凸多邊形凹多邊形凸包演算法

1. 已知n凸多邊形的各頂點坐標 如何將他們順時針排列

(1)找一個內點
(2)計算這個內點到各頂點的角度0-360度
(3)按角度排序

找一個內點：
任選3點x1,y1,x2,y2,x3,y3
計算：
x0=(x1 + x2 + x3)/3
y0=(y1 + y2 + y3)/3.

計算這個內點到各頂點的角度：
dy=yi-y0
dx=xi-x0
ds=sqrt(dx*dx+dy*dy)
sin(Ai) = dy/ds
判斷象限。

排序不用說了吧。

2. 任意多邊形的最小外接圓(注意最小兩字）

這是離散幾何問題. 具體是這樣做的:

1. 多邊形可不妨設為凸的, 因為顯然有凹多邊形跟其凸包多邊形的最小外接圓相同. 演算法上可以先求出給定多邊形的凸包.

2. 設P是一個給定的凸n邊形. 考察其任意三個頂點決定的圓, 至多有{n choose 3}個不同的圓.

3. 設這些圓中能蓋住P的為圓C_1, 圓C_2, ..., 圓C_m.

4. 找出那個最小的圓C_i即可, 這里誰大誰小看直徑, 最小的C_i可能不唯一.

3. 計算機演算法的演算法與程序

雖然演算法與計算機程序密切相關，但二者也存在區別：計算機程序是演算法的一個實例，是將演算法通過某種計算機語言表達出來的具體形式；同一個演算法可以用任何一種計算機語言來表達。
演算法列表
圖論
路徑問題
0/1邊權最短路徑
BFS
非負邊權最短路徑（Dijkstra）
可以用Dijkstra解決問題的特徵
負邊權最短路徑
Bellman-Ford
Bellman-Ford的Yen-氏優化
差分約束系統
Floyd
廣義路徑問題
傳遞閉包
極小極大距離 / 極大極小距離
Euler Path / Tour
圈套圈演算法
混合圖的 Euler Path / Tour
Hamilton Path / Tour
特殊圖的Hamilton Path / Tour 構造
生成樹問題
最小生成樹
第k小生成樹
最優比率生成樹
0/1分數規劃
度限制生成樹
連通性問題
強大的DFS演算法
無向圖連通性
割點
割邊
二連通分支
有向圖連通性
強連通分支
2-SAT
最小點基
有向無環圖
拓撲排序
有向無環圖與動態規劃的關系
二分圖匹配問題
一般圖問題與二分圖問題的轉換思路
最大匹配
有向圖的最小路徑覆蓋
0 / 1矩陣的最小覆蓋
完備匹配
最優匹配
穩定婚姻
網路流問題
網路流模型的簡單特徵和與線性規劃的關系
最大流最小割定理
最大流問題
有上下界的最大流問題
循環流
最小費用最大流 / 最大費用最大流
弦圖的性質和判定
組合數學
解決組合數學問題時常用的思想
逼近
遞推/動態規劃
概率問題
Polya定理
計算幾何 / 解析幾何
計算幾何的核心：叉積 / 面積
解析幾何的主力：復數
基本形
點
直線，線段
多邊形
凸多邊形 / 凸包
凸包演算法的引進，卷包裹法
Graham掃描法
水平序的引進，共線凸包的補丁
完美凸包演算法
相關判定
兩直線相交
兩線段相交
點在任意多邊形內的判定
點在凸多邊形內的判定
經典問題
最小外接圓
近似O(n)的最小外接圓演算法
點集直徑
旋轉卡殼，對踵點
多邊形的三角剖分
數學/數論
最大公約數
Euclid演算法
擴展的Euclid演算法
同餘方程 / 二元一次不定方程
同餘方程組
線性方程組
高斯消元法
解mod 2域上的線性方程組
整系數方程組的精確解法
矩陣
行列式的計算
利用矩陣乘法快速計算遞推關系
分數
分數樹
連分數逼近
數論計算
求N的約數個數
求phi(N)
求約數和
快速數論變換
……
素數問題
概率判素演算法
概率因子分解
數據結構
組織結構
二叉堆
左偏樹
二項樹
勝者樹
跳躍表
樣式圖標
斜堆
reap
統計結構
樹狀數組
虛二叉樹
線段樹
矩形面積並
圓形面積並
關系結構
Hash表
並查集
路徑壓縮思想的應用
STL中的數據結構
vector
deque
set / map
動態規劃/記憶化搜索
動態規劃和記憶化搜索在思考方式上的區別
最長子序列系列問題
最長不下降子序列
最長公共子序列
一類NP問題的動態規劃解法
樹型動態規劃
背包問題
動態規劃的優化
四邊形不等式
函數的凸凹性
狀態設計
規劃方向
線性規劃
常用思想
二分
最小表示法
串
KMP
Trie結構
後綴樹/後綴數組
LCA/RMQ
有限狀態自動機理論
排序
選擇/冒泡
快速排序
堆排序
歸並排序
基數排序
拓撲排序
排序網路

4. arcgiS判斷凸多邊形與凹多邊形

1）角度法：
判斷每個頂點所對應的內角是否小於180度，如果小於180度，則是凸的，如果大於180度，則是凹多邊形。
2）凸包法：
這種方法首先計算這個多邊形的凸包，關於凸包的定義在此不再贅述，首先可以肯定的是凸包肯定是一個凸多邊形。如果計算出來的凸多邊形和原始多邊形的點數一樣多，那就說明此多邊形時凸多邊形，否則就是凹多邊形。
3）頂點凹凸性法
利用以當前頂點為中心的矢量叉乘或者計算三角形的有符號面積判斷多邊形的方向以及當前頂點的凹凸性。
假設當前連續的三個頂點分別是P1，P2，P3。計算向量P1P2,P2P3的叉乘，也可以計算三角形P1P2P3的面積，得到的結果如果大於0，則表示P3點在線段P1和P2的左側，多邊形的頂點是逆時針序列。然後依次計算下一個前後所組成向量的叉乘，如果在計算時，出現負值，則此多邊形時凹多邊形，如果所有頂點計算完畢，其結果都是大於0，則多邊形時凸多邊形。
4）辛普森面積法
利用待判別的頂點以及前後兩個頂點所組成的三角形，利用辛普森公式計算其面積，如果此三角形面積與整個多邊形面積符號相同，那麼這個頂點是凸的；如果此三角形面積與整個多邊形面積符號不同，那麼這個頂點是凹的，即整個多邊形也是凹多邊形。