1. 2010高教社杯全國大學生數學建模競賽題目_D題 對學生宿舍設計方案的評價
0對學生宿舍設計方案的評價
摘要
關鍵詞：
一、 問題重述與分析：
學生宿舍事關在校學生在校期間的生活品質，直接或間接的影響到學生的生活、學習和健康成長。學生宿舍的使用面積、布局和設施配置等的設計既要讓學生生活舒適，也要方便管理，同時要考慮成本和收費的片平衡，這些還與所在城市的地域、區位、文化習俗和經濟發展水平有關。因此，學生宿舍的設計必須考慮經濟性、舒適性和安全性等問題。
經濟性主要由以下三方面影響：建設成本、運行成本和收費標准；
舒適性主要由以下幾方面影響：人均面積、使用方便、互不幹擾、採光和通風；
安全性主要由以下兩方面影響：人員疏散的能力和防盜能力。
本文旨在解決以下問題：
（一）本題要求根據列舉的四種典型的宿舍設計方案進行綜合量化分析，對各種宿舍方案的優缺點進行分析、比較，得出每個影響因子對選擇其中某一個方案時的權重，在綜合全國平均選擇水平的基礎上，對四個設計方案的各項影響因子進行比較評分，在評得的分數的基礎上綜合各自的權重比，可以評價出一個較為普遍經濟適用的方案。
（二）評價這四種典型的學生宿舍設計方案各自的特點（優、缺點）及適用環境。
（三）根據全國各個不同區域的經濟發展水平、文化習俗等因素的差異，每一種設計方案在不同經濟水平的地域城市裡的合理度是不盡相同的，可以選擇經濟發展水平不同的三個城市，然後對經濟性、舒適性、安全性重新進行權重賦值，可以對這三類城市在選擇宿舍設計方案時的偏好程度進行分析。
二、 基本假設：
1） 假設全國平均選擇水平以網站調查數據為依據；
2） 假設所給四種設計方案中的經濟性、舒適性、安全性僅考慮各自的直接、主要的影響因子；
3） 假設
三、 符號說明：
：方案 的合理度，用來評價方案合理度的目標函數（ ）；
：各個影響因子對合理度 的貢獻權重 ；
：各種影響因子對宿舍設計方案合理度 的影響力 ；
:
四、 模型的建立與求解：
宿舍設計方案的綜合量化比較主要包括經濟性、舒適性、安全性這三個方面，而且在上述三個方面中，經濟性又由三個影響因子組成，舒適性主要由五個影響因子組成，安全性主要有兩個影響因子組成。為了評價四個宿舍設計方案的相對合理性，設定一個目標函數值 ， 的值越大就表示方案相對越合理。
由於各類不同的宿舍設計方案對上述各種不同影響因子的取捨不同，那麼各種因子對合理度 的值的貢獻也不同，設置各個因子對合理度 的貢獻權重為： ，由此得到確切的評價宿舍設計方案的合理度目標函數：
模型中權重值 通過層次分析法得到，各種影響因子的影響值 可參照圖紙通過五分制打分法得到。
（一）用層次分析法計算權重時 ，具體的演算法如下所述：
1)在認真分析影響宿舍設計方案合理度的各個直接因子(經濟性、舒適性、安全性)之間的關系後，我們建立宿舍設計方案的遞階層次結構：
2)對同一層次的各個因子關於上一層次中某一準則的重要性進行兩兩比較，構造兩兩比較判斷矩陣。在構造兩兩比較判斷矩陣的過程中，按1～9比例標度對重要性程度進行賦值。
對於任何一個准則，幾個被比較元素通過兩兩比較就可以得到一個判斷矩陣:
其中 就是 與 相對於 的重要性比例標度。
3)根據得到的判斷矩陣，我們採用「特徵根法」來求解判斷矩陣中被比較元素的排序權重向量。
對於本模型而言，我們認為經濟性比舒適性稍微重要，經濟性比安全性略微
重要，安全性比舒適性略微重要，依據上述的層次分析方法及1-9比例標度賦值，利用matlab軟體計算得到如下各個層次下的判斷矩陣和其對應的特徵值、特徵向量、一致性指標。
標 度 含 義
1 表示兩個因子相比，具有同樣重要性
3 表示兩個因子相比，一個因子比另一個因子稍微重要
5 表示兩個因子相比，一個因子比另一個因子明顯重要
7 表示兩個因子相比，一個因子比另一個因子強烈重要
9 表示兩個因子相比，一個因子比另一個因子極端重要
2,4,4,8 上述兩相鄰判斷的中值
倒數 因素 與 比較的判斷 ，則因素 與 比較的判斷
表1 判斷矩陣元素 的標度方法
（1）
表1 目標層的判斷矩陣
A B1 B2 B3
B1 1 3 2 0.5279
B2 1/3 1 1/3 0.1396
B3 1/2 3 1 0.3325
最大特徵值： =3.0536
一致性指標: = = =0.0268
表4 隨機一次性指標
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49
隨機一致性指標: =0.58(查表4)
一致性比率: 通過一致性檢驗
（2）
表2 准則層B1的判斷矩陣
B1 C1 C2 C3
C1 1 5 4 0.6833
C2 1/5 1 1/2 0.1169
C3 1/4 2 1 0.1998
最大特徵值： =3.0246
一致性指標： = 0.0123
隨即一致性指標： =0.58(查表4)
一致性比率： 通過一致性檢驗
（3）
表3 准則層B2的判斷矩陣
B2 C4 C5 C6 C7 C8
C4 1 2 4 5 5 0，4375
C5 1/2 1 3 4 4 0．2855
C6 1/4 1/3 1 3 3 0．1451
C7 1/5 1/4 1/3 1 1 0.0660
C8 1/5 1/4 1/3 1 1 0.0660
最大特徵值： =5.1399
一致性指標： =
隨即一致性指標： =1.12(查表4)
一致性比率： 通過一致性檢驗
（4）
表4 准則層B3的判斷矩陣
B3 C9 C10
C9 1 3 0.7500
C10 1/3 1 0.2500
最大特徵值： =2
在此基礎上， 層對 權重總排序 ，結果可下表計算可得：
表5 合成排序
C B B1 B2 B3 總排序權值
0.5279 0.1396 0.3325
C1 0.6833 0 0 0.3607
C2 0.1169 0 0 0.0617
C3 0.1998 0 0 0.1055
C4 0 0.4375 0 0.0611
C5 0 0.2855 0 0.0399
C6 0 0.1451 0 0.0203
C7 0 0.0660 0 0.0092
C8 0 0.0660 0 0.0092
C9 0 0 0.75 0.2494
C10 0 0 0.25 0.0931
綜合（1）（2）（3）（4）求得的一次性指標檢驗值都符合要求，說明上述所得的權重向量是合理的。
（二）採用五分制打分法計算以上四個設計方案中各個影響因子的值 如下表：
表一：四種設計方案的評分
因子
方案
方案一 5 5 2 2 1 1 5 5 1 2
方案二 2 2 5 4 5 3 4 4 4 4
方案三 3 2 4 3 4 5 5 4 4 4
方案四 2 3 2 5 3 2 4 5 5 5
通過函數 用matlab軟體求得四種設計方案的合理度為：
3.0130 ; 3.2918； 3.4533 ； 3.3619 ；
因為 3.4533 是四個方案中最大合理度，所以我們認為在全國平均水平下，方案三是相對較為合理的方案。而四個方案的最後合理度相差不大，說明以上四種設計方案都是合理的。
（二）現在我們根據經濟性、舒適性、安全性占整個設計方案中的比例對這四種設計方案分別進行評價：
比例結果如下圖：
圖2
方案一：該方案建築面積小，設施布置公共集中，宿舍入住人數較多， 收費比較低廉，經濟性好，舒適性差，安全性差，適用於人數較多，考慮經濟性比較多，建築面積有限的環境下採用此種方案；
方案二：該方案面積大，入住人數較多，基礎設施十分齊全，但造價高，設施浪費嚴重，經濟性比較差，安全性能好，舒適性較好，適用於人數較多但安全性和舒適性要求較高的環境；
方案三：該方案入住人數多，設施齊全且布置相對集中，樓梯、陽台、公用設備等布置合理且不浪費，經濟性較好，舒適性較好，安全性好，適用於綜合考慮三方面要求的環境；
方案四：該方案入住人數少，住宿環境寬松，生活設施獨立布置，安全性很好，舒適性好，經濟性差，適用於人數較少，建築面積足夠大，對舒適性及安全性要求比較高的環境；
五、 模型的評價與推廣：
（一）模型評價
該模型在綜合全國的平均選擇水平的基礎上進行比較評價四種宿舍設計方案。
優點：該模型能較為明了的描述出：每種設計方案中經濟性、舒適性、安全性所佔的權重值大小，可以粗糙的分析出三種性能在該方案中的地位；
缺點：各項影響因子在建立矩陣，進行標度處理時主觀因素影響比較大，對研究設計方案的經濟性，舒適性，安全性時，不能很精確的計算出三個主要因素在選擇時的權重值
（二）模型推廣
表6 決策層對准則層 的判斷矩陣
S1 上 海 西 安 武 漢
上 海 1 1/5 1/3 0.1095
西 安 5 1 2 0.5815
武 漢 3 1/2 1 0.3090
最大特徵值： =3.007
一致性指標： =
隨即一致性指標： =0.58
一致性比率： 通過一致性檢驗
表7 決策層對准則層 的判斷矩陣
S2 上 海 西 安 武 漢
上 海 1 5 3 0.6483
西 安 1/5 1 1/2 0.1220
武 漢 1/3 2 1 0.2297
最大特徵值： =3.003
一致性指標： =
隨即一致性指標： =0.58
一致性比率： 通過一致性檢驗
表8 決策層對准則層 的判斷矩陣
S3 上 海 西 安 武 漢
上 海 1 3 2 0.5499
西 安 1/3 1 1 0.2099
武 漢 1/2 1 1 0.2402
最大特徵值： =3.0183
一致性指標： =
隨即一致性指標： =0.58
一致性比率： 通過一致性檢驗
六、參考文獻：
[1] 馮樓台 趙賢淑 矩陣論 陝西人民出版社 1994年
[2] 周義倉 赫孝良 數學建模實驗 西安交通大學出版社 1999年
[3] 馬莉 MATLAB數學實驗與建模 清華大學出版社 2010年
[4] 中華人民共和國行業標准 宿舍建築設計規范 2006年2月1日實施
[5]
[6]
七、附錄：