普里姆演算法解題

㈠ 圖的相關演算法（二）：最小生成樹演算法

在含有n個頂點的連通圖中選擇n-1條邊，構成一棵極小連通子圖，並使該連通子圖中n-1條邊上權值之和達到最小，則稱其為連通網的最小生成樹。

例如，對於上圖中的連通網可以有多棵權值總和不相同的生成樹。

克魯斯卡爾（Kruskal）演算法，是用來求加權連通圖的最小生成樹的演算法。

基本思想 ：按照權值從小到大的順序選擇n-1條邊，並保證這n-1條邊不構成迴路。
具體做法 ：首先構造一個只含n個頂點的森林，然後依照權值從小到大從連通網中選擇邊加入到森林中，並使得森林不產生迴路，直到森林變成一棵樹為止。

以圖G4為例（更詳細的可以參考《演算法導論》p367），對Kruskal進行演示（假設，用數組R保存最小生成樹結果）。

第1步 ：將邊<E,F>加入R中。
邊<E,F>的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果R中。
第2步 ：將邊<C,D>加入R中。
上一步操作之後，邊<C,D>的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果R中。
第3步 ：將邊<D,E>加入R中。
上一步操作之後，邊<D,E>的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果R中。
第4步 ：將邊<B,F>加入R中。
上一步操作之後，邊<C,E>的權值最小，但<C,E>會和已有的邊構成迴路；因此，跳過邊<C,E>。同理，跳過邊<C,F>。將邊<B,F>加入到最小生成樹結果R中。
第5步 ：將邊<E,G>加入R中。
上一步操作之後，邊<E,G>的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果R中。
第6步 ：將邊<A,B>加入R中。
上一步操作之後，邊<F,G>的權值最小，但<F,G>會和已有的邊構成迴路；因此，跳過邊<F,G>。同理，跳過邊<B,C>。將邊<A,B>加入到最小生成樹結果R中。

此時，最小生成樹構造完成！它包括的邊依次是： <E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B> 。

根據前面介紹的克魯斯卡爾演算法的基本思想和做法，我們能夠了解到，克魯斯卡爾演算法重點需要解決的以下兩個問題：
問題一 對圖的所有邊按照權值大小進行排序。
問題二 將邊添加到最小生成樹中時，怎麼樣判斷是否形成了迴路。

問題一用排序演算法排序即可。
問題二，處理方式：記錄頂點在「最小生成樹」中的終點，頂點的終點是「在最小生成樹中與它連通的最大頂點"(關於這一點，後面會通過圖片給出說明)。然後每次需要將一條邊添加到最小生成樹時，判斷該邊的兩個頂點的終點是否重合，重合的話則會構成迴路。 以下圖來進行說明：

在將<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成樹R中之後，這幾條邊的頂點就都有了終點：

關於終點，就是將所有頂點按照從小到大的順序排列好之後；某個頂點的終點就是"與它連通的最大頂點"。 因此，接下來，雖然<C,E>是權值最小的邊。但是C和E的重點都是F，即它們的終點相同，因此，將<C,E>加入最小生成樹的話，會形成迴路。這就是判斷迴路的方式。

普里姆（Prim）演算法，也是求加權連通圖的最小生成樹的演算法。

基本思想
對於圖G而言，V是所有頂點的集合；現在，設置兩個新的集合U和T，其中U用於存放G的最小生成樹中的頂點，T存放G的最小生成樹中的邊。從所有的 uЄU ，vЄ(V-U)（V-U表示除去U的所有頂點）的邊中選取權值最小的邊（u，v），將頂點v加入U中，將邊（u,v）加入集合T中，如此不斷重復，直到U=V為止，最小生成樹構造完畢，此時集合T中包含了最小生成樹中的所有邊。

以上圖G4為例，來對普里姆進行演示(從第一個頂點A開始通過普里姆演算法生成最小生成樹)。

初始狀態 ：V是所有頂點的集合，即V={A,B,C,D,E,F,G}；U和T都是空！
第1步 ：將頂點A加入到U中。
此時，U={A}。
第2步 ：將頂點B加入到U中。
上一步操作之後，U={A}, V-U={B,C,D,E,F,G}；因此，邊(A,B)的權值最小。將頂點B添加到U中；此時，U={A,B}。
第3步 ：將頂點F加入到U中。
上一步操作之後，U={A,B}, V-U={C,D,E,F,G}；因此，邊(B,F)的權值最小。將頂點F添加到U中；此時，U={A,B,F}。
第4步 ：將頂點E加入到U中。
上一步操作之後，U={A,B,F}, V-U={C,D,E,G}；因此，邊(F,E)的權值最小。將頂點E添加到U中；此時，U={A,B,F,E}。
第5步 ：將頂點D加入到U中。
上一步操作之後，U={A,B,F,E}, V-U={C,D,G}；因此，邊(E,D)的權值最小。將頂點D添加到U中；此時，U={A,B,F,E,D}。
第6步 ：將頂點C加入到U中。
上一步操作之後，U={A,B,F,E,D}, V-U={C,G}；因此，邊(D,C)的權值最小。將頂點C添加到U中；此時，U={A,B,F,E,D,C}。
第7步 ：將頂點G加入到U中。
上一步操作之後，U={A,B,F,E,D,C}, V-U={G}；因此，邊(F,G)的權值最小。將頂點G添加到U中；此時，U=V。

此時，最小生成樹構造完成！它包括的頂點依次是：A B F E D C G。

㈡ 普里姆演算法

可以這么理解：因為最小生成樹是包含所有頂點的所以開始lowcost先儲存到第一個點的所有值，然後執行下面演算法，找到最小值並記錄是第幾個點，比如說這個點是3，這樣有了一條1-3得道路已經確定，現在從3出發找從3出發到其他頂點的路徑，如果這個從3出發到達的路徑長度比從1出發的短，則更新lowcost，這樣使得lowcost保存一直到達該頂點的最短路徑。比如1-4是5，3-4是4，則lowcost從原來的5被改為4。

㈢ 普里姆演算法是什麼

在計算機科學中，普里姆(也稱為Jarník's)演算法是一種貪婪演算法，它為加權的無向圖找到一個最小生成樹 。

相關簡介：

這意味著它找到邊的一個子集，能夠形成了一個包括所有頂點的樹，其中在樹中所有邊的權重總和最小。該演算法通過從任意起始頂點開始一次給樹增加一個頂點來操作，在每個步驟中添加從樹到另一個頂點的花費最小的可能的連接。

該演算法由捷克數學家沃伊茨奇·賈尼克於1930年開發後，後來在1957年被計算機科學家羅伯特·普里姆，以及在1959年被艾茲赫爾·戴克斯特拉重新發現和重新出版。因此，它有時也被稱為Jarník演算法,普里姆-jarník演算法。普里姆-迪克斯特拉演算法或者DJP演算法。

這個問題的其他眾所周知的演算法包括克魯斯卡爾演算法和 Borvka's演算法。這些演算法在一個可能的非連通圖中找到最小生成森林；相比之下，普里姆演算法最基本的形式只能在連通圖中找到最小生成樹。然而，為圖中的每個連通分量單獨運行普里姆演算法，也可以用於找到最小生成森林。

就漸近時間復雜度而言，這三種演算法對於稀疏圖來說速度相同，但比其他更復雜的演算法慢。然而，對於足夠密集的圖，普里姆演算法可以在線性時間內運行，滿足或改進其他演算法的時間限制。

㈣ 什麼是普利姆演算法

Prim演算法：是圖的最小生成樹的一種構造演算法。

假設 WN=(V,{E}) 是一個含有 n 個頂點的連通網，TV 是 WN 上最小生成樹中頂點的集合，TE 是最小生成樹中邊的集合。顯然，在演算法執行結束時，TV=V，而 TE 是 E 的一個子集。在演算法開始執行時，TE 為空集，TV 中只有一個頂點，因此，按普里姆演算法構造最小生成樹的過程為：在所有「其一個頂點已經落在生成樹上，而另一個頂點尚未落在生成樹上」的邊中取一條權值為最小的邊，逐條加在生成樹上，直至生成樹中含有 n-1條邊為止。

如果看不懂還可以找一本數據結構的書看，這個演算法挺簡單的。

btw：其實你有空問，應該有空網路啊~網路就有了。懶得寫，我還是直接從網路過來的~

㈤ 已知一個無向圖如下，分別用普里姆和克魯斯卡爾演算法生成最小生成樹（假設以1為起點，試畫出構造過程）。

1)普里姆演算法思想
從圖中任意取出一個頂點， 把它當成棵樹，然後從與這棵樹相接的邊中選取一條最短(權值最小)的邊， 並將這條邊及其所連接的頂點也並入這棵樹中，此時得到了一棵有兩個頂點的樹。然後從與這棵樹相接的邊中選取一條最短的邊，並將這條邊及其所連頂點並入當前樹中，得到一棵有3個頂點的樹。以此類推，直到圖中所有頂點都被並入樹中為止，此時得到的生成樹就是最小生成樹。
2)克魯斯卡爾演算法思想
先將邊中的權值從小到大排序，每次找出候選邊中權值最小的邊，就將該邊並入生成樹中。重復此過程直到所有邊都被檢測完為止。其中要注意的是克魯斯卡爾演算法需要用到並查集，以此來判斷接下來要並入的邊是否會和已並入的邊構成迴路。這兩個圖分別用普里姆和克魯斯卡爾生成的最小生成樹見圖。

需要注意的是，在接下來要並入的最小權值不唯一的情況下，可以選取的邊是不唯一的，所以其最小生成樹也不唯一。(純手打，望採納，謝謝。)

㈥ 在N個城市之間鋪設煤氣管道,只需架設N-1條線路即可,如何以最低的經濟代價鋪設.(普里姆演算法)

此題可以用最小生成樹的辦法解決即普里姆演算法:把N個城市看作N個頂點,把可以鋪設管道的兩個城市間用線連起來,把相連的兩個城市之間的距離作為這一條邊的權(假設所有管道的單位造價相同).把所有邊的權按照大小排列起來,先選權最小的邊的兩個頂點納入集合S,再選第二條邊,把與這條邊關聯的頂點納入S,但前提是所選的邊不能與前面所選的邊構成迴路,就這樣依次選取.若有權相同的n條邊則任選一條,但前提是所選的邊不能與前面所選的邊構成迴路.接下來選的時候還是選n條邊中的一條前提依然和前面相同.當所選的路的個數為N-1時就停止.此時的線路即為最優的鋪設線路.