實數已知演算法規律題

1. 實數數列（realsn）

該題的數學味頗濃。解題前需耐下心來，對公式
Ai=(Ai-1-Ai+1)/2+d (1≤i〈N) (n<60)
作一番推敲，探討其數值變換規律。不然的話，會無從入手。
令
x=A2 S2[i]=(Pi,Qi,Ri)表示Ai=PiX+QiD+RiA1;
我們可以根據
Ai=Ai-2-2Ai-1+2D=PiX+QiD+RiA1
推出公式
PiX+QiD+RiA1=(Pi-2-2Pi-1)X+(Qi-2-2Qi-1+2)D+(Ri-2-2Ri-1)A1
比較等號兩端X、D和A1的系數項,可得
Pi=Pi-2-2Pi-1
Qi=Qi-2-2Qi-1+2
Ri=Ri-2-2Ri-1
加上兩個邊界條件
P1=0 Q1=0 R1=1 (A1=A1)
P2=1 Q2=0 R2=0 (A2=A2)
根據Pi、Qi、Ri的遞推式,可以計算出
S2[1]=(0,0,1);
S2[2]=(1,0,0);
S2[3]=(-2,2,1);
S2[4]=(5,-2,-2);
S2[5]=(-12,8,5);
…………………………
S2[i]=(Pi,Qi,Ri);
…………………………
S2[N]=(PN,QN,RN);

有了上述基礎，AM便不難求得。有兩種方法:
1、由於AN、A1和PN、QN、RN已知，因此可以先根據公式
AN-QND-RNA1
A2=--------------
PN
求出A2。然後將A2代入公式
A3=A1-2A2+2D
求出A3。然後將A3代入公式
A4=A2-2A3+2D
求出A4。然後將A4代入公式
……………………………………………
求出Ai-1。然後將Ai-1代入公式
Ai=Ai-2-2Ai-1+2D
求出Ai。依次類推，直至遞推至AM為止。

上述演算法的缺陷是，由於A2是兩數相除的結果，而除數PN遞增，因此精度誤差在所難免，
以後的遞推過程又不斷地將誤差擴大，以至當m超過40時，求出的AM明顯偏離正確值。顯然，
這種演算法雖簡單但不可靠。

2、我們令A2=A2，A3=X，由S3[i]=(Pi,Qi,Ri)表示Ai=PiX+QiD+RiA2 (i≥2)
可計算得出
S3[2]=(0,0,1)=S2[1];
S3[3]=(1,0,0)=S2[2];
S3[4]=(-2,2,1)=S2[3];
S3[5]=(5,-2,-2)=S2[4];
………………………………………
S3[i]=(………)=S2[i-1];
………………………………………
S3[N]=(………)=S2[N-1];
再令A3=A3，A4=X，由S4[i]=(Pi,Qi,Ri)表示Ai=PiX+QiD+RiA3 (i≥3)
可計算得出
S4[3]=(0,0,1)=S3[2]=S2[1];
S4[4]=(1,0,0)=S3[3]=S2[2];
S4[5]=(-2,2,1)=S3[4]=S2[3];
………………………………………
S4[i]=(………)=S3[i-1]=S2[i-2];
………………………………………
S4[N]=(………)=S3[N-1]=S2[N-2];
依次類推，我們可以發現一個有趣的式子：
AN=PN-i+2*Ai+QN-i+2*D+RN-i+2*Ai-1

即 AN-QN-i+2*D-RN-i+2*Ai-1
Ai=------------------------
PN-i+2

我們從已知量A1和AN出發，依據上述公式順序遞推A2、A3、…………AM。由於PN-i+2遞
減，因此最後得出的AM要比第一種演算法趨於精確。

三、程序分析

program ND1P4;
const
maxn =60;
var
n,m,i :integer;
d :real;
list :array [1..maxn] of real; {list[i]——對應ai}
s :array [1..maxn,1..3] of real; {S[i,1] ——對應Pi;
S[i,2]——對應Qi;
S[i,3] ——對應Ri}

procere init;
begin
write('n m d =');
readln (n,m,d); {輸入項數、輸出項序號和常數}
write('a1 a', n,'=');
readln(list[1],list[n]); {輸入a1和an}
end; {init}

procere solve;
begin
s[1,1] :=0; s[1,2] :=0; s[1,3] :=1; {求遞推邊界(P1,Q1,R1)和
(P2,Q2,R2)}
s[2,1] :=1; s[2,2] :=0; s[2,3] :=0;
{根據公式Pi←Pi-2-2*Pi-1}
{ Qi←Qi-2-2*Qi-1}
{ Ri←Ri-2-2*Ri-1}
{遞推(P3,Q3,R3)……Pn,Qn,Rn)}
for i:=3 to n do
begin
s[i,1] :=s[i-2,1]-2*s[i-1,1];
s[i,2] :=s[i-2,2]-2*s[i-1,2]+2;
s[i,3] :=s[i-2,3]-2*s[i-1,3];
end; {for}
end; {solve}

procere main;
begin
solve; {求(P1,Q1,R1)··(Pn,Qn,Rn)}
{根據公式 Ai=(An-Qn-i+2*d-Rn-i+2*Ai-1)/Pn-i+2}
{遞推A2……Am}
for i :=2 to m do
list[i] :=( list[n] -s[n-i+2,2]*d -s[n-i+2,3]*list[i-1])/s[n-i+2,1];
writeln('a',m,' =',list[m]:20:10); {輸出Am}
end; {main}

begin
init; {輸入數據}
main; {遞推和輸出Am}
readln;
end. {main}

2. 任意給定一個正實數，設計一個演算法求以這個數為半徑的圓的面積。程度框圖