差分四則運演算法則證明

① 函數極限的四則運演算法則是什麼

法則：連續初等函數，在定義域范圍內求極限，可以將該點直接代入得極限值，因為連續函數的極限值就等於在該點的函數值。

以下是函數極限的相關介紹：

函數極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函數極限的定義上完成的。函數極限性質的合理運用。常用的函數極限的性質有函數極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數極限的運演算法則和復合函數的極限等等。

問題的關鍵在於找到符合定義要求的 ，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。

在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函數 的極限值。

以上資料參考網路——函數極限

② 什麼叫差分，差分方程是啥

1、差分又名差分函數或差分運算，差分的結果反映了離散量之間的一種變化，是研究離散數學的一種工具。它將原函數f(x) 映射到f(x+a)-f(x+b) 。差分運算，相應於微分運算，是微積分中重要的一個概念。差分又分為前向差分、向後差分及中心差分三種。

2、差分方程（是一種遞推地定義一個序列的方程式：序列的每一項目是定義為前一項的函數。某些簡單定義的遞推關系式可能會表現出非常復雜的（混沌的）性質，他們屬於數學中的非線性分析領域。

(2)差分四則運演算法則證明擴展閱讀：

差分方程舉例：

dy+y*dx=0,y(0)=1 是一個微分方程， x取值[0,1] （註：解為y(x)=e^(-x))；

要實現微分方程的離散化，可以把x的區間分割為許多小區間 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1）/n,1]

這樣上述微分方程可以離散化為：y((k+1）/n)-y(k/n)+y(k/n)*（1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （n 個離散方程組）

利用y(0)=1的條件，以及上面的差分方程，可以計算出 y(k/n) 的近似值了。

差分方程的性質

1、Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn。

2、Δk(cxn)=cΔkxn。

3、Δkxn=∑（-1)jCjkXn+k-j。

4、數列的通項為n的無限次可導函數，對任意k>=1，存在η，有 Δkxn=f(k）（η）。

③ 極限四則運演算法則證明求解

具體回答如圖：

極限四則運演算法則的前提是兩個極限存在，當有一個極限本身是不存在的，則不能用四則運演算法則。

(3)差分四則運演算法則證明擴展閱讀：

設{xn} 是一個數列，如果對任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 滿足 n > N，則對於任意正整數p，都有|xn+p-xn|<ε。

在區間(a-ε，a+ε)之外至多隻有N個（有限個）點；所有其他的點xN+1，xN+2，...（無限個）都落在該鄰域之內。這兩個條件缺一不可，如果一個數列能達到這兩個要求，則數列收斂於a；而如果一個數列收斂於a，則這兩個條件都能滿足

④ 數列極限四則運算的證明例題看不懂請高手指教！

首先要注意，目標是| An•Bn-AB |＜ε，但已知的是：limAn=A,limBn=B，所以證明中，一定要用到|An-A|和|Bn-B|。於是通過絕對值不等式| An•Bn-AB | ≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|找到與這兩個式子（|An-A|和|Bn-B|）的關系。如果|An-A||Bn|＜ε/2，|A||Bn-B|＜ε/2，問題就解決了。這兩個不等式等價於：|An-A|＜ε/(2|Bn|)，|Bn-B|＜ε/(2|A|),為了清晰起見，分母加了括弧。|A|是個常數，已經沒有問題，但|Bn|不是常數，於是根據收斂數列的有界性，即：|Bn|＜M，找到與n無關的正常數M。於是|An-A||Bn|<|An-A|M＜ε/2,後一個不等式等價於：|An-A|＜ε/(2M),這里已經假定M是正數，絕對值符號就不寫了。這就是ε/(2M)的由來，而不是突然冒出來的。

證明中，快到最後的時候有一句話：由於不等式①②③，當n＞N時，我們有|An•Bn-AB|＜ε/2+ε/2=ε
其實仔細寫來，應該是：
|An•Bn-AB|≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|<|An-A|M+|A||Bn-B|＜ε/(2M)•M+|A|•ε/(2|A|)=ε/2+ε/2=ε
第一個「≤」用了①，第二個「<」用了「|Bn|＜M 」，第三個「<」用了②③。

另外，如果limAn=A，一般得到|An-A|＜ε，肯定沒有問題，如果寫成|An-A|＜ε/2，空侍應該也要理解。證明中就強調「對於任意給定的ε＞0，無論怎樣小」。這句話一定要充分理解，一個是「任意」，一個是「無論怎樣小」。所以一定要理解「ε」是充分的小。因此，如果limAn=A，我們可以得到|An-A|＜ε，也可以得到|An-A|＜ε/2 或舉前者 |An-A|＜2ε，甚至如果常數 a>0，我們同樣可以得到|An-A|＜ε/a 或者 |An-A|＜aε。但是，一定要注意 a 與數列的下標 n 無關，是一般函數的話，務必和函數的自變數無關。證明中在引出常數「M」時，特別強調「存在一個與n無關的斗答吵正數M」。

其實如果我們最後得到：|An•Bn-AB|<ε'M+|A|•ε''也是可以的，這里的ε'是由limAn=A得到的，ε''是由limBn=B得到的。但這樣一則不漂亮，二則還要說明「ε'M+|A|•ε''」也是充分小。與其都要說明，那就放在中間了，這樣最後得到|An•Bn-AB|<ε，又漂亮又可以直接寫：「這就是說，An•Bn的極限存在，且等於AB」了。

至於ε要不要找一個正常數與其相乘除，找怎樣的正常數，就要看題目了。比如，上面的證明如果改成三個已知極限的乘積，或許就要用到ε/3了。給ε找一個正常數與其相乘除，是解這一類題目的「慣用伎倆」。