svm演算法步驟

Ⅰ svm演算法是什麼

SVM(Support Vector Machine)中文名為支持向量機，是常見的一種判別方法。

支持向量機（Support Vector Machine, SVM）是一類按監督學習（supervised learning）方式對數據進行二元分類的廣義線性分類器（generalized linear classifier），其決策邊界是對學習樣本求解的最大邊距超平面（maximum-margin hyperplane）。

數值求解特點：

SVM的求解可以使用二次凸優化問題的數值方法，例如內點法和序列最小優化演算法，在擁有充足學習樣本時也可使用隨機梯度下降。

在二次凸優化問題中，SMO的每步迭代都嚴格地優化了SVM的對偶問題，且迭代會在有限步後收斂於全局極大值。SMO演算法的迭代速度與所選取乘子對KKT條件的偏離程度有關，因此SMO通常採用啟發式方法選取拉格朗日乘子。

在每次迭代時，SGD首先判定約束條件，若該樣本不滿足約束條件，則SGD按學習速率最小化結構風險；若該樣本滿足約束條件，為SVM的支持向量，則SGD根據正則化系數平衡經驗風險和結構風險，即SGD的迭代保持了SVM的稀疏性。

Ⅱ 支持向量機(SVM)基本原理

看了很多關於SVM的博客，但是常常只能保存書簽之後看，有時候有的博客就突然沒了，這里就作為搬運工總結一下之後自己看吧。主要內容來自於：
支持向量機通俗導論（理解SVM的三層境界）

線性回歸
給定數據集 , 其中, ,線性回歸試圖學習到一個線性模型,盡可能地輸出正確標記.

如果我們要用線性回歸演算法來解決一個分類問題,(對於分類,y 取值為 0 或者 1),但如果你使用的是線性回歸,那麼假設函數的輸出值可能遠大於 1,或者遠小於 0,就算所有訓練樣本的標簽 y 都是 0 或 1但是如果演算法得到的值遠大於 1 或者遠小於 0 的話,就會感覺很奇怪。所以我們在接下來的要研究的演算法就叫做邏輯回歸演算法,這個演算法的性質是:它的輸出值永遠在 0 到 1 之間。

所以邏輯回歸就是一個分類演算法,這個演算法的輸出值永遠在 0 到 1 之間.
我們先看二分類的LR,具體做法是:利用sigmoid 函數,將每一個點的回歸值映射到0,1之間.sigmoid函數特性如下:

如圖所示,令 , 當 z > 0 , z 越大, sigmoid 返回值越接近1(但永遠不會超過1). 反之,當z < 0時,z 越小, sigmoid 返回值越接近0(但永遠不會小於0).

支持向量機 ，因其英文名為support vector machine，故一般簡稱SVM，通俗來講，它是一種二類分類模型，其基本模型定義為 特徵空間 上的間隔最大的線性分類器，其學習策略便是間隔最大化，最終可轉化為一個凸二次規劃問題的求解。

線性分類器
給定一些數據點，它們分別屬於兩個不同的類，現在要找到一個線性分類器把這些數據分成兩類。如果用x表示數據點，用y表示類別（y可以取1或者-1，分別代表兩個不同的類），一個線性分類器的學習目標便是要在n維的數據空間中找到一個超平面（hyper plane），這個超平面的方程可以表示為（ wT中的T代表轉置）：

logistic回歸目的是從特徵學習出一個0/1分類模型，而這個模型是將特性的線性組合作為自變數，由於自變數的取值范圍是負無窮到正無窮。因此，使用logistic函數（或稱作sigmoid函數）將自變數映射到(0,1)上，映射後的值被認為是屬於y=1的概率。
假設函數:

其中x是n維特徵向量，函數g就是logistic函數。

圖像為：

在超平面w x+b=0確定的情況下，|w x+b|能夠表示點x到距離超平面的遠近，而通過觀察w x+b的符號與類標記y的符號是否一致可判斷分類是否正確，所以，可以用(y (w*x+b))的正負性來判定或表示分類的正確性。於此，我們便引出了函數間隔（functional margin）的概念。
定義函數間隔 （用表示）為

而超平面(w，b)關於T中所有樣本點(xi，yi)的函數間隔最小值（其中，x是特徵，y是結果標簽，i表示第i個樣本），便為超平面(w, b)關於訓練數據集T的函數間隔：

但這樣定義的函數間隔有問題，即如果成比例的改變w和b（如將它們改成2w和2b），則函數間隔的值f(x)卻變成了原來的2倍（雖然此時超平面沒有改變），所以只有函數間隔還遠遠不夠。

事實上，我們可以對法向量w加些約束條件，從而引出真正定義點到超平面的距離--幾何間隔（geometrical margin）的概念。

假定對於一個點 x ，令其垂直投影到超平面上的對應點為 x0 ，w 是垂直於超平面的一個向量， 為樣本x到超平面的距離，如下圖所示：

根據平面幾何知識，有

其中||w||為w的二階范數（范數是一個類似於模的表示長度的概念）， 是單位向量（一個向量除以它的模稱之為單位向量）。

又由於x0 是超平面上的點，滿足 f(x0)=0，代入超平面的方程 ,可得 ，即

隨即讓此式 的兩邊同時乘以 ，再根據 和 ，即可算出 ：

為了得到 的絕對值，令 乘上對應的類別 y，即可得出幾何間隔（用 表示）的定義：

從上述函數間隔和幾何間隔的定義可以看出：幾何間隔就是函數間隔除以||w||，而且函數間隔y (wx+b) = y f(x)實際上就是|f(x)|，只是人為定義的一個間隔度量，而幾何間隔|f(x)|/||w||才是直觀上的點到超平面的距離。

對一個數據點進行分類，當超平面離數據點的「間隔」越大，分類的確信度（confidence）也越大。所以，為了使得分類的確信度盡量高，需要讓所選擇的超平面能夠最大化這個「間隔」值。這個間隔就是下圖中的Gap的一半。

通過由前面的分析可知：函數間隔不適合用來最大化間隔值，因為在超平面固定以後，可以等比例地縮放w的長度和b的值，這樣可以使得 的值任意大，亦即函數間隔 可以在超平面保持不變的情況下被取得任意大。但幾何間隔因為除上了 ，使得在縮放w和b的時候幾何間隔的值 是不會改變的，它只隨著超平面的變動而變動，因此，這是更加合適的一個間隔。換言之，這里要找的最大間隔分類超平面中的「間隔」指的是幾何間隔。

於是最大間隔分類器（maximum margin classifier）的目標函數可以定義為

同時需滿足一些條件，根據間隔的定義，有

回顧下幾何間隔的定義 ，可知：如果令函數間隔 等於1（之所以令等於1，是為了方便推導和優化，且這樣做對目標函數的優化沒有影響），則有 = 1 / ||w||且 ，從而上述目標函數轉化成了：

相當於在相應的約束條件 下，最大化這個1/||w||值，而1/||w||便是幾何間隔。

據了解，

由於這個問題的特殊結構，還可以通過拉格朗日對偶性（Lagrange Duality）變換到對偶變數 (al variable) 的優化問題，即通過求解與原問題等價的對偶問題（al problem）得到原始問題的最優解，這就是線性可分條件下支持向量機的對偶演算法，這樣做的優點在於：一者對偶問題往往更容易求解；二者可以自然的引入核函數，進而推廣到非線性分類問題。

那什麼是拉格朗日對偶性呢？簡單來講，通過給每一個約束條件加上一個拉格朗日乘子 ,（Lagrange multiplier），定義拉格朗日函數（通過拉格朗日函數將約束條件融合到目標函數里去，從而只用一個函數表達式便能清楚的表達出我們的問題）

然後令：

容易驗證，當某個約束條件不滿足時，例如 ，那麼顯然有 （只要令 即可）。而當所有約束條件都滿足時，則最優值為 ，亦即最初要最小化的量。

因此，在要求約束條件得到滿足的情況下最小化 ，實際上等價於直接最小化 （當然，這里也有約束條件，就是 ≥0,i=1,…,n） ，因為如果約束條件沒有得到滿足， 會等於無窮大，自然不會是我們所要求的最小值。

具體寫出來，目標函數變成了：

這里用 表示這個問題的最優值，且和最初的問題是等價的。如果直接求解，那麼一上來便得面對w和b兩個參數，而 又是不等式約束，這個求解過程不好做。不妨把最小和最大的位置交換一下，變成：

交換以後的新問題是原始問題的對偶問題，這個新問題的最優值用 來表示。而且有 ≤ ，在滿足某些條件的情況下，這兩者相等，這個時候就可以通過求解對偶問題來間接地求解原始問題。

換言之，之所以從minmax 的原始問題，轉化為maxmin 的對偶問題，一者因為 是 的近似解，二者，轉化為對偶問題後，更容易求解。

下面可以先求L 對w、b的極小，再求L對 的極大。

KKT條件
≤ 在滿足某些條件的情況下，兩者等價，這所謂的「滿足某些條件」就是要滿足KKT條件。

要讓兩者等價需滿足strong ality （強對偶），而後有學者在強對偶下提出了KKT條件，且KKT條件的成立要滿足constraint qualifications，而constraint qualifications之一就是Slater條件。所謂Slater 條件，即指：凸優化問題，如果存在一個點x，使得所有等式約束都成立，並且所有不等式約束都嚴格成立（即取嚴格不等號，而非等號），則滿足Slater 條件。對於此處，Slater 條件成立，所以 ≤ 可以取等號。

一般地，一個最優化數學模型能夠表示成下列標准形式：

其中，f(x)是需要最小化的函數，h(x)是等式約束，g(x)是不等式約束，p和q分別為等式約束和不等式約束的數量。
KKT條件的意義：它是一個非線性規劃（Nonlinear Programming）問題能有最優化解法的必要和充分條件。

而KKT條件就是指上面最優化數學模型的標准形式中的最小點 x* 必須滿足下面的條件：

我們這里的問題是滿足 KKT 條件的（首先已經滿足Slater條件，再者f和gi也都是可微的，即L對w和b都可導），因此現在我們便轉化為求解第二個問題。

也就是說，原始問題通過滿足KKT條件，已經轉化成了對偶問題。而求解這個對偶學習問題，分為3個步驟：首先要讓L(w，b，a) 關於 w 和 b 最小化，然後求對 的極大，最後利用SMO演算法求解對偶問題中的拉格朗日乘子。

對偶問題求解的3個步驟

將以上結果代入之前的L：

得到：

具體推導過程是比較復雜的，如下所示：

最後，得到：

「倒數第4步」推導到「倒數第3步」使用了線性代數的轉置運算，由於ai和yi都是實數，因此轉置後與自身一樣。「倒數第3步」推導到「倒數第2步」使用了(a+b+c+…)(a+b+c+…)=aa+ab+ac+ba+bb+bc+…的乘法運演算法則。最後一步是上一步的順序調整。

從上面的最後一個式子，我們可以看出，此時的拉格朗日函數只包含了一個變數，那就是 （求出了 便能求出w，和b，由此可見，則核心問題：分類函數 也就可以輕而易舉的求出來了）。

上述式子要解決的是在參數上 求最大值W的問題，至於 和 都是已知數。要了解這個SMO演算法是如何推導的，請跳到下文第3.5節、SMO演算法。

總結
讓我們再來看看上述推導過程中得到的一些有趣的形式。首先就是關於我們的 hyper plane ，對於一個數據點 x 進行分類，實際上是通過把 x 帶入到 算出結果然後根據其正負號來進行類別劃分的。而前面的推導中我們得到:

因此分類函數為：

這里的形式的有趣之處在於，對於新點 x的預測，只需要計算它與訓練數據點的內積即可（表示向量內積），這一點至關重要，是之後使用 Kernel 進行非線性推廣的基本前提。此外，所謂 Supporting Vector 也在這里顯示出來——事實上，所有非Supporting Vector 所對應的系數 都是等於零的，因此對於新點的內積計算實際上只要針對少量的「支持向量」而不是所有的訓練數據即可。

為什麼非支持向量對應的 等於零呢？直觀上來理解的話，就是這些「後方」的點——正如我們之前分析過的一樣，對超平面是沒有影響的，由於分類完全有超平面決定，所以這些無關的點並不會參與分類問題的計算，因而也就不會產生任何影響了。

回憶一下我們通過 Lagrange multiplier得到的目標函數：

注意到如果 xi 是支持向量的話，上式中紅顏色的部分是等於 0 的（因為支持向量的 functional margin 等於 1 ），而對於非支持向量來說，functional margin 會大於 1 ，因此紅顏色部分是大於零的，而 又是非負的，為了滿足最大化， 必須等於 0 。這也就是這些非Supporting Vector 的點的局限性。

至此，我們便得到了一個maximum margin hyper plane classifier，這就是所謂的支持向量機（Support Vector Machine）。當然，到目前為止，我們的 SVM 還比較弱，只能處理線性的情況，不過，在得到了對偶al 形式之後，通過 Kernel 推廣到非線性的情況就變成了一件非常容易的事情了(通過求解對偶問題得到最優解，這就是線性可分條件下支持向量機的對偶演算法，這樣做的優點在於：一者對偶問題往往更容易求解；二者可以自然的引入核函數，進而推廣到非線性分類問題」)。

事實上，大部分時候數據並不是線性可分的，這個時候滿足這樣條件的超平面就根本不存在。在上文中，我們已經了解到了SVM處理線性可分的情況，那對於非線性的數據SVM咋處理呢？對於非線性的情況，SVM 的處理方法是選擇一個核函數 κ(⋅,⋅) ，通過將數據映射到高維空間，來解決在原始空間中線性不可分的問題。

具體來說，在線性不可分的情況下，支持向量機首先在低維空間中完成計算，然後通過核函數將輸入空間映射到高維特徵空間，最終在高維特徵空間中構造出最優分離超平面，從而把平面上本身不好分的非線性數據分開。如圖所示，一堆數據在二維空間無法劃分，從而映射到三維空間里劃分：

而在我們遇到核函數之前，如果用原始的方法，那麼在用線性學習器學習一個非線性關系，需要選擇一個非線性特徵集，並且將數據寫成新的表達形式，這等價於應用一個固定的非線性映射，將數據映射到特徵空間，在特徵空間中使用線性學習器，因此，考慮的假設集是這種類型的函數：

這里ϕ：X->F是從輸入空間到某個特徵空間的映射，這意味著建立非線性學習器分為兩步：

首先使用一個非線性映射將數據變換到一個特徵空間F，
然後在特徵空間使用線性學習器分類。

而由於對偶形式就是線性學習器的一個重要性質，這意味著假設可以表達為訓練點的線性組合，因此決策規則可以用測試點和訓練點的內積來表示：

如果有一種方式可以在特徵空間中直接計算內積〈φ(xi · φ(x)〉，就像在原始輸入點的函數中一樣，就有可能將兩個步驟融合到一起建立一個非線性的學習器，這樣直接計演算法的方法稱為核函數方法：
核是一個函數K，對所有x，z，滿足 ，這里φ是從X到內積特徵空間F的映射。

來看個核函數的例子。如下圖所示的兩類數據，分別分布為兩個圓圈的形狀，這樣的數據本身就是線性不可分的，此時咱們該如何把這兩類數據分開呢(下文將會有一個相應的三維空間圖)？

事實上，上圖所述的這個數據集，是用兩個半徑不同的圓圈加上了少量的噪音生成得到的，所以，一個理想的分界應該是一個「圓圈」而不是一條線（超平面）。如果用 和 來表示這個二維平面的兩個坐標的話，我們知道一條二次曲線（圓圈是二次曲線的一種特殊情況）的方程可以寫作這樣的形式：

注意上面的形式，如果我們構造另外一個五維的空間，其中五個坐標的值分別為 ，那麼顯然，上面的方程在新的坐標系下可以寫作：

關於新的坐標 ，這正是一個 hyper plane 的方程！也就是說，如果我們做一個映射 ，將 按照上面的規則映射為 ，那麼在新的空間中原來的數據將變成線性可分的，從而使用之前我們推導的線性分類演算法就可以進行處理了。這正是 Kernel 方法處理非線性問題的基本思想。

再進一步描述 Kernel 的細節之前，不妨再來看看上述例子在映射過後的直觀形態。當然，你我可能無法把 5 維空間畫出來，不過由於我這里生成數據的時候用了特殊的情形，所以這里的超平面實際的方程是這個樣子的（圓心在 軸上的一個正圓）

因此我只需要把它映射到 ，這樣一個三維空間中即可，下圖即是映射之後的結果，將坐標軸經過適當的旋轉，就可以很明顯地看出，數據是可以通過一個平面來分開的

核函數相當於把原來的分類函數：

映射成：

而其中的 可以通過求解如下 al 問題而得到的：

這樣一來問題就解決了嗎？似乎是的：拿到非線性數據，就找一個映射

Ⅲ svm演算法是什麼

支持向量機（英語：support vector machine，常簡稱為SVM，又名支持向量網路）是在分類與回歸分析中分析數據的監督式學習模型與相關的學習演算法。

SVM使用鉸鏈損失函數（hinge loss）計算經驗風險（empirical risk）並在求解系統中加入了正則化項以優化結構風險（structural risk），是一個具有稀疏性和穩健性的分類器。

SVM可以通過核方法（kernel method）進行非線性分類，是常見的核學習（kernel learning）方法之一 。

SVM被提出於1964年，在二十世紀90年代後得到快速發展並衍生出一系列改進和擴展演算法，在人像識別、文本分類等模式識別（pattern recognition）問題中有得到應用。

動機

H1不能把類別分開。H2可以，但只有很小的間隔。H3以最大間隔將它們分開。

將數據進行分類是機器學習中的一項常見任務。 假設某些給定的數據點各自屬於兩個類之一，而目標是確定新數據點將在哪個類中。對於支持向量機來說，數據點被視為p維向量，而我們想知道是否可以用 (p-1)維超平面來分開這些點。

這就是所謂的線性分類器。可能有許多超平面可以把數據分類。最佳超平面的一個合理選擇是以最大間隔把兩個類分開的超平面。

因此，我們要選擇能夠讓到每邊最近的數據點的距離最大化的超平面。如果存在這樣的超平面，則稱為最大間隔超平面，而其定義的線性分類器被稱為最大間隔分類器，或者叫做最佳穩定性感知器。

應用

1、用於文本和超文本的分類，在歸納和直推方法中都可以顯著減少所需要的有類標的樣本數。

2、用於圖像分類。實驗結果顯示：在經過三到四輪相關反饋之後，比起傳統的查詢優化方案，支持向量機能夠獲取明顯更高的搜索准確度。這同樣也適用於圖像分割系統，比如使用Vapnik所建議的使用特權方法的修改版本SVM的那些圖像分割系統。

3、用於手寫字體識別。

4、用於醫學中分類蛋白質，超過90%的化合物能夠被正確分類。基於支持向量機權重的置換測試已被建議作為一種機制，用於解釋的支持向量機模型。

支持向量機權重也被用來解釋過去的SVM模型。為識別模型用於進行預測的特徵而對支持向量機模型做出事後解釋是在生物科學中具有特殊意義的相對較新的研究領域。

以上內容參考網路-支持向量機

Ⅳ 分類演算法 - SVM演算法

SVM的全稱是Support Vector Machine，即支持向量機，主要用於解決模式識別領域中的數據分類問題，屬於有監督學習演算法的一種。SVM要解決的問題可以用一個經典的二分類問題加以描述。如圖1所示，紅色和藍色的二維數據點顯然是可以被一條直線分開的，在模式識別領域稱為線性可分問題。然而將兩類數據點分開的直線顯然不止一條。圖2和3分別給出了A、B兩種不同的分類方案，其中黑色實線為分界線，術語稱為「決策面」。每個決策面對應了一個線性分類器。雖然在目前的數據上看，這兩個分類器的分類結果是一樣的，但如果考慮潛在的其他數據，則兩者的分類性能是有差別的。

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按照我自己的理解，以二維數據為例，我們喂給模型已經分類好的數據，那麼假設有一線條可以將此部分數據正確劃分為2大部分，這樣可以形成2個等式，即橫線兩邊的數值歸類為1或者-1，一般情況下可以求出最大間隔即無數個解，因此需要一個限定條件求出最優的那條線條。限定方式為：無數個解形成一個解的范圍，距離邊緣相等的那條線條即是最優解。

有時候本來數據的確是可分的，也就是說可以用線性分類SVM的學習方法來求解，但是卻因為混入了異常點，導致不能線性可分，比如下圖，本來數據是可以按下面的實線來做超平面分離的，可以由於一個橙色和一個藍色的異常點導致我們沒法按照線性分類支持向量機方法來分類。

以上討論的都是在線性可分情況進行討論的，但是實際問題中給出的數據並不是都是線性可分的，比如有些數據可能是曲線的。

那麼這種非線性可分的數據是否就不能用SVM演算法來求解呢？答案是否定的。事實上，對於低維平面內不可分的數據，放在一個高維空間中去就有可能變得可分。以二維平面的數據為例，我們可以通過找到一個映射將二維平面的點放到三維平面之中。理論上任意的數據樣本都能夠找到一個合適的映射使得這些在低維空間不能劃分的樣本到高維空間中之後能夠線性可分。

當特徵變數非常多的時候，在高維空間中計算內積的運算量是非常龐大的。考慮到我們的目的並不是為找到這樣一個映射而是為了計算其在高維空間的內積，因此如果我們能夠找到計算高維空間下內積的公式，那麼就能夠避免這樣龐大的計算量，我們的問題也就解決了。實際上這就是我們要找的 核函數 ，即兩個向量在隱式映射後的空間中的內積。

（1）對於邊界清晰的分類問題效果好；
（2）對高維分類問題效果好；
（3）當維度高於樣本數的時候，SVM 較為有效；
（4）因為最終只使用訓練集中的支持向量，所以節約內存

（1）當數據量較大時，訓練時間會較長；
（2）當數據集的噪音過多時，表現不好；
（3）SVM 不直接提供結果的概率估計，它在計算時直接使用 5 倍交叉驗證。

（1）LR 與 SVM 都是分類演算法；
（2）LR 與 SVM 都是監督學習演算法；
（3）LR 與 SVM 都是判別模型；
（4）關於判別模型與生成模型的詳細概念與理解，筆者會在下篇博文給出，這里不詳述。
（5）如果不考慮核函數，LR 與 SVM 都是線性分類演算法，也就是說他們的分類決策面都是線性的

這里需要說明的是，LR 也是可以用核函數的，因在 LR 演算法里，每個樣本點都必須參與決策面的計算過程，也就是說，如果在 LR 里也運用核函數的原理，那麼每個樣本點都必須參與核計算，這帶來的計算復雜度是相當高的。所以在具體應用時，LR 很少運用核函數機制。

（1）損失函數不同；
（2）SVM 只考慮支持向量，而 LR 考慮全局（即遠離的點對邊界線的確定也起作用）；
（3）在解決非線性問題時，SVM 採用核函數的機制，而 LR 通常不採用核函數的方法；
（4）SVM 的損失函數就自帶正則（損失函數中的12||w||2項），這就是為什麼 SVM 是結構風險最小化演算法的原因，而 LR 必須另外在損失函數上添加正則項；
（5）LR是參數模型，SVM是非參數模型，本質不同。
（6）在訓練集較小時，SVM 較適用，而 LR 需要較多的樣本。

（1）LR 與線性回歸都是廣義的線性回歸；
（2）線性回歸模型的優化目標函數是最小二乘，而 LR 則是似然函數；
（3）線性回歸在整個實數域范圍內進行預測，敏感度一致，而分類范圍，需要在[0,1]。邏輯回歸就是一種減小預測范圍，將預測值限定為[0,1]間的一種回歸模型，因而對於這類問題來說，邏輯回歸的魯棒性比線性回歸的要好。
（4）邏輯回歸的模型本質上是一個線性回歸模型，邏輯回歸都是以線性回歸為理論支持的。但線性回歸模型無法做到 sigmoid 的非線性形式，sigmoid 可以輕松處理 0/1 分類問題。
（5）線性回歸主要做預測，LR 主要做分類（如二分類）；

Ⅳ SVM演算法原理

一、決策面方程

以二維空間為例，二維空間中任意一條直線方程可以寫為

我們將其向量化，可以得到

設用向量w代表矩陣a1和a2，用向量x代表矩陣x1和x2，標量γ代表b，則方程可化表示為

從方程可知，一個n維空間的超平面在二維空間上的表現，可以是一條直線，或者一個曲線（二維空間中只能看到這個n維超平面穿過而無法看到其模樣）， 超平面方程即是我們的決策面方程

二、函數間隔和幾何間隔

在SVM監督學習中，我們規定標簽數據為+1和-1兩個值，這么做的目的， 可以計算出任意一個樣本點在超平面方程上的表現結果的符號，與標簽符號是否一致來判斷分類的正確性 ，為此我們可以引入函數間隔的概念

但是當我們成比例的縮放w和γ，函數間隔的值也將成比例的變化，可是超平面的位置並沒有發生任何變化，所以函數間隔並不是我們想要的分類間隔，為此，我們需要引入幾何間隔的概念

還是以二維空間出發，任意一點到直線的距離可以寫成

我們將其拓展到n維空間，直線方程即是我們的超平面方程，則n維空間中任何一點到超平面的距離可以寫成

為此，我們引入幾何間隔概念，其中||w||表示向量w的二范數

從幾何間隔可以看出，就算等比例縮放w和γ，由於除上了||w||使得幾何間隔的值不會改變，它只隨著超平面位置的變化而變化，因此， 我們要尋找的分類間隔是幾何間隔

三、不等式約束條件

SVM演算法的目的是找到一個將分類效果達到最合理化的超平面，這個超平面即是分類器 。而評估分類器的好壞的標准就是分類間隔的大小

我們定義分類間隔的距離為d，好的分類器應該讓所有樣本點到決策面的幾何間隔都大於等於d

化簡上式，不等式兩邊同時除以d可得

由於||w||和d都是標量，可定義

則上式可化簡為

在不等式兩邊同時乘以yi，即將兩個式子化簡為一個式子（這里體現了正是因為標簽數據為+1和-1，才方便將約束條件變成一個約束方程）

這個約束方程的意義 即是任何樣本點到超平面（分類器）的幾何間隔都大於等於分類間隔

四、SVM最優化模型的數學描述

評估分類器的優劣是分類間隔的大小，且對於任意樣本點都滿足約束方程

由約束方程可知，當樣本點落在支持向量邊界上有如下關系

則分類間隔d可以表示為支持向量點到超平面的幾何間隔

要讓任何樣本點都在d之外，即求分類間隔d的最大值，則目標函數可以寫成

為了方便在後續最優化處理中對目標函數的求導，我們將目標函數做等效變化

由目標函數是二次的，而約束條件是線性的，則 SVM的數學模型即是：不等式約束條件下的二次型函數優化 ，而求解這一類優化問題，接下來我們需要構造 拉格朗乘子函數

五、引入拉格朗函數

目標函數是求解在約束條件g(x)下的二次型函數f(x)的最小值，直觀上我們希望構造一個函數L(x)，使得L(x)在f(x)的可行解區域內的求出的值和f(x)求出的值完全一樣，而在f(x)的可行解區域外，L(x)的值又接近無窮大，這么做的目的，使得我們可以用一個函數L(x)來等效表示原問題的g(x)和f(x)

拉格朗函數的目的，就是將約束條件融合到目標函數中，構造一個新函數來表示目標函數，將有約束的優化問題轉化為無約束的優化問題

下面，我們構造拉格朗函數來表示目標函數

其中αi是拉格朗日乘子，每一個約束條件對應一個拉格朗日乘子，其中αi大於等於0

則原優化問題可以轉化為

討論如下條件(1)(2)：

(1) 當樣本點不滿足約束條件時，即說明在 可行解區域外

此時將αi置為正無窮大，那麼θ(w)顯然也是正無窮大

(2) 當樣本點滿足約束條件時，即說明在 可行解區域內

此時θ(w)的最小值就是原目標函數，於是綜上所述，引入拉格朗乘子函數後，可以得到新的目標函數

我們用p*表示優化目標函數後的最優解，且與最初的目標函數等價

觀察新的目標函數，如果直接求偏導數求解，那麼一上來將面對w和b兩個未知參數，而αi又是不等式約束，求解過程將非常復雜。換一個角度思考，如果將max和min的位置對調，變成如下新的目標函數

上式變化使用了 拉格朗日函數的對偶性，交換後的新問題即是原目標函數的對偶問題 ，我們用d*來表示對偶目標函數的最優解，可見d*的求導過程比p*相對容易，且d*<=p*，而當滿足下列條件時，d*= p*

因為目標函數本身已經是一個凸函數，而優化問題又是求解最小值，所以目標函數的最優化問題就是凸優化問題，則接下來就要重點討論KKT條件

六、KKT條件的描述

一個最優化模型能夠表示成下列標准形式

其中f(x)是需要最小化的函數，h(x)是等式約束，g(x)是不等式約束，m和n分別是等式約束和不等式約束的數量

KKT條件即是規定f(x)的 最優值 必須滿足以下(1)(2)(3)條件， 只有滿足KKT條件，目標函數的最優化問題依然可以用拉格朗日乘子法解決

很明顯，我們需要優化的目標函數屬於帶有不等式約束函數g(x)，所以條件二顯然滿足，下面我們來分析條件一和條件三的理論

七、目標函數的等高線與約束條件的最優值分析（條件一）

對於KKT條件一的分析，我們假設目標函數是f(x1,x2)的二元函數，它的圖像在三維空間里是一個曲面，准確的來說是一個凸曲面

其中g(x1,x2)是約束方程，要求目標函數f(x1,x2)的最小值，即轉化為 求g(x1,x2)=c這條曲線上的一點，使得f(x1,x2)取得最小值，換個比喻，就是在山上（目標函數曲面）尋找一條山路（約束條件曲線）的最低點

我們畫出目標函數的等高線，來分析目標函數最優值和約束條件的關系

對於研究目標函數z=f(x1,x2)，當z取不同的值，即將曲線z投影在(x1,x2)組成的空間中（這里指的是二維空間），也就是曲面的等高線，上圖中d1和d2即是兩條目標函數的等高線，可以看出，當約束函數g(x1,x2)與目標函數的等高線有共同的交點， 即證明這組值同時滿足在目標函數的可行域中，也符合約束條件的約束關系

如果等高線與g(x1,x2) 相交 ，則是一組目標函數的解，但是這個解一定不是最優解， 因為相交意味著肯定存在其它等高線在該條等高線的內部或者外部 ，可能會使得新的等高線與g(x1,x2)的交點更大或者更小，這就意味著只有當等高線與g(x1,x2) 相切 ，才可能得到最優解（切線可能多條）

所以最優解必須滿足： 目標函數的負梯度方向與約束函數的梯度方向一致

而上式恆成立的條件就是： 拉格朗日乘子α >= 0 ，且這個式子就是目標函數對各個參數求偏導數的結果，即KKT的第一個條件：目標函數對各個參數的導數為0

八、分類討論約束條件和拉格朗日乘子的組合（條件三）

對於KKT條件三，可以看出，因為所有的約束函數gi(x)<=0，所有的拉格朗日乘子αi>=0，要使得求和後結果為0，要麼某個約束函數gi(x)=0，要麼其對應的αi=0

從一個案例出發來分析KKT條件三的邏輯，假設目標函數和約束函數是

將不等式約束構造出拉格朗日函數，並分別對x1和x2求偏導數

而KKT的條件三要求最優解滿足 ∑α*g(x) = 0，在這個案例里α和g(x)只有一個，結合條件一，可以得到

根據之前的分析，最優值滿足條件三的話，要麼α=0，要麼g(x)=0

（i）：如果α=0，則x1=1，x2=-2，代入g(x1,x2) =10-1-10*(-2)=29>0，發現這組解違背了約束函數g(x)<0，則舍棄這組解

（ii）: 如果g(x1,x2)=0，則代入x1和x2的表達式到g(x)中，解出α=58/101>0，發現這組解不違背約束函數，則代入α解出x1=130/101，x2=88/101，則這組解有可能是最優解

綜上(i)(ii)討論，目標函數的最優值符合KKT條件三，也說明了 滿足強對偶條件的優化問題的最優值必須滿足KKT條件

九、求解對偶問題

上面分析了目標函數滿足凸優化和KKT條件，則問題轉化為求解原問題的對偶問題（即p*=d*）

根據對偶問題描述，先要求內側w和b關於L(w,b,α)的最小化值，即求L對w和b的偏導數

將w和b的偏導數帶入拉格朗函數化簡得

整理一下最終化簡結果為

從上述結果可以看出，樣本的x和y是已知的，此時的 L(w,b,α)函數只有一個變數，即αi

我們歸納一下現在的目標函數為

現在目標函數變成了如上形式，其中αi>=0，這里隱含著一個假設，即數據100%線性可分，但是現實生活中，數據往往是不會那麼規則的線性化，為此我們需要引入鬆弛變數

十、引入鬆弛變數

由於現實世界中的數據都是帶有噪音的，也就是數據可能出偏離其正常的位置很遠，而出現這種極端現象後往往會影響超平面的選擇，也許將無法構造出將數據徹底分開的超平面出來

所以對於處理這種情況， SVM需要允許（妥協）出某些噪音很大的數據點能夠偏離超平面，即允許其出現在超平面的錯誤的一側 ，為此我們引入鬆弛變數C，這樣我們的目標函數又變為

接下來為了研究討論αi的取值范圍，我們加上一個負號將目標函數等價轉化為

十一、討論拉格朗乘子的取值意義和其值域

回顧一下最初的約束條件為

設ui為該約束條件，可以歸納出αi關於約束函數的取值意義

αi只有滿足上述3種情況，才能求出最優解，所以 當αi與約束條件ui沖突的時候，需要更新這些αi ，這也就是滿足目標函數的第一個約束限制，即0<=αi<=C

而同時目標函數還受到第二個約束條件的限制，即

所以不能只更新一個αi因子，需要同時再次更新第二個αj因子，也就是 α因子總是成對的更新（αi對總是和αj配對），一增一減，此消彼長，才能保證加權和為0的約束 ，同時這也就是下面提及SMO演算法的思想和多元函數化簡為二元函數，在從二元函數化簡為一元函數的難點

根據這個約束和α因子需要成對更新，假設我們選取的兩個拉格朗乘子為α1和α2，則更新之前是old，更新之後是new，且更新前後需要滿足和為0的約束

兩個因子同時更新顯然非常困難，所以需要先求出第一個αj的解，再用αj的解去表示更新第二個αi的解 ，後文的SMO演算法會闡述這一點。因此需要先確定αj的取值范圍，假設L和H分別為它的下界和上界，結合目標函數的約束限制來綜合討論L和H的取值關系

（i）：當y1和y2異號時，可以得到

移項可得a2 = a1 - A，此時α的取值范圍如下圖所示

所以此時α的上下界H和L為

（ii）：當y1和y2同號時，可以得到

移項可得a2 = -a1 + A，此時α的取值范圍如下圖所示

所以此時α的上下界H和L為

綜上(i)(ii)的討論，通過y1和y2的異號或者同號，可以推導出α更新後的上下界分別為

這個公式顯得非常的重要，它將α因子限制在有效的矩形范圍內，在SMO演算法中，當我們更新完α後，由於α可能會被更新得很大或很小，因此需要經過裁剪來保證α的在約束條件內

12、SMO演算法的思想

回顧之前第九，第十，第十一步的分析，目標函數為

目標函數只包含n個變數α的 多元函數 ，且帶有兩個約束條件，我們的 目的是求出目標函數的最小值，即找到一組α的組合，使得目標函數取得最小值

由第十一步的分析，我們需要不斷更新這n個α因子，通過迭代來逼近函數達到最小值，但是如果一次性更新n個參數，將會有n!種組合，那麼時間復雜度將會非常高，為此我們首先想到 坐標上升（下降）法

來通過一個例子來說明坐標上升法的思路

可知案例中要求一個三元函數的最大值， 演算法的思想是每次迭代時只更新一個維度，通過多次迭代直到收斂來優化函數的最值 ，求出三個變數的偏導數推出其關系

通過迭代即就可以求出其最值

SMO演算法借鑒了坐標上升（下降）法的思想來優化α因子組合，但是由於目標函數的第二個約束條件有加權和為0的限制，導致每次迭代時候不能只更新一個因子αi，必須同時更新與之配對的另一個因子αj，此消彼長才能保證加權和為0（第十一步中已提及）

所以SMO演算法思想是將原始問題中，求解n個參數的二次規劃問題，分解成了多個子二次規劃問題來分別求解，每一個子問題只需要求解2個參數，即將多元函數推導為二元函數，再將二元函數推導為一元函數

13、多元函數推導為二元函數

目標函數是關於α的N元函數，通過SMO的演算法思想，假設每次迭代更新，選取一對α1和α2的組合，其餘的乘子不變， 首先需要將α1和α2從目標函數中分離出來 ，也就是將多元函數推導為二元函數

從N元函數中分離出α1和α2因子

由於上式推導結果過於復雜，我們定義2個表達式來表示上式常量部分，用來簡化上式

又由於單獨存下的常數項對以後的求導沒有貢獻，所以我們提出單獨的常數項定義為Constant

帶入vi和Constant表達式，則結果化簡為

至此，我們將 多元函數推導為含有α1和α2變數的二元函數 ，接下來將這個二元函數推導為一元函數

14、二元函數推導為一元函數

我們需要推導出α1和α2的關系，然後用α2來表示α1帶入二元函數，就可以推導出關於α2的一元函數了

由目標函數的第二個約束條件

同理根據SMO演算法思想，從約束條件中分離出α1和α2

將等式兩邊同時乘以y1，可推導出α1和α2的關系

同理，我們定義兩個表達式r和s來表示上式的常量部分，用來簡化上式關系

帶入r和s後，α1和α2的關系推導為

下面將α1帶入我們的二元函數中，可得

至此， 我們將二元函數推導為只含有一個變數α2的一元函數 ，接下來終於可以對目標函數求導了

15、求解一元函數的偏導數，推導出第一個拉格朗乘子的遞推關系

我們對一元函數求α2的偏導數為0

帶入s=y1*y2和y2*y2=1，整理上式可求出α2

Ⅵ 如何在Boosting演算法中使用SVM

其實現在能夠找到的，關於SVM的中文資料已經不少了，不過個人覺得，每個人的理解都不太一樣，所以還是決定寫一寫，一些雷同的地方肯定是不可避免的，不過還是希望能夠寫出一點與別人不一樣的地方吧。另外本文准備不談太多的數學（因為很多文章都談過了），盡量簡單地給出結論，就像題目一樣-機器學習中的演算法（之前叫做機器學習中的數學），所以本系列的內容將更偏重應用一些。如果想看更詳細的數學解釋，可以看看參考文獻中的資料。

一、線性分類器：
首先給出一個非常非常簡單的分類問題（線性可分），我們要用一條直線，將下圖中黑色的點和白色的點分開，很顯然，圖上的這條直線就是我們要求的直線之一（可以有無數條這樣的直線）
假如說，我們令黑色的點 = -1， 白色的點 = +1，直線f(x) = w.x + b，這兒的x、w是向量，其實寫成這種形式也是等價的f(x) = w1x1 + w2x2 … + wnxn + b, 當向量x的維度=2的時候，f(x) 表示二維空間中的一條直線， 當x的維度=3的時候，f(x) 表示3維空間中的一個平面，當x的維度=n > 3的時候，表示n維空間中的n-1維超平面。這些都是比較基礎的內容，如果不太清楚，可能需要復習一下微積分、線性代數的內容。
剛剛說了，我們令黑色白色兩類的點分別為+1, -1，所以當有一個新的點x需要預測屬於哪個分類的時候，我們用sgn(f(x))，就可以預測了，sgn表示符號函數，當f(x) > 0的時候，sgn(f(x)) = +1, 當f(x) < 0的時候sgn(f(x)) = –1。
但是，我們怎樣才能取得一個最優的劃分直線f(x)呢？下圖的直線表示幾條可能的f(x)

一個很直觀的感受是，讓這條直線到給定樣本中最近的點最遠，這句話讀起來比較拗口，下面給出幾個圖，來說明一下：
第一種分法：

第二種分法：

這兩種分法哪種更好呢？從直觀上來說，就是分割的間隙越大越好，把兩個類別的點分得越開越好。就像我們平時判斷一個人是男還是女，就是很難出現分錯的情況，這就是男、女兩個類別之間的間隙非常的大導致的，讓我們可以更准確的進行分類。在SVM中，稱為Maximum Marginal，是SVM的一個理論基礎之一。選擇使得間隙最大的函數作為分割平面是由很多道理的，比如說從概率的角度上來說，就是使得置信度最小的點置信度最大（聽起來很拗口），從實踐的角度來說，這樣的效果非常好，等等。這里就不展開講，作為一個結論就ok了，:)
上圖被紅色和藍色的線圈出來的點就是所謂的支持向量(support vector)。
上圖就是一個對之前說的類別中的間隙的一個描述。Classifier Boundary就是f(x)，紅色和藍色的線（plus plane與minus plane）就是support vector所在的面，紅色、藍色線之間的間隙就是我們要最大化的分類間的間隙。
這里直接給出M的式子：（從高中的解析幾何就可以很容易的得到了，也可以參考後面Moore的ppt）

Ⅶ 機器學習演算法中的SVM和聚類演算法

相信大家都知道，機器學習中有很多的演算法，我們在進行機器學習知識學習的時候一定會遇到過很多的演算法，而機器學習中的SVM演算法和聚類演算法都是比較重要的，我們在這篇文章中就重點給大家介紹一下這兩種演算法，希望這篇文章能夠幫助大家理解這兩種演算法。

機器學習演算法——SVM

提道機器學習演算法就不得不說一說SVM，這種演算法就是支持向量機，而支持向量機演算法是誕生於統計學習界，這也是機器學習中的經典演算法，而支持向量機演算法從某種意義上來說是邏輯回歸演算法的強化，這就是通過給予邏輯回歸演算法更嚴格的優化條件，支持向量機演算法可以獲得比邏輯回歸更好的分類界線。不過如果通過跟高斯核的結合，支持向量機可以表達出非常復雜的分類界線，從而達成很好的的分類效果。核事實上就是一種特殊的函數，最典型的特徵就是可以將低維的空間映射到高維的空間。

於是問題來了，如何在二維平面劃分出一個圓形的分類界線？其實我們在二維平面可能會很困難，但是通過核可以將二維空間映射到三維空間，然後使用一個線性平面就可以達成類似效果。也就是說，二維平面劃分出的非線性分類界線可以等價於三維平面的線性分類界線。接著，我們可以通過在三維空間中進行簡單的線性劃分就可以達到在二維平面中的非線性劃分效果。而支持向量機是一種數學成分很濃的機器學習演算法。在演算法的核心步驟中，有一步證明，即將數據從低維映射到高維不會帶來最後計算復雜性的提升。於是，通過支持向量機演算法，既可以維持計算效率，又可以獲得非常好的分類效果。因此支持向量機在90年代後期一直占據著機器學習中最核心的地位，基本取代了神經網路演算法。

機器學習演算法——聚類演算法

說完了SVM，下面我們給大家介紹一下聚類演算法，前面的演算法中的一個顯著特徵就是我的訓練數據中包含了標簽，訓練出的模型可以對其他未知數據預測標簽。在下面的演算法中，訓練數據都是不含標簽的，而演算法的目的則是通過訓練，推測出這些數據的標簽。這類演算法有一個統稱，即無監督演算法。無監督演算法中最典型的代表就是聚類演算法。而聚類演算法中最典型的代表就是K-Means演算法。這一演算法被廣大朋友所應用。

現在，我們可以清楚認識到機器學習是一個綜合性很強的學科。在這篇文章中我們給大家介紹了很多關於機器學習中的支持向量機和聚類演算法的相關知識，通過這些知識我們不難發現機器學習中有很多有用的演算法，熟練掌握這些演算法是我們真正學會機器學習的必經之路。