❶ 基於小波包變換的高光譜影像目標識別演算法與實現
5.2.1.1 小波基獲取演算法的基本思想
小波包變換優於小波變換的地方是其良好的時頻局部化能力，所以可運用小波包變換來處理高光譜數據。基於小波包變換的高光譜影像目標識別演算法的基本思想為：選取適當的小波包母函數，對像元光譜進行小波包變換，獲得樹形結構的小波包系數；選擇信息代價函數，並利用最佳基搜索演算法選取最佳基，得到最佳基在樹形結構中的位置（序號）；選取低頻部分的幾個最佳基的序號組成特徵向量，作為分類參量。這里要注意幾個基本問題：
（1）基本小波函數的選取
基本小波函數的選取直接影響小波包分解系數，進而會影響最佳基的選取及最後分類特徵參量的提取。故而，基本小波的選取直接影響分類的效果。比較常用的小波基函數主要有Daubechies正交小波系、Meyer小波、Morlet小波、Mexihat小波等。一般小波變換應用中，小波基的選擇主要考慮以下幾方面：(1)小波基如果具有正交性，則分解後的各尺度間和尺度內的系數具有較小的相關性。(2)小波基的支撐越小，其局部化能力越強，在信號的突變檢測中，緊支撐小波基是首要選擇。(3)信號（圖像）經小波抽樣分解後重構的信號是一個小波級數，它是一個線性濾波的結果，可證明，如果小波基函數系數具有線性相位，就能實現信號（圖像）的完全重建（無失真），對稱或反對稱的尺度函數和小波函數可以構造緊支撐的具有線性相位的小波基。(4)在信號奇異點的檢測中，小波基的消失矩必須具有足夠的階數，從計算量的角度考慮，消失矩的階數與緊支撐區間相關，過高的階數將增加計算量。另外，如果進行信號檢測，則應盡量選擇與信號波形相近似的小波。
對高光譜影像進行目標識別的小波包分析時，分析對象是單個像元或參考目標的光譜向量，所選小波基需具有正交性，即應選擇正交小波基。為減少計算量，選擇了消失矩為1而又唯一，同時具有對稱性和緊支撐的正交小波基函數－Haar小波（即db1小波，屬於Daubechies正交小波系）。對於植被，也可選擇與提取的目標光譜曲線相近似的D4小波。
Haar小波尺度函數：
高光譜遙感影像信息提取技術
｛φ（t－k）｝k∈z構成V0的標准正交基。兩尺度方程為
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小波方程為
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Haar小波系的特點是具有緊支撐性，但不連續。在實際應用中不能很好地表示和分析連續函數。具有緊支撐和對稱性的小波僅有Haar小波。
（2）邊界處理
小波分解與重構的卷積演算法在實際中有廣泛應用。在對離散信號和圖像處理的實際應用中，由於採集數據是有限的，為實現原始輸入序列的完全重構，在作卷積運算時需要將輸入序列作適當處理（即邊界延拓），以保證卷積操作的正常進行。常用的邊界延拓方法有：零延拓、周期延拓、周期對稱延拓、光滑函數延拓、平滑延拓。
本章以地物識別和分類為主要目標，對像元光譜向量或參考目標光譜向量進行小波包變換和分析，故而可以不採用上述常用邊界處理方法。但由於小波包變換是二進小波變換，需要輸入序列的長度是2的整數次冪。可以採取將像元光譜向量或參考目標光譜向量尾端補零的方法，使得像元光譜向量或參考目標光譜向量的長度為2的整數次冪。研究實例採用高光譜影像數據的波段數為224，將光譜向量尾端補零，使得輸入向量的長度變為256（28）。另外也對其他周期延拓的方式進行了實驗，得出補零方法的識別精度更好一些。
（3）分類特徵參量的提取
小波包能量法是一種常用的小波特徵提取方法。首先對信號進行小波包分解（一般3～4層），若對信號進行的是3層小波包分解，系數重構後得到各頻帶范圍的信號S3j（j＝0，1，…，7），對應的能量為E3j（j＝0，1，…，7），顯然，E3j（j＝0，1，…，
7）對應小波包分解最底層各小波包基節點，有
高光譜遙感影像信息提取技術
式中：xjk（j＝0，1，…，7；k＝0，1，…，n）表示S3j各離散點的幅值；n為重構系數的個數。由上式組成了8個子空間的特徵向量，以此為特徵參量。
（4）分解層數的確定
顯然，以上述能量特徵向量作為分類和目標識別的應用，都忽略了小波包變換的另一個優於小波變換的特點：對應於最佳小波包基的最優分解。對於同一小波包變換，不同類別的目標對應不同的最佳小波包基（通過從光譜庫選擇幾種不同地物的光譜數據進行分析可發現），使得根據最佳小波包基在小波包二叉樹中的位置來識別不同目標成為可能；但由於各種因素的影響，即便兩個像元是同一目標，它們的最佳小波包基與參考目標的最佳小波包基在小波包二叉樹中的位置也可能略有不同，而它們的最佳小波包基相互之間也不一定相同，所以對於某一目標，可以選擇其最佳小波包基的前m個即前m個低頻最佳基，記錄它們的序號即它們在小波包二叉樹中的位置，作為分類和識別的依據。因為這種方法較少考慮高頻部分，而高頻部分主要包括了一些細節信息和雜訊信息，故而這種方法還在一定程度上解決了同一目標像元分解存在細微差異的問題，並降低了雜訊信息對目標識別的影響。m的取值可以通過對目標的取樣分析確定。
基於上述提取特徵參量的思想，為使選得的前m個最佳基表徵具有更豐富的信息，可進行小波包完全分解（分解到第8層）。
（5）信息代價函數的選擇
通常的應用中都是通過實驗比較選擇最合適的信息代價函數，用得較多的是信息熵（Shannon熵）。這里，選用信息熵（Shannon熵）、范數集中度、對數熵進行比較分析。
5.2.1.2 演算法的實現
（1）數據結構設計
小波包分解可以用小波包二叉樹來表示。小波包二叉樹中的每個節點表徵小波包子空間的一個小波包基及分解系數序列。圖5.1為進行3層小波包分解時，各小波包子空間對應的小波基在二叉樹中對應的序號。其他層數分解的情況類推。故而將其設計為樹結構能更好地表現各子空間的關系；同時，也有利於最佳基的沿樹形搜索。小波包分解是遞歸實現的。
圖5.1 小波包3層分解樹結構
（2）最佳基搜索演算法過程
第一步：用 「*」標記最底層節點。
第二步：將父節點的信息代價函數值與它的兩個子節點的信息代價函數值之和進行比較。如果父節點的信息代價函數值小於它的兩個子節點的信息代價函數值之和，則用「*」 標記父節點；否則，不用標記父節點，而用兩個子節點的信息代價函數值之和代替父節點的信息代價函數值，同時將父節點原來的信息代價函數值用括弧括起來。
第三步：只考慮括弧外的值，從上到下選取與樹根最近的標記「*」 的節點（以這些節點為根的子樹的節點將不再考慮），這些被選出的標有 「*」 的節點構成空間的不重疊的覆蓋，它們正是最佳基對應的節點，這些節點對應的小波包基就是所求的最佳基（孫延奎，2005）。
這里，搜索最佳基的演算法主要由兩步組成：標志構成最佳基的節點（令其flag為1）；獲得最佳基節點的序號。前者用遞歸的方法計算信息代價函數值，並標志最佳基；後者獲得最佳基節點序號。
❷ 小波分析原理
小波(Wavelet)這一術語，顧名思義，「小波」就是小的波形。所謂「小」是指它具有衰減性；而稱之為「波」則是指它的波動性，其振幅正負相間的震盪形式。與Fourier變換相比，小波變換是時間（空間）頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運算對信號(函數)逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破。有人把小波變換稱為「數學顯微鏡」。
小波函數源於多分辨分析，其基本思想是將擴中的函數f(t)表示為一系列逐次逼近表達式, 其中每一個都是f(t)動經過平滑後的形式，它們分別對應不同的解析度。多分辨分析又稱多尺度分析，是建立在函數空間概念基礎上的理論，其思想的形成來源於工程。創建者Mallat .S是在研究圖像處理問題時建立這套理論的。當時人們研究圖像的一種很普遍的方法是將圖像在不同尺度下分解，並將結果進行比較，以取得有用的信息。Meyer正交小波基的提出，使得Mallat想到是否用正交小波基的多尺度特性將圖像展開，以得到圖像不同尺度間的「 信息增量」 。這種思想導致了多分辨分析理論的建立。MRA不僅為正交小波基的構造提供了一種簡單的方法，而且為正交小波變換的快速演算法提供了理論依據。其思想又同多采樣率濾波器組不謀而合，使我們又可將小波變換同數學濾波器的理論結合起來。因此，多分辨分析在正交小波變換理論中具有非常重要的地位。
小波分析的應用是與小波分析的理論研究緊密地結合在一起地。它已經在科技信息產業領域取得了令人矚目的成就。 電子信息技術是六大高新技術中重要的一個領域，它的重要方面是圖像和信號處理。現今，信號處理已經成為當代科學技術工作的重要部分，信號處理的目的就是：准確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲、精確地重構（或恢復）。從數學地角度來看，信號與圖像處理可以統一看作是信號處理（圖像可以看作是二維信號），在小波分析地許多分析的許多應用中，都可以歸結為信號處理問題。對於其性質隨時間是穩定不變的信號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實際應用中的絕大多數信號是非穩定的，而特別適用於非穩定信號的工具就是小波分析。