ssim演算法中的參數

⑴ SVM演算法原理

一、決策面方程

以二維空間為例，二維空間中任意一條直線方程可以寫為

我們將其向量化，可以得到

設用向量w代表矩陣a1和a2，用向量x代表矩陣x1和x2，標量γ代表b，則方程可化表示為

從方程可知，一個n維空間的超平面在二維空間上的表現，可以是一條直線，或者一個曲線（二維空間中只能看到這個n維超平面穿過而無法看到其模樣）， 超平面方程即是我們的決策面方程

二、函數間隔和幾何間隔

在SVM監督學習中，我們規定標簽數據為+1和-1兩個值，這么做的目的， 可以計算出任意一個樣本點在超平面方程上的表現結果的符號，與標簽符號是否一致來判斷分類的正確性 ，為此我們可以引入函數間隔的概念

但是當我們成比例的縮放w和γ，函數間隔的值也將成比例的變化，可是超平面的位置並沒有發生任何變化，所以函數間隔並不是我們想要的分類間隔，為此，我們需要引入幾何間隔的概念

還是以二維空間出發，任意一點到直線的距離可以寫成

我們將其拓展到n維空間，直線方程即是我們的超平面方程，則n維空間中任何一點到超平面的距離可以寫成

為此，我們引入幾何間隔概念，其中||w||表示向量w的二范數

從幾何間隔可以看出，就算等比例縮放w和γ，由於除上了||w||使得幾何間隔的值不會改變，它只隨著超平面位置的變化而變化，因此， 我們要尋找的分類間隔是幾何間隔

三、不等式約束條件

SVM演算法的目的是找到一個將分類效果達到最合理化的超平面，這個超平面即是分類器 。而評估分類器的好壞的標准就是分類間隔的大小

我們定義分類間隔的距離為d，好的分類器應該讓所有樣本點到決策面的幾何間隔都大於等於d

化簡上式，不等式兩邊同時除以d可得

由於||w||和d都是標量，可定義

則上式可化簡為

在不等式兩邊同時乘以yi，即將兩個式子化簡為一個式子（這里體現了正是因為標簽數據為+1和-1，才方便將約束條件變成一個約束方程）

這個約束方程的意義 即是任何樣本點到超平面（分類器）的幾何間隔都大於等於分類間隔

四、SVM最優化模型的數學描述

評估分類器的優劣是分類間隔的大小，且對於任意樣本點都滿足約束方程

由約束方程可知，當樣本點落在支持向量邊界上有如下關系

則分類間隔d可以表示為支持向量點到超平面的幾何間隔

要讓任何樣本點都在d之外，即求分類間隔d的最大值，則目標函數可以寫成

為了方便在後續最優化處理中對目標函數的求導，我們將目標函數做等效變化

由目標函數是二次的，而約束條件是線性的，則 SVM的數學模型即是：不等式約束條件下的二次型函數優化 ，而求解這一類優化問題，接下來我們需要構造 拉格朗乘子函數

五、引入拉格朗函數

目標函數是求解在約束條件g(x)下的二次型函數f(x)的最小值，直觀上我們希望構造一個函數L(x)，使得L(x)在f(x)的可行解區域內的求出的值和f(x)求出的值完全一樣，而在f(x)的可行解區域外，L(x)的值又接近無窮大，這么做的目的，使得我們可以用一個函數L(x)來等效表示原問題的g(x)和f(x)

拉格朗函數的目的，就是將約束條件融合到目標函數中，構造一個新函數來表示目標函數，將有約束的優化問題轉化為無約束的優化問題

下面，我們構造拉格朗函數來表示目標函數

其中αi是拉格朗日乘子，每一個約束條件對應一個拉格朗日乘子，其中αi大於等於0

則原優化問題可以轉化為

討論如下條件(1)(2)：

(1) 當樣本點不滿足約束條件時，即說明在 可行解區域外

此時將αi置為正無窮大，那麼θ(w)顯然也是正無窮大

(2) 當樣本點滿足約束條件時，即說明在 可行解區域內

此時θ(w)的最小值就是原目標函數，於是綜上所述，引入拉格朗乘子函數後，可以得到新的目標函數

我們用p*表示優化目標函數後的最優解，且與最初的目標函數等價

觀察新的目標函數，如果直接求偏導數求解，那麼一上來將面對w和b兩個未知參數，而αi又是不等式約束，求解過程將非常復雜。換一個角度思考，如果將max和min的位置對調，變成如下新的目標函數

上式變化使用了 拉格朗日函數的對偶性，交換後的新問題即是原目標函數的對偶問題 ，我們用d*來表示對偶目標函數的最優解，可見d*的求導過程比p*相對容易，且d*<=p*，而當滿足下列條件時，d*= p*

因為目標函數本身已經是一個凸函數，而優化問題又是求解最小值，所以目標函數的最優化問題就是凸優化問題，則接下來就要重點討論KKT條件

六、KKT條件的描述

一個最優化模型能夠表示成下列標准形式

其中f(x)是需要最小化的函數，h(x)是等式約束，g(x)是不等式約束，m和n分別是等式約束和不等式約束的數量

KKT條件即是規定f(x)的 最優值 必須滿足以下(1)(2)(3)條件， 只有滿足KKT條件，目標函數的最優化問題依然可以用拉格朗日乘子法解決

很明顯，我們需要優化的目標函數屬於帶有不等式約束函數g(x)，所以條件二顯然滿足，下面我們來分析條件一和條件三的理論

七、目標函數的等高線與約束條件的最優值分析（條件一）

對於KKT條件一的分析，我們假設目標函數是f(x1,x2)的二元函數，它的圖像在三維空間里是一個曲面，准確的來說是一個凸曲面

其中g(x1,x2)是約束方程，要求目標函數f(x1,x2)的最小值，即轉化為 求g(x1,x2)=c這條曲線上的一點，使得f(x1,x2)取得最小值，換個比喻，就是在山上（目標函數曲面）尋找一條山路（約束條件曲線）的最低點

我們畫出目標函數的等高線，來分析目標函數最優值和約束條件的關系

對於研究目標函數z=f(x1,x2)，當z取不同的值，即將曲線z投影在(x1,x2)組成的空間中（這里指的是二維空間），也就是曲面的等高線，上圖中d1和d2即是兩條目標函數的等高線，可以看出，當約束函數g(x1,x2)與目標函數的等高線有共同的交點， 即證明這組值同時滿足在目標函數的可行域中，也符合約束條件的約束關系

如果等高線與g(x1,x2) 相交 ，則是一組目標函數的解，但是這個解一定不是最優解， 因為相交意味著肯定存在其它等高線在該條等高線的內部或者外部 ，可能會使得新的等高線與g(x1,x2)的交點更大或者更小，這就意味著只有當等高線與g(x1,x2) 相切 ，才可能得到最優解（切線可能多條）

所以最優解必須滿足： 目標函數的負梯度方向與約束函數的梯度方向一致

而上式恆成立的條件就是： 拉格朗日乘子α >= 0 ，且這個式子就是目標函數對各個參數求偏導數的結果，即KKT的第一個條件：目標函數對各個參數的導數為0

八、分類討論約束條件和拉格朗日乘子的組合（條件三）

對於KKT條件三，可以看出，因為所有的約束函數gi(x)<=0，所有的拉格朗日乘子αi>=0，要使得求和後結果為0，要麼某個約束函數gi(x)=0，要麼其對應的αi=0

從一個案例出發來分析KKT條件三的邏輯，假設目標函數和約束函數是

將不等式約束構造出拉格朗日函數，並分別對x1和x2求偏導數

而KKT的條件三要求最優解滿足 ∑α*g(x) = 0，在這個案例里α和g(x)只有一個，結合條件一，可以得到

根據之前的分析，最優值滿足條件三的話，要麼α=0，要麼g(x)=0

（i）：如果α=0，則x1=1，x2=-2，代入g(x1,x2) =10-1-10*(-2)=29>0，發現這組解違背了約束函數g(x)<0，則舍棄這組解

（ii）: 如果g(x1,x2)=0，則代入x1和x2的表達式到g(x)中，解出α=58/101>0，發現這組解不違背約束函數，則代入α解出x1=130/101，x2=88/101，則這組解有可能是最優解

綜上(i)(ii)討論，目標函數的最優值符合KKT條件三，也說明了 滿足強對偶條件的優化問題的最優值必須滿足KKT條件

九、求解對偶問題

上面分析了目標函數滿足凸優化和KKT條件，則問題轉化為求解原問題的對偶問題（即p*=d*）

根據對偶問題描述，先要求內側w和b關於L(w,b,α)的最小化值，即求L對w和b的偏導數

將w和b的偏導數帶入拉格朗函數化簡得

整理一下最終化簡結果為

從上述結果可以看出，樣本的x和y是已知的，此時的 L(w,b,α)函數只有一個變數，即αi

我們歸納一下現在的目標函數為

現在目標函數變成了如上形式，其中αi>=0，這里隱含著一個假設，即數據100%線性可分，但是現實生活中，數據往往是不會那麼規則的線性化，為此我們需要引入鬆弛變數

十、引入鬆弛變數

由於現實世界中的數據都是帶有噪音的，也就是數據可能出偏離其正常的位置很遠，而出現這種極端現象後往往會影響超平面的選擇，也許將無法構造出將數據徹底分開的超平面出來

所以對於處理這種情況， SVM需要允許（妥協）出某些噪音很大的數據點能夠偏離超平面，即允許其出現在超平面的錯誤的一側 ，為此我們引入鬆弛變數C，這樣我們的目標函數又變為

接下來為了研究討論αi的取值范圍，我們加上一個負號將目標函數等價轉化為

十一、討論拉格朗乘子的取值意義和其值域

回顧一下最初的約束條件為

設ui為該約束條件，可以歸納出αi關於約束函數的取值意義

αi只有滿足上述3種情況，才能求出最優解，所以 當αi與約束條件ui沖突的時候，需要更新這些αi ，這也就是滿足目標函數的第一個約束限制，即0<=αi<=C

而同時目標函數還受到第二個約束條件的限制，即

所以不能只更新一個αi因子，需要同時再次更新第二個αj因子，也就是 α因子總是成對的更新（αi對總是和αj配對），一增一減，此消彼長，才能保證加權和為0的約束 ，同時這也就是下面提及SMO演算法的思想和多元函數化簡為二元函數，在從二元函數化簡為一元函數的難點

根據這個約束和α因子需要成對更新，假設我們選取的兩個拉格朗乘子為α1和α2，則更新之前是old，更新之後是new，且更新前後需要滿足和為0的約束

兩個因子同時更新顯然非常困難，所以需要先求出第一個αj的解，再用αj的解去表示更新第二個αi的解 ，後文的SMO演算法會闡述這一點。因此需要先確定αj的取值范圍，假設L和H分別為它的下界和上界，結合目標函數的約束限制來綜合討論L和H的取值關系

（i）：當y1和y2異號時，可以得到

移項可得a2 = a1 - A，此時α的取值范圍如下圖所示

所以此時α的上下界H和L為

（ii）：當y1和y2同號時，可以得到

移項可得a2 = -a1 + A，此時α的取值范圍如下圖所示

所以此時α的上下界H和L為

綜上(i)(ii)的討論，通過y1和y2的異號或者同號，可以推導出α更新後的上下界分別為

這個公式顯得非常的重要，它將α因子限制在有效的矩形范圍內，在SMO演算法中，當我們更新完α後，由於α可能會被更新得很大或很小，因此需要經過裁剪來保證α的在約束條件內

12、SMO演算法的思想

回顧之前第九，第十，第十一步的分析，目標函數為

目標函數只包含n個變數α的 多元函數 ，且帶有兩個約束條件，我們的 目的是求出目標函數的最小值，即找到一組α的組合，使得目標函數取得最小值

由第十一步的分析，我們需要不斷更新這n個α因子，通過迭代來逼近函數達到最小值，但是如果一次性更新n個參數，將會有n!種組合，那麼時間復雜度將會非常高，為此我們首先想到 坐標上升（下降）法

來通過一個例子來說明坐標上升法的思路

可知案例中要求一個三元函數的最大值， 演算法的思想是每次迭代時只更新一個維度，通過多次迭代直到收斂來優化函數的最值 ，求出三個變數的偏導數推出其關系

通過迭代即就可以求出其最值

SMO演算法借鑒了坐標上升（下降）法的思想來優化α因子組合，但是由於目標函數的第二個約束條件有加權和為0的限制，導致每次迭代時候不能只更新一個因子αi，必須同時更新與之配對的另一個因子αj，此消彼長才能保證加權和為0（第十一步中已提及）

所以SMO演算法思想是將原始問題中，求解n個參數的二次規劃問題，分解成了多個子二次規劃問題來分別求解，每一個子問題只需要求解2個參數，即將多元函數推導為二元函數，再將二元函數推導為一元函數

13、多元函數推導為二元函數

目標函數是關於α的N元函數，通過SMO的演算法思想，假設每次迭代更新，選取一對α1和α2的組合，其餘的乘子不變， 首先需要將α1和α2從目標函數中分離出來 ，也就是將多元函數推導為二元函數

從N元函數中分離出α1和α2因子

由於上式推導結果過於復雜，我們定義2個表達式來表示上式常量部分，用來簡化上式

又由於單獨存下的常數項對以後的求導沒有貢獻，所以我們提出單獨的常數項定義為Constant

帶入vi和Constant表達式，則結果化簡為

至此，我們將 多元函數推導為含有α1和α2變數的二元函數 ，接下來將這個二元函數推導為一元函數

14、二元函數推導為一元函數

我們需要推導出α1和α2的關系，然後用α2來表示α1帶入二元函數，就可以推導出關於α2的一元函數了

由目標函數的第二個約束條件

同理根據SMO演算法思想，從約束條件中分離出α1和α2

將等式兩邊同時乘以y1，可推導出α1和α2的關系

同理，我們定義兩個表達式r和s來表示上式的常量部分，用來簡化上式關系

帶入r和s後，α1和α2的關系推導為

下面將α1帶入我們的二元函數中，可得

至此， 我們將二元函數推導為只含有一個變數α2的一元函數 ，接下來終於可以對目標函數求導了

15、求解一元函數的偏導數，推導出第一個拉格朗乘子的遞推關系

我們對一元函數求α2的偏導數為0

帶入s=y1*y2和y2*y2=1，整理上式可求出α2

⑵ 卷積神經網路參數解析

（1）現象：

        （1-1）一次性將batch數量個樣本feed神經網路，進行前向傳播；然後再進行權重的調整，這樣的一整個過程叫做一個回合（epoch），也即一個batch大小樣本的全過程就是一次迭代。

        （1-2）將訓練數據分塊，做成批(batch training)訓練可以將多個訓練數據元的loss function求和，使用梯度下降法，最小化 求和後的loss function ，進而對神經網路的參數進行優化更新

（2）一次迭代：包括前向傳播計算輸出向量、輸出向量與label的loss計算和後向傳播求loss對權重向量 w 導數（梯度下降法計算），並實現權重向量 w 的更新。

（3）優點：

        （a）對梯度向量（代價函數對權值向量 w 的導數）的精確估計，保證以最快的速度下降到局部極小值的收斂性；一個batch一次梯度下降；

        （b）學習過程的並行運行；

        （c）更加接近隨機梯度下降的演算法效果；

        （d）Batch Normalization 使用同批次的統計平均和偏差對數據進行正則化，加速訓練，有時可提高正確率 [7]

（4）現實工程問題：存在計算機存儲問題，一次載入的batch大小受到內存的影響；

（5）batch參數選擇：

        （5-1）從收斂速度的角度來說，小批量的樣本集合是最優的，也就是我們所說的mini-batch，這時的batch size往往從幾十到幾百不等，但一般不會超過幾千

        （5-2）GPU對2的冪次的batch可以發揮更佳的性能，因此設置成16、32、64、128...時往往要比設置為整10、整100的倍數時表現更優

    （6）4種加速批梯度下降的方法 [8] ：

        （6-1）使用動量－使用權重的 速度 而非 位置 來改變權重。

        （6-2）針對不同權重參數使用不同學習率。

        （6-3）RMSProp－這是Prop 的均方根 ( Mean Square ) 改進形式，Rprop 僅僅使用梯度的符號，RMSProp 是其針對 Mini-batches 的平均化版本

        （6-4）利用曲率信息的最優化方法。

（1）定義：運用梯度下降演算法優化loss成本函數時，權重向量的更新規則中，在梯度項前會乘以一個系數，這個系數就叫學習速率η

（2）效果：

        （2-1）學習率η越小，每次迭代權值向量變化小，學習速度慢，軌跡在權值空間中較光滑，收斂慢；

        （2-2）學習率η越大，每次迭代權值向量變化大，學習速度快，但是有可能使變化處於震盪中，無法收斂；

    （3）處理方法：

        （3-1）既要加快學習速度又要保持穩定的方法修改delta法則，即添加動量項。

    （4）選擇經驗：

        （4-1）基於經驗的手動調整。 通過嘗試不同的固定學習率，如0.1, 0.01, 0.001等，觀察迭代次數和loss的變化關系，找到loss下降最快關系對應的學習率。

        （4-2）基於策略的調整。

                （4-2-1）fixed 、exponential、polynomial

                （4-2-2）自適應動態調整。adadelta、adagrad、ftrl、momentum、rmsprop、sgd

    （5）學習率η的調整：學習速率在學習過程中實現自適應調整（一般是衰減）

        （5-1）非自適應學習速率可能不是最佳的。

        （5-2）動量是一種自適應學習速率方法的參數，允許沿淺方向使用較高的速度，同時沿陡峭方向降低速度前進

        （5-3）降低學習速率是必要的，因為在訓練過程中，較高學習速率很可能陷入局部最小值。

參考文獻：

[1]  Simon Haykin. 神經網路與機器學習[M]. 機械工業出版社, 2011.

[2]   訓練神經網路時如何確定batch的大小？

[3]   學習筆記：Batch Size 對深度神經網路預言能力的影響  

[4]   機器學習演算法中如何選取超參數：學習速率、正則項系數、minibatch size.  http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44265967

[5]   深度學習如何設置學習率 . http://blog.csdn.net/mao_feng/article/details/52902666

[6]   調整學習速率以優化神經網路訓練. https://zhuanlan.hu.com/p/28893986

[7]   機器學習中用來防止過擬合的方法有哪些？

[8]   Neural Networks for Machine Learning by Geoffrey Hinton .

[9]   如何確定卷積神經網路的卷積核大小、卷積層數、每層map個數

[10]   卷積神經網路的卷積核大小、卷積層數、每層map個數都是如何確定下來的呢？

⑶ 糾錯碼的基本原理和性能參數

糾錯碼能夠檢錯或糾錯，主要是靠碼字之間有較大的差別。這可用碼字之間的漢明距離d(x，y)來衡量。它的定義為碼字x與y之間的對應位取不同值的碼元個數。一種糾錯碼的最小距離d定義為該種碼中任兩個碼字之間的距離的最小值。一種碼要能發現e個錯誤,它的最小距離d應不小於e+1。若要能糾正t個錯誤，則d應不小於2t+1。一個碼字中非零碼元的個數，稱為此碼字的漢明重量。一種碼中非零碼字的重量的最小值，稱為該碼的最小重量。對線性碼來說，一種碼的最小重量與其最小距離在數值上是相等的。
在構造線性碼時，數字上是從n維空間中選一k維子空間，且使此子空間內各非零碼字的重量盡可能大。當構造循環碼時,可進一步將每一碼字看成一多項式,將整個碼看成是多項式環中的理想,這一理想是主理想,故可由生成多項式決定；而多項式完全可由它的根規定。這樣,就容易對碼進行構造和分析。這是BCH碼等循環碼構造的出發點。一般地說，構造一種碼時，均設法將它與某種代數結構相聯系，以便對它進行描述，進而推導它的性質，估計它的性能和給出它的解碼方法。若一種碼的碼長為n，碼字數為M,或信息位為h,以及最小距離為d，則可把此碼記作【n,M,d】碼。若此碼為線性碼，常簡記作(n，k)或(n,k,d)碼。人們還常用R=log2M/n表示碼的信息率或簡稱碼率,單位為比特/碼元。R越大,則每個碼元所攜帶的信息量越大，編碼效率越高。 糾錯碼實現中最復雜的部分是解碼。它是糾錯碼能否應用的關鍵。根據式(1),採用的碼長n越大,則誤碼率越小。但n越大，編譯碼設備也越復雜,且延遲也越大。人們希望找到的解碼方法是:誤碼率隨碼長n的增加按指數規律下降;解碼的復雜程度隨碼長n的增加接近線性地增加；解碼的計算量則與碼長n基本無關。可惜，已經找到的碼能滿足這樣要求的很少。不過由於大規模集成電路的發展，即使應用比較復雜的但性能良好的碼，成本也並不太高。因此，糾錯碼的應用越來越廣泛。
糾錯碼傳輸的都是數字信號。這既可用硬體實現，也可用軟體實現。前者主要用各種數字電路，主要是採用大規模集成電路。軟體實現特別適合計算機通信網等場合。因為這時可以直接利用網中的計算機進行編碼和解碼，不需要另加專用設備。硬體實現的速度較高，比軟體可快幾個數量級。
在傳信率一定的情況下，如果採用糾錯碼提高可靠性，要求信道的傳輸率增加，帶寬加大。因此，糾錯碼主要用於功率受限制而帶寬較大的信道，如衛星、散射等系統中。糾錯碼還用在一些可靠性要求較高，但設備或器件的可靠性較差，而餘量較大的場合，如磁帶、磁碟和半導體存儲器等。
在分組碼的研究中，譜分析的方法受到人們的重視。糾同步錯誤碼、算術碼、不對稱碼、不等錯誤糾正碼等，也得到較多的研究。 分組碼是對信源待發的信息序列進行分組（每組K位）編碼，它的校驗位僅同本組的信息位有關。自20世紀50年代分組碼的理論獲得發展以來，分組碼在數字通信和數據存儲系統中已被廣泛應用。
分組碼的碼長n和碼字個數M是一個碼的主要構造參數。碼長為n的碼中所有碼字的位數均為n；若要用一個碼傳送k比特信息，則碼字的個數M必須滿足。典型的分組碼是由k位信息位和r位監督位組成的，這樣構成的碼一般稱為系統碼。
分組碼中應用最廣的線性分組碼。線性分組碼中的M個碼字之間具有一定線性約束關系，即這些碼字總體構成了n維線性空間的一個k維子空間。稱此k維子空間為（n，k）線性分組碼。線性系統碼的特點是每個碼字的前k位均由這個碼字所對應的信息位組成，並通過對這k位信息位的線性運算得到後面n—k是位監督位。
線性分組碼中應用最廣的是循環碼，循環碼的主要特徵是任何碼字在循環移位後個碼字。循環碼的優點在於其編碼和解碼手續比一般線性碼簡單，因而易於在設備上實現。在循環碼中，碼字可表示為多項式。循環碼的碼字多項式都可表示成為循環碼的生成多項式與這個碼字所代表的信息多項式的乘積，即，因此一個循環碼可以通過給出其生成多項式來規定。常用的循環碼有BCH碼和RS碼。
網格碼有多種描述方法，網格圖是常用方法之一，它能表示出編碼過程。一個碼率為1/2、包含四種狀態的網格碼的網格圖如圖所示。圖1中00，01，10，11表示編碼器所具有的四種狀態，以「·」示出，從每一狀態出發都存在兩條支路，位於上面的一條支路對應於編碼器輸入為「0」的情況，位於下面的一條支路對應於編碼器輸入為「1」的情況，而每一支路上所列出的兩個二進位碼則表示相應的編碼輸出。因而可知，編碼輸出不僅決定於編碼器的當前輸入，還決定於編碼器的狀態，例如在圖中從「00」狀態出發；，若輸入的二進制數據序列為1011，則編碼器的狀態轉移過程為00→01→10→01→11，而相應的編碼輸出序列為11010010。在網格圖中任意兩條從同一狀態出發；，經不同的狀態轉移過程後又歸於另一相同狀態（該狀態也可與初始狀態相同）的路徑間的距離的最小值稱為碼的自由距離。如該圖中的為5。對於卷積碼來說，的計算可簡化為始於且終於零狀態的非全零路徑與全零路徑間距離的最小值。是表徵網格碼糾錯能力的重要參數。維特比演算法是廣泛採用的網格碼的解碼方法。由於網格碼的狀態越多，解碼越復雜，所以狀態個數是度量網格碼解碼復雜性的重要參數。一般說來可以通過增大解碼復雜性來增加，從而提高碼的糾錯能力。
BCH碼、網格碼已被廣泛地應用於移動通信、衛星通信和頻帶數據傳輸中。RS碼也被廣泛應用於光碟的存儲中。
大多數糾錯碼是設計來糾隨機誤碼的，可以通過交織的方法使它適用於對突發誤碼的糾錯。交織是一種使得集中出現的突發誤碼在解碼時進行分散化的措施，從而使其不超出糾錯碼的糾錯能力范圍。 卷積碼不對信息序列進行分組編碼，它的校驗元不僅與當前的信息元有關，而且同以前有限時間段上的信息元有關。卷積碼在編碼方法上尚未找到像分組碼那樣有效的數學工具和系統的理論。但在解碼方面，不論在理論上還是實用上都超過了分組碼，因而在差錯控制和數據壓縮系統中得到廣泛應用。