易經二進制計演算法則

① 數理易學的第四節 先天易二進位制的兩種典型觀點

一、王夫之斥先天易淪為算士銖積寸壘的小術
現代人對先天易卦衍生序的討論都盡量限制在哲學范圍之內。而從我們上面的討論中可知，先天易卦符號首先是數的符號，然後在此基礎上討論包括哲學在內的其它問題。先天易符號二進位制數結構對明清學者來說是簡單的事實。他們分歧的焦點在於強調二進位制數結構的先天易模型能否規范萬物萬象。作為邵雍數學學派的主要反對者，王夫之在評論邵雍以加一倍法演先天易時說：?
教童稚知相乘之法則可，而與天人之理毫無可取。使以加一畫即加一倍言之，則又何不可加為七畫以倍之為一百二十八，漸加漸倍，億萬無窮，無所底止，又何不可哉？不知《易》但言四象生八卦，定吉凶，生大業，初不可損羲爻，益而為四爻，五爻。此乃天地法象之自然，事物通變之定數，不可以算士銖積寸壘，有放無收之小術，以亂天地之紀也。?
邵雍、蔡西山之道，可勿僅以數學名也。始姑就之，天下趨焉；終遂耽之，大道隱焉。(《續春秋左傳博議》卷下)
在他看來，先天易僅僅是算博士「銖積寸壘，有放無收」的雕蟲小技而已，與大道無涉，也正是由於過分強調二進位制數學特性而失去了詮解大道的資格。?
二、汪萊從P進制角度論證二進制的優越性?
汪萊是清朝乾嘉時期傑出的數學家，也是中國古代著名的數學家。著有《衡齋算學》七卷、《衡齋遺書》九卷。因不滿考據家因循復古的陳腐風氣，鬱郁不得志，以致英年早逝。?
當時考據家以非兩漢正統為由對邵雍數學學派進行全面否定，而從汪萊數學名著《參兩算經》則可以看出他對邵雍觀物思想和先天易情有獨鍾。?
《參兩算經》全文不足千字，分為《原始》、《立綱》、《匯奇》、《列偶》、《會歸》，最後為《參兩數說》，共六部分。文字極為凝煉，其中《原始》、《立綱》、《會歸》各僅僅30餘字。?
其中《原始篇》曰：
端居觀物，情契先天，見象數之紛紜，其可斷者不外乎參兩，乃著之則以示來者。
此篇為前言，講明此算經的寫作目的。在當時觀物之學極為尷尬的形勢下，「端居觀物，情契先天」八個字包含的情感非同一般。?
《立綱篇》：?
立數在十，算如常法。或上或下，逢身進位。立法少實，即命為法，立法過實，盈實進一。大綱若此，諸數以定。
此為演算法總綱，講任意進制的乘除法及整除性法則。《匯奇篇》和《列偶篇》則分別為奇數進位制與偶數進位制的乘除法及整除性研究。?
《會歸篇》是本經的結論部分：?
曰參曰兩乃數之原。立數於參，二乘一一。立數於兩，一乘不煩。是以生諸數之法而不受裁於法。
通過上面的討論，結論是二進制乘法口訣最簡單，只需一算式，即一乘一等於一，並強調了二、三進位制的優越性，推之為「乃數之原」，旨在闡述他對「參天兩地而倚數」的數學理解。?
天津師范大學李兆華教授對汪萊數學著作有深入的研究，他在《汪萊〈遞兼數理〉、〈參兩算經〉略論》(吳文俊主編《中國數學史論文集（二）》)一文的最後指出：
《參兩算經》一書，提出了採用各種進位制的原則是「審法與數之宜」以求運算的簡便與結果的准確，足見汪氏治算觀點之高。汪氏又具體地給出2≤p≤10時各種進位制中的乘除表並深入地討論了p進制中的「整除性」問題，在中算史上是空前的。p進制的研究是隨著本世紀四十年代電子計算機的產生而發展起來的，而中國的數學家在電子計算機產生之前一百餘年對p進制的運算和理論達到如此熟練與深入，實在是值得驕傲的事情。
最後應該指出，這兩篇著作都涉及到《易經》。《易經》究竟給予汪氏怎樣的啟發?怎樣評價《易經》的這種影響?這是中國數學史研究中一個帶有普遍性的問題。這個問題需要哲學史與數學史工作者共同努力才能給出實事求是的回答，本文姑從略。
盡管在上述論文中，作者刻意迴避二進位制問題及相關評論，但是，從汪萊原著中我們不難看出，二進位制是《參兩算經》的一個核心而且與邵雍先天易有千絲萬縷的關聯。?
第五節 從皮亞諾序數公理出發論證先天易是完備的二進位制?
邵雍數學學派發現並廣泛使用二進位制是不必費多少筆墨就能說清楚的事實，本文的主要目的在於從序數公理出發論證邵子先天易是完備的二進位制序數體系。序數體系的建立是抽象數學的基礎。邵子先天易是第一個有明確定義的序數體系，也就是第一個抽象數學體系。?
自然數的概念在數學上一直被當做最明顯，最基本的概念來應用，直到上世紀末，在數學的公理化方法發展的影響下，才提出「自然數是什麼」的問題。基於自然數的兩種功能層次，即表達個數的概念和表達順序的概念，19世紀末出現了著名的康托爾基數公理和皮亞諾序數公理，從數學邏輯的角度對什麼是個數和什麼是順序號作出定義。?
大家都知道，個數和順序都是顯而易見的概念。但從文明發展的角度來說，異同概念的出現是理性的起點，個數概念的出現是一個巨大進步，順序概念的出現又是一個巨大的進步。對個數（基數）和順序（序數）作出規范定義將大大方便文明史的研究，也有助於抽象數學本身的發展。?
基數就是個數，是最原始的、很直觀的數的概念，判斷掌握基數概念的標準是只需有一一對應地數個數能力，尚不要求形成整體意識，也不要求有一般的比較概念。自然數的基數理論，即康托爾基數公理，是以集合和一一對應的概念為基礎來定義的。由於在定義中不能隱含順序概念在裡面，使用集合的概念來定義是非常巧妙的，但也相當拗口。?
給定兩個集合A、B，如果存在一個規則f，對A中的每一個元素a，在B中唯一確定b（即a在f下的像），而B中任一元素b均由A中某一相應元素a唯一確定，那麼就說f是A到B的一個一一對應。存在一一對應的兩個集合稱為等價的，取定一個集合A，把所有與A等價的集合放在一起，作成一個集合的類W，W中所有集合所共有的屬性稱為A的基數，簡言之，類W本身就稱為A的基數。集合的基數實際上就是集合中元素的個數。?
自然數的序數理論是利用兩個的基本概念第一個(first)與下一個(next)以及四個公理來定義的。第一個通常可以記為1，不過不如記為n0更有普遍意義。所謂自然數（序數），是指滿足以下性質的集合N中的元素：?
1）n0是N的一個元，它不是N中任何元的後繼者，若n的後繼者用n+來表示，則對於N中的任意元n, n+不等於n0。（註：n0是指定的順序起點而不作證明）。
2）對於N中任意元n, 存在而且僅存在一個後繼者n+。
3）對N中任何兩個元n和m, 若n+=m+，則n=m.
4）N的一個子集M，若具有以下性質：
① n0屬於M；
② 對於任意m屬於M，必有m+也屬於M；則M=N
皮亞諾公理指出，要建立一個順序概念首先要選定一個順序的起點「第一個」(first)，其次需要規定一個順序操作「下一個」(next)或稱為「後繼者」，有了這兩個概念，就能定義一個序列，也就是序數。序數概念是現代數學的基礎概念，具有廣泛的適用性。?
下面以排隊為例對皮亞諾公理進行說明，理論上隊列可以無窮長。其中公理一是說：第一個是絕對的，不能存在「第一個」的上一個，比如排隊時你排在前面第一個，就意謂著隊列中沒有比你排在更前面的。?
公理二是說：隊列中任何人的下一個必有但也只能有一個，不能多個 。
公理三是說：對任何人來說，如果他後面一個位置的序號已經知道（確定），那麼他本身的序號也就定了。?
公理四是說：假如原來隊列的第一個另排一行，第一個的「下一個」，「下一個」的「下一個」全部依次跟過來，那麼新隊列和老隊列是等價的。?
這樣定義的自然數稱序數，以區別前者定義的基數，是專門針對「第幾」這個問題而定義的。基數起於感性量的簡單同異比較，用於描述感性的、形象的數量，而序數是基數的進一步抽象，是思維進一步發展的產物，用於描述理性的、抽象的關系量。?
各種已知的古代數系，基本上都經過從基數到序數的過程，首先用以表示「幾個」，然後才抽象出表示「第幾個」的涵義。但除了先天易之外，還沒有出現經過定義的序數體系。
專門把表示順序的序數與表示個數的基數從基本定義上區分開來是數學向抽象化發展的要求，也是抽象數概念產生的基礎。邵子先天易就是專門定義的序數體系。為敘述方便，用Y表示先天易體系。下面從皮亞諾四個公理出發逐一論證說明先天易符合序數定義，是從序數的角度來定義的。?
有明確的順序起點定義，先天易從乾(太極)開始演化，是序列的起點。
有明確的次序定義，正如朱熹所說的「其先後多寡，既有次第而位置分明，不費詞說，」、「全是天理，自然挨排出來」、「無不曾」、「亦不容」、「智力添助」。又是「未知其所窮」的「有放無收」的系統，這就是說，系統Y是依多寡自然挨排即按多寡一個緊挨著一個排出來的排列，元素與元素之間的先後次序是固定不變的，元素的個數又是無窮的，故每個元素y必有固定的唯一的後繼者y?+。?
根據Y系統上的特徵，每一個後繼者y+，前面必有唯一固定的元素y。這是顯然的。?
設W是Y的一個子集，即W中的元素全部是Y中的元素，
假定I：乾一(y0)是W中的元素；
II：W中任意元w，其後繼者w+也是W中的元素。
則W與Y等價。
證明：從前提W是Y的一個子集出發得知，W中每一個元素都是Y中元素，不存在屬於W而不屬於Y的元素。?
從假定一得知Y序列的第一個元素y0也是W中的元素，Y中不可能有在y?0前面的
元素，而W中的元素都是Y中的元素，因此W中y?0也是第一個。
根據假定二，W中任意元素的後繼者都是W中的元素，從y0出發逐一加一的生成的元素都是W中的元素，同時這本來就是Y的定義，所以Y是W的子集。又前提中W是Y的子集，所以W與Y等價。?
由於進位制是自然數自身表達的模式，先天易系統Y是自然數序數系統，在內部結構上，任意大數均表示為奇偶兩個符號的迭加，並利用非零符號所在相對位置的不同表示位值的不同。所以先天易系統Y是二進位制自然數體系。為了脫離數量與單位等具體特徵的約束，先天易從單純序數的角度來構建自然數序列，開抽象數學之先聲，它的意義必將逐步得到人們的重視。?
第六節 《周易》與二進位制問題散記?
近數十年來，國內否定周易與二進位制有關的運動有兩個學術源頭，一個是李約瑟《中國科學技術史》中綜述，另一個是80年代英國E.J.愛頓的一篇短文。之所以稱之為運動，那是因為大家似乎都不約而同地隱含著對研讀原著的不熱心甚至鄙視。下面是有關這個問題的三段筆記，以此獻諸同好。?
一、葛蘭言的碰巧說?
從近現代西方學術界的角度看，自從認識二進位制數之伊始，就與《周易》結伴而行。西方第一篇關於二進位制的文章發表於1703年，是萊布尼茲在《皇家科學院紀錄》上發表的，標題為《二進制算術的解說》，副標題為「它只用0和1，並論述其用途以及伏羲氏所使用的古代中國數字的意義」，作為對中國哲學的介紹加以高度評價。以後周易與二進制問題作為東方文化的一個特色一直引起西方學者的廣泛注意，他們對從浩瀚的易圖進行研讀，得到了很多有益的成果。一直到本世紀二三十年代，幾乎沒有人對中國古代二進位制的發明權表示懷疑或商榷。?
正如李約瑟所說的，「要是在十多年前，這個論題可能到此就結束了。但是晚近的發展表明，萊布尼茲的二進制算術遠遠不單純是歷史上一樁奇事而已。」近幾十年來由於電子技術中的應用發展使某些西方學者對中國古代發明二進制這一結論越來越不能接受，於是有個宣判性質的工作由漢學家葛蘭言先生給出的，在沒有研究或者說沒有讀懂中國古代原始文獻的前提下葛先生作了激烈的判決。他說，哪怕是承認六十四卦序與萊布尼茲二進制有一點點最低的共同基礎的想法都是理所當然應該摒棄的，因為「發明六十四卦的那些人所關心的只是用長棍和短棍這兩種基本原件來形成一切可能的排列與組合。這些一經形成之後，顯然有好幾種同樣合乎邏輯的排列也是可能的。事實上，其中有兩種最後獲得了極大的重要性，雖然其他排法也不難設計出來。把數學的意義歸之於六十四卦，其主要的缺點是，沒有什麼東西是比任何一種定量計算更遠離古代《易經》專家們的思想的了。」李約瑟指出「葛蘭言已充分地表明了這一點」。「至於研究用陰爻和陽爻的反復交替組成六十四卦的『變易』的占卜者，他們可以被認為是在進行簡單的二進制算術運算，但是他們在這樣做的時候，肯定是並沒有認識到這一點的。我們必須要求，任何發明——無論是數學的或是機械的——都應該是有意識地作出來並能供使用的。如果《易經》占卜者不曾意識到二進制算術，而且也未曾加以使用，那麼，萊布尼茨和白晉的發現就僅僅具有如下的意義，即在邵雍的《易經》解說中所表現的抽象順序系統是碰巧與包含在二進制算術中的抽象順序系統相同而已。邵雍在他的《易經》六十四卦排列中偶然碰到並由萊布尼茨使人意識到的二進制算術，可以說是在一種十分真實的意義上早在它被人發現適合於現代人的大型計算機之前，就已經被用來構造哺乳動物的神經系統了。」?
這里稱之為宣判而不是研究，是因為這個工作本身更像是一個武斷而措詞激烈的宣言而不是研究，是因為他這種對宣判對象邵雍數學學派起碼的常識不知道也不屑於涉及的方式更像一個西方傳統上的宗教審判。葛氏宣判中涉及的易學常識性笑話就不值得一說了，下面講講行文中的數理常識錯誤。?
葛氏對什麼叫排列，什麼叫組合，搞不清楚；對什麼是二進位制也只有一些感性的印象；當然對排列、組合與序數概念關系問題更是一片模糊。排列是建立序數(自然數)的基礎上的抽象的概念，也就是排順序。其中排列項本身就是序號的代表，從排列本身的意義上說，就是序數，也就是自然數記號。由兩種基本符號就可以完全表達的順序記號系統本身就是二進位制自然數，完全與這兩位基本符號的具體形式無關，無論是陰與陽還是長棍與短棍，或者是0與1，都是可以作為二進制基底的等價表示，因為它們是同構的。
組合是在排列概念的基礎上進一大步的抽象思維能力，從人類智力發展進化進程上說，要求更高的智力水平，必須相對抽象的分析比較能力和一定的全局概念為基礎。就是說，序數概念是排列行為的必然前提，組合概念是排列基礎上的智力飛躍。它們都是依從於順序概念的理性活動，自然是有意識的，離開了對順序概念的自覺，還能稱為排列和組合嗎？另外，數學就僅僅等於定量計算么？?
為了解釋先天易圖中的陰爻和陽爻，有學者提出更無稽的暢想：「卦的線條倒不見得代表占卜用的長短棍，而是更多地與自古以來中國肯定在使用的算籌有關。因此，這些符號可能是來源於使用一種以5為基的算術，由細線或斷線代表其值為1的算籌，而粗線或不斷線則代表其值為5的算籌。」這就是李約所說的「更說得通」的巴爾德設想。不知為什麼不從原著出發？假如讀不懂的話又有什麼資格瞎編呢？這就是二三十年前徹底否定中國祖先發明二進位制的補台大作，它替葛氏給陰爻和陽爻想出了一條出路，這是邵子或朱子原著中找不到的。於是宣判結束，意見得到統一，萊布尼茲以來幾百年的西人都錯了，「愚笨」的中國古代變易論者怎能和創造奇跡的二進位制相聯系呢？?
說巴爾德對易學完全不了解，那不是事實，他用二進制轉化為普通數字的方法從卦圖中「發現了各式各樣的幻方」，由於「從《易經》得出的幻方卻頗為復雜，因而很難使人相信，中國的變易論在他們編排六十四卦時在內心裡曾有過任何這樣的思想」。這就是李約瑟的觀點，當然也是巴爾德的觀點。?
以上引用材料均見於李約瑟在《中國科學技術史》中對這一問題的爭論的總結，下面總結一下葛蘭言與巴爾德所代表的學術界的一致性意見：?
A．邵雍的《易經》解說中所表現的抽象順序系統本身就是二進位制系統。?
B．假如這種順序關系本身對他們來說是有意義的，也就是說，意識到兩符號(即陰爻和陽爻)的組合可以用來表示順序，甚至已經用來表示順序，那麼他們就已發現了二進位制，或者說，他們對位值和零有了某種理解；?
C．反之，假如不是有意而是碰巧排出來的，他們就沒有發現二進位制，也就是說， 並不能用來說明他們對位值和零有了某種理解。?
D．一致性意見是：他們是碰巧排出來的並不是有意用來排序的，所以僅僅是與萊氏不謀而合的抽象順序系統而已。?
可見關鍵是意識到還是沒意識到這種抽象順序，亦即意識到與否兩符號(即陰爻和陽爻)的組合可以用來表示順序。答案是顯然的，因為這正是先天易的特點。?
其實，要是像他們所說的那樣是「碰巧」而非「有意」，那才是大大的奇跡呢！下面我們先算算這種概率。?
「與萊氏的數不謀而合的抽象順序系統」是指伏羲六十四卦次序圖和方點陣圖。實際上圖中共有三個排序，均符合二進位製法則。每一個碰巧排出的概率均約為2/64!，即大約為1/10??89?，遠遠低於不可能事件的概率要求。假如是「碰巧」而非「有意」排出，則三個排序互為獨立事件，同時得到的概率約為1/10??267?，當然也是絕對的不可能事件。為了幫助形象地理解這個概率，下面作個說明。根據相對論和量子力學的共同要求，宇宙中有靜質量的基本粒子總數上限是10??80?，宇宙從生到滅約有150億（1.5×10??10?）年，一年約有三千萬（3×10?7）秒，人生百年約有3×10?9秒，整個宇宙「一生」約有5×10??17?秒。可見有些話說起來輕巧，其實並沒那麼簡單，假設整個宇宙從誕生到滅亡的所有時間內都在按葛蘭言所說的方法進行無意識的排序活動，也不可能為碰巧說提供概率上的保證。因此，先天易圖只能是有意的而非碰巧的排列結果。實際上大量的古代文獻雄辯地證實了這一點，如圖的名稱就是卦序圖或次序圖，即已直截了當點明圖是次序圖，用於排序，並說明是用「一分為二，二分為，四分為八……」的方式構造的，既然是排次序，圖中符號系列即是序號。這里從概率的角度加以論證是為了說明即使在沒有其他文獻的情況下也不能輕易下「碰巧」的結論。另外葛氏等人把作為人類智能活動的產物與自然存在混為一談，進行偷換概念也是相當不合適的。按照他們的邏輯，早在牛頓發現萬有引力定律之前的150億年，萬有引力定律「可以說是在一種十分真實的意義上」「就已經被用來構造」宇宙中物質系統啦。?
二、愛頓用分離表解釋先天圖?
還有一位英國的E.J.愛頓在80年代為邵雍先天圖的產生設計了一個極有創造性的莫名其妙的明暗兩種矩形投影分離表，據稱用這種投影分離表可以復原先天圖，這位富有想像力的學問家於是斷言，盡管白晉寄給萊布尼茲的木版伏羲六爻排列圖「確實表現出與某種數的體系的相似性」，但是，它「是邵雍利用分離表復原而成的。明暗兩種矩形分別加以區別的伏羲排列圖的六爻組成，並不能使人想到它與容易理解的數體系的聯系。」當時權威學術刊物的《科學史譯叢》隨即進行了翻譯介紹，成為十幾年來的一個學術棍子，有的權威人士甚至認為應把有關周易與二進位制的討論當成國恥來看待。E.J.愛頓的結論成了最新的權威結論，在各種文獻中的引證不下千次，竟沒有一個引證中對這個莫名其妙的分離表表示懷疑，樂於以此為評判標准甚至終極真理的中國學者，似乎並不樂於花半小時的時間查證一下相關的古代原著。也許是在一段時期內，對學術問題進行缺席審判早已為大家所熟視了，而且怕踩高壓線、跟風附和似乎已經形成了慣性，老成之士當然也樂於繼續慣下去。?
三、萊布尼茲說了些什麼?
其實，萊布尼茲本人對二進制的研究到底到了什麼程度，諸公很少論及。英國哲學史學會秘書、萊布尼茲學會負責人麥唐納·羅斯教授的教科書《萊布尼茲》第二章《數學》的第二節《二進位制演算法》中在充分介紹和高度評價二進制本身的偉大意義之後指出，二進制對萊布尼茲來說「除了一個非常模糊的草稿而外」，更重要的意義是「神而上的」，而且與他的發明計算器演算法毫無關系。這個「非常模糊的草稿」本身羅斯並沒有太大興趣，於是他用不少筆墨引用萊布尼茲的「神而上」文獻。現摘如下：?
或許只有一個東西能夠獨立地被設想，那就是神本身——還有無，或者說不存在。這可以通過一個極好的類比弄清楚，……[他概略地論述了二進制記數法，並繼續說：]我這里不打算論述這種體系的巨大用處；只要指出所有的數通過一和無的方式加以表達是何等的美妙就足夠了。然而，盡管事物隱秘的秩序使一切事物都產生於純存在和無這點成為自明的，而人們並無希望在此生中就能達到這種秩序，但是對觀念的分析來說，進行證明真理所必須的程度也就足夠了。?
羅斯接著寫道：?
萊布尼茲對這個思想感到很驕傲，以致他打算用一個刻有銘文的紀念章來紀念它。銘文是：「G.W.萊布尼茲所發現的創造物的典型。」以及「為了從無中派生出一切來，一就夠了。」
羅斯在總結性評價中說，「僅就與萊布尼茲有關而言，這一發現最重大的意義是形而上學方面的，或者更確切地說是神而上的，因為它說明了整個宇宙如何可以看成是由數所構成的。」對邵雍數學學派比較熟悉的專家不難發現，上述觀點似曾相識，兩者有沒有內在聯系，還須請熟悉中西比較的專家從更大視角加以研究。?
柯 資 能（中國科學技術大學 科技史與科技考古系，安徽 合肥 230026) （原載《周易研究》2001年第3期）