單源最短路徑問題貪心演算法

A. 數學建模第四章 圖論 part4.2最短路徑問題-Dijkstra演算法

1.Dijkstra演算法介紹

演算法特點：

迪科斯徹演算法使用了廣度優先搜索解決賦權有向圖或者無向圖的單源最短路徑問題，演算法最終得到一個最短路徑樹。該演算法常用於路由演算法或者作為其他圖演算法的一個子模塊。

演算法的思路

Dijkstra演算法採用的是一種貪心的策略，聲明一個數組dis來保存源點到各個頂點的最短距離和一個保存已經找到了最短路徑的頂點的集合：T，初始時，原點 s 的路徑權重被賦為 0 （dis[s] = 0）。若對於頂點 s 存在能直接到達的邊（s,m），則把dis[m]設為w（s, m）,同時把所有其他（s不能直接到達的）頂點的路徑長度設為無窮大。初始時，集合T只有頂點s。 

然後，從dis數組選擇最小值，則該值就是源點s到該值對應的頂點的最短路徑，並且把該點加入到T中，OK，此時完成一個頂點， 

然後，我們需要看看新加入的頂點是否可以到達其他頂點並且看看通過該頂點到達其他點的路徑長度是否比源點直接到達短，如果是，那麼就替換這些頂點在dis中的值。 

然後，又從dis中找出最小值，重復上述動作，直到T中包含了圖的所有頂點。

2、Dijkstra演算法示例演示

我求下圖，從頂點v1到其他各個頂點的最短路徑.

首先第一步，我們先聲明一個dis數組，該數組初始化的值為：

我們的頂點集T的初始化為：T={v1}

既然是求 v1頂點到其餘各個頂點的最短路程，那就先找一個離 1 號頂點最近的頂點。通過數組 dis 可知當前離v1頂點最近是 v3頂點。當選擇了 2 號頂點後，dis[2]（下標從0開始）的值就已經從「估計值」變為了「確定值」，即 v1頂點到 v3頂點的最短路程就是當前 dis[2]值。將V3加入到T中。 

為什麼呢？因為目前離 v1頂點最近的是 v3頂點，並且這個圖所有的邊都是正數，那麼肯定不可能通過第三個頂點中轉，使得 v1頂點到 v3頂點的路程進一步縮短了。因為 v1頂點到其它頂點的路程肯定沒有 v1到 v3頂點短.

OK，既然確定了一個頂點的最短路徑，下面我們就要根據這個新入的頂點V3會有出度，發現以v3 為弧尾的有： < v3,v4 >,那麼我們看看路徑：v1–v3–v4的長度是否比v1–v4短，其實這個已經是很明顯的了，因為dis[3]代表的就是v1–v4的長度為無窮大，而v1–v3–v4的長度為：10+50=60，所以更新dis[3]的值,得到如下結果： 

因此 dis[3]要更新為 60。這個過程有個專業術語叫做「鬆弛」。即 v1頂點到 v4頂點的路程即 dis[3]，通過 < v3,v4> 這條邊鬆弛成功。這便是 Dijkstra 演算法的主要思想：通過「邊」來鬆弛v1頂點到其餘各個頂點的路程。

然後，我們又從除dis[2]和dis[0]外的其他值中尋找最小值，發現dis[4]的值最小，通過之前是解釋的原理，可以知道v1到v5的最短距離就是dis[4]的值，然後，我們把v5加入到集合T中，然後，考慮v5的出度是否會影響我們的數組dis的值，v5有兩條出度：< v5,v4>和 < v5,v6>,然後我們發現：v1–v5–v4的長度為：50，而dis[3]的值為60，所以我們要更新dis[3]的值.另外，v1-v5-v6的長度為：90，而dis[5]為100，所以我們需要更新dis[5]的值。更新後的dis數組如下圖： 

然後，我們使用同樣原理，分別確定了v6和v2的最短路徑，最後dis的數組的值如下： 

因此，從圖中，我們可以發現v1-v2的值為：∞，代表沒有路徑從v1到達v2。所以我們得到的最後的結果為：

B. 最短路徑 | 深入淺出Dijkstra演算法（一）

上次我們介紹了神奇的只有 五行的 Floyd-Warshall 最短路演算法 ，它可以方便的求得 任意兩點的最短路徑， 這稱為 「多源最短路」。

這次來介紹 指定一個點（源點）到其餘各個頂點的最短路徑， 也叫做 「單源最短路徑」。 例如求下圖中的 1 號頂點到 2、3、4、5、6 號頂點的最短路徑。

與 Floyd-Warshall 演算法一樣，這里仍然 使用二維數組 e 來存儲頂點之間邊的關系， 初始值如下。

我們還需要用 一個一維數組 dis 來存儲 1 號頂點到其餘各個頂點的初始路程， 我們可以稱 dis 數組為 「距離表」， 如下。

我們將此時 dis 數組中的值稱為 最短路的「估計值」。

既然是 求 1 號頂點到其餘各個頂點的最短路程， 那就 先找一個離 1 號頂點最近的頂點。

通過數組 dis 可知當前離 1 號頂點最近是 2 號頂點。 當選擇了 2 號頂點後，dis[2]的值就已經從「估計值」變為了「確定值」， 即 1 號頂點到 2 號頂點的最短路程就是當前 dis[2]值。

為什麼呢？你想啊， 目前離 1 號頂點最近的是 2 號頂點，並且這個圖所有的邊都是正數，那麼肯定不可能通過第三個頂點中轉，使得 1 號頂點到 2 號頂點的路程進一步縮短了。 因此 1 號頂點到其它頂點的路程肯定沒有 1 號到 2 號頂點短，對吧 O(∩_∩)O~

既然選了 2 號頂點，接下來再來看 2 號頂點 有哪些 出邊 呢。有 2->3 和 2->4 這兩條邊。

先討論 通過 2->3 這條邊能否讓 1 號頂點到 3 號頂點的路程變短。 也就是說現在來比較 dis[3] 和 dis[2]+e[2][3] 的大小。其中 dis[3]表示 1 號頂點到 3 號頂點的路程，dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 號頂點到 2 號頂點的路程，e[2][3]表示 2->3 這條邊。所以 dis[2]+e[2][3]就表示從 1 號頂點先到 2 號頂點，再通過 2->3 這條邊，到達 3 號頂點的路程。

我們發現 dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此 dis[3]要更新為 10。這個過程有個專業術語叫做 「鬆弛」 。即 1 號頂點到 3 號頂點的路程即 dis[3]，通過 2->3 這條邊 鬆弛成功。 這便是 Dijkstra 演算法的主要思想： 通過 「邊」 來鬆弛 1 號頂點到其餘各個頂點的路程。

同理通過 2->4（e[2][4]），可以將 dis[4]的值從 ∞ 鬆弛為 4（dis[4]初始為 ∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此 dis[4]要更新為 4）。

剛才我們對 2 號頂點所有的出邊進行了鬆弛。鬆弛完畢之後 dis 數組為：

接下來，繼續在剩下的 3、4、5 和 6 號頂點中，選出離 1 號頂點最近的頂點。通過上面更新過 dis 數組，當前離 1 號頂點最近是 4 號頂點。此時，dis[4]的值已經從「估計值」變為了「確定值」。下面繼續對 4 號頂點的所有出邊（4->3，4->5 和 4->6）用剛才的方法進行鬆弛。鬆弛完畢之後 dis 數組為：

繼續在剩下的 3、5 和 6 號頂點中，選出離 1 號頂點最近的頂點，這次選擇 3 號頂點。此時，dis[3]的值已經從「估計值」變為了「確定值」。對 3 號頂點的所有出邊（3->5）進行鬆弛。鬆弛完畢之後 dis 數組為：

繼續在剩下的 5 和 6 號頂點中，選出離 1 號頂點最近的頂點，這次選擇 5 號頂點。此時，dis[5]的值已經從「估計值」變為了「確定值」。對5號頂點的所有出邊（5->4）進行鬆弛。鬆弛完畢之後 dis 數組為：

最後對 6 號頂點的所有出邊進行鬆弛。因為這個例子中 6 號頂點沒有出邊，因此不用處理。 到此，dis 數組中所有的值都已經從「估計值」變為了「確定值」。

最終 dis 數組如下，這便是 1 號頂點到其餘各個頂點的最短路徑。

OK，現在來總結一下剛才的演算法。 Dijkstra演算法的基本思想是：每次找到離源點（上面例子的源點就是 1 號頂點）最近的一個頂點，然後以該頂點為中心進行擴展，最終得到源點到其餘所有點的最短路徑。

基本步驟如下：

在 博客 中看到兩個比較有趣的問題，也是在學習Dijkstra時，可能會有疑問的問題。

當我們看到上面這個圖的時候，憑借多年對平面幾何的學習，會發現在「三角形ABC」中，滿足不了 構成三角形的條件(任意兩邊之和大於第三邊)。 納尼，那為什麼圖中能那樣子畫？

還是「三角形ABC」，以A為起點，B為終點，如果按照平面幾何的知識， 「兩點之間線段最短」， 那麼，A到B的最短距離就應該是6(線段AB)，但是，實際上A到B的最短距離卻是3+2=5。這又怎麼解釋？

其實，之所以會有上面的疑問，是因為 對邊的權值和邊的長度這兩個概念的混淆， 。之所以這樣畫，也只是為了方便理解（每個人寫草稿的方式不同，你完全可以用別的方式表示，只要便於你理解即可）。

PS：數組實現鄰接表可能較難理解，可以看一下 這里

參考資料：

Dijkstra演算法是一種基於貪心策略的演算法。每次新擴展一個路程最短的點，更新與其相鄰的點的路程。當所有邊權都為正時，由於不會存在一個路程更短的沒擴展過的點，所以這個點的路程永遠不會再被改變，因而保證了演算法的正確性。

根據這個原理， 用Dijkstra演算法求最短路徑的圖不能有負權邊， 因為擴展到負權邊的時候會產生更短的路徑，有可能破壞了已經更新的點路徑不會發生改變的性質。

那麼，有沒有可以求帶負權邊的指定頂點到其餘各個頂點的最短路徑演算法（即「單源最短路徑」問題）呢？答案是有的， Bellman-Ford演算法 就是一種。（我們已經知道了 Floyd-Warshall 可以解決「多源最短路」問題，也要求圖的邊權均為正）

通過 鄰接矩陣 的Dijkstra時間復雜度是 。其中每次找到離 1 號頂點最近的頂點的時間復雜度是 O(N)，這里我們可以用 優先隊列（堆） 來優化，使得這一部分的時間復雜度降低到 。這個我們將在後面討論。

C. dijkstra演算法是什麼

dijkstra演算法最短路徑演算法。

Dijkstra是典型最短路徑演算法，用於計算一個節點到其他節點的最短路徑。該演算法使用的是貪心策略：每次都找出剩餘頂點中與源點距離最近的一個頂點。

給定一帶權圖，圖中每條邊的權值是非負的，代表著兩頂點之間的距離。指定圖中的一頂點為源點，找出源點到其它頂點的最短路徑和其長度的問題，即是單源最短路徑問題。

Dijkstra的原理

（1）初始化時，S只含有源節點。

（2）從U中選取一個距離v最小的頂點k加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）。

（3）以k為新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離；若從源節點v到頂點u的距離（經過頂點k）比原來距離（不經過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改後的距離值是頂點k的距離加上k到u的距離。