演算法題樹

A. 數據結構演算法 試題 急！ 試構造下圖的最小生成樹，要求分步給出構造過程。

圖有如下參數:

邊數=8頂點數=5

頂點頂點邊的權值
v1v26
v1v34
v1v42
v2v35
v2v48
v2v56
v3v45
v4v57

用Kruskal(克魯斯卡爾)演算法,求最小生成樹.

先將所有邊的權值按照從小到大排序:

頂點頂點邊的權值
v1v42
v1v34
v2v35
v3v45
v1v26
v2v56
v4v57
v2v48

然後,每次提取權值最小邊,逐步組成最小生成樹:

(1)取最小邊(v1,v4,2)

v1--v4

(2)取邊(v1,v3,4),不會產生環路.

v1--v4
|
|
v3

(3)取邊(v2,v3,5),不會產生環路.

v1--v4
|
|
v3--v2

(4)如果取邊(v3,v4,5),會產生環路,所以不能取.
如果取邊(v1,v2,6),會產生環路,所以不能取.
取邊(v2,v5,6),不會產生環路.

v1--v4
|
|
v3--v2--v5

這就是最小生成樹,連通了所有頂點,總權值最小.

頂點邊的權值
(v1,v4)2
(v1,v3)4
(v2,v3)5
(v2,v5)6


//C語言測試程序

//最小生成樹Kruskal(克魯斯卡爾)演算法
#include"stdio.h"

#defineMAXEDGE20
#defineMAXVEX20
#defineINF65535

typedefstruct
{
	intarc[MAXVEX][MAXVEX];
	intnumVertexes,numEdges;
}MGraph;

typedefstruct
{
	intbegin;
	intend;
	intweight;
}Edge;//對邊集數組Edge結構的定義

//創建圖
voidCreateMGraph(MGraph*G)
{
	inti,j;

	G->numEdges=8;//邊數
	G->numVertexes=5;//頂點數

	for(i=0;i<G->numVertexes;i++)//初始化圖
	{
		for(j=0;j<G->numVertexes;j++)
		{
			if(i==j)
				G->arc[i][j]=0;
			else
				G->arc[i][j]=G->arc[j][i]=INF;
		}
	}

	G->arc[0][1]=6;
	G->arc[0][2]=4;
	G->arc[0][3]=2;
	G->arc[1][2]=5;
	G->arc[1][3]=8;
	G->arc[1][4]=6;
	G->arc[2][3]=5;
	G->arc[3][4]=7;

	for(i=0;i<G->numVertexes;i++)
	{
		for(j=i;j<G->numVertexes;j++)
		{
			G->arc[j][i]=G->arc[i][j];
		}
	}
}

//交換權值以及頭和尾
voidSwapn(Edge*edges,inti,intj)
{
	inttemp;
	temp=edges[i].begin;
	edges[i].begin=edges[j].begin;
	edges[j].begin=temp;
	temp=edges[i].end;
	edges[i].end=edges[j].end;
	edges[j].end=temp;
	temp=edges[i].weight;
	edges[i].weight=edges[j].weight;
	edges[j].weight=temp;
}

//對權值進行排序(選擇排序法)
voidsort(Edgeedges[],MGraph*G)
{
	inti,j,min;
	for(i=0;i<(G->numEdges-1);i++)
{
min=i;
for(j=i+1;j<G->numEdges;j++)
{
if(edges[min].weight>edges[j].weight)
{
min=j;
}
}
if(i!=min)
{
Swapn(edges,i,min);
}
}

	printf("邊的權值排序之後:
");
	for(i=0;i<G->numEdges;i++)
	{
		printf("(%d,%d)%d
",edges[i].begin,edges[i].end,edges[i].weight);
	}
}

//查找連線頂點的尾部下標
intFind(int*parent,intf)
{
	while(parent[f]>0)
	{
		f=parent[f];
	}
	returnf;
}

//生成最小生成樹
voidMiniSpanTree_Kruskal(MGraphG)
{
	inti,j,n,m;
	intk=0;
	intparent[MAXVEX];//定義一數組用來判斷邊與邊是否形成環路

	Edgeedges[MAXEDGE];//定義邊集數組,edge的結構為begin,end,weight,均為整型

	//用來構建邊集數組並排序
	for(i=0;i<G.numVertexes-1;i++)
	{
		for(j=i+1;j<G.numVertexes;j++)
		{
			if(G.arc[i][j]<INF)
			{
				edges[k].begin=i;
				edges[k].end=j;
				edges[k].weight=G.arc[i][j];
				k++;
			}
		}
	}
	sort(edges,&G);//從小到大排序

	for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
{
parent[i]=0;
}

	printf("列印最小生成樹：
");
	for(i=0;i<G.numEdges;i++)	//循環每一條邊
	{
		n=Find(parent,edges[i].begin);
		m=Find(parent,edges[i].end);
		if(n!=m)//假如n與m不等，說明此邊沒有與現有的生成樹形成環路
		{
			parent[n]=m;	//將此邊的結尾頂點放入下標為起點的parent中
							//表示此頂點已經在生成樹集合中
			printf("(%d,%d)%d
",edges[i].begin,edges[i].end,edges[i].weight);
		}
	}
}

intmain(void)
{
	MGraphG;
	CreateMGraph(&G);
	MiniSpanTree_Kruskal(G);
	return0;
}