方法。合並查找演算法可以在此種數據結構上完成兩個有用的操作：

查找：判斷某特定元素屬於哪個組。

合並：聯合或合並兩個組為一個組。

32、維特比演算法(Viterbi algorithm)——尋找隱藏狀態最有可能序列的動態規劃演算法，這種序列被稱為維特比路徑，其結果是一系列可以觀察到的事件，特別是在隱藏的Markov模型中。

以上就是Christoph博士對於最重要的演算法的調查結果。你們熟悉哪些演算法?又有哪些演算法是你們經常使用的?

⑵ 19年3月二級C--數據結構與演算法

1.假設線性表的長度為n，則最壞情況下:

冒泡排序: 需要經過n/2遍的從前往後掃描和n/2遍從後往前掃描，需要比較的次數為n(n-1)/2。總的時間復雜度為O(n的平方)。

快速排序: 比較次數也是n(n-1)/2。總的時間復雜度為O(n的平方)。

直接插入排序: 所需要比較的次數為n(n-1)/2。總的時間復雜度為O(n的平方)。

希爾排序所需要比較的次數為O(n的1.5次方)。(時間復雜度小於以上三種)

堆排序: 最壞情況下，其時間復雜度為O(nlogn)。(小於O(n的平方))。

2.根據數據結構中各元素之間前後關系的復雜程度，一般數據結構分為兩大類: 線性結構和非線性結構。

如果一個非空的數據結構滿足下列兩個條件，①有且只有一個根結點 ②每個結點最多有一個前件，也最多有一個後件。則稱該數據結構為線性結構，又稱線性表。

3.演算法時間復雜度與空間復雜度沒有關系。

4.所謂演算法的時間復雜度，是指執行演算法所需要的計算工作量。

為了能夠比較客觀的反映出一個演算法的效率，在度量一個演算法的工作量時，不僅應該與所用的計算機程序設計語言，以及程序編制者無關，而且還應該與演算法實現過程中的許多細節無關。

5.同一問題可用不同演算法解決，而一個演算法的質量優劣將影響到演算法乃至程序的效率。

演算法分析的目的在於選擇合適演算法和改進演算法。

6.堆排序在平均情況下的時間復雜度與最壞情況下的時間復雜度都是O(nlogn)。

7.二叉鏈表: 以二叉鏈表作為樹的存儲結構。鏈表中結點的兩個鏈域分別指向該結點的第一個孩子結點和第一個孩子下的一個兄弟結點。

  循環鏈表是鏈式存儲結構，循環隊列是線性存儲結構。( 【×】循環鏈表是循環隊列的鏈式存儲結構)

  雙向鏈表也叫雙鏈表，是鏈表的一種，它的每個數據結點都有兩個指針，分別指向直接後繼和直接前驅，所以從雙鏈表中的任意一個結點開始都可以很方便地訪問它的前驅結點和後繼結點。

8.數據的邏輯結構由兩個要素: 一是數據元素的集合，通常記為D。二是D上的關系，它反映了D中各元素之間的前後件關系，通常記為R。

即一個數據結構可以表示成B=(D,R)，其中B表示數據結構，為了反映D中各元素之間的前後件關系，一般用二元組來表示。例如，假如a與b是D中的兩個數據，則二元組表示a是b的前件，b是a的後件。

  線性結構用圖形表示更加直觀。例如: R=｛(5,1)，(7,9)，(1,7)，(9,3)｝，結構為: 5→1→7→9→3

9.快速排序法是一種互換類的排序方法，但由於比冒泡排序的速度快，因此稱為快速排序。

其基本思想是從線性表中選擇一個元素設為t，將線性表後面小於t的元素移到前面，而前面大於t的元素移到後面，結果就將線性表分成了兩部分，t插入到分界線的位置處，這個過程稱為線性表的分割。

  簡單插入排序法，是指將無序序列中的各元素依次插入到已經有序的線性表中。

  冒泡排序法是一種最簡單的交換類排序方法，它是通過相鄰數據元素的交換，逐步將線性表變為有序。

  後兩種元素的移動過程中不會產生新的逆序。

10.程序可作為演算法的一種描述。

11.為了降低演算法的空間復雜度，要求演算法盡量採用原地工作，所謂的原地工作是指執行演算法時所使用的額外空間固定。

  一個演算法的空間復雜度一般是指執行這個演算法所需要的內存空間，一個演算法所佔用的存儲空間包括程序所佔的空間，輸入的初始數據所佔的空間以及演算法執行過程中所需要的額外空間。

12.能從任意一個結點開始沒有重復的掃描到所有結點的數據結構是循環鏈表。

13.循環隊列是隊列的一種存儲結構

14.演算法的設計要求包括效率與低存儲量，即要考慮演算法的時間復雜度與空間復雜度。

  演算法的復雜度包括時間復雜度和空間復雜度。

  時間復雜度: 是指執行演算法所需要的計算工作量。

  空間復雜度: 一般是指執行這個演算法所需要的內存空間。

15.棧是一種特殊的線性表。鏈式結構把每一個存儲結點分為數據域與指針域，帶鏈的棧可以通過指針域的變化改變原有的棧的組織數據原則; 而順序棧的棧底指針不變，棧頂指針改變。

16.堆排序在最壞的情況下需要比較nlogn次。

  快速排序，在最壞情況下需要比較n(n-1)/2次。

  順序查找，在最壞情況下需要比較n次。

  最壞情況下，二分查找需要log2n(小於n-1)

  在長度為n的順序表中尋找最大項/最小項時，比較次數最少為1，最多為n-1。

17.如果一個非空的數據結構滿足下列兩個條件，①有且只有一個根節點 ②每一個結點最多有一個前件，也最多有一個後件，則稱該數據結構為線性結構。如果一個數據結構不是線性結構，則稱為非線性結構。

18.帶鏈棧空的條件是 top=bottom=NULL

19.滿二叉樹也是完全二叉樹，完全二叉樹不一定是滿二叉樹。對於滿二叉樹和完全二叉樹來說，可以按照程序進行順序存儲，不僅節省了空間，又能方便地確定每一個結點的父結點等於左右子結點的位置，但順序存儲結構對於一般的二叉樹不適用。

20.帶鏈棧隊頭指針與隊尾指針相同，且不為空時，隊列元素個數為1; 若為空時，隊列元素個數為0。

帶鏈棧的棧底指針是隨棧的操作而動態變化的。

21.二叉樹的鏈式存儲結構，也稱為二叉鏈表。在二叉樹中，由於每一個元素可以有兩個後件，因此用於存儲二叉樹的存儲結點的指針域有兩個，所以二叉鏈表屬於非線性結構。

22.線性表由一組元素數據元素構成，各元素的數據類型必須相同，矩陣是一個比較復雜的線性表，線性表除了插入和刪除運算之外，還可以查找，排序，分解，合並等。數組是長度固定的線性表。

23.冒泡排序中，在互換兩個相鄰元素時，只能消除一個逆序; 快速排序及希爾排序中，一次交換可以消除多個逆序。

24.二分法檢索的效率比較高，設線性表有n個元素，則最多的比較次數為log2n，最少檢索次數為1。

25.循環鏈表的結構具有以下兩個特點。一，在循環鏈表中，增加了一個表頭結點，其數據域為任意或者根據需要來設置指針域指向線性表的第一個元素的結點。循環鏈表的頭指針指向表頭結點。二、循環鏈表中最後一個節點的指針域不是空，而是指向表頭結點，即在循環鏈表中所有的結點指針構成一個環狀鏈。

26.二叉樹的存儲結構是非線性結構，而完全二叉樹是特殊形態的二叉樹。採用順序存儲的完全二叉樹屬於非線性結構。

27.時間復雜度和計算機運行速度以及存儲空間無關。

演算法的空間復雜度和存儲結構無關。

數據處理效率與數據的存儲結構有關。

28.線性表，向量，棧，隊列都屬於線性結構的順序存儲。

29.循環隊列是隊列的存儲結構。

  循環鏈表是另一種形式的念式存儲結構。

  (✘循環鏈表是循環隊列的鏈式存儲結構。✘)

30.完全二叉樹的總結點為奇數時，葉子結點是總結點加一再除以二。

31.在實際處理中，可以用一位數組來存儲堆序列中的元素，也可以用完全二叉樹來直觀的表示堆的結構。在用完全二叉樹表示堆時，樹中所有非葉子結點值均不小於其左，右子樹的根結點值，因為堆頂元素必須為序列的n個元素的最大項，因此其中序並不是有序序列。

  多重鏈表指表中每個結點由兩個或兩個以上的指針域的鏈表。如果一個非空的數據結構滿足下列兩個條件，①有且只有一個根結點，②每個結點最多有一個前件，也最多有一個後件，則稱該數據結構為線性結構，所以多重鏈表不一定是非線性結構。

  在計算機中二叉樹通常採用鏈式存儲結構，對於滿二叉樹和完全二叉樹來說，可以按層次進行順序存儲。

  排序二叉樹的中序遍歷序列是有序序列。

32.對於一個固定的規模，演算法所執行的基本運算次數還可能與特定的輸入有關。

33.在線性表中尋找最大項時，平均情況下和最壞情況下比較次數都是n-1。

34.在長度為n的順序表中查找一 個元素， 假沒需要查找的元素有一半的機會在表中，並且如果元素在表中，則出現在表中每個位置上的可能性是相

同的。則在平均情況下需要比較的次數大約為_

A.3n/4    B.n    C.n/2  D.n/4

本題的考查知識點是順序表的存儲結構。

因為需要查找的元素有一半機會在表中，所以二分之一的情況下平均比較次數為n/2，另二分之一的情況下平均比較次數為n。總的平均比較次數為(n/2+n) /2-3n/4。

故本題答案為A。

35.設數據結構B=(D, R)，其中

D={a,b,c,d，e，f}

R={(a，b)，(b，c)，(c，d)，(d，e)，(e，f)，(f,a)}該數據結構為

A.線性結構    B.循環隊列

C.循環鏈表    D.非線性結構

本題的考查知識點是數據結構。

如果一個非控的數據結構滿足下列兩個條件: 1) 有且只有一個根節點; 2) 每一一個結點最多有一一個前件，也最多有一一個後件。則稱該數據結構為線性結構。如果一個數據結構不是線性結構，則稱之為非線性結構。

數據結構B=(D, R)中， 每一個結點均有一個前件，不符合「有且只有一個根節點」的條件，所以為非線性結構。故本題答案選D。

36.某帶鏈的隊列初始狀態為front=rear=NULL。經過一系列正常的入隊與退隊操作後，front=rear=10。 該隊列中的元素個數為_

A.1    B.0    C.1或0    D.不確定

本題的考查知識點是帶鏈隊列。

在初始狀態為front=rear=NULL的帶鏈隊列入隊時，如果插入的結點既是隊首結點又是隊尾結點，則rear和front同時指向這個結點;否則在循環隊列的隊尾加入一一個新元素，rear指向新增結點的數據域，rear+1, front不變。 退隊時，在循環隊列的排頭位置退出一個元素並賦給指定的變數，front指向第二個結點的數據域，front+1, rear不變。當front=rear=10時， front和rear同時指向這個唯一 元素，所以該隊列中的元素個數為1。

故本題答案為A。

37.若二叉樹沒有葉子結點，則為空二叉樹。

38.某帶鏈棧的初始狀態為top=bottom=NULL, 經過一系列正 常的入棧與退棧操作後，top=10, bottom=20。 該棧中的元素個數為_____。

A.不確定    B. 10    C.1    D.0

本題考查的知識點是棧。

帶鏈的棧是具有棧屬性的鏈表，線性鏈表的存儲單元是不連續的，為把存儲空間中一-些離散的空閑存 儲結點利用起來，把所有空閑的結點組織成一個帶鏈的棧，稱為可利用棧。

線性鏈表執行刪除操作運算時， 被刪除的結點可以」回收到可利用棧，對應於可利用棧的入棧運算;線性鏈表執行插入運算時，需要一個新的結點，可以在可利用棧中取棧頂結點，對應於可利用棧的退棧運算。

可利用棧的入棧運算和退棧運算只需要改動top指針即可。因為是不連續的存儲空間，所以top指針將不會有規律地連續變化，因此無法據此判斷棧中的元素個數。

所以本題答案為A。

⑶ 在圖像處理中有哪些演算法

1、圖像變換：

由於圖像陣列很大，直接在空間域中進行處理，涉及計算量很大。採用各種圖像變換的方法，如傅立葉變換、沃爾什變換、離散餘弦變換等間接處理技術，將空間域的處理轉換為變換域處理，可減少計算量，獲得更有效的處理。它在圖像處理中也有著廣泛而有效的應用。

2、圖像編碼壓縮：

圖像編碼壓縮技術可減少描述圖像的數據量，以便節省圖像傳輸、處理時間和減少所佔用的存儲器容量。

壓縮可以在不失真的前提下獲得，也可以在允許的失真條件下進行。

編碼是壓縮技術中最重要的方法，它在圖像處理技術中是發展最早且比較成熟的技術。

3、圖像增強和復原：

圖像增強和復原的目的是為了提高圖像的質量，如去除雜訊，提高圖像的清晰度等。

圖像增強不考慮圖像降質的原因，突出圖像中所感興趣的部分。如強化圖像高頻分量，可使圖像中物體輪廓清晰，細節明顯；如強化低頻分量可減少圖像中雜訊影響。

4、圖像分割：

圖像分割是數字圖像處理中的關鍵技術之一。

圖像分割是將圖像中有意義的特徵部分提取出來，其有意義的特徵有圖像中的邊緣、區域等，這是進一步進行圖像識別、分析和理解的基礎。

5、圖像描述：

圖像描述是圖像識別和理解的必要前提。

一般圖像的描述方法採用二維形狀描述，它有邊界描述和區域描述兩類方法。對於特殊的紋理圖像可採用二維紋理特徵描述。

6、圖像分類：

圖像分類屬於模式識別的范疇，其主要內容是圖像經過某些預處理（增強、復原、壓縮）後，進行圖像分割和特徵提取，從而進行判決分類。

圖像分類常採用經典的模式識別方法，有統計模式分類和句法模式分類。

(3)矩界演算法擴展閱讀：

圖像處理主要應用在攝影及印刷、衛星圖像處理、醫學圖像處理、面孔識別、特徵識別、顯微圖像處理和汽車障礙識別等。

數字圖像處理技術源於20世紀20年代，當時通過海底電纜從英國倫敦到美國紐約傳輸了一幅照片，採用了數字壓縮技術。

數字圖像處理技術可以幫助人們更客觀、准確地認識世界，人的視覺系統可以幫助人類從外界獲取3/4以上的信息，而圖像、圖形又是所有視覺信息的載體，盡管人眼的鑒別力很高，可以識別上千種顏色，

但很多情況下，圖像對於人眼來說是模糊的甚至是不可見的，通過圖象增強技術，可以使模糊甚至不可見的圖像變得清晰明亮。

⑷ 計算幾何的全部演算法

1. 矢量減法

設二維矢量 P = （x1,y1） ，Q = (x2,y2)
則矢量減法定義為： P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )
顯然有性質 P - Q = - ( Q - P )
如不加說明，下面所有的點都看作矢量，兩點的減法就是矢量相減；

2.矢量叉積

設矢量P = （x1,y1） ，Q = (x2,y2)
則矢量叉積定義為： P × Q = x1*y2 - x2*y1 得到的是一個標量
顯然有性質 P × Q = - ( Q × P ) P × ( - Q ) = - ( P × Q )
如不加說明，下面所有的點都看作矢量，點的乘法看作矢量叉積；

叉乘的重要性質：

> 若 P × Q > 0 , 則P 在Q的順時針方向
> 若 P × Q < 0 , 則P 在Q的逆時針方向
> 若 P × Q = 0 , 則P 與Q共線，但可能同向也可能反向

3.判斷點在線段上

設點為Q，線段為P1P2 ，判斷點Q在該線段上的依據是：

( Q - P1 ) × ( P2 - P1 ) = 0 且 Q 在以 P1，P2為對角頂點的矩形內

4.判斷兩線段是否相交

我們分兩步確定兩條線段是否相交：

(1)． 快速排斥試驗

設以線段 P1P2 為對角線的矩形為R， 設以線段 Q1Q2 為對角線的矩形為T，如果
R和T不相交，顯然兩線段不會相交；

(2)． 跨立試驗

如果兩線段相交，則兩線段必然相互跨立對方，如圖1所示。在圖1中，P1P2跨立
Q1Q2 ，則矢量 ( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位於矢量( Q2 - Q1 ) 的兩側，即
( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0
上式可改寫成
( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) > 0
當( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) = 0 時，說明( P1 - Q1 ) 和 ( Q2 - Q1 )共線，
但是因為已經通過快速排斥試驗，所以 P1 一定在線段 Q1Q2上；同理，
( Q2 - Q1 ) ×( P2 - Q1 ) = 0 說明 P2 一定在線段 Q1Q2上。

所以判斷P1P2跨立Q1Q2的依據是：

( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) ≥ 0

同理判斷Q1Q2跨立P1P2的依據是：

( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( P2 - P1 ) × ( Q2 - P1 ) ≥ 0

至此已經完全解決判斷線段是否相交的問題。

5.判斷線段和直線是否相交

如果線段 P1P2和直線Q1Q2相交，則P1P2跨立Q1Q2，即：

( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) ≥ 0

6.判斷矩形是否包含點

只要判斷該點的橫坐標和縱坐標是否夾在矩形的左右邊和上下邊之間。

6.判斷線段、折線、多邊形是否在矩形中

因為矩形是個凸集，所以只要判斷所有端點是否都在矩形中就可以了。

7.判斷矩形是否在矩形中

只要比較左右邊界和上下邊界就可以了。

8.判斷圓是否在矩形中

圓在矩形中的充要條件是：圓心在矩形中且圓的半徑小於等於圓心到矩形四邊的距
離的最小值。

9.判斷點是否在多邊形中

以點P為端點，向左方作射線L，由於多邊形是有界的，所以射線L的左端一定在多
邊形外，考慮沿著L從無窮遠處開始自左向右移動，遇到和多邊形的第一個交點的
時候，進入到了多邊形的內部，遇到第二個交點的時候，離開了多邊形，……所
以很容易看出當L和多邊形的交點數目C是奇數的時候，P在多邊形內，是偶數的話
P在多邊形外。

但是有些特殊情況要加以考慮。如果L和多邊形的頂點相交，有些情況下交點只能
計算一個，有些情況下交點不應被計算（自己畫個圖就明白了）；如果L和多邊形
的一條邊重合，這條邊應該被忽略不計。為了統一起見，我們在計算射線L和多邊
形的交點的時候，1。對於多邊形的水平邊不作考慮；2。對於多邊形的頂點和L相
交的情況，如果該頂點是其所屬的邊上縱坐標較大的頂點，則計數，否則忽略；
3。對於P在多邊形邊上的情形，直接可判斷P屬於多邊行。由此得出演算法的偽代碼
如下：

1. count ← 0;
2. 以P為端點，作從右向左的射線L;
3. for 多邊形的每條邊s
4. do if P在邊s上
5. then return true;
6. if s不是水平的
7. then if s的一個端點在L上且該端點是s兩端點中縱坐標較大的端點
9. then count ← count+1
10. else if s和L相交
11. then count ← count+1;
12. if count mod 2 = 1
13. then return true
14. else return false;

其中做射線L的方法是：設P'的縱坐標和P相同，橫坐標為正無窮大（很大的一個正
數），則P和P'就確定了射線L。這個演算法的復雜度為O(n)。

10.判斷線段是否在多邊形內

線段在多邊形內的一個必要條件是線段的兩個端點都在多邊形內；

如果線段和多邊形的某條邊內交（兩線段內交是指兩線段相交且交點不在兩線段的
端點），因為多邊形的邊的左右兩側分屬多邊形內外不同部分，所以線段一定會有
一部分在多邊形外。於是我們得到線段在多邊形內的第二個必要條件：線段和多邊
形的所有邊都不內交；

線段和多邊形交於線段的兩端點並不會影響線段是否在多邊形內；但是如果多邊形
的某個頂點和線段相交，還必須判斷兩相鄰交點之間的線段是否包含與多邊形內部。
因此我們可以先求出所有和線段相交的多邊形的頂點，然後按照X-Y坐標排序，這樣
相鄰的兩個點就是在線段上相鄰的兩交點，如果任意相鄰兩點的中點也在多邊形內，
則該線段一定在多邊形內。證明如下：

命題1：

如果線段和多邊形的兩相鄰交點P1 ，P2的中點P' 也在多邊形內，則P1, P2之間的
所有點都在多邊形內。

證明：

假設P1,P2之間含有不在多邊形內的點，不妨設該點為Q，在P1, P'之間，因為多邊
形是閉合曲線，所以其內外部之間有界，而P1屬於多邊行內部，Q屬於多邊性外部，
P'屬於多邊性內部，P1-Q-P'完全連續，所以P1Q和QP'一定跨越多邊形的邊界，因此
在P1,P'之間至少還有兩個該線段和多邊形的交點，這和P1P2是相鄰兩交點矛盾，故
命題成立。證畢

由命題1直接可得出推論：

推論2：

設多邊形和線段PQ的交點依次為P1,P2,……Pn，其中Pi和Pi+1是相鄰兩交點，線段
PQ在多邊形內的充要條件是：P，Q在多邊形內且對於i =1, 2,……, n-1，Pi ,Pi+1
的中點也在多邊形內。

在實際編程中，沒有必要計算所有的交點，首先應判斷線段和多邊形的邊是否內交
，倘若線段和多邊形的某條邊內交則線段一定在多邊形外；如果線段和多邊形的每
一條邊都不內交，則線段和多邊形的交點一定是線段的端點或者多邊形的頂點，只
要判斷點是否在線段上就可以了。

至此我們得出演算法如下：

1. if 線端PQ的端點不都在多邊形內
2. then return false;
3. 點集pointSet初始化為空;
4. for 多邊形的每條邊s
5. do if 線段的某個端點在s上
6. then 將該端點加入pointSet;
7. else if s的某個端點在線段PQ上
8. then 將該端點加入pointSet;
9. else if s和線段PQ相交 // 這時候可以肯定是內交
10. then return false;
11. 將pointSet中的點按照X-Y坐標排序，X坐標小的排在前面，
對於X坐標相同的點，Y坐標小的排在前面；
12. for pointSet中每兩個相鄰點 pointSet[i] , pointSet[ i+1]
13. do if pointSet[i] , pointSet[ i+1] 的中點不在多邊形中
14. then return false;
15. return true;

這個演算法的復雜度也是O(n)。其中的排序因為交點數目肯定遠小於多邊形的頂點數
目n，所以最多是常數級的復雜度，幾乎可以忽略不計。

11.判斷折線在多邊形內

只要判斷折線的每條線段是否都在多邊形內即可。設折線有m條線段，多邊形有n個
頂點，則復雜度為O(m*n)。

12.判斷多邊形是否在多邊形內

只要判斷多邊形的每條邊是否都在多邊形內即可。判斷一個有m個頂點的多邊形是
否在一個有n個頂點的多邊形內復雜度為O(m*n)。

13.判斷矩形是否在多邊形內

將矩形轉化為多邊形，然後再判斷是否在多邊形內。

14.判斷圓是否在多邊形內

只要計算圓心到多邊形的每條邊的最短距離，如果該距離大於等於圓半徑則該圓在
多邊形內。計算圓心到多邊形每條邊最短距離的演算法在後文闡述。

15.判斷點是否在圓內

計算圓心到該點的距離，如果小於等於半徑則該點在圓內。

16.判斷線段、折線、矩形、多邊形是否在圓內

因為圓是凸集，所以只要判斷是否每個頂點都在圓內即可。

17.判斷圓是否在圓內

設兩圓為O1,O2，半徑分別為r1, r2，要判斷O2是否在O1內。先比較r1，r2的大小
，如果r1<r2則O2不可能在O1內；否則如果兩圓心的距離大於r1 - r2 ，則O2不在
O1內；否則O2在O1內。

18.計算點到線段的最近點

如果該線段平行於X軸（Y軸），則過點point作該線段所在直線的垂線，垂足很容
易求得，然後計算出垂足，如果垂足在線段上則返回垂足，否則返回離垂足近的端
點；

如果該線段不平行於X軸也不平行於Y軸，則斜率存在且不為0。設線段的兩端點為
pt1和pt2，斜率為：
k = ( pt2.y - pt1. y ) / (pt2.x - pt1.x );
該直線方程為：
y = k* ( x - pt1.x) + pt1.y
其垂線的斜率為 - 1 / k，
垂線方程為：
y = (-1/k) * (x - point.x) + point.y
聯立兩直線方程解得：
x = ( k^2 * pt1.x + k * (point.y - pt1.y ) + point.x ) / ( k^2 + 1)
y = k * ( x - pt1.x) + pt1.y;

然後再判斷垂足是否在線段上，如果在線段上則返回垂足；如果不在則計算兩端點
到垂足的距離，選擇距離垂足較近的端點返回。

19.計算點到折線、矩形、多邊形的最近點

只要分別計算點到每條線段的最近點，記錄最近距離，取其中最近距離最小的點即
可。

20.計算點到圓的最近距離

如果該點在圓心，則返回UNDEFINED
連接點P和圓心O，如果PO平行於X軸，則根據P在O的左邊還是右邊計算出最近點的
橫坐標為centerPoint.x - radius 或 centerPoint.x + radius， 如圖4 (a)所示；
如果PO平行於Y軸，則根據P在O的上邊還是下邊計算出最近點的縱坐標為
centerPoint.y + radius 或 centerPoint.y - radius， 如圖4 (b)所示。

如果PO不平行於X軸和Y軸，則PO的斜率存在且不為0，如圖4(c)所示。這時直線PO
斜率為
k = （ P.y - O.y ）/ ( P.x - O.x )
直線PO的方程為：
y = k * ( x - P.x) + P.y
設圓方程為:
(x - O.x ) ^2 + ( y - O.y ) ^2 = r ^2，
聯立兩方程組可以解出直線PO和圓的交點，取其中離P點較近的交點即可。

21.計算兩條共線的線段的交點

對於兩條共線的線段，它們之間的位置關系有圖5所示的幾種情況。
圖5(a)中兩條線段沒有交點；圖5 (b) 和 (d) 中兩條線段有無窮焦點；圖5 (c)
中兩條線段有一個交點。設line1是兩條線段中較長的一條，line2是較短的一條，
如果line1包含了line2的兩個端點，則是圖5(d)的情況，兩線段有無窮交點；如
果line1隻包含line2的一個端點，那麼如果line1的某個端點等於被line1包含的
line2的那個端點，則是圖5(c)的情況，這時兩線段只有一個交點，否則就是
圖5(c)的情況，兩線段也是有無窮的交點；如果line1不包含line2的任何端點，
則是圖5(a)的情況，這時兩線段沒有交點。

22.計算線段或直線與線段的交點

設一條線段為L0 = P1P2，另一條線段或直線為L1 = Q1Q2 ，要計算的就是L0和L1
的交點。

1.首先判斷L0和L1是否相交（方法已在前文討論過），如果不相交則沒有交點，
否則說明L0和L1一定有交點，下面就將L0和L1都看作直線來考慮。

2.如果P1和P2橫坐標相同，即L0平行於Y軸
a)若L1也平行於Y軸，
i.若P1的縱坐標和Q1的縱坐標相同，說明L0和L1共線，假如L1是直線的話他們有
無窮的交點，假如L1是線段的話可用"計算兩條共線線段的交點"的演算法求他們
的交點（該方法在前文已討論過）；
ii.否則說明L0和L1平行，他們沒有交點；
b)若L1不平行於Y軸，則交點橫坐標為P1的橫坐標，代入到L1的直線方程中可以計
算出交點縱坐標；
3.如果P1和P2橫坐標不同，但是Q1和Q2橫坐標相同，即L1平行於Y軸，則交點橫
坐標為Q1的橫坐標，代入到L0的直線方程中可以計算出交點縱坐標；
4.如果P1和P2縱坐標相同，即L0平行於X軸
a)若L1也平行於X軸，
i.若P1的橫坐標和Q1的橫坐標相同，說明L0和L1共線，假如L1是直線的話他們
有無窮的交點，假如L1是線段的話可用"計算兩條共線線段的交點"的演算法求
他們的交點（該方法在前文已討論過）；
ii.否則說明L0和L1平行，他們沒有交點；

b)若L1不平行於X軸，則交點縱坐標為P1的縱坐標，代入到L1的直線方程中可以計
算出交點橫坐標；
5.如果P1和P2縱坐標不同，但是Q1和Q2縱坐標相同，即L1平行於X軸，則交點縱坐標
為Q1的縱坐標，代入到L0的直線方程中可以計算出交點橫坐標；
6.剩下的情況就是L1和L0的斜率均存在且不為0的情況
a)計算出L0的斜率K0，L1的斜率K1 ；
b)如果K1 = K2
i.如果Q1在L0上，則說明L0和L1共線，假如L1是直線的話有無窮交點，假如L1
是線段的話可用"計算兩條共線線段的交點"的演算法求他們的交點（該方法在
前文已討論過）；
ii.如果Q1不在L0上，則說明L0和L1平行，他們沒有交點。
c)聯立兩直線的方程組可以解出交點來

說明：這個演算法並不復雜，但是要分情況討論清楚，尤其是當兩條線段共線的情況
需要單獨考慮，所以在前文將求兩條共線線段的演算法單獨寫出來。另外，一開始就
先利用矢量叉乘判斷線段與線段（或直線）是否相交，如果結果是相交，那麼在後
面就可以將線段全部看作直線來考慮。

23.求線段或直線與折線、矩形、多邊形的交點

分別求與每條邊的交點即可。

24.求線段或直線與圓的交點

設圓心為O，圓半徑為r，直線（或線段）L上的兩點為P1,P2。
1.如果L是線段且P1，P2都包含在圓O內，則沒有交點；否則進行下一步
2.如果L平行於Y軸，
a)計算圓心到L的距離dis
b)如果dis > r 則L和圓沒有交點；
c)利用勾股定理，可以求出兩交點坐標，如圖6(a)所示；但要注意考慮L和圓的相
切情況
3.如果L平行於X軸，做法與L平行於Y軸的情況類似；
4.如果L既不平行X軸也不平行Y軸，可以求出L的斜率K，然後列出L的點斜式方程
，和圓方程聯立即可求解出L和圓的兩個交點；
5.如果L是線段，對於2，3，4中求出的交點還要分別判斷是否屬於該線段的范圍內。

⑸ 誰有數學建模十大演算法的詳細介紹啊

1、蒙特卡羅演算法（該演算法又稱隨機性模擬演算法，是通過計算機模擬來解決問題的演算法，
同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法）
2、數據擬合、參數估計、插值等數據處理演算法（比賽中通常會遇到大量的數據需要處理，
而處理數據的關鍵就在於這些演算法，通常使用Matlab作為工具）
3、線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題（建模競賽大多數問題屬於最優化問題，
很多時候這些問題可以用數學規劃演算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟體實現）
4、圖論演算法（這類演算法可以分為很多種，包括最短路、網路流、二分圖等演算法，
涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真准備）
5、動態規劃、回溯搜索、分治演算法、分支定界等計算機演算法（這些演算法是演算法設計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中）
6、最優化理論的三大非經典演算法：模擬退火法、神經網路、遺傳演算法
（這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的演算法，對於有些問題非常有幫助，
但是演算法的實現比較困難，需慎重使用）
7、網格演算法和窮舉法（網格演算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的演算法，在很多競賽題中有應用，
當重點討論模型本身而輕視演算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具）
8、一些連續離散化方法（很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化後進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的）
9、數值分析演算法（如果在比賽中採用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的演算法比
如方程組求解、矩陣運算、函數積分等演算法就需要額外編寫庫函數進行調用）
10、圖象處理演算法（賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，
這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理）

⑹ 剩餘矩形填充演算法是優化演算法嗎

是，針對矩形件排樣問題提出的一種新的空白矩形填充優化演算法.
首先,設計空白矩形填充演算法時,提出了消除多餘空白矩形的方法,以減小計算時間復雜度.其次,利用鄰域搜索演算法優化矩形件排放順序,通過挖掘矩形件排樣的問題特徵,設計了受限距離的交叉和插入兩種鄰域運算元,並提出了特殊運算元執行點選擇策略.然後,設計了基於兩種鄰域運算元交替迭代的鄰域搜索演算法.最後,對文獻中的21個經典案例進行試驗計算,4個案例的排樣利用率達到了100％,絕大多數案例的排樣利用率超過了99％,最小排樣利用率超過了98％.將其他常用演算法和文獻中演算法進行比較,驗證了本文演算法的有效性