演算法空間復雜度最小的

1. 演算法的空間復雜度是指什麼

空間復雜度(Space Complexity)是對一個演算法在運行過程中臨時佔用存儲空間大小的量度，記做S(n)=O(f(n))。比如直接插入排序的時間復雜度是O(n^2),空間復雜度是O(1) 。

而一般的遞歸演算法就要有O(n)的空間復雜度了，因為每次遞歸都要存儲返回信息。一個演算法的優劣主要從演算法的執行時間和所需要佔用的存儲空間兩個方面衡量。

一個演算法在計算機存儲器上所佔用的存儲空間，包括存儲演算法本身所佔用的存儲空間，演算法的輸入輸出數據所佔用的存儲空間和演算法在運行過程中臨時佔用的存儲空間這三個方面。演算法的輸入輸出數據所佔用的存儲空間是由要解決的問題決定的，是通過參數表由調用函數傳遞而來的。

它不隨本演算法的不同而改變。存儲演算法本身所佔用的存儲空間與演算法書寫的長短成正比，要壓縮這方面的存儲空間，就必須編寫出較短的演算法。演算法在運行過程中臨時佔用的存儲空間隨演算法的不同而異，有的演算法只需要佔用少量的臨時工作單元，而且不隨問題規模的大小而改變。

我們稱這種演算法是「就地"進行的，是節省存儲的演算法，有的演算法需要佔用的臨時工作單元數與解決問題的規模n有關，它隨著n的增大而增大，當n較大時，將佔用較多的存儲單元，例如快速排序和歸並排序演算法就屬於這種情況。

2. 常見排序演算法以及對應的時間復雜度和空間復雜度

排序 ：將雜亂無章的數據，按照一定的方法進行排列的過程叫做排序。

排序大的分類可分為 內排序 和 外排序 ，不需要訪問外存就能進行排序的叫做內排序。

排序也可以分為 穩定排序 和 不穩定排序

穩定排序 ：假設在待排序的文件中，存在兩個或兩個以上的記錄具有相同的關鍵字，在用某種排序法排序後，若這些相同關鍵字的元素的相對次序仍然不變，則這種排序方法是穩定的。即；若 a[i]=a[j] , a[i] 在 a[j] 之前，經過排序後 a[i] 依然在 a[j] 之前。冒泡排序、直接插入排序、二分插入排序、歸並排序，基數排序都是穩定排序。
不穩定排序 ：直接選擇排序、堆排序、快速排序、希爾排序，猴子排序。

以升序為例，比較相鄰的元素，如果第一個比第二個大，則交換他們兩個。如果兩個元素一樣大，則繼續比較下一對。所以冒泡排序是一種穩定排序。

選擇一個基準元素,通常選擇第一個元素或者最後一個元素,通過一趟掃描，將待排序列分成兩部分,一部分比基準元素小,一部分大於等於基準元素,此時基準元素在其排好序後的正確位置,然後再用同樣的方法遞歸地排序劃分的兩部分。快速排序是不穩定排序。

將序列分為兩個部分{{有序序列},{無序}}，每次處理就是將無序數列的第一個元素與有序數列的元素從後往前逐個進行比較，找出插入位置，將該元素插入到有序數列的合適位置中。如果碰到相等的元素，就會把它插入到想等元素後面，順序不會改變，所以直接插入排序是穩定排序。

在直接插入排序的基礎上，對有序序列進行劃分。例如：序列為 {{a[0]......a[i-1]},a[i]} 其中 {a[0]......a[i-1]} 為有序序列，取 a[(i-1)/2] ，將其與 a[i] 比較，即可確定 a[i] 的范圍 (a[0]...a[(i-1)/2] 或者 a[(i-1)/2]...a[i-1]) ,然後繼續在已確定的范圍內進行二分。范圍依次縮小為： 1/2、1/4、1/8、1/16...... 可快速確定a[i]應該插入的位置。二分插入排序也是穩定排序。

將整個序列分割成若干個小的子序列，每個子序列內分別進行插入排序。一般情況下步長取n/2。直到最後一次步長為1，即所有元素在一個組中進行排序。由於希爾排序是先將整個序列劃分為多個子序列進行排序，相同的元素順序在這個過程中順序可能會被打亂，所以希爾排序是不穩定排序。

從待排序的數據元素中，選出最小或最大的元素與序列第一個數交換。直到所有數據排完。直接選擇排序是不穩定排序。例如： {3，3，1} ，第一次排序就將1和第一個3交換，想等元素的順序改變了。

以n=10的一個數組49, 38, 65, 97, 26, 13, 27, 49, 55, 4為例

堆排序是一種樹形選擇排序，是對直接選擇排序的有效改進。
最大堆:每個節點的值都大於等於它的孩子節點。
最小堆:每個節點的值都小於等於它的孩子節點。
最大堆第0個數據是最大數，最小堆第0個數據是最小數。
堆排序是不穩定排序

思想

歸並排序是建立在歸並操作上的一種有效的排序演算法。該演算法是採用分治法（Divide and Conquer）的一個非常典型的應用。
如何將兩個有序序列合並？(升序)
{a[0]......a[i-1]},{b[0]......b[j-1]}
若 b[0]<a[0] ，取 b[0] 放入數組 c 中，然後繼續比較數組 a 和 b 中的第一個元素，直到數組 a 和 b 中最後一對元素比較完成。

思想

將數組分成二組 a , b 如果這二組組內的數據都是有序的，那麼就可以按照上述方法對這二組數據進行排序。如果這二組數據是無序的？
可以將 a , b 組各自再分成二組。遞歸操作，直到每個小組只有一個數據，每個小組只有一個元素所以我們可以認為它已經是有序序列，然後進行合並。
先分解後合並。
歸並排序是穩定排序

將所有待比較數值（正整數）統一為同樣的數位長度，數位較短的數前面補零。從最低位起從0-9依次掃描序列，一邊掃描一邊將掃描到的數據加到新的序列中，得到一個序列。然後比較高一位，重復上述操作，直到最高位排序完成。數列就變成一個有序序列。基數排序是穩定排序。

以全是二位數的序列舉例

無限猴子定理 :指一隻猴子隨機在打字機鍵盤上按鍵，最後必然可以打出法國國家圖書館的每本圖書。

時間復雜度最低1次，最高可執行到世界的盡頭。。。

3. 演算法的空間復雜度是指什麼

空間復雜度(Space Complexity)是對一個演算法在運行過程中臨時佔用存儲空間大小的量度，記做S(n)=O(f(n))。比如直接插入排序的時間復雜度是O(n^2),空間復雜度是O(1) 。

而一般的遞歸演算法就要有O(n)的空間復雜度了，因為每次遞歸都要存儲返回信息。一個演算法的優劣主要從演算法的執行時間和所需要佔用的存儲空間兩個方面衡量。

注意

分析一個演算法所佔用的存儲空間要從各方面綜合考慮。如對於遞歸演算法來說，一般都比較簡短，演算法本身所佔用的存儲空間較少，但運行時需要一個附加堆棧，從而佔用較多的臨時工作單元；若寫成非遞歸演算法，一般可能比較長，演算法本身佔用的存儲空間較多，但運行時將可能需要較少的存儲單元。

4. 〔演算法〕排序的最低時間復雜度為什麼是O（nlogn）

這個首先要明確一點，只用到比較的排序演算法最低時間復雜度是O(nlogn)，而像桶排這樣的只需要O(R)(R為桶的大小)
為了證明只用到比較的排序演算法最低時間復雜度是O(nlogn)，首先要引入決策樹。
首先決策樹是一顆二叉樹，每個節點表示元素之間一組可能的排序，它予以京進行的比較相一致，比較的結果是樹的邊。
先來說明一些二叉樹的性質，令T是深度為d的二叉樹，則T最多有2^片樹葉。
具有L片樹葉的二叉樹的深度至少是logL。
所以，對n個元素排序的決策樹必然有n!片樹葉（因為n個數有n!種不同的大小關系），所以決策樹的深度至少是log(n!)，即至少需要log(n!)次比較。
而
log(n!)=logn+log(n-1)+log(n-2)+...+log2+log1
>=logn+log(n-1)+log(n-2)+...+log(n/2)
>=(n/2)log(n/2)
>=(n/2)logn-n/2
=O(nlogn)
所以只用到比較的排序演算法最低時間復雜度是O(nlogn)。

5. 演算法的空間復雜度是多少

空間復雜度(Space Complexity)是對一個演算法在運行過程中臨時佔用存儲空間大小的量度，記做S(n)=O(f(n))。

比如直接插入排序的時間復雜度是O(n^2),空間復雜度是O(1) 。而一般的遞歸演算法就要有O(n)的空間復雜度了，因為每次遞歸都要存儲返回信息。一個演算法的優劣主要從演算法的執行時間和所需要佔用的存儲空間兩個方面衡量。

注意：

演算法（Algorithm）是指用來操作數據、解決程序問題的一組方法。對於同一個問題，使用不同的演算法，也許最終得到的結果是一樣的，但在過程中消耗的資源和時間卻會有很大的區別。

主要還是從演算法所佔用的「時間」和「空間」兩個維度去考量。時間維度：是指執行當前演算法所消耗的時間，我們通常用「時間復雜度」來描述。空間維度：是指執行當前演算法需要佔用多少內存空間，我們通常用「空間復雜度」來描述。

因此，評價一個演算法的效率主要是看它的時間復雜度和空間復雜度情況。然而，有的時候時間和空間卻又是「魚和熊掌」，不可兼得的，那麼我們就需要從中去取一個平衡點。