演算法中的數學思想

『壹』 為什麼中國古代數學會形成演算法思想它對後世的影響如何

數學的發展包括了兩大主要活動：證明定理和創造演算法。定理證明是希臘人首倡，後構成數學發展中演繹傾向的脊樑；演算法創造昌盛於古代和中世紀的中國、印度，形成了數學發展中強烈的演算法傾向。統觀數學的歷史將會發現，數學的發展並非總是演繹傾向獨占鰲頭。在數學史上，演算法傾向與演繹傾向總是交替地取得主導地位。古代巴比倫和埃及式的原始演算法時期，被希臘式的演繹幾何所接替，而在中世紀，希臘數學衰落下去，演算法傾向在中國、印度等東方國度繁榮起來；東方數學在文藝復興前夕通過阿拉伯傳播到歐洲，對近代數學興起產生了深刻影響。事實上，作為近代數學誕生標志的解析幾何與微積分，從思想方法的淵源看都不能說是演繹傾向而是演算法傾向的產物。

從微積分的歷史可以知道，微積分的產生是尋找解決一系列實際問題的普遍演算法的結果6。這些問題包括：決定物體的瞬時速度、求極大值與極小值、求曲線的切線、求物體的重心及引力、面積與體積計算等。從16世紀中開始的100多年間，許多大數學家都致力於獲得解決這些問題的特殊演算法。牛頓與萊布尼茲的功績是在於將這些特殊的演算法統一成兩類基本運算——微分與積分，並進一步指出了它們的互逆關系。無論是牛頓的先驅者還是牛頓本人，他們所使用的演算法都是不嚴格的，都沒有完整的演繹推導。牛頓的流數術在邏輯上的瑕疵更是眾所周知。對當時的學者來說，首要的是找到行之有效的演算法，而不是演算法的證明。這種傾向一直延續到18世紀。18世紀的數學家也往往不管微積分基礎的困難而大膽前進。如泰勒公式，歐拉、伯努利甚至19世紀初傅里葉所發現的三角展開等，都是在很長時期內缺乏嚴格的證明。正如馮·諾伊曼指出的那樣：沒有一個數學家會把這一時期的發展看作是異端邪道；這個時期產生的數學成果被公認為第一流的。並且反過來，如果當時的數學家一定要在有了嚴密的演繹證明之後才承認新演算法的合理性，那就不會有今天的微積分和整個分析大廈了。

現在再來看一看更早的解析幾何的誕生。通常認為，笛卡兒發明解析幾何的基本思想，是用代數方法來解幾何問題。這同歐氏演繹方法已經大相徑庭了。而事實上如果我們去閱讀笛卡兒的原著，就會發現貫穿於其中的徹底的演算法精神。《幾何學》開宗明義就宣稱：「我將毫不猶豫地在幾何學中引進算術的術語，以便使自己變得更加聰明」。眾所周知，笛卡兒的《幾何學》是他的哲學著作《方法論》的附錄。笛卡兒在他另一部生前未正式發表的哲學著作《指導思維的法則》(簡稱《法則》)中曾強烈批判了傳統的主要是希臘的研究方法，認為古希臘人的演繹推理只能用來證明已經知道的事物，「卻不能幫助我們發現未知的事情」。因此他提出「需要一種發現真理的方法」，並稱之為「通用數學」(mathesis universakis)。笛卡兒在《法則》中描述了這種通用數學的藍圖，他提出的大膽計劃，概而言之就是要將一切科學問題轉化為求解代數方程的數學問題：

任何問題→數學問題→代數問題→方程求解而笛卡兒的《幾何學》，正是他上述方案的一個具體實施和示範，解析幾何在整個方案中扮演著重要的工具作用，它將一切幾何問題化為代數問題，這些代數問題則可以用一種簡單的、幾乎自動的或者毋寧說是機械的方法去解決。這與上面介紹的古代中國數學家解決問題的路線可以說是一脈相承。

因此我們完全有理由說，在從文藝復興到17世紀近代數學興起的大潮中，回響著東方數學特別是中國數學的韻律。整個17—18世紀應該看成是尋求無窮小演算法的英雄年代，盡管這一時期的無窮小演算法與中世紀演算法相比有質的飛躍。而從19世紀特別是70年代直到20世紀中，演繹傾向又重新在比希臘幾何高得多的水準上占據了優勢。因此，數學的發展呈現出演算法創造與演繹證明兩大主流交替繁榮、螺旋式上升過程：

演繹傳統——定理證明活動

演算法傳統——演算法創造活動

中國古代數學家對演算法傳統的形成與發展做出了毋容置疑的巨大貢獻。

我們強調中國古代數學的演算法傳統，並不意味中國古代數學中沒有演繹傾向。事實上，在魏晉南北朝時期一些數學家的工作中，已出現具有相當深度的論證思想。如趙爽勾股定理證明、劉徽「陽馬」一種長方錐體體積證明、祖沖之父子對球體積公式的推導等等，均可與古希臘數學家相應的工作媲美。趙爽勾股定理證明示意圖「弦圖」原型，已被採用作2002年國際數學家大會會標。令人迷惑的是，這種論證傾向隨著南北朝的結束，可以說是戛然而止。囿於篇幅和本文重點，對這方面的內容這里不能詳述，有興趣的讀者可參閱參考文獻3。

3 古為今用，創新發展

到了20世紀，至少從中葉開始，電子計算機的出現對數學的發展帶來了深遠影響，並孕育出孤立子理論、混沌動力學、四色定理證明等一系列令人矚目的成就。藉助計算機及有效的演算法猜測發現新事實、歸納證明新定理乃至進行更一般的自動推理……，這一切可以說已揭開了數學史上一個新的演算法繁榮時代的偉大序幕。科學界敏銳的有識之士紛紛預見到數學發展的這一趨勢。在我國，早在上世紀50年代，華羅庚教授就親自領導建立了計算機研製組，為我國計算機科學和數學的發展奠定了基礎。吳文俊教授更是從70年代中開始，毅然由原先從事的拓撲學領域轉向定理機器證明的研究，並開創了現代數學的嶄新領域——數學機械化。被國際上譽為「吳方法」的數學機械化方法已使中國在數學機械化領域處於國際領先地位，而正如吳文俊教授本人所說：「幾何定理證明的機械化問題，從思維到方法，至少在宋元時代就有蛛絲馬跡可尋，」他的工作「主要是受中國古代數學的啟發」。「吳方法」，是中國古代數學演算法化、機械化精髓的發揚光大。

計算機影響下演算法傾向的增長，自然也引起一些外國學者對中國古代數學中演算法傳統的興趣。早在上世紀70年代初，著名的計算機科學家D.E.Knuth就呼籲人們關注古代中國和印度的演算法5。多年來這方面的研究取得了一定進展，但總的來說還亟待加強。眾所周知，中國古代文化包括數學是通過著名的絲綢之路向西方傳播的，而阿拉伯地區是這種文化傳播的重要中轉站。現存有些阿拉伯數學與天文著作中包含有一定的中國數學與天文學知識，如著名的阿爾·卡西《算術之鑰》一書中有相當數量的數學問題顯示出直接或間接的中國來源，而根據阿爾·卡西本人記述，他所工作的天文台中就有不少來自中國的學者。

然而長期以來由於「西方中心論」特別是「希臘中心論」的影響以及語言文字方面的障礙，有關資料還遠遠沒有得到發掘。正是為了充分揭示東方數學與歐洲數學復興的關系，吳文俊教授特意從他榮獲的國家最高科學獎中撥出專款成立了「吳文俊數學與天文絲路基金」，鼓勵支持年輕學者深入開展這方面的研究，這是具有深遠意義之舉。

『貳』 如何在小學低年級計算教學中滲透數學思想和數學方法

如何在小學低年級計算教學中滲透數學思想和數學方法
《數學課程標准》中曾明確指出：「數學思想方法是對數學規律的理性認識。學卞通過數學學習、形成一定的數學思想方法是數學課程的一個重要目的，應在教學中加以滲透。」掌握科學的數學思想方法對提升學生的思維品質．對數學學科的後續學習，對其他學科的學習，乃至學生的終身發展都具有十分重要的意義。數學思想方法的形成是一個循序漸進的過程，所以需要我們教師長期訓練，及早培養，特別要在低年級的教學中相機滲透，

一、函數思想方法在低年級教學中的滲透

恩格斯說：「數學中的轉折點是笛卡兒的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了。」我們知道，運動、變化是客觀事物的本質屬性。函數思想的可貴之處就在於它用運動、變化的觀點去反映客觀事物數量間的相互聯系和內在規律。比如一年級下冊第10頁中的第3題，我們就可以適時向學生相機滲透「變與不變」的思想。

例談數學思想方法在低年級教學中的滲透

雖然教材中沒有提及函數這個概念，一年級的學生也不能理解這個概念，教師也不需要告訴學生什麼是函數，但教師要在教學中將函數思想滲透在其中：在學生得出結果後，教師要及時引導學生觀察：你有什麼發現?讓學生發現減號前面的數11不變，當減號後面的數發生變化時，最後的結果也會發生變化。也就是訃學生隱約發現運算的結果是隨著減數的變化而變化的。

二、數形結合思想在低年級教學中的滲透

數與形是數學教學研究對象的兩個側面，把數量關系和空間形式結合起來去分析問題、解決問題，就是數形結合思想。「數形結合」可以藉助簡單的圖形、符號和文字所表示的示意圖，促進學生形象思維和抽象思維的協調發展，溝通數學知識之間的聯系，從復雜的數量關系中凸顯最本質的特徵。

如，教學《兩位數乘一位數的乘法》(國標蘇教版第4冊69頁)一課，

例談數學思想方法在低年級教學中的滲透

依據主題圖學生不僅能獨：僅口算，而且演算法多樣，

(1)20x3=20+20+20=60

(2)2個十乘3得6個十，就是60

(3)因為2x3=6，所以20x3=60

例談數學思想方法在低年級教學中的滲透

在教學14x2的筆算時，根據上面的主題圖學生也能獨立探究演算法：先算2個十是20，再箅2個4得8，最後把它們合並起來——共是28。然而，如何幫助學生把算理與演算法結合起來，將算理內化成演算法，把思考的步驟與過程用豎式的形式呈現?用豎式計算14x2的結果是——個抽象過程，離開直觀的圖形支撐，直接要求學生獨立建立豎式模型，對於低年級學生來說是行一定難度的。所以此時教師仍然町以藉助亢觀圖形幫助學生經過從有觀到抽象的過程， 如，根據計算的先後順序分步展示課什：2x4計算的是圖中的哪個部分?1x2呢?(點擊箭頭圖)，這樣把圖式結合起來，通過豎式與圖形的對應關系，幫助學生發現算理與演算法之間的關系，讓學生在明確算理的基礎上掌握演算法。

『叄』 C語言中的演算法，都涉及到哪些數學知識

正規知識系統是把凸輪包含在離散數學里的，一般是離散數學的最後一章。
演算法的設計還依賴一門重要的數學課：線性代數，主要是關於矩陣和方程組的運算方法。

當然，高等數學也很重要，因為高等數學的指導思想是以直代曲，是一種逼近思想，而計算機的邏輯原理恰恰也是 虛擬現實，就是以盡量高的精度逼近自然界中的准確值。

『肆』 數學思維與演算法。

數學是一門工具性很強的科學，它與別的科學比較起來還具有較高的抽象性等特徵。起初是計算機科學工作者離不開數學，而數學工作者認為計算機對他們可有可無，但是現在是互相都離不開對方了，計算機也提高了數學工作者在人們心目中的地位，大部分的數學工作者開始認識到計算機的重要性，並越來越多地進入到計算機領域發揮作用。但是隨著人工智慧、GPS（全球定位系統）等飛速的發展和計算機運算性能飛躍性的提升，計算機的優勢越來越深入到思維領域，於是計算機將高深的數學理論用到實際中來，十分有效地解決了許多實際問題，例如著名難題四色問題就是被計算機證明的。問題的求解過程中有許多具有實用價值的數學分支如分析幾何、小波分析、離散數學、仿生計算、數值計算中的有限單元方法等。它讓人們知道計算機程序設計結合的就是數學知識和數學思想。

『伍』 c語言演算法中的數學問題

數形結合可以看出方程在0到pi/2之間有一根，又有利莆希茨條件可知原方程在[0，pi/2]是收斂的，故有上面的迭代格式。迭代法主要是保證在迭代區間方程收斂，否則程序無法終止

『陸』 簡述數學思想方法有哪幾次重大突破

《數學思想方法》共分十三章，分為三個部分。第一章至第四章為上篇，主要介紹數學思想方法的兩個源頭、數學思想方法和幾次重要轉折、數學的真理性以及現代數學的發展趨勢，從時間維度和宏觀上用粗線條勾畫出數學思想方法發展的概貌。其中第三章「數學的真理性」對於了解現代數學觀、確立現代數學教學觀頗有幫助。但是，考慮到教學課時較堅以及某些地區小學教師的專業水平有限，將此為列為選學內容。第五章至第十章為中篇，該篇分別對數學教學中常用的抽象與概括、猜想與反駁、演繹與化歸、計算與演算法、應用與模型、分類、數形結合、特殊化學數學思想方法，為在教學中加以應用打下扎實的基礎。第十一至第十三章為下篇，該篇主要闡述了數學思想方法與素質教育之關系、數學思想方法教學的主要階段及其教學原則，以及三個數學思想方法教學案例。希望這部分內容，能對在小學數學教學中加強數學思想方法教學起到一定的引領和促進作用。

『柒』 教學中滲透數學思想方法的途徑有哪些

了解較多相關知識，已成為一個符號的世界，還可以把知識的學習與能力的培養，因此我們要在練習的過程中不斷地總結和探索，學生從關注三角形的角與邊的特徵入手，從它特定的生活原型出發。 如我在教學五年級「平面圖形的面積復習」時、實驗等直觀手段解決這些問題，從具體到抽象升華，先讓學生計算？如何激發學生主動探究新知識的積極性，那麼專題講座對學生來說就是「豐盛大餐」了。因此教師要有數學思想方法教學意識，人們的思維可以從有限空間向無限空間，通過對演算法的歸納與優化，歸結為一類以便解決可較易解決的問題，可以說是數學的精髓、梯形和菱形）的面積計算公式後提問、畫一畫，深究背後的數學思想，然後在小組內交流，也是學生高數學素養所追求的目標、形象化，內化為學生的數學素養、拼一拼：你是怎樣算的，反思自己是怎樣發現和解決問題的、最本質的東西——數學思想方法：《領悟數學思想方法。再如一位六年級老師布置了下面這道課後思考題，而其本身的大小是不變的。不同章節的數學知識往往蘊含著不同的數學思想方法，還有94千米，三角形按邊分按角分，如，得出相關的結論。它是在學生基本掌握了一定的數學知識體系，學生比較系統地了解了常見的數學思想方法以及應用。在課堂小結，提升課堂教學的價值，在揭示數學知識的形成過程中滲透數學思想方法，是數學教學的主線,逐步體會數學思想方法的價值。 二。這種思想不僅使數學知識容易理解，應用數學思想方法 精心設計作業也是滲透數學思想方法的一條途徑， 例如：兆麟小學 農豐小學 蘭陵小學 今天由我們三人匯報的題目是，設計一些蘊含數學思想方法的題目，讓學生展現風采》 中國科學院院士，可以增長學生見識，方法②屬等值變換，方法②——⑥是巧法、解決問題能力的重要途徑、兩端不種時分別種幾棵」、梯形的面積計算公式各是怎樣推導的，學生得出其中重要的思想方法——轉化思想。極限思想是研究變數在無限變化中的變化趨勢的思想、著名數學家張景中曾指出？其中運用了什麼思想方法。交流之後我又指出，古代傑出的數學家劉徽的「割圓術」就是利用極奶子思想的典型、5、數學建模的思想方法：探索知識的發生與形成，在數學問題的探究發現過程中、量一量，在分類中抽象出圖形的共同特徵。 這些數學思想方法是數學的本質之所在。如果種6棵、6，桌子和椅子的單價各是多少，但更多的是依靠數學思想方法;SPAN>，這時科技書佔30%，需要具體的數學知識，教師對數學問題的設計應從數學思想方法的角度加以考慮。不僅能使學生領悟數學的真諦、出板報等活動，也是促進學生思維發展的手段、單元復習和知識運用時：平行四邊形，就是去深究方法背後的數學思想、數形結合的思想：當遇到復雜問題時。練習課的練習不同於新授課的練習，也沒有游離於數學知識之外的數學思想方法，第二小時比第一小時多行了16千米。數學思想方法總是隱含在數學知識中，發現了在兩端都種時棵數和間隔數之間的數量關系（棵數＝間隔數+1），只有方法的掌握，學生經歷了三角形分類的過程。在小學數學教學中有意識地滲透一些基本數學思想方法。如;g\？於是我啟發學生通過動手擺一擺，從靜態向動態發展，懂得數學的價值學會數學地思考和解決問題、議一議，採取有效的練習方式，都是抓住數據特點，對數學學科的後繼學習，技能的形成，不同的課型，形成分類的基本策略：「作為知識的數學出校門不到兩年可能就忘了，提高學生數學能力和思維品質、平行四邊形？ 形式出現，學生計算「1100÷25」主要採用了以下幾種方法；學生編數學小報、內容及其運用等予以點撥：怎樣讓學生經歷知識的產生與發展的過程； （ ），方能給學生滲透相應的數學思想;cm\。但盡管簡單。還有一些常用的數學思想方法，教師要引導學生自覺地檢查自己的思維活動，就是讓學生在經歷演算法多樣化的學習過程中、培養能力，更重要的是能悟出其中的數學規律，而是要進一步鑽研教材;、設計預案，又買來科技書多少本。因此、…… +、 。以上問題解決過程給學生傳達這樣一種策略、[ ] 等括弧、形成技能。符號化思想在整個小學都有較多的滲透、極限的思想，再次引導學生將這些平面圖形面積計算。因為掌握了數學的思想方法：「什麼是數學。 符號化思想。 代換思想——他是方程解法的重要原理。在學生陳述了各自的運算依據後，這就是集合的思想、作圖的同時要能從數據，任何一個數都能在數軸上找到相對應的點，也是小學數學新課程改革的真正內涵之在、–。然後又將問題改為「只種一端，我們應用割補法把它轉化成學過的長方形來推導。在解應用題中常常藉助線段圖的幫助分析數量關系，其中數學思想方法提示了數學的本質和發展規律、比較，也考察學生掌握數學思想方法的情況，明確前後知識間的聯系，一共有幾個間隔;/： 對應思想，如果兩端都種，對其他學得的學習，並設計數學活動落實在教學預設的各個環節中，可以從條件或問題思維尋求解題的方法、定理，從而感受到轉化思想的魅力，學生運用同樣的方法興趣盎然地找到了答案，將教材的編排思想內化為自己的教學思想：培養興趣，藉助學具看一看，發展了歸納能力，不應只見直接寫在教材上的數學基礎知識與技能《領悟數學思想方法。 這相對所有教學內容只是冰山一角，引導學生比較上述方法的異同，使學生感受到思想方法在問題解決中的重要作用。基本思想是數學學習的目標之一，運用這一思想，後來又買來一些科技書、技能訓練的要求，發展學生應用數學思想方法解決問題的能力，又有機地滲透了數學思想方法。如加法交換律和乘法交換律，挖掘隱含在教材中的數學思想方法？」「數學的學習主要是學習思想和方法以及解題的策略」，運用學過的運算定律：「小學生學的數學很初等，讓數學思想方法逐步深入人心，從提出直到解決：簡單的數據整理和求平均數，有時在一章或一單元的教學中。例如在《6的乘法口訣》練習課中，但它卻無法像數學知識那樣編為章節來教學。教師積極地在課堂中滲透數學思想方法、3，轉化成長方形後分別用6×3、概括和強化、平行四邊行面積公式和三角形面積公式，每2米種一棵，既鞏固了知識技能、明確目標，定期開展數學實踐活動可以發展學生的動手實踐能力和創新意識，學生基本認識了某些數學思想方法的基礎上的復習數學、比一比、，適時地對某種數學思想方法進行揭示，又涉及很多的數學思想方法：你能將這些知識整理成知識網路嗎，從而產生新的概念、 假設思想——是先對題目標中的已知條件或問題作出某種假設;？ 20 ×2 。」 數學知識和數學思想方法作為小學數學學習的兩條線索，可據其不同特點。其實，再通過交流自己的演算法； >，解題時可將某個條件用別的條件進行代換？如何依據教材適時地滲透數學思想方法等等。只有我自己做到胸有成竹、想一想。」 數學的思想方法是數學的靈魂和精髓，最終來解決復雜問題，形成良好思維素質的關鍵，教師可引導學生思考？ 40 、 等運算符號； 表示數的字母，拓展學生的眼界。 分類思想——體現對數學對象的分類及其分類的標准如自然數的分類、圖表中發現數學問題和數學信息，以求得解決，先來找一找其中的規律呢，呈現給孩子最有價值。下面我們就結合自己對數學思想方法的學習與實踐，棵數與間隔的個數有怎樣的關系呢。學生一旦掌握了數學思想方法。 「咱們要教給孩子們什麼，根據數量出現的矛盾、三角形，從而獲得對數學知識和方法的本質把握，裡面卻蘊含了一些深刻的數學思想？我們能否從「種2？當學生形成知識網路後（如下圖）、——數學發展到今天：這些計算公式是如何推導出來的，通過轉化過程，懂得兩個式子形式雖不同。 極限思想——我國古代就對極限思想的思考、正方形的面積S=ab S=a2。不同的分類標准就會有不同的分類結果？面對這一挑戰性的問題？隨著問題的拋出、建立模型，之後教師要啟發學生怎樣將圖形轉化成同第一個圖形那樣的圖形，最終能靈活運用數學思想方法解決問題、算一算的練習中、基本思想。新教材是把一些重要的數學思想方法通過學生日常生活中最簡單的事例呈現出來。培養學生用數學的眼光認識和處理周圍或數學問題乃數學的最高境界，藉助圖片用課件演示來理解式子的意義。 字母表示公式、等表示關系的符號，而是滲透於全部的小學數學知識中、3棵……」出發：1，而且要有明確的數學思想方法的教學要求，更重要的是啟發學生思考，學生陷入了沉思;mm\。形式多樣的數學課外活動。根據學生的學習水平在年段里開設有關數學思想方法內容的講座，簡單的統計表和統計圖。許多數學方法來源於對應思想、4×3來計算，智力的開發，滲透數學思想方法 如在《三角形分類》一課中：學習平行四邊形面積計算時，不僅能使學生的知識結構更完善，從中尋找共性。因此我們在備課時，創造性地使用教材，這就是孩子最初所接觸到集合雛形;<，學生在完成想一想，發展學生的思維能力，才能使學生受益終生，我在研讀教材時、基本活動經驗作為目標體系，還必須加強數學思想方法的滲透。通過這樣的解題活動、集合的思想：類比思想。在以後後的教學中慢慢體現並集，掌握科學的數學思想方法對提升學生思維品質，得到簡化和假設、公式的變形等，對獨立獲得新知能力的提高無疑是有很大幫助，滲透變換的思想，充分運用觀察，如果平時教學中的數學思想方法的點滴滲透是「美味點心」的話，真正實現質的「飛躍」、為什麼要在教學中滲透數學思想方法 1。這就要求教師在課堂教學中。 2．滲透基本數學思想方法是落實新課標精神的需求 數學課程標准把「四基」;km等，呈現完美。 如我在教學三年級「植樹問題」時、數學思想方法、思想的形成，盡量安排一些有助於加深學生對數學思想方法體驗的問題。在數學分數應用題中; 字母表示計量單位符號。 在數學教學中、增長見識、7棵……：經歷知識的鞏固與應用。方法②——⑥雖各有千秋：創設情境、空集等思想，並運用操作：科技書和文藝書共630本，習題側重於知識方面、數學建模思想、公式，這其實就體現了對應的思想、製表、簡單化：在一條100米長的路的一側、④，每冊教材都有數學思想方法的滲透，最後找到正確答案的一種思想方法，並在教學目標中明確寫出滲透哪些數學思想方法，可以直接用口訣計算。 一，但殊途同歸？學生通過實際操作、是數學的精髓;7、y，引導學生在學與用中提升了對數學思想方法的認識、分一分。」符號化思想即指人們有意識地，利用學具演示推導過程？ 可逆相思——它是邏輯思維中的基本思想，有的說種50棵，在計算中也常用到，學生面對新的問題時將懂得怎樣去思考，求甲乙之距？是怎麼想的。 集合思想——把一組對象放在一起作為討論的范圍。如，強化數學思想方法 復習有別於新知識的教學，常常要多問自己幾個為什麼，讓學生不僅鞏固所學知識，數離不開形，其中科技書20%，提升數學思想方法 學校開展數學課外活動是課內教學的重要補充，不妨退到簡單問題、普遍地運用符號化的語言去表述研究的對象、操作?有什麼共同點，它與具體的數學知識結合成一個有機整體，使學生從數學思想方法的高度把握知識的本質、具備了一定的解題經驗、基本數學思想方法對學生的發展具有重要意義 一位教育學家曾指出，共用504元:x；學習三角形和梯形的面積計算時，沒有不包含數學思想方法的數學知識？ 30 。 比較思想——是數學教學中常見的思想方法之一，那麼課堂教學就不可能有的放矢，往往問了就迎刃而解，運用了哪些基本的思想方法等，要不失時機地恰當地點評：一年級教材在教孩子認數的時候。到底有幾棵，與大家一起交流。為此。另一方面復雜的形體可以用簡單的數量關系表示：備課時要研讀教材：掌握知識，而且使公式的記憶變得順水推舟的自然和簡潔。從而加深學生對數學概念；而練習課中的練習則是為了在形成技能的基礎上向能力轉化、2。學生對各種方法的評價與反思。為此教師布置作業要有講究，能力的培養等需要適量的練習才能實現，教師不僅要給出答案，要精心挖掘數學的思想方法？ 結合上圖引導學生概括出其中的思想與方法，然後按照題中的已知條件進行推算。 如我在教學四年級「看誰算得巧」一課時，然後從簡單問題的研究中找到規律，乃至學生的終身發展有十分重要的意義。 數形結合思想——數和形是數學研究的兩個主要對象，不但激發優生學習數學的積極性。 2上課。復習時？每位同學選擇1～2種圖形。如數軸上的一個點就對應一個數,對它的名稱，方法⑤類似於估算中的「補償」策略。不同的教學內容。。讓學生面對新知會用化歸思想方法去思考問題，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想。比如學生在計算練習時常常有 10 ，教師給學生提供了三角形學具先放手讓學生在小組合作中嘗試對三角形進行分類，復雜的數量關系？學生若有所思地回答是4個、發展智力，在練習課的教學中不僅要有具體知識，深化對解題方法的認識，讓課堂綻放魅力、三角形。 統計思想——小學數學中的統計思想主要體現在，也為學生的學習開辟了一個廣闊的新天地,除了幫助學生掌握好知識與技能。 化歸思想方法——把有可能解決或示解決的問題。任何一個問題，讓學生展現風采》 ——小學數學教學中滲透數學思想方法思考與實踐 匯報：長方形。 變中抓不變的思想方法——在紛繁復雜的變化中如何把握數量關系，一舉兩得

『捌』 如何在問題解決過程中獲得基本的數學思想

如果說數學起源於人類生存的需要，或者起源於人類理智探索真理的需要，那麼數學思想方法就是伴隨著數學的產生而產生，伴隨著數學的發展而發展的，它不僅是數學的精髓，也是數學教學的靈魂，更是體現數學本質的重要方面和評價數學教學的主要依據。因此，在小學數學教學過程中，加強數學思想方法的滲透，會有利於教師深刻地認識數學內容，有利於增強學生的數學觀念和數學意識，形成學生良好的思維品質。下面從教學過程的角度關注數學思想方法，來交流自己一些不成熟、不全面的認識和看法。
1.在知識的呈現過程中，適時滲透數學思想方法
對於數學而言，知識的發生過程，實際上也就是思想方法的發生過程。因此，象概念的形成過程、結論的推導過程、方法的思考過程、問題的發現過程、規律的被揭示過程等等，都蘊含著向學生滲透數學思想方法、訓練思維的極好機會。對於學生來說，最常見的困難之源是：一項工作、一個發現、一個規律、……很少以創始人當初所用的形式出現，它們已經被濃縮了，隱去了曲折、復雜的思維過程，呈現出整理加工的嚴密、抽象、精煉的結論，而導致其誕生的那些思想方法卻往往隱為內在形式，成為數學結構系統的具有潛在價值的「內河流」。我們教學工作的一項重要任務，就是揭開數學這種嚴謹、抽象的面紗，將發現過程中的活生生的教學「反樸歸真」地交給學生，讓學生親自參與「知識再發現」的過程，經歷探索過程的磨礪，汲取更多的思維營養。例如，在教學圓的面積時，先引導學生回憶以往在推導平行四邊形、三角形、梯形等圖形面積計算時的方法，再把圓轉化成長方形，進而推導出圓的面積計算公式。我們從方法人手，將待解決的問題，通過某種途徑進行轉化，歸納成已解決或易解決的問題，最終使原問題得到解決。這樣的教學活動讓學生經歷了知識的形成過程，滲透了化歸、極限的數學思想，為後繼學習起到了非常重要的作用。
2.在解題思路的探索中，恰當滲透數學思想方法
課堂教學中，學生是學習的主人。在學習過程中，要引導學生積極主動地參與，親自去發現問題、解決問題、掌握方法，其實，對於數學思想方法的學習也不例外，在數學教學中，解題思路的探索過程是最基本的活動形式之一，數學問題的解答過程是對數學思想方法親身體驗和獲得的過程，也是通過運用對其加深認識和理解的過程。例如，在解決「雞兔同籠」問題時，學生初讀題目，有些無從下手。這時就需要教師引導學生用容易探究的小數量代替《孫子算經》原題中的大數量讓學生探究整理，滲透了轉化的思想方法；用列表法解決問題，滲透了函數的思想方法；用算術法解決問題，滲透了假設的思想方法；用方程法解決問題，滲透了代數的思想方法；在梳理方法時，利用課件出示簡筆畫，幫助學生理解各種演算法等，滲透了數形結合的思想方法，這樣將數學思想方法的滲透和知識教學緊密地結合，幫助學生掌握正確的解題方法，提高發散思維能力。
3.在實際問題的解決中，靈活滲透數學思想方法
解題是數學的心臟，學生不僅通過解題掌握和鞏固數學基礎知識，而且由於數學解題重在解題的整個過程，所以還能培養和發展學生的數學能力，而教師應對學生的解題活動加以指導，不能為了解題而解題，而忽視對思維過程的展示，要在解題過程中揭示後續解題活動中解決類似問題的通用思想方法。因此，加強數學應用意識，鼓勵學生運用數學思想方法去分析解決生活實際問題，引導學生抽象、概括、建立數學模型，探求問題解決的方法，使學生把實際問題抽象成數學問題，在應用數學知識解決實際問題的過程中進一步滲透和領悟數學思想方法。例如，客車和貨車同時從甲、乙兩鎮的中點向相反的方向行駛。3小時後客車到達甲鎮，而貨車離乙鎮還有30千米。已知貨車的速度是客車的3／4，求甲、乙兩鎮相距多少千米?分析：由題意知，客車3小時行完全程一半，貨車3小時行完全程的一半少30千米。如設甲乙兩鎮相距z千米，依據「貨車的速度是客車的3／4」，可得方程：多數學生都選用了這種方法。教學時不能停留在此，繼續引導學生變換一種方式思考：將已知條件「貨車的速度是客車的3／4」改變一種敘述方式「貨車與客車的速度比是3：4」，因行車時間相同，所以貨車與客車所行路程比是3：4，即貨車行3份，客車行了4份，貨車比客車少行1份少行30千米，因此易知客車行了4份行了120千米，貨車行了90千米，甲乙兩鎮相距240千米。這樣，通過轉化，使學生體會到分數應用題也可採用整數解法，即可採用比例應用題的方法進行解答，從而鞏固與提高學生解答分數應用題的能力，更重要的是讓學生感受到轉化的方法能變繁為簡、化難為易，有助於培養思維的靈活性，克服思維的呆板性。實際上，在數學解題中經常用到的還有諸如數形結合、化歸、符號化等思想方法，恰當運用這些思想方法不僅能提高解題效率，還能激發學生強烈的求知慾與創造精神。
總之，在教學過程中，加強數學思想方法的滲透，在知識的呈現過程中，讓學生感知數學思想方法，在解題思路的探索中，讓學生感受數學思想方法，在實際問題的解決中，讓學生體驗數學思想方法，這不僅會提高學生的數學素養，還會為他們進一步學習數學打下扎實的基礎。

『玖』 常見的數學思想有哪些

1、符號化思想

在數學教學中，各種量的關系、量的變化以及在量與量之間進行推導和演算，都是以符號形式（包括字母、數字、圖形與圖表以及各種特定的符號）來表示，即運行著一套形式化的數學語言。

2、分類思想

以比較為基礎，按照事物間性質的異同，將相同性質的對象歸入一類，不同性質的對象歸入不同類別——這就是分類，也稱劃分。數學的分類思想體現對數學對象的分類及其分類標准。

3、函數思想

函數概念深刻地反映了客觀世界的運動變化與實際事物的量與量之間的依存關系。

它告訴人們一切事物都在不斷地變化著，而且相互聯系、相互制約，從而了解事物的變化趨勢及其運動規律。對於函數，《標准》提出了學生各個學段的要求，結合實驗教材，小學中年級的要求是「探索具體問題中的數量關系和變化規律」「通過簡單實例，了解常量和變數的意義」。

4、化歸思想

「化歸」就是轉化和歸結。在解決數學問題時，人們常常是將需要解決的問題，通過某種轉化手段，歸結為另一個相對比較容易解決的或者已經有解決程序的問題，以求得問題的解答。在小學數學中處處都體現出化歸的思想，它是解決問題的一種最基本，最常用的思想方法。

5、歸納思想

研究一般性問題時，先研究幾個簡單、個別的、特殊的情況，從中歸納出一般的規律和性質，這種從特殊到一般的思維方式被稱為歸納思想。

歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法兩種。小學階段學生接觸較多是不完全歸納法。教學四年級上冊運算律（以加法交換律和加法結合律為例），就採用了不完全歸納法展開了教學。

6、優化思想

「多中選優，擇優而用」既是一種自然規律，又是一種好的思想方法。演算法多樣化是解決問題策略多樣化的一種重要體現。計算長方形的周長是一題多解，求同存異，在對的方法中要選擇最好的方法，弄清對的與好的，選擇好的。

在教學中滲透優化的策略和方法，及時引導學生對各種方法進行評價與反思，通過對各種不同方法的辨析、比較，幫助學生認識不同方法的特點與優勢，達到「去偽存真、去粗存精」的目的，培養學生「多中選優，擇優而用」的優化意識，構建數學知識，實現對知識的優化和系統化。

7、數形結合思想

數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學。數形結合的思想，就是把問題的數量關系和空間形式結合起來加以考察的思想。

『拾』 如何理解演算法進入中學數學內容的必要性

演算法在科學研究中具有普遍意義.解決科學研究中的問題需要一定的方法,但"方法"這一概念含義廣泛而不具體,而演算法與一般方法相比,則更具體、更精確,因為它是能行的、可操作的.能解決某個科學上的問題,實質上就是意味著掌握了或找到了某種演算法.某一問題的可解性意味著能夠找到一個適當的演算法,而某一問題的不可解性則意味著不可能找到一個適當的演算法,或證明這樣的演算法不存在.在科學史上,很多研究工作的任務和目的,就是要尋找解決某個問題的演算法.
在新高中數學課程標准中,我們注意到演算法作為必修部分進入了中學數學.標准中寫到:「演算法是一個全新的課題,已經成為計算機科學的核心,它在科學技術和社會發展中起著越來越重要的作用.演算法的思想和初步知識,也正在成為普通公民的常識.在必修課程中學習演算法的基本思想和初步知識,演算法思想將貫穿高中數學課程的相關部分.」可是,到底演算法引進中學的意義是什麼?本文
演算法學習的意義
「計算機既是數學的創造物,又是數學的創造者」,而演算法既是計算機理論和實踐的核心,也是數學的最基本內容之一.甚至有人說,數學學習的主要作用是形成「演算法思維」.演算法有著悠久的發展歷史,中國古代數學曾經以演算法為特色,取得了舉世矚目的輝煌成就.在已經逐步進入信息化社會的今天,演算法的基本知識、方法、思想日益融入人們社會生活的方方面面,已經也應該成為現代人所應具備的一種基本素質.
我們認為學生學習演算法有以下幾個方面的意義:
演算法學習有助於我們全面的理解運算能力
很多時候,人們對運算存在一些誤解,認為運算就是按照各種運演算法則進行加、減、乘、除,從而學習運算就是背誦書本中給出的計演算法則,形成一些基本的計算技巧,也就是說,能夠根據熟記的法則,迅速的計算給定式子的正確答案.
實際上,按照演算法規則進行邏輯推理而獲得正確結果僅僅是計算的很小的一個方面,更重要的是,在運算中構造、設計、選擇一個合理的,演算法理解相應的算理.在演算法學習中,我們要讓學生給出一個問題的不同演算法,並比較這些演算法的優劣,並作出選擇,從而提高效率,而這個過程才是一個真正的運算過程,因此演算法學習使得我們更加全面的理解運算能力.
演算法學習能夠培養學生的邏輯思維能力
我們常常說數學是思維的體操,能夠訓練學生的思維能力.演算法作為數學的一個基本內容,在培養學生的邏輯思維能力上能夠發揮重要的作用.
演算法是解題方法的精確描述.演算法一方面具有具體化、程序化、機械化的特點,同時又有高度抽象性、概括性和精確性.因此,將解決具體問題的方法整理成演算法的過程是一個條理化,精確化和邏輯化的過程,有助於培養學生的邏輯思維能力.
我們學過一元一次方程的求解,任意給一個一元一次方程,比如說
3 x + 5 = 0
我們都會解這樣的方程.它的解是
x = - 5/ 3.
我們說計算機能夠幫助人完成很多工作.但是計算機畢竟和人腦有著本質的區別,它是機械的,在沒有的指令的情況下,它是不會思維的,不能進行任何判斷.演算法是連接人和計算機的紐帶,這些思維的過程,判斷的過程我們都要精心的設計到演算法裡面,作為指令教給計算機去完成.
比如我們需要寫個演算法讓計算機來解方程.
ax + b = 0
其中參數由鍵盤任意輸入,讓計算機輸出結果.
我們能說凡是這樣的方程就讓計算機輸出:
「x = - b/ a」就可以了嗎?顯然,這是有問題的,因為當a = 0 的情形下,這種輸出是錯誤的,也就是說我們需要分情況討論:
1) 輸入a ,b ;
2) 若a ≠0 ,則輸出x = - b/ a ;
如果a = 0 實際上方程變成了b = 0 ,這樣的方程的解又是什麼呢?看來還要看看參數b ,若b = 0 ,則方程為0 = 0 ,若b = 5 ,則方程為5 =0 ,這兩種情形顯然是不一樣的,前者的解是任意實數,而後者則是無實數解,因此繼續我們的演算法
3) 若a = 0 ,還要對b 進行討論:
( i) 若b = 0 ,方程的解是全體實數;
( ii) 若b ≠0 ,方程沒有實數解.
對於這樣一個看似簡單的方程還有這么多門道呢?因為,作為一個演算法必須是精確的,任何人按照(包括計算機) 這個步驟執行都能得到這個問題的求解.
我們可以從以上例子看出,書寫一個演算法的過程是一個思維的整理過程,是一個精確化、條理化的過程,因此有助於培養學生的邏輯思維能力.