『壹』 【演算法篇|32】PageRank（上）：搞懂Google的PageRank演算法
互聯網發展至今，搜索引擎的體驗顯著提升，能夠快速准確地找到用戶所需內容。然而，在1998年之前，搜索引擎的問題主要體現在以下兩點：
為了改善這些問題，谷歌的創始人拉里·佩奇提出了PageRank演算法，旨在識別優質網頁，確保搜索引擎不僅能夠找到用戶所需信息，還能通過篩選高權重網頁提升排序結果的質量。
PageRank演算法的靈感源於論文引用次數與影響力之間的關系，即引用次數越多，論文影響力越大。這一思想解決了早期網頁檢索質量低下的問題。
PageRank簡化模型的介紹
讓我們先理解PageRank的基本計算流程。假設存在4個網頁A、B、C、D，它們之間的鏈接關系如下圖所示。
首先，需要了解兩個概念：出鏈是指網頁鏈接出去的連接，入鏈則是指向該網頁的連接。例如，A有2個入鏈和3個出鏈。
簡單來說，網頁的影響力可通過其所有入鏈集合的頁面的加權影響力之和來計算。公式表示如下：
其中，u為待評估的網頁，Bu為頁面u的入鏈集合。對入鏈集合中的任意頁面v，其能給u帶來的影響力是v頁面的影響力PR(v)除以v頁面的出鏈數量，即將影響力PR(v)平均分配給它的出鏈。統計所有能給u帶來鏈接的頁面v，即可得到網頁u的影響力，即為PR(u)。
出鏈給被鏈接的頁面賦予影響力，用戶訪問網頁時，其跳轉到其他頁面的概率即為該網頁的跳轉概率。以A為例，其有三個出鏈分別鏈接到B、C、D，因此跳轉到B、C或D的概率均為1/3。
B有兩個出鏈，鏈接到A和D，跳轉概率為1/2。
通過計算，我們得到A、B、C、D四個網頁的轉移矩陣M：
假設A、B、C、D四個頁面的初始影響力相同，即：
經過第一次轉移後，各頁面的影響力w1變為：
然後，使用轉移矩陣乘以w1得到w2，直至第n次迭代後，當wn影響力不再變化時，收斂到(0.3333，0.2222，0.2222，0.2222)，即為A、B、C、D四個頁面最終平衡狀態下的影響力。
計算結果表明，A頁面權重較高，PR值更高，而B、C、D頁面的PR值相等。
在簡化模型中，存在兩個問題需要解決：等級泄露和等級沉沒。等級泄露是指無出鏈頁面吸收其他頁面影響力而不釋放，導致其他頁面PR值為0。等級沉沒是指只有出鏈沒有入鏈的頁面，計算過程迭代後PR值為0。
PageRank的隨機瀏覽模型解決方法
為了克服簡化模型中的問題，拉里·佩奇提出了PageRank的隨機瀏覽模型。該模型假設用戶不僅通過鏈接進行網路瀏覽，還可能直接輸入網址訪問其他頁面。他引入了阻尼因子d，d代表按照跳轉鏈接瀏覽網頁的概率，通常取0.85，而1-d=0.15表示通過直接輸入網址訪問頁面的概率。
通過加入阻尼因子d，模型能夠解決等級泄露和等級沉沒問題，實現收斂，得到穩定的PR值。
PageRank在社交影響力評估的應用
網頁之間的鏈接構成了互聯網，論文之間的引用關系形成了知識網路，這些都屬於復雜網路的范疇。PageRank演算法適用於任何存在鏈接的網路結構。
將PageRank應用到社交影響力評估中，如微博或脈脈，通過鏈接關系評估個人或公司的影響力。在微博中，關注者的質量而非數量是決定影響力的關鍵，與知名人士的連接能夠顯著提升影響力。在職場場景中，與行業領袖和獵頭的鏈接關系對個人影響力至關重要。公司與行業巨頭的合作關系也是衡量其市場地位的重要指標。
PageRank的啟示與應用
PageRank不僅在搜索引擎中發揮了重要作用，其思想也對諸多領域產生了深遠影響。在社交網路中，鏈接的質量是評估影響力的關鍵因素。通過PageRank演算法，我們可以識別出高影響力節點以及鏈接農場等現象。
通過理解PageRank演算法原理並應用到現實世界中，我們能夠更好地評估個人、公司和平台的影響力，同時也能夠識別潛在的鏈接農場，避免無效鏈接對網路結構的影響。
『貳』 圖演算法--PageRank分析
PageRank演算法是一個長期隨機遊走演算法，通過不斷迭代最終達到穩定狀態。
以一個包含四個節點的有向圖為例，它代表了網頁之間的鏈接關系。假設每個節點的出鏈概率平均分配，例如節點A有3條出鏈，則傳播權重為1/3。那麼，該圖下的轉移關系矩陣應該如下所示：
假設上網者瀏覽每個網頁的概率相等，即1/n，這里有四個網址，所以n=4，這同時也表示了節點的初始PR值。在第一次迭代後，瀏覽傳播後，各節點的PR值發生變化。
接下來的第二次、第三次、第n次傳播迭代與第一次類似，轉移矩陣M保持不變，Pn=MV1V2*..Vn-1，直到達到穩態，即前後兩次迭代後的PR值之差Pn-Pn-1。
PageRank演算法主要存在兩個問題：一是轉移矩陣M可能導致節點的PR總和Sum（PR）不等於1，一直衰減，最終所有節點的PR值都為0；二是SpiderTrap問題，即零outlink，只入不出但有關系指向自己，這會導致PR值都集中到特定節點上。
解決方法是在每個節點設置隨機概率α的出鏈，以模擬用戶隨機輸入網址的概率。阻尼系數α（按照谷歌的實踐，默認值為0.85）表示用戶在任何一個界面上通過隨機（1-alpha）輸入網址到達此節點n的貢獻的PR值。
PR值的計算原理包括：PR值來自於三種方式：PR=alphawPR+aplhadangling分配+(1-alpha)平均分配。其中，w*PR是根據入鏈權重按路徑分配，dangling是強制分配給零OutLink節點，平均分配則防止SpiderTrap問題。
PageRank主要有三種實現：pagerank函數、pagerank_numpy函數和pagerank_scipy函數。這三個函數的原理效果相似，但pagerank函數可以初始化初始節點PR值。
本文詳細講解了PageRank的PR值計算模式、演算法存在的問題及其解決方法，並從源碼角度分析了PageRank的代碼計算模式及解決問題的代碼體現。在未來的文章中，將繼續補充演算法在基於Neo4j圖的PageRank傳導實戰應用例子。
『叄』 PR演算法介紹
PageRank演算法是一種基本的網頁重要性評估方法，其核心思想是通過網頁間的鏈接關系傳遞重要性得分。如果網頁T鏈接到網頁A，那麼A會獲得T的一部分重要性，具體為A的PageRank值PR(A)的計算如下：
PR(A) = (1-d) + d * (PR(T1)/C(T1) + ... + PR(Tn)/C(Tn))
其中，d（阻尼指數，一般取0.85）用來限制信息的擴散，防止完全依賴於鏈接數量。T1到Tn是鏈接到A的頁面，而C(T)代表頁面的出鏈數。PageRank需要通過迭代計算來逐步接近准確值。
優點是PageRank演算法是靜態的，可以在離線計算時為所有網頁分配PR值，降低在線查詢時的計算量，提高了查詢響應速度。然而，它存在局限性，如忽視查詢的主題特徵，可能導致結果的相關性和主題性下降，並且對新網頁的評價較低。
為解決這些問題，Topic-Sensitive PageRank（主題敏感的PageRank）提出，通過計算與不同主題相關的PageRank向量集合，根據用戶查詢的主題返回更精確的結果。然而，該方法並未完全利用主題相關性來提高鏈接得分的准確性。
另一種是Hilltop演算法，它僅考慮專家頁面的鏈接，注重結果的相關性和准確性。但專家頁面的質量和數量對其准確性至關重要，且可能忽視大量非專家頁面的貢獻，適用於對查詢結果進行深度排序的情況。然而，當專家頁面不足時，Hilltop可能返回空結果。
永久居留的英文是PermanentResidence,所以通常也稱為PR。永久居留是一種權利，這種權利讓獲得永久居留權的人可以在該國永遠居住下去，並在許多方面與該國公民享受同等待遇。