貪心演算法幾個經典例子詳細解讀

① 哈夫曼編碼（貪心演算法）

參考： 哈夫曼編碼

哈夫曼編碼是一種十分有效的編碼方法，廣泛應用於 數據壓縮 中
通過採用 不等長 的編碼方式，根據 字元頻率的不同 ，選擇 不同長度的編碼 ，對頻率 越高 的字元採用 越短 的編碼實現數據的高度壓縮。
這種對頻率越高的字元採用越短的編碼來編碼的方式應用的就是貪心演算法的思想。

下面看一個例子：
假如我們有一個包含1000個字元的文件，每個字元佔1個byte(1byte=8bits)，則存儲這100個字元一共需要8000bits。這還是有一些大的
那我們統計一下這1000個字元中總共有多少種字元，原來需要8bit來表示一個字元，如果使用更少的位數來表示這些字元，則可以減少存儲空間。
假設這1000個字元中總共有a、b、c、d、e、f共6種字元，使用使用3個二進制位來表示的話，存儲這1000個字元就只需要3000bits，比原來更節省存儲空間。

或許還可以再壓縮一下：
根據字元出現的 頻率 給與字元 不等長 的編碼，頻率越高的字元編碼越短，頻率越低的字元編碼越長。
它不能像等長編碼一樣直接按固定長度去讀取二進制位，翻譯成字元，為了能夠准確讀取翻譯字元，它要求一個字元的編碼不能是另外一個字元的前綴。

假設a、b、c、d、e、f這6個字元出現的頻率依次降低，則我們可以給與他們這樣的編碼

假如字元的出現頻率如圖所示，按照這樣的編碼表示的話，總位數如圖，一共2100bits，更加節省空間了

貪心策略：頻率小的字元，優先入隊。

步驟：
1.將每一個字元作為節點，以出現頻率大小作為權重，將其都放入 優先隊列 中（一個最小堆）；
2.每次出隊兩個節點並創建一個父節點，使其權值為剛剛出隊的節點的權值和，並且為兩個節點的父節點（合並）。然後將這個樹入隊。
3.重復操作2，直到隊列中只有一個元素（此時這個元素表示形式應該為一個樹）時，完成創建。

創建好了樹，該怎麼編碼呢？
我們對一個哈夫曼樹，從父節點開始的所有節點，往左邊標0，右邊標1。那麼到達葉子節點的順次編碼就可以找到了。

C：字元集合
Q：優先隊列
EXTRACT-MIN：傳入一個隊列，出隊最小的元素
INSERT：將z插入到Q中

當for循環結束之後，此時隊列中只有一個元素，就是我們需要的哈夫曼樹，最後返回此樹即可。

假設T樹已經是一個最優的樹，假設x、y的頻率小於等於最低處的a、b，然後交換x、a，y、b。

計算代價是否發生變化。
比如這里比較 T 變成 T 』 後代價是否變化，發現代價變小或不變。

同理T』到T』』，又因為T本來假設就是最優的，所以只能相等
所以T』』也應該符合條件，即貪婪演算法，每次取最小的兩個節點出來這種做法是正確的

② 貪心演算法及其應用

求解一個問題時有多個步驟，每個步驟都選擇當下最優的那個解，而不用考慮整體的最優解。通常，當我們面對的問題擁有以下特點的時候，就可以考慮使用貪心演算法。

比如，我們舉個例子，倉庫裡面總共有五種豆子，其對應的重量和總價值如下，現在我們有一個可以裝100KG重量的袋子，怎麼裝才能使得袋子中的豆子價值最大？

我們首先看看這個問題是否符合貪心演算法的使用場景？限制值是袋子100KG，期望值是袋子裡面的價值最高。所以是符合的。那麼我們嘗試著應用下貪心演算法的方法，每一個步驟都尋找當下的最優解，怎麼做呢？

把倉庫裡面的每種豆子價值除以重量，得出每種豆子的單價，那麼當下的最優解，肯定是盡可能最多地裝單價最貴的，也就是先把20KG的黃豆都裝上，然後再把30KG的綠豆都裝上，再裝50KG的紅豆，那麼此時正好裝滿袋子，總價值將是270元，這就是通過貪心演算法求解的答案。

貪心演算法的應用在這個問題上的求解是否是最優解需要一個很復雜的數學論證，我們不用那樣，只要心裡舉幾個例子，驗證下是否比它更好即可，如果舉不出例子，那麼就可以認為這就是最優解了。

雖然貪心演算法雖然在大部分實踐場景中都能得到最優解，但是並不能保證一定是最優解。比如在如下的有向帶權圖中尋找從S到T的最短路徑，那麼答案肯定就是S->A->E->T，總代價為1+4+4=9；

然而，實際上的最短路徑是S->B->D->T，總代價為6。

所以，不能所有這類問題都迷信貪心演算法的求解，但其作為一種演算法指導思想，還是很值得學習的。

除了以上袋子裝豆子的問題之外，還有很多應用場景。這種問題能否使用貪心演算法來解決的關鍵是你能否將問題轉換為貪心演算法適用的問題，即找到問題的限制值和期望值。

我們有m個糖果要分給n個孩子，n大於m，註定有的孩子不能分到糖果。其中，每個糖果的大小都不同，分別為S1,S2,S3...,Sm，每個孩子對糖果的需求也是不同的，為N1,N2,N3...,Nn，那麼我們如何分糖果，才能盡可能滿足最多數量孩子的需求？

這個問題中，限制值是糖果的數量m，期望值滿足最多的孩子需求。對於每個孩子，能用小的糖果滿足其需求，就不要用大的，避免浪費。所以我們可以給所有孩子的需求排個序，從需求最小的孩子開始，用剛好能滿足他的糖果來分給他，以此來分完所有的糖果。

我們有1元、5元、10元、20元、50元、100元紙幣各C1、C5、C10、C20、C50、C100張，現在要購買一個價值K元的東西，請問怎麼才能適用最少的紙幣？

這個問題應該不難，限制值是各個紙幣的張數，期望值是適用最少的紙幣。那麼我們就先用面值最大的100元去付錢，當再加一張100元就超過K時，就更換小面額的，直至正好為K元。

對於n個區間[L1,R1],[L2,R2]...[Ln,Rn]，我們怎麼從中選出盡可能多的區間，使它們不相交？

我們需要把這個問題轉換為符合貪心演算法特點的問題，假設這么多區間的最左端點是Lmin，最右端點是Rmax，那麼問題就是在[Lmin,Rmax]中，選擇盡可能多的區間往裡面塞，並且保證它們不相交。這里，限制值就是區間[Lmin,Rmax]，期望值就是盡可能多的區間。

我們的解決辦法就是每次從區間中選擇那種左端點>=已經覆蓋區間右邊端點的，且該區間右端點盡可能高小的。如此，我們可以讓未覆蓋區間盡可能地大，才能保證可以塞進去盡可能多的區間。

貪心演算法最重要的就是學會如何將要解決的問題抽象成適合貪心演算法特點的模型，找到限制條件和期望值，只要做好這一步，接下來的就比較簡單了。在平時我們不用刻意去記，多多練習類似的問題才是最有效的學習方法。

③ 貪心演算法的例題分析

例題1、
[0-1背包問題]有一個背包，背包容量是M=150。有7個物品，物品不可以分割成任意大小。
要求盡可能讓裝入背包中的物品總價值最大，但不能超過總容量。
物品 A B C D E F G
重量 35kg 30kg 6kg 50kg 40kg 10kg 25kg
價值 10$ 40$ 30$ 50$ 35$ 40$ 30$
分析：
目標函數：∑pi最大
約束條件是裝入的物品總重量不超過背包容量：∑wi<=M(M=150）
⑴根據貪心的策略，每次挑選價值最大的物品裝入背包，得到的結果是否最優？
⑵每次挑選所佔重量最小的物品裝入是否能得到最優解？
⑶每次選取單位重量價值最大的物品，成為解本題的策略。
值得注意的是，貪心演算法並不是完全不可以使用，貪心策略一旦經過證明成立後，它就是一種高效的演算法。
貪心演算法還是很常見的演算法之一，這是由於它簡單易行，構造貪心策略不是很困難。
可惜的是，它需要證明後才能真正運用到題目的演算法中。
一般來說，貪心演算法的證明圍繞著：整個問題的最優解一定由在貪心策略中存在的子問題的最優解得來的。
對於例題中的3種貪心策略，都是無法成立（無法被證明）的，解釋如下：
⑴貪心策略：選取價值最大者。
反例：
W=30
物品：A B C
重量：28 12 12
價值：30 20 20
根據策略，首先選取物品A，接下來就無法再選取了，可是，選取B、C則更好。
⑵貪心策略：選取重量最小。它的反例與第一種策略的反例差不多。
⑶貪心策略：選取單位重量價值最大的物品。
反例：
W=30
物品：A B C
重量：28 20 10
價值：28 20 10
根據策略，三種物品單位重量價值一樣，程序無法依據現有策略作出判斷，如果選擇A，則答案錯誤。
【注意：如果物品可以分割為任意大小，那麼策略3可得最優解】
對於選取單位重量價值最大的物品這個策略，可以再加一條優化的規則：對於單位重量價值一樣的，則優先選擇重量小的！這樣，上面的反例就解決了。
但是，如果題目是如下所示，這個策略就也不行了。
W=40
物品：A B C
重量：25 20 15
價值：25 20 15
附：本題是個DP問題，用貪心法並不一定可以求得最優解，以後了解了動態規劃演算法後本題就有了新的解法。
例題2、
馬踏棋盤的貪心演算法
123041-23 XX
【問題描述】
馬的遍歷問題。在8×8方格的棋盤上，從任意指定方格出發，為馬尋找一條走遍棋盤每一格並且只經過一次的一條路徑。
【初步設計】
首先這是一個搜索問題，運用深度優先搜索進行求解。演算法如下：
⒈ 輸入初始位置坐標x,y；
⒉ 步驟 c:
如果c> 64輸出一個解，返回上一步驟c--
（x,y) ← c
計算(x,y）的八個方位的子結點，選出那些可行的子結點
循環遍歷所有可行子結點，步驟c++重復2
顯然⑵是一個遞歸調用的過程，大致如下：
C++程序： #defineN8voiddfs(intx,inty,intcount){inti,tx,ty;if(count>N*N){output_solution();//輸出一個解return;}for(i=0;i<8;i++){tx=hn[i].x;//hn[]保存八個方位子結點ty=hn[i].y;s[tx][ty]=count;dfs(tx,ty,count+1);//遞歸調用s[tx][ty]=0;}}Pascal程序： ProgramYS;ConstFXx:array[1..8]of-2..2=（1,2,2,1,-1,-2,-2,-1）；FXy:array[1..8]of-2..2=（2,1,-1,-2,-2,-1,1,2）；VarRoad:array[1..10,1..10]ofinteger;x,y,x1,y1,total:integer;ProcereFind(x,y:integer);varNx,Ny,i:integer;BeginFori:=1to8dobegin{8個方向}If(x+FXx[i]in[1..8])and(y+FXy[i]in[1..8])Then{確定新坐標是否越界}IfRoad[x+Fxx[i],y+Fxy[i]]=0Thenbegin{判斷是否走過}Nx:=x+FXx[i];Ny:=y+FXy[i];Road[Nx,Ny]:=1;{建立新坐標}If(Nx=x1）and(Ny=y1）Theninc(total)elseFind(Nx,Ny);{遞歸}Road[Nx,Ny]:=0{回朔}endendEnd;BEGIN{Main}Total:=0;FillChar(Road,sizeof(road),0);Readln(x,y);{讀入開始坐標}Readln(x1,y1）；{讀入結束坐標}If(x>10）or(y>10）or(x1>10）or(y1>10）Thenwriteln('Error'){判斷是否越界}ElseFind(x,y);Writeln('Total:',total){打出總數}END.這樣做是完全可行的，它輸入的是全部解，但是馬遍歷當8×8時解是非常之多的，用天文數字形容也不為過，這樣一來求解的過程就非常慢，並且出一個解也非常慢。
怎麼才能快速地得到部分解呢？
【貪心演算法】
其實馬踏棋盤的問題很早就有人提出，且早在1823年，J.C.Warnsdorff就提出了一個有名的演算法。在每個結點對其子結點進行選取時，優先選擇『出口』最小的進行搜索，『出口』的意思是在這些子結點中它們的可行子結點的個數，也就是『孫子』結點越少的越優先跳，為什麼要這樣選取，這是一種局部調整最優的做法，如果優先選擇出口多的子結點，那出口少的子結點就會越來越多，很可能出現『死』結點（顧名思義就是沒有出口又沒有跳過的結點），這樣對下面的搜索純粹是徒勞，這樣會浪費很多無用的時間，反過來如果每次都優先選擇出口少的結點跳，那出口少的結點就會越來越少，這樣跳成功的機會就更大一些。這種演算法稱為為貪心演算法，也叫貪婪演算法或啟發式演算法，它對整個求解過程的局部做最優調整，它只適用於求較優解或者部分解，而不能求最優解。這樣的調整方法叫貪心策略，至於什麼問題需要什麼樣的貪心策略是不確定的，具體問題具體分析。實驗可以證明馬遍歷問題在運用到了上面的貪心策略之後求解速率有非常明顯的提高，如果只要求出一個解甚至不用回溯就可以完成，因為在這個演算法提出的時候世界上還沒有計算機，這種方法完全可以用手工求出解來，其效率可想而知。

④ 貪心演算法

在某一個標准下，優先考慮做滿足標準的樣本，最後考慮最不滿足標準的樣本，最終得到一個答案的演算法，叫做貪心演算法。
即，不從整體最優上加以考慮，所做出的是在某種意義上的局部最優解。
局部最優 -?-> 整體最優

一些項目要佔用一個會議室宣講，會議室不能同時容納兩個項目的宣講。 給你每一個項目開始的時間和結束的時間(給你一個數 組，裡面是一個個具體 的項目)，你來安排宣講的日程，要求會議室進行的宣講的場次最多。 返回這個最多的宣講場次。

一塊金條切成兩半，是需要花費和長度數值一樣的銅板的。比如長度為20的金 條，不管切成長度多大的兩半，都要花費20個銅板。
一群人想整分整塊金條，怎麼分最省銅板? 例如,給定數組{10,20,30}，代表一共三個人，整塊金條長度為10+20+30=60。 金條要分成10,20,30三個部分。 如果先把長度60的金條分成10和50，花費60； 再把長度50的金條分成20和30，花費50；一共花費110銅板。 但是如果先把長度60的金條分成30和30，花費60；再把長度30金條分成10和20， 花費30；一共花費90銅板。
輸入一個數組，返回分割的最小代價。

輸入：
正數數組costs
正數數組profits
正數k
正數m
含義： costs[i]表示i號項目的花費
profits[i]表示i號項目在扣除花費之後還能掙到的錢(利潤)
k表示你只能串列的最多做k個項目
m表示你初始的資金
說明：
你每做完一個項目，馬上獲得的收益，可以支持你去做下一個項目。
輸出： 你最後獲得的最大錢數。

⑤ 求一個演算法(貪心演算法)

首先,無所謂哪裡密集哪裡不密集的說法,這是人為的區分,需要首先遍歷全部格子才能確定,是最慢的演算法,全部遍歷過了就可以得出最優的路線了.
既然用貪心演算法,為了思考方便,可以假設棋盤無窮大,演算法的目的是判斷下一步該往右走還是往下走，思想如下:
判斷當前格子右、下兩個相鄰的格子是否有金塊，情形如下：
1）如果一個有一個沒有，則往有金塊的格子走
2）如果都沒有或都有，則需要判斷往哪個方向走能更快的拾到下一個金塊，方法如下：
讓機器人假設地各往兩個方向走一步，然後對當前格子作判斷情形如下：
A)一個格子繼續走能拾到金塊，另一個不能，則上一步往該格子走
B)如果仍舊都有或都沒有，重復2）直到找到符合A）的情形。

假設棋盤是N*N個格子，則貪心演算法最壞的情形是要遍歷整個棋盤，比如只有第一個格子有金塊時，就需要遍歷整個棋盤才能確定走法。最好的情形也需要遍歷4*N個格子。
時間復雜度上來算的話，應該是O（nLogn）