『壹』 動態規劃在地下水資源系統中的應用
地下水系統模擬與管理問題就是在充分掌握和預知地下水系統的空間結構、埋藏條件以及各種影響和控制其行為規律的自然和人為因素的前提下，進而對其進行科學的、定量的模擬與預測、管理和調控，使其向著人們所期望的目標發展和演化。地下水系統的行為規律又取決於與其關聯的外部環境和系統內部參數的時、空變化規律。在地下水資源開采過程中，這些外部環境和內部參數都會發生變化，所以需要進行動態規劃與管理。
狹義的動態是指時間過程，如地下水的水位、水量、水質隨時間的變化等。故動態規劃就是指在地下水開採的過程中，依次採取一系列的決策，以實現整個過程的最優化問題。而對於時間過程不明顯或沒有時間過程的所謂靜態問題，如水資源分配、投資分配、最優線路等，在一定條件下，只要依據時間特點，把過程分為若干階段，在靜態模型中人為地引進時間因素，當作多階段決策過程來考慮，同樣可用動態規劃的原理來研究。所以，動態規劃實質上是將一個較復雜的過程最優化決策問題，轉化為多階段的一系列簡單靜態問題來求解［117］。
近年來，我國許多學者研究了動態規劃在水資源系統中的優化問題。方樂潤等［118］建立了地下水資源系統的動態規劃模型，並應用於內蒙古余糧堡灌域地下水的多年調節計算；李樹文等［119］藉助動態規劃理論，分析了地表水與地下水統籌管理的多階段決策問題，考慮到水資源系統的動態屬性和系統屬性，在建立水資源管理模型時，兼顧了地表水和地下水兩類資源，同時分析了它們的多階段開發問題，增強了模型的應用效果；唐德善［120］應用大系統分解協調法建立地區水資源優化分配數學模型，以遞階動態規劃法闡明了求解地區水資源優化分配數學模型的思路，並以實例說明了模型的求解過程；王柏明、向速林等［121，122］以動態規劃理論為依據，介紹了動態規劃在水資源優化配置中的應用實例。
在此以潛水含水層中兩單元穩定抽水量的最優分配問題為例，探討動態規劃在地下水管理中的應用。
假設有一矩形均質潛水含水層，三面為隔水邊界，一面傍河，河水可視為定水頭邊界（圖4.1）。地下水接受大氣降水補給，向河流排泄，已知含水層的長2L、寬B分別為20000m和10000m，導水系數為3.6×106m2/a，降水入滲系數為0.36m/a。含水層分為兩個單元，單元1、2的單位流量抽水費用分別為0.2元/m3/a和0.1元/m3/a。現規劃要求對單元1和單元2的穩定抽水流量Q1、Q2進行最優分配，使其在滿足總需水量45×106m3/a和兩單元的穩定水位分別不低於允許最低水位2.5m和5.0m的條件下，總抽水費用最小。
圖4.1 矩形潛水含水層
4.1.4.1 線性規劃管理模型
應用嵌入法構建的管理模型為：
目標函數：minZ=0.1Q1+0.2Q2（4.1）
約束條件：
含有協變數的地下水動態規劃管理模型研究
本例應用Lingo軟體求解，經過6次迭代，得到最優解計算結果（表4.1）。
表4.1 嵌入法的計算結果
4.1.4.2 動態規劃求解
本例採用動態規劃順序遞推法求解。分兩個階段，即k=1，2。決策變數為Q1和Q2，狀態變數u1，u2，u3分別表示從第1階段到第2階段中第一約束至第三約束可供分配的右端數值。應用狀態轉移方程法把水位約束用水量約束表示出來。並取水量單位為106m3/a，費用單位為106元/a。則模型如下：
目標函數：
約束條件：
含有協變數的地下水動態規劃管理模型研究
此管理模型的求解過程如下：
（1）當k=1時，有：
含有協變數的地下水動態規劃管理模型研究
相應地有Q1=u3-Q2，因為u3=45，故Q1=45-Q2。
（2）求出Q2的取值范圍。由Q1=45-Q2和其他約束條件一起求出Q2的取值范圍是0≤Q2≤36.5。
（3）當k=2時，由最優化原則，有：
含有協變數的地下水動態規劃管理模型研究
相應地有Q2=0m3/a，則Q1=45-Q2=45×106m3/a，總抽水費用最小值為4.5×106元/a。
由規劃結果可以看出，線性規劃與動態規劃計算結果一致。這說明動態規劃法對於解決多階段決策過程最優化問題，是比較有效的，其關鍵在於如何恰當地確定多階段問題的動態規劃數學模型和遞推方程［121］。
4.1.4.3 動態規劃的不足之處及改進方法
動態規劃對於研究地下水資源最優分配問題，特別是對缺水地區的水資源進行規劃利用和管理，使有限的地下水資源獲得合理的經濟效益，具有重要的意義。應當指出：盡管動態規劃法適用於求解各種各樣的多階段決策問題，但是並非所有的此類問題都能用動態規劃法求得最優解。由於動態規劃法本身固有的一些弱點，限制了它在地下水管理中的一些應用。
動態規劃的不足之處主要有以下兩點：首先，到目前為止沒有一個統一的標准模型可供應用，由於實際問題不同，其動態規劃模型也就有異；其次，該方法存在多狀態決策的「維數災」問題，極大地限制了動態規劃的應用。實踐表明，當狀態變數個數多於四時，一般動態規劃方法求解的計算工作量大得驚人，即使應用現代高速大容量電子計算機也難於勝任［123］。因為隨著狀態變數數目（維數）的增加，每個階段需要檢驗的狀態組合數和計算工作量將按指數規律急劇增加。近年來針對一般動態規劃的維數災問題，不少學者做了大量的研究工作，提出了以下改進方法：
（1）逐次優化演算法（Progressive Optimality Algorithm，POA）：Howson和Saneho於1975年提出POA，用來解決凸性約束條件下多階段決策問題［124］。該方法的優點是不需要對狀態變數進行離散化，能夠得到全局最優解，但是需要大量計算時間。多用於水庫優化調度、水庫群防洪調度、梯級電站經濟運行等問題。
（2）雙狀態動態規劃演算法（Binary State Dynamic Programming，BSDP）：Ozden M於1984年提出BSDP，用來解決四個水庫優化調度問題［125］。該方法的顯著特點在於構造狀態子空間的一些特殊規則，是解決動態規劃「維數災」問題的一種有效方法。國內學者對BSDP做了多方面的深入研究［126］，如迭代收斂條件，避免陷入局部最優解的演算法，庫群步長選取等。
（3）微分動態規劃方法（Differential Dynamic Programming，DDP）：DDP能解決多維動態規劃最優管理問題。該方法逐次向預定目標逼近，與常規動態規劃法相比，大大減少了計算工作量和計算機的存貯量。不足之處在於程序設計較為復雜。在求解水資源（包括地下水和地表水庫）動態規劃管理模型中，目前用得較普遍的方法是微分動態規劃。
除上述改進方法外，還有增量動態規劃法、狀態增量動態規劃法、單增量搜索解法、有後效性動態規劃逐次逼近法、線性-動態規劃演算法、隨機動態規劃、模糊動態規劃法等，在此不再詳述。