域分解演算法

『壹』 區域分解演算法——演算法與理論內容簡介

本書的核心目標是深入剖析偏微分方程領域內最常用且廣泛的區域分解策略，包括有限元逼近和譜元素逼近的預條件運算元。內容覆蓋廣泛，但特別側重於演算法和數學理論的深度探討。讀者將有機會接觸到一系列關鍵方法，如首次在數學專著中詳盡闡述的FETI方法、平衡Neumann-Neumann方法以及譜元素方法等，這些都是理解偏微分方程求解技術不可或缺的部分。

書中對這些方法的講解詳盡細致，旨在為讀者提供一個全面的理論框架和實際操作指南。無論你是初學者還是資深研究者，都能在本書中找到適合自己的研究路徑，深入理解區域分解演算法的運作原理和實際應用。每一種方法的介紹都結合了理論分析和實例解析，使讀者能夠直觀地掌握這些方法的精髓。

通過閱讀本書，讀者不僅能提升對區域分解演算法的理解，還能提升在解決復雜偏微分方程問題時的技能。無論你是尋求理論突破還是尋找實際計算的高效工具，這本書都將是你寶貴的學習資源。

『貳』 MARC的有限元分析軟體

中文名: 高級非線性有限元分析軟體
英文名: MSC.Marc
別名: MARC
製作發行: MSC.Software 地區: 美國
MSC.MARC是功能齊全的高級非線性有限元軟體，具有極強的結構分析能力。可以處理各種線性和非線性結構分析包括：線性/非線性靜力分析、模態分析、簡諧響應分析、頻譜分析、隨機振動分析、動力響應分析、自動的靜/動力接觸、屈曲/失穩、失效和破壞分析等。為滿足工業界和學術界的各種需求，提供了層次豐富、適應性強、能夠在多種硬體平台上運行的系列產品。MSC.Marc包括如下模塊：
MSC.Marc/MENTAT
MSC.Marc 是高級非線性有限元分析模塊，MENTAT是MARC的前後處理圖形對話界面。兩者嚴密整合的MSC.Marc/MENTAT成為解決復雜工程問題，完成學術研究的高級通用有限元軟體。
MENTAT 是新一代非線性有限元分析的前後處理圖形交互界面，與MARC求解器無縫連接。它具有以ACIS為內核的一流實體造型功能；全自動二維三角形和四邊形、三維四面體和六面體網格自動劃分建模能力；直觀靈活的多種材料模型定義和邊界條件的定義功能；分析過程式控制制定義和遞交分析、自動檢查分析模型完整性的功能；實時監控分析功能；方便的可視化處理計算結果能力；先進的光照、渲染、動畫和電影製作等圖形功能。並可直接訪問常用的CAD/CAE系統，如：ACIS、AutoCAD、IGES、MSC.NASTRAN、MSC.PATRAN、 Unigraphic、Catia、Solid work、Solid Edge、IDEAS、VDAFS、Pro/ENGTNEER、ABAQUS、ANSYS、PSTEP等等。
MSC.Marc
MSC.Marc是功能齊全的高級非線性有限元軟體的求解器，體現了30年來有限元分析的理論方法和軟體實踐的完美結合。它具有極強的結構分析能力。可以處理各種線性和非線性結構分析包括：線性/非線性靜力分析、模態分析、簡諧響應分析、頻譜分析、隨機振動分析、動力響應分析、自動的靜/動力接觸、屈曲/失穩、失效和破壞分析等。它提供了豐富的結構單元、連續單元和特殊單元的單元庫，幾乎每種單元都具有處理大變形幾何非線性,材料非線性和包括接觸在內的邊界條件非線性以及組合的高度非線性的超強能力。MARC的結構分析材料庫提供了模擬金屬、非金屬、聚合物、岩土、復合材料等多種線性和非線復雜材料行為的材料模型。分析採用具有高數值穩定性、高精度和快速收斂的高度非線性問題求解技術。為了進一步提高計算精度和分析效率，MARC軟體提供了多種功能強大的載入步長自適應控制技術，自動確定分析曲屈、蠕變、熱彈塑性和動力響應的載入步長。MARC卓越的網格自適應技術，以多種誤差准則自動調節網格疏密，不僅可提高大型線性結構分析精度，而且能對局部非線性應變集中、移動邊界或接觸分析提供優化的網格密度，既保證計算精度，同時也使非線性分析的計算效率大大提高。此外，MARC支持全自動二維網格和三維網格重劃，用以糾正過渡變形後產生的網格畸變，確保大變形分析的繼續進行。
對非結構的場問題如包含對流、輻射、相變潛熱等復雜邊界條件的非線性傳熱問題的溫度場，以及流場、電場、磁場，也提供了相應的分析求解能力；並具有模擬流－熱－固、土壤滲流、聲－結構、耦合電－磁、電－熱、電－熱－結構以及熱－結構等多種耦合場的分析能力。
為了滿足高級用戶的特殊需要和進行二次開發，MSC.Marc提供了方便的開放式用戶環境。這些用戶子程序入口幾乎覆蓋了MARC有限元分析的所有環節，從幾何建模、網格劃分、邊界定義、材料選擇分析求解、結果輸出、用戶都能夠訪問並修改程序的預設設置。在MSC.Marc軟體的原有功能的框架下，用戶能夠極大地擴展MARC有限元軟體的分析能力。
MSC.Marc Parallel
MSC.Marc/MENTAT除了支持單CPU分析外，還具有在NT或UNIX平台上的多CPU或多網路節點環境下實現大規模並行處理的功能。MARC基於區域分解法的並行有限元演算法，能夠最大限度實現有限元分析過程中的並行化，並行效率可達准線性甚至線性或超線性。MARC並行處理的超強計算能力為虛擬產品運行過程和加工過程提供更快、更細、更準的模擬結果。
MSC.Marc/HEXMESH
MSC公司新近推出的六面體網格自動劃分模塊MSC.Marc/HEXMESH代表了網格劃分技術的最新突破。可將任意三維塊狀實體幾何快速准確地自動劃分出幾何形態良好的六面體單元。通過實施內部稀疏網格向表面密集網格的過渡，能夠有效地減少單元總數，同時又保證了表面可能的應力集中區域所需的網格密度。而疏密網格過渡的位移協調，則通過自動施加多點約束實現。MSC.Marc/HEXMESH與MENTAT前後處理器完全集成，能夠在MENTAT環境下對由MENTAT生成的實體或通過CAD介面傳入的由其它CAD造型的實體幾何進行自動的六面體網格劃分，並定義和實施各種非線性有限元分析。MSC.Marc/HEXMESH的問世，為快速有效地建立復雜實體的高質量有限元分析模型開辟了一條捷徑。
MSC.Marc/AutoForge
MSC.Marc/AutoForge是採用90年代最先進有限元網格和求解技術，快速模擬各種冷熱鍛造、擠壓、軋制以及多步鍛造等體成型過程的工藝製造專用軟體。它綜合了MSC.Marc/MENTAT通用分析軟體求解器和前後處理器的精髓，以及全自動二維四邊形網格和三維六面體網格自適應和重劃分技術，實現對具有高度組合的非線性體成型過程的全自動數值模擬。其圖形界面採用工藝工程師的常用術語，容易理解，便於運用。MSC.Marc/AutoForge提供了大量實用材料數據以供選用，用戶也能夠自行創建材料資料庫備用。
MSC.Marc/AutoForge除了可完成全2D或全3D的成型分析外，還可自動將2D分析與3D分析無縫連接，大大提高對先2D後3D的多步加工過程的分析效率。利用MSC.Marc/AutoForge提供的結構分析功能，可對加工後的包含殘余應力的工件進行進一步的結構分析，模擬加工產品在後續的運行過程中的性能，有助於改進產品加工工藝或其未來的運行環境。此外，作為體成型分析的專用軟體，MSC.Marc/AutoForge為滿足特殊用戶的二次開發需求，提供了友好的用戶開發環境
MSC.Marc/Link
MSC.Marc/Link是MARC高級有限元分析軟體與SDRC I－DEAS、Pro/ENGINEER、CATIA等一系列著名CAD/CAE軟體的集成界面。通過這種強強集成，使大量SDRC I－DEAS、Pro/ENGINEER、CATIA軟體的忠實用戶，藉助MARC軟體支持的高級非線性分析功能，輕松跨越原有CAE軟體處理線性或簡單非線性問題分析的局限，將分析延伸和擴展到各種組合的復雜非線性問題。
MSC.Marc/Link－S
MSC.Marc/Link－S 是一個互動式開放性客戶/伺服器結構，為SDRC 的I－DEAS Master Series軟體提供了向MARC高級有限元分析擴展的功能。在I－DEAS用戶環境下完全支持採用MARC非線性有限元分析所需的各種高級建模選項、分析及結果後處理。
MSC.Marc/Link－SG
MSC.Marc/Link－SG是在MSC.Marc/Link－S基礎上，進一步集成MENTAT後生成的MARC軟體與I－DEAS的高度集成界面，具備了MSC.Marc/Link-S和MENTAT的所有功能。能夠自動實現將I－DEAS的幾何造型直接傳入 MENTAT，藉助於MENTAT可定義非常復雜的有限元分析模型。對大規模非線性分析，可以激活MARC的並行分析選項完成。分析的結果可在I-DEAS或MENTAT中進行處理。
MSC.Marc/Link-Pro
MSC.Marc/Link-Pro 是Pro/Engineer系統向MARC高級有限元分析系統的擴展界面。MSC.Marc/Link-Pro能夠在 Pro/Engineer集成環境下實現將Pro/Engineer用戶環境下創建的Parts 和Assemblies幾何傳入MENTAT的資料庫，起動MENTAT，定義各種高級分析模型。MSC.Marc/Link-Pro提供的另一種數據傳輸方式，是在 MENTAT的環境下從 Pro/Engineer 的資料庫中直接提取Part或Assembly數據。
MSC.Marc/Link-C
MSC.Marc/Link-C是CATIA系統向高級有限元分析系統的擴展。MSC.Marc/Link-C能夠在 CATIA集成環境下實現將CATIA用戶環境下創建的Parts和Assemblies幾何傳入MENTAT的資料庫，起動MENTAT，定義各種高級分析模型，分析結果可在CATIA的環境下後處理。

『叄』 Mallat演算法

6.9.1.1 尺度空間的有限分解

MRA框架表明f（t）∈L²（R）可分解為無窮個小波分量的直和，但在實際應用中，僅知道f（t）的近似函數。為不失一般性，可假設原信號是在a=1或j=0的解析度下測得的，用f⁰（t）表示，它屬於子空間V₀。而子空間V₀又可分解成兩個子空間。因此，在MRA框架下理解為f⁰（t）∈V₀，這樣就有如下的尺度空間的有限分解表現

V₀=V₁⊕W₁=（V₁⊕W₁）⊕W₀=（V₂⊕W₂）⊕W₁

=（V_j⊕W_j）⊕W_j-1⊕W_j-2⊕…⊕W₁

︙

=V_J+W_J⊕W_J-1⊕W_J-2⊕…⊕W₁

其中子空間及分量分別為

地球物理信息處理基礎

V₀的有限分解關系僅是MRA無窮分解中的一部分。因此，就子空間而言、就函數分量而言以及就頻率范圍而言，有限分解的含義都與MRA相同。例如，V₀中的元素f⁰（t）是有限頻率范圍的，f^J（t）∈V_J是f⁰（t）的最低頻表現，W_j中元素δ^j（t）是具有特定帶寬的，它們互不重疊，這些頻帶的總和就是f⁰（t）的頻率范圍。

為了數字計算和分析處理的目的，需要將f^j（t）和δ^j（t）用離散數據來表示。顯然，｛c_j，k｝∈l²是合適的，因為

表明f^j（t）∈V_j和｛c_j，k｝∈l²是一一對應的，或者說利用｛c_j，k｝就一定可恢復f^j（t）。根據同樣的理由，可用數據｛d_j，k｝∈l²來表示δ^j（t）∈W_j，這類數據｛c_j，k｝和｛d_j，k｝對應著特定的離散表現，j表示尺度方面的2進制規則離散，k表示整節點標記的時移離散。

6.9.1.2 分解演算法

分解演算法要實現的目標是：在｛φ（t-k）｝是標准正交基條件下，已知｛c_j-1，k｝、｛h_k｝和｛g_k｝，求出｛c_j，k｝和｛d_j，k｝。

ψ（t）關於φ（t）的兩尺度關系式（6-95）提供了一條由尺度函數φ（t）構造母小波ψ（t）的途徑。根據尺度函數

地球物理信息處理基礎

和小波函數

地球物理信息處理基礎

得到

地球物理信息處理基礎

用l取代2k+l，上式成為

地球物理信息處理基礎

計算f（t）∈L²（R）與上式兩端的內積，便得到如下計算小波級數系數的一個公式

地球物理信息處理基礎

式中c_j-1，l=＜f^j，φ_j-1，l＞=＜f，φ_j-1，l＞是信號f（t）與φ_j-1，l（t）的內積，即c_j，l=＜f，φ_j，l＞。信號在V_j的正交投影

，將兩尺度關系式的φ_j，k（t）代入定義式φ_j，k（t）=2^-j/2φ（2^-jt-k），有

地球物理信息處理基礎

由此可以計算f（t）與φ_j，k（t）的內積，即

地球物理信息處理基礎

在數學上，f^j（t）是平方可積連續函數，它是L²（R）的元素；c_j，l（l∈Z）是平方可和序列，它是平方可和序列矢量空間l²（Z）中的元素。

說明f^j（t）與c_j，k（k∈Z）有等效對應關系，在數學上稱l²（Z）與L²（R）之間存在著同構關系。顯然，c_j，k比f^j（t）更適合於在計算機上運算。c_j，k稱為在分辨2^j下的f（t）離散逼近，因此，可以把f⁰（t_k）=f（t_k）的采樣值作為｛c_j，k｝的初始數據，即｛c_0，k｝=｛f（t_k）｝。

綜合式（6-109）和（6-110），得到一般的分解公式

地球物理信息處理基礎

式（6-111）的實現過程如圖6-26所示，每個尺度j所存儲的數據｛c_j，k｝都是按整數編號的。以j尺度層為基礎來觀察j-1尺度層，j尺度層的采樣節點編號k對應著j-1尺度層上編號為2k的采樣節點，或者說。j-1尺度的采樣節點是在j尺度采樣節點基礎上均勻加密的結果；若以j-1尺度層為基礎來觀察j尺度層，則j-1尺度層上隔2取樣（「隔1取1」）的節點正好對應著j尺度層上的采樣節點。圖6-26表明了由j-1尺度向j尺度的變換過程，｛h_k｝可看做濾波器的單位沖激響應（權系數）。假設｛h_k｝僅有6個元素，則式（6-111）所表明的變換過程相當於把｛h_-2，h_-1，h₀，h₁，h₂，h₃，｝作為權值，其中心點h₀對准｛c_j，k｝後再作加權平均，即

地球物理信息處理基礎

這一實現過程是非常快捷的，相當於先計算序列c_j-1，k（k∈Z）與

的卷積，然後抽取偶數下標（隔1抽1）的卷積結果，即得到逼近級數的系數c_j，k（k∈Z）。

圖6-26 分解演算法計算｛c_j，k｝示意圖

圖6-26雖然僅表明由｛c_j-1，k｝計算｛c_j，k｝的變換過程，它同樣也表明了由｛c_j-1，k｝計算｛d_j，k｝的變換過程，只不過要將｛h_k｝換成｛g_k｝而已。對正交小波而言，g_k=（-1）^kh_-k+1是由｛h_k｝決定的。

由c_0，k開始，利用式（6-111）進行迭代運算，陸續計算出c_1，k、c_2，k等等，與此同時，利用c_0，k、c_1，k、c_2，k等值，同樣不斷計算出d_1，k、d_2，k等小波級數系數值。

式（6-111）所表明的計算過程由運算元表示會更簡單些。記A^j=｛c_j，k｝，D^j=｛d_j，k｝。記運算元H：l²➝l²，其運算意義如式（6-111）的第1式所示，即

地球物理信息處理基礎

同樣，記運算元G：l²➝l²，其運算意義如式（6-111）的第2式所示，即

地球物理信息處理基礎

採用運算元表示後，式（6-111）所表明的分解演算法結構如圖6-27所示。它表明

A^j=H^jA⁰；D^j=GH^j-1A⁰

即A⁰經H運算元j次作用後即可獲得A^j，A⁰經H運算元j-1次作用後再經G運算元作用1次即可獲得D^j。

圖6-27 分解演算法結構示意圖

圖6-27還表明，只要在細密采樣間隔的尺度層次上給定A⁰，就可利用分解演算法快速地獲得較粗采樣間隔尺度層上的有關數據A^j和D^j（0＜j≤J）。假設實際問題中A⁰有N個數據，則2尺度層上的A¹和D¹各有N/2個數據，依此類推；還假設｛h_k｝和｛g_k｝分別有M個數據；那麼，用A⁰計算A¹和D¹共需2MN/2次運算，從2到3尺度層共需2MN/4次運算，依此類推可知，要得到A^j和D^j（0＜j≤J）共需2MN（2^-1+2^-2+…2^-J）次運算。由此可見，分解演算法是快速的。

原信號f⁰（t）具有下列唯一分解

地球物理信息處理基礎

δ_j是信號在W_j（j=1，2，…，J）各子空間上的正交投影，它們是從一個較精細的逼近變成較粗略的逼近（兩個逼近的解析度相鄰近）時所丟失的信息，即

地球物理信息處理基礎

可將這一不斷降低逼近解析度的過程看成是「一層又一層地把信號進行剝皮」的過程。當J選得足夠大時，「剝」下來的信息總和

地球物理信息處理基礎

足夠多，將足以精確表示原信號f⁰（t），而最終的逼近信號f^J（t）的解析度已經非常低，這樣反而可以把式（6-113）當成原信號的估計，而把f^J（t）看成是估計誤差。這就是說，用小波級數在所有解析度下的全部系數（j=1，2，…，J）來代替原信號，其誤差f^J（t）可以任意小。按照這種解釋，式（6-111）演算法就是將f⁰（t）的信息（c_0，k是它的離散表示）表示成c_1，k～c_J，k等信息和一個估計誤差（實際上它是在解析度最低即2^J下的逼近）c_J，k。這一過程實際上是在一次又一次地改變著正交基（或子空間）。

6.9.1.3 信號重構演算法

重構演算法是分解演算法的逆過程。此時已知數據｛c_j，k｝和｛d_j，k｝（0≤j≤J），希望利用這些數據快速准確地重構出原始數據。

一般而言，相鄰兩解析度下的逼近信號存在著下列關系：

地球物理信息處理基礎

計算上式左右兩端與φ_j-l，k（t）的內積，得

地球物理信息處理基礎

為了便於討論運算過程，在上式中令m=p-2k，所以信號重構公式為

地球物理信息處理基礎

根據式（6-115）計算｛

｝的過程見圖6-28所示。為了理解式（6-115）和圖6-28所示的計算過程，應注意下面兩點：一是j-1尺度層偶數編號的采樣點對應著j尺度層上的采樣點，二是示意圖中假設｛h_k｝的有限數據為｛h_-2，h_-1，h₀，h₁，h₂，h₃，｝。

可以看出，計算｛

｝可分為兩步進行：

地球物理信息處理基礎

第一步計算j-1尺度層上的偶數編號采樣點處的｛

｝，此時可對j尺度層采樣節點循序推進，所用數據為｛h_-2，h₀，h₂，｝，按公式

地球物理信息處理基礎

計算出j-l尺度層上偶數編號節點處的相應值。

第二步計算j-1尺度層上的奇數編號的采樣點處的｛

｝，其循序推進過程仍同於第一步，但需另用｛h₃，h₁，h_-1｝，且按公式

地球物理信息處理基礎

圖6-28也表明了式（6-115）中｛d_j，k｝計算｛

｝的過程，此時要採用｛g_k｝，計算式應為

地球物理信息處理基礎

為了更清楚地表明｛c_j，p｝和｛d_j，p｝，0≤ j≤J-1重構｛c_0，p｝的關系，與前述的分解情況一樣，記A^j=｛c_j，p｝，D^j=｛d_j，p｝，採用運算元的記號H^*：l²➝l²，其運算意義為

地球物理信息處理基礎

記G^*：l²➝l²，其運算意義為

地球物理信息處理基礎

在這些重構運算元意義下，式（6-115）可表示為

地球物理信息處理基礎

於是從尺度層j=J到尺度層j=0的重構演算法過程可用圖6-29表示。重構演算法也是快速的，現估計其計算量。設｛h_m｝和｛g_m｝分別有M個數據，0尺度層｛c_j，0｝有N個數據，則尺度層1上｛c_j，1｝有N/2個數據，用｛c_1，p｝計算｛

｝的偶節點值和奇節點值分別需要（M/2）N/2次運算；由｛c_1，p｝計算｛

｝共需MN/2次運算；｛d_1，p｝計算｛

｝也需MN/2次運算；由1尺度層數據重構0尺度層數據共需MN次運算。可依此類推出其它相鄰尺度層之間採用重構演算法的運算量，最後，得總運算量為

2MN（2^-1+2^-2+…2^-J）

圖6-29 信號重構演算法示意圖

圖6-30所示的是信號分解與重構演算法的計算流程示意圖，圖中的「

」表示「按因子2抽取」或「隔1抽1」運算。符號「

」表示，「按因子2內插」或「兩相鄰樣本間內插一個零樣本」。輸入是c_0，k，相當於原信號的離散表示；輸出是不同尺度下的小波級數系數c_j，k（j∈Z）以及信號在子空間V_J的正交投影c_J，k。這是在做信號分析，其分解公式見（6-111）。與此相反，當輸入是d_j，k（j∈Z）和c_J，k，輸出是c_0，k時，為信號重建或合成，此時有

地球物理信息處理基礎

將合成與分析演算法合起來畫成圖6-30所示的形式，稱之為Mallat演算法。

圖6-30 信號分解與重構演算法示意圖

6.9.1.4 Mallat演算法實現中的一些問題

Mallat演算法是一種純數字的快速遞推演算法，在使用Mallat演算法時，有一些具體問題需引起注意。

（1）對正交尺度函數φ（t）而言，Mallat演算法中僅需數據｛c_0，k｝和｛h_k｝可進行快速的分解和重構遞推運算。要存儲的數據為｛c_J，k｝和｛d_j，k｝，0＜j≤J，這些有用的數據的存儲量等於｛c_0，k｝的數據存儲量。特別值得強調的是，Mallat演算法中隱含著兩類關系，一類是關於多分辨分析方面的，例如對0＜j≤J，有

地球物理信息處理基礎

f^j-1（t）=f^j（t）+δ^j（t）

地球物理信息處理基礎

另一類關系是由於尺度函數φ（t）平移正交性產生的，例如

c_j，k=＜f，φ_j，k＞；d_j，k=＜δ^j，ψ_j，k＞

g_k=（-1）^kh_-k+1，0＜j≤J

Mallat演算法正是利用了這些關系，在演算法實施過程中不需尺度函數φ（t）和小波函數ψ（t）的具體形式，只要求它們存在並找出｛h_k｝，就可以順利地進行分解和重構處理了。因此，只要查得正交尺度函數雙尺度方程的傳遞系數｛h_k｝，就可以應用Mallat演算法了。

順便指出，如果尺度函數φ（t）（例如樣條函數）不是平移正交的，它雖然可以生成MRA，但由此構造出的樣條小波ψ（t）僅關於尺度正交，沒有平移正交性。此時

地球物理信息處理基礎

所以Mallat演算法不再適用，必須另行推導相應的分解和重構演算法。

（2）初始數據｛c_0，k｝的選用，在正交小波分解中，φ（t）是正交尺度函數，0尺度層上的展180開系數｛c_0，k｝=＜f（t），φ_0，k（t）＞，用復雜的計算來確定初始數據｛c_0，k｝是不合算的，應採用變通處理辦法，即簡單採用｛c₀，k｝=｛f（t_k）｝，用細尺度層上的采樣值作為初始數據｛c_0，k｝。這種做法似乎有些不嚴密，但可以證明，雖然｛f（t_k）｝作為｛c_0，k｝的近似值時有微小誤差，但數據｛f（t_k）｝同樣有效地表現了f⁰（t）的變化波動狀況和有效的頻率范圍，這種替代不會影響對f⁰（t）的時頻分析；同時還應看到，用｛f（t_k）｝作初始數值，不僅可使問題簡單化，而且也可使Mallat演算法准確地分解和重構初始數據。總之，用｛f（t_k）｝替代｛c_0，k｝是實用方便的。

（3）分解層數和采樣間隔的關系，這個問題主要從以下幾方面考慮便可得出結論。

第一，因為最細的0尺度層的采樣間隔T決定了f⁰（t）的頻率范圍，由取樣效應可知，最大的頻率范圍為｜ω（f⁰）｜≤1/（2T）；同樣，最粗的J尺度層的采樣間隔為J=2^JT，最低的頻率范圍為｜ω（f^J）｜≤1/（2T）=2^-J｜ω（f⁰）｜。於是可從需要分辨的最高頻率和需要分辨的最低頻率這兩個指標來決定最細尺度層的采樣間隔和數據分解的層數。

第二，在最細的0尺度層上，應取用多少個數據才能滿足J個層次的數據分解呢？在Mallat演算法中，｛c_1，k｝的數據量僅為｛c_0，k｝數據量的一半，依此類推。同樣，在J尺度層至少要取用N_J個數據才能表現低頻量，於是推知，在0尺度層，至少取用N=2^JN_J個數據，才能滿足J個分解層次的需要。

（4）在Mallat演算法的運算中，需用到所存儲的數據外面的數據（見圖6-31），圖中實線框內數據是要存儲的。在分解演算法中，若｛h_k｝僅有6個數據，由圖6-26可知，要用到實線框外的數據c_0，-2和c_0，-1才能計算出c_1，-1，要用到c_0，N0+1、c_0，N0+2和c_0，N0+3才能計算出c_1，N1，其它層次的情形類似。由於細密采樣層（圖6-31中對應著j=0的尺度層次）中的近似函數f⁰（t）∈L²（R），當t➝∞時，f⁰（t）➝0，實線框內足夠多的采樣數據｛c_0，k｝，k=0，1，…，N₀，已反應了f⁰（t）的基本特性，f⁰（t）在圖6-31實線框外的數據幾乎消失，因此在實際分解過程中可簡單地令實線框外的數據為零。同樣，重構過程也會用到實線框以外的數據（見圖6-28），也可以簡單地令實線框外的數據為零。

圖6-31 Mallat演算法涉及沒有存儲的數據示意圖

另一種辦法也是常用的。在最細尺度層上較多地取用數據，在計算過程中適當地多存儲些數據，如圖6-31中虛線框所示。此時應以實線框存儲數據作為分解重構演算法和進行數字分析的依據。

6.9.1.5 Mallat 演算法所表現的頻域分解特點

有限尺度空間的正交小波子空間的直和分解關系，例如，

V₀=V₁⊕W₁=V₂⊕W₂⊕W₁=V₃⊕W₃⊕W₂⊕W₁

在Mallat演算法中是通過運算元H和G來表現的。數據A^j表徵f^j（t）∈V_j，數據D^j表徵δ^j（t）∈W_j，那麼在Mallat演算法中，A^j=HA^j-1；D^j=GA^j-1，從而實現了子空間的分解。這種子空間分解和運算元H與G之間的關系示意於圖6-32中（以V₀分解成3層為例）。

圖6-32 Mallat演算法所確定的數據分解和子空間分解的對應關系

因為f^j-1（t）和f^j（t）都是有限頻率范圍的，f^j（t）的頻率范圍僅是f^j-1（t）的相對低頻部分，δ^j（t）的頻率范圍是f^j-1（t）的相對高頻部分，所以δ^j（t）是f^j-1（t）的關於高頻帶的分量。換成子空間來描述，V_j-1所表現的頻率范圍被分解為兩部分，一部分是由V_j表現的低頻部分，另一部分是由W_j表現的頻帶部分。因此，V₀尺度空間的直和分解，表明把f⁰（t）的頻率范圍分解為由W₁、W₂、W₃和V₃所表現的頻帶，且這些頻帶是互不重疊的。這里所說的W₂所表現的頻帶寬度，也就是其基函數ψ_2，k（t）（窗函數）的頻窗寬度。由aD_ω可知，W₂所表現的頻帶寬是W₁的一半，尺度指標增加，則小波子空間所表現的頻帶寬分半減小。由於對任意尺度而言，小波子空間所表現的時頻窗面積是恆定不變的常數，所以對時頻窗的時窗寬度而言，尺度指標增加，則相應的時窗寬度成倍增加。圖6-33表示了正交小波分解用於分析t^*處局部時域信號時，在各個頻帶的時頻窗表現。

圖6-33 正交小波分解在各頻帶的時頻窗示意圖