數值分析歐拉方法的演算法步驟

Ⅰ 改進歐拉法的歐拉演算法

所謂數值求解，就是求問題的解y(x)在一系列點上的值y(xi)的近似值yi。對於常微分方程：


可以將區間[a,b]分成n段，那麼方程在第xi點有y'(xi)=f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替導數則為：(y(xi+1)-y(xi))/h= f(xi,y(xi))，在這里，h是步長，即相鄰兩個結點間的距離。因此可以根據xi點和yi點的數值計算出yi+1來：
yi+1= yi+h*f(xi ,yi)，i=0,1,2,L
這就是歐拉公式，若初值yi+1是已知的，則可依據上式逐步算出數值解y1,y2,L。
為簡化分析，人們常在yi為准確即yi=y(xi)的前提下估計誤差y(xi+1)-yi+1，這種誤差稱為局部截斷誤差。
如果一種數值方法的局部截斷誤差為O(h^（p+1）)，則稱它的精度是p階的，或稱之為p階方法。歐拉格式的局部截斷誤差為O(h^2)，由此可知歐拉格式僅為一階方法。

Ⅱ 改進的歐拉公式是什麼

y(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)且xi=x0+i*h (i=0,1,2,…,n-1)，局部截斷誤差是O(h^2)。

改進歐拉法是對歐拉演算法的改進方法。微分方程的本質特徵是方程中含有導數項，數值解法的第一步就是設法消除其導數值，這個過程稱為離散化。

實現離散化的基本途徑是用向前差商來近似代替導數，這就是歐拉演算法實現的依據。歐拉(Euler)演算法是數值求解中最基本、最簡單的方法，但其求解精度較低，一般不在工程中單獨進行運算。

注意：

歐拉公式在數學、物理和工程領域應用廣泛。物理學家理查德·費曼(Richard Phillips Feynman)將歐拉公式稱為：「我們的珍寶」和「數學中最非凡的公式」。

法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace)曾這樣評價歐拉對於數學的貢獻：「讀歐拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們的大師」。

Ⅲ 什麼是歐拉方法(Euler's method)

歐拉法是常微分方程的數值解法的一種，其基本思想是迭代。其中分為前進的EULER法、後退的EULER法、改進的EULER法。所謂迭代，就是逐次替代，最後求出所要求的解，並達到一定的精度。誤差可以很容易地計算出來。歐拉法是考察流體流動的一種方法。通常考察流體流動的方法有兩種，即拉格朗日法和歐拉法。

歐拉法的特點

單步，顯式，一階求導精度，截斷誤差為二階。

歐拉法的缺點

歐拉法簡單地取切線的端點作為下一步的起點進行計算，當步數增多時，誤差會因積累而越來越大。因此歐拉格式一般不用於實際計算。

Ⅳ 歐拉演算法怎麼實現 javascript

歐拉演算法
微分方程的本質特徵是方程中含有導數項，數值解法的第一步就是設法消除其導數值，這個過程稱為離散化。實現離散化的基本途徑是用向前差商來近似代替導數，這就是歐拉演算法實現的依據。歐拉(Euler)演算法是數值求解中最基本、最簡單的方法，但其求解精度較低，一般不在工程中單獨進行運算。所謂數值求解，就是求問題的解y(x)在一系列點上的值y(xi)的近似值yi。對於常微分方程：
dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b]
y(a)=y0
可以將區間[a,b]分成n段，那麼方程在第xi點有y'(xi)=f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替導數則為：(y(xi+1)-y(xi))/h= f(xi,y(xi))，在這里，h是步長，即相鄰兩個結點間的距離。因此可以根據xi點和yi點的數值計算出yi+1來：
yi+1= yi+h*f(xi ,yi)，i=0,1,2,L
這就是歐拉格式，若初值yi+1是已知的，則可依據上式逐步算出數值解y1,y2,L。
為簡化分析，人們常在yi為准確即yi=y(xi)的前提下估計誤差y(xi+1)-yi+1，這種誤差稱為局部截斷誤差。
如果一種數值方法的局部截斷誤差為O(h^p+1)，則稱它的精度是p階的，或稱之為p階方法。歐拉格式的局部截斷誤差為O(h^2)，由此可知歐拉格式僅為一階方法。
歐拉公式：
y(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)
且xi=x0+i*h (i=0,1,2,…,n-1)
局部截斷誤差是O(h^2)

改進的歐拉演算法
先用歐拉法求得一個初步的近似值，稱為預報值，然後用它替代梯形法右端的yi+1再直接計算fi+1，得到校正值yi+1，這樣建立的預報-校正系統稱為改進的歐拉格式：
預報值 y~i+1=yi+1 + h*f(xi,yi)
校正值 yi+1 =yi+(h/2)*[f(xi,yi)+f(xi+1,y~i+1)]
它有下列平均化形式：
yp=yi+h*f(xi,yi)
且 yc=yi+h*f(xi+1,yp)
且 yi+1=(xp+yc)/2
它的局部截斷誤差為O(h^3)，可見，改進歐拉格式較歐拉格式提高了精度，其截斷誤差比歐拉格式提高了一階。
註：歐拉法用差商 [y(xi+1)-y(xi)]/h 近似代替y(xi)的導數，局部截斷誤差較大；改進歐拉法先用歐拉法求出預報值，再利用梯形公式求出校正值，局部截斷誤差比歐拉法低了一階，較大程度地提高了計算精度。

改進歐拉演算法
#include<iostream.h>
#define N 20
void ModEuler(float (*f1)(float,float),float x0,float y0,float xn,int n)
{
int i;
float yp,yc,x=x0,y=y0,h=(xn-x0)/n;
cout<<"x[0]="<<x<<'t'<<"y[0]"<<y<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
{
yp=y+h*f1(x,y);
x=x0+i*h;
yc=y+h*f1(x,yp);
y=(yp+yc)/2.0;
cout<<"x["<<i<<"]="<<x<<" y["<<i<<"]="<<y<<endl;
}
}
void main()
{
float xn=5.0,x0=0.0,y0=2.0;
float f1(float ,float);
ModEuler(f1,x0,y0,xn,N);
}
float f1(float x,float y)
{
return -x*y*y;
}