㈠ 數列極限四則運算的證明例題看不懂請高手指教！
首先要注意，目標是| An•Bn-AB |＜ε，但已知的是：limAn=A,limBn=B，所以證明中，一定要用到|An-A|和|Bn-B|。於是通過絕對值不等式| An•Bn-AB | ≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|找到與這兩個式子（|An-A|和|Bn-B|）的關系。如果|An-A||Bn|＜ε/2，|A||Bn-B|＜ε/2，問題就解決了。這兩個不等式等價於：|An-A|＜ε/(2|Bn|)，|Bn-B|＜ε/(2|A|),為了清晰起見，分母加了括弧。|A|是個常數，已經沒有問題，但|Bn|不是常數，於是根據收斂數列的有界性，即：|Bn|＜M，找到與n無關的正常數M。於是|An-A||Bn|<|An-A|M＜ε/2,後一個不等式等價於：|An-A|＜ε/(2M),這里已經假定M是正數，絕對值符號就不寫了。這就是ε/(2M)的由來，而不是突然冒出來的。
證明中，快到最後的時候有一句話：由於不等式①②③，當n＞N時，我們有|An•Bn-AB|＜ε/2+ε/2=ε
其實仔細寫來，應該是：
|An•Bn-AB|≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|<|An-A|M+|A||Bn-B|＜ε/(2M)•M+|A|•ε/(2|A|)=ε/2+ε/2=ε
第一個「≤」用了①，第二個「<」用了「|Bn|＜M 」，第三個「<」用了②③。
另外，如果limAn=A，一般得到|An-A|＜ε，肯定沒有問題，如果寫成|An-A|＜ε/2，空侍應該也要理解。證明中就強調「對於任意給定的ε＞0，無論怎樣小」。這句話一定要充分理解，一個是「任意」，一個是「無論怎樣小」。所以一定要理解「ε」是充分的小。因此，如果limAn=A，我們可以得到|An-A|＜ε，也可以得到|An-A|＜ε/2 或舉前者 |An-A|＜2ε，甚至如果常數 a>0，我們同樣可以得到|An-A|＜ε/a 或者 |An-A|＜aε。但是，一定要注意 a 與數列的下標 n 無關，是一般函數的話，務必和函數的自變數無關。證明中在引出常數「M」時，特別強調「存在一個與n無關的斗答吵正數M」。
其實如果我們最後得到：|An•Bn-AB|<ε'M+|A|•ε''也是可以的，這里的ε'是由limAn=A得到的，ε''是由limBn=B得到的。但這樣一則不漂亮，二則還要說明「ε'M+|A|•ε''」也是充分小。與其都要說明，那就放在中間了，這樣最後得到|An•Bn-AB|<ε，又漂亮又可以直接寫：「這就是說，An•Bn的極限存在，且等於AB」了。
至於ε要不要找一個正常數與其相乘除，找怎樣的正常數，就要看題目了。比如，上面的證明如果改成三個已知極限的乘積，或許就要用到ε/3了。給ε找一個正常數與其相乘除，是解這一類題目的「慣用伎倆」。
㈡ 極限的運演算法則定理
極限的運演算法則
兩個無窮小的和也是無窮小
定理: 有限個無窮小的和也是無窮小
無窮多個無窮小的和是1
定理: 有界函數與無窮小的乘機也是無窮小
推論: 常數與無窮小的乘積也是無窮小
推論: 有限個無窮小的乘積也是無窮小
無限多個無窮小的乘積不一定是無窮小
常見的有界函數
復合函數
例題: 計算極限
無窮大
例題
答案:D (無窮大不是數)
兩個有極限的數列乘積一定有極限
極限的四則運演算法則