Ⅰ 馮康對數學的貢獻是什麼
馮康（1920年9月9日～1993年8月17日）應用數學和計算數學家，中國現代計算數學研究的開拓者。生於江蘇南京，少年時代家居江蘇省蘇州，原籍浙江紹興。
1926年至1937年，馮康先後在江蘇省立蘇州中學所屬實驗小學、初中部和高中部就讀。1939年考入中央大學（1949年更名為南京大學）電機工程系學習，兩年後轉物理系，主修電機、物理、數學三系主課，1944年在重慶畢業於中央大學。1946年任教於清華大學。
1951年起在中國科學院計算技術研究所工作，其間1951至1953年在蘇聯斯捷克洛夫數學研究所進修，1957年至1978年在中國科學院計算技術研究所任副研究員、研究員；1978年至1987年任中國科學院計算中心主任，1987年後任該中心名譽理事長。獨立創造了有限元方法，自然歸化和自然邊界元方法，開辟了辛幾何和辛格式研究新領域。
在基礎數學研究中，對拓樸群結構、廣義函數理論等作出貢獻。在應用數學與計算數學方面，指導解決了國民經濟與國防建設中的多項難題。獨立於西方創造了解決橢圓形微分方程的現代系統化的計算方法——變分差分方法，即有限元方法。該成果1982年獲國家自然科學獎二等獎。馮康還提出橢圓方程的自然積分方程、有限元邊界元的自然耦合法，開拓了哈密爾登動力系統辛幾何數值解法。
馮康貢獻
早在20世紀60年代，馮康在介紹自己的研究方法時就曾說過：「我的計算數學研究都不是從閱讀別人的論文開始的，而是從工程或物理原理出發的。」
馮康在成功地創始了有限元方法後，提出了哈密爾頓系統的辛幾何演算法，開辟了一個有廣闊應用前景的全新的研究領域。他為什麼要進行這一方向的研究呢？在1991年中國物理學會年會的邀請報告中，馮康提出了這樣一些關於動力系統的科學問題：在遙遠的未來，太陽系呈現什麼景象？行星將在什麼軌道上運行？地球會與其他星球相撞嗎？
也許有人認為，只要利用牛頓定律，按照現有的計算方法編個程序，再應用超級計算機進行計算，經過充分長的時間，總能得到結果。但這樣的計算結果可以相信嗎？實際上，對這樣復雜的計算，計算機或者根本得不出結果，或者得出一個完全錯誤的結果。即使每一步計算的誤差非常小，但誤差積累起來會使結果面目全非!這是計算方法問題，機器性能再好也無濟於事，編程技巧再高也是無能為力的。
動力系統問題不同於橢圓邊值問題，有限元方法已不能很好解決此類問題。應該用什麼樣的計算方法來計算動力系統問題呢？馮康在創始有限元方法的過程中已體會到，同一物理過程的各種等價的數學表述可能導致不等效的計算方法。有限元對橢圓邊值問題的成功是因為選擇了適當的力學體系和數學形式。
有限元不能很好地解決動態問題則是由於拉格朗日力學體系不能很好地反映其本質特徵。於是馮康又回到了物理原理。在數學物理方程中列於首位的經典力學方程，有三種等價的數學形式體系：牛頓力學體系，拉格朗日力學體系和哈密爾頓力學體系。其中哈密爾頓體系一直是物理學理論研究的出發點，它的應用涉及物理、力學和工程的眾多領域。但是針對哈密爾頓體系的計算方法直至20世紀80年代初仍是空白。
為什麼不能從哈密爾頓系統出發發展新的計算方法呢？於是馮康便開始這一方向的研究。他發現，惟有哈密爾頓力學體系才是可供選擇的研究動態問題的最適當的力學體系。由於辛幾何是哈密爾頓系統的數學基礎，馮康以他特有的數學直覺抓住了設計哈密爾頓系統數值方法的突破口——辛幾何方法。他組織研究隊伍對哈密爾頓系統的辛幾何演算法進行系統的理論研究和廣泛的數值實驗，經過十餘年堅持不懈的努力，終於取得了極其豐碩的成果。
現在已知，傳統的演算法除了少數例外，幾乎都不是辛演算法，因此不可避免地帶有人為耗散性等歪曲體系特徵的缺陷。而馮康等人提出的為數眾多的辛演算法卻保持了體系結構，特別在穩定性與長期跟蹤能力上具有獨特的優點，已在我國的動力天文、大氣海洋、分子動力學等領域的計算中得到了成功的實際應用。
深入的理論分析和大量的數值實驗令人信服地表明，辛演算法解決了久懸未決的動力學長期預測計算問題。這一類新演算法的出現甚至已改變了某些學科方向的研究途徑，也將在更多的領域得到更廣泛的應用。
馮康個人榮譽
實踐是檢驗真理的唯一標准。令人欣慰的是，隨著時間的推移，馮康的科學業績愈來愈為人們所認識，其巨大的貢獻在眾多領域中凸現出來。
1997年春，菲爾茲獎得主、中國科學院外籍院士丘成桐教授在清華大學所作題為「中國數學發展之我見」的報告中提到，「中國近代數學能夠超越西方或與之並駕齊驅的主要原因有三個，主要是講能夠在數學歷史上很出名的有三個：一個是陳省身教授在示性類方面的工作，一個是華羅庚在多復變函數方面的工作，一個是馮康在有限元計算方面的工作」。
這種對馮康作為數學家（不僅是計算數學家）的高度評價，令人耳目一新。為此，許多人奔走相告產生強烈共鳴，雖則其說法很可能出乎某些人的意料之外。
隨後1997年底國家自然科學一等獎授予馮康的另一項工作「哈密爾頓系統辛幾何演算法」，這是一項遲到的安慰獎，也是對他的科學業績進一步的肯定。
馮康深厚的文化素養
科學家當然不是天上掉下來的星宿，而是在人間的凡人，通過家庭、學校和社會的培養和鍛煉，逐漸成長起來的。
馮康深厚的文化素質要歸功於中學教育。他的母校，有名的蘇州中學顯然起了很大的作用。從家庭角度來說，主要是提供了寬松的學習環境，一種氛圍。「寬松」這一點至關重要，它和當今的情況形成了鮮明的對比。
馮康剛進初中時，英語遇到困難，由於他在小學一點英語也未學過，而其他同學大多學過英語。問題之解決完全靠他自己的努力，很快就跟上了班，不僅如此，還躍居班上的前列。整個這段時期之內，他是輕松愉快地進行學習，而不是中國傳統教育強調的苦學，從來不開夜車（這和他後來的情況完全不同），即使考試時期，亦是如此。當時的中學教育強調「英，國，算」作為基礎，這里稍加介紹。
蘇州中學是省立中學，英語限於課堂教學，毫無口語的訓練。他課堂英語學得不錯，而且還注意到課堂外的自學，在高三期間，常將《高中英語選》上的一些文學作品譯成中文。我記得一篇幽默文章「閨訓」曾發表於雜志「逸經」，另有一篇劇作「月起」，則未發表。抗戰初期學校圖書館被炸。他曾在斷瓦殘垣之間、灰燼之中拾得一本英語殘書《世界偉大的中篇小說集》，他就津津有味地閱讀其中的一些篇章，這是他閱讀英文書刊的開始。英文報紙和電影也成為他學習英語的輔助手段。後來他曾在許多國際會議上用流利的英語作報告並和外國學者交流。他從來沒有受過正規的英語口語訓練，靠的是中學課堂教學的底子，以及後來的多看多用。
至於其它外語，他的俄語受過專門訓練，又在蘇聯住過幾年；德語是大學里學的第二外語，可以順利閱讀書刊；法語是自學的，文革後期還用一套唱片學法語會話。
總的來說，他的外語素養是非常突出的，不僅能看狹義的科學文獻，而且可以在廣泛領域來閱讀與科學有關聯的著作，涉獵極廣，如科學家的回憶錄、傳記、史料與評述等，這些經歷使他廣閱世面，眼界開闊，因而對科學的見解高超過人。
另一方面，文化的滋潤也給他坎坷的生涯中帶來了慰籍和樂趣。1944年，他在卧床不起，前途渺茫之際，即從閱讀莎士比亞的「哈姆萊特」的原文中得到了安慰，他大段朗誦其中的詩句與獨白，並樂此不倦。
他從英文中讀莎士比亞與吉朋，從俄文中讀托爾斯泰，從德文中讀茨威格，從法文中讀波德萊爾，原汁原湯，別有滋味。由此滌盪心胸，陶冶情操，開拓視野，使他在最艱難的歲月里，仍然屹然挺立。
談到中文，他也根底良好。在中學里文言和白話都教，但以文言為主。他能用淺近的文言來寫作。記得在文革後期，無書可讀，他就買了一套四史（史記、漢書、後漢書、三國志）來消遣。很顯然，他的語文素養也在日後的工作中發揮了很好的作用。馮康的科學報告，乃至於講課，均因語言生動精煉，邏輯性強，深受聽眾歡迎。他的文章和講義，也都反映了這一特點。
至於數學，不僅課堂學習成績優異，他還參考原版的范氏大代數等國外教本進行學習和解題，應該說他中學數學根底非常扎實。還有值得一提的是，有一本科普著作對他產生的深遠影響。
在高三時期，他仔細閱讀了朱言鈞著的「數理從談」。朱言鈞（朱公謹）是我國前輩數學家，曾在哥廷根大學留學，回國後在上海交大任教。這本書是通過學者和商人的對話來介紹什麼是現代數學（其中也提到費馬大定理、哥德巴赫等問題），這本書有很強的感染力，使馮康眼界大開，並首次窺見了現代數學的神奇世界，深深為之入迷。這也許是馮康獻身數學立志成為數學家的一個契機。當然，道路並不是筆直的。
馮康寬廣的專業基礎
馮康的大學生涯一波三折，受到人們的關注。正如Lax教授所述「馮康的早年教育為電機工程、物理學與數學，這一背景微妙地形成他後來的興趣。」點出了相當關鍵的問題。作為應用數學家而言，工程和物理學的基礎是至關重要的。
馮康的經歷可以說是培養應用數學家的最理想的方式，雖然這並不是有意識的選擇與安排，而是在無意中碰上的。1938年秋他隨家遷至福建，有半年在家中自學，讀的是薩本棟的《普通物理學》。1939年春去僻處閩西北邵武的協和學院數理系就讀。1939年夏又考上了中央大學電機系。這可能和當時的時代潮流有關。
電機工程被認為是最有用的，又是出路最好的。當時學子趨之若鶩，成為競爭最激烈最難考的系科。他也有青年好勝心，越是難考的，越想要試一試。另外，大哥馮煥（他是中央大學電機系畢業生）的影響也可能是一個因素。這樣他就以第一名的成績考入中大電機系。入學之後逐漸感覺到工科似乎還不夠味，不能滿足他在智力上的飢渴感。於是就想從工科轉理科，目標定為物理系。
由於提出的時間過遲，到二年級尚未轉成，就造成並讀兩系的局面，同時修習電機系與物理系的主課。結果是負擔奇重，對身體產生不利影響，此時脊柱結核已初見徵兆。從有益方面來看，這樣一來他的工科訓練就比較齊備了。
在三、四年級，他幾乎將物理系和數學系的全部主要課程讀完。在此過程中，他的興趣又從物理轉到數學上去了。值得注意的是20世紀40年代正當數學抽象化的高潮（以Boubaki學派為其代表），這股潮流也波及中國大學中有志數理科學的莘莘學子，他們存在不切實際的知識上的「勢利眼」，理科高於工科，數學在理科中地位最高，而數學本身也是愈抽象愈好。馮康之由工轉理，從物理轉數學，而且在數學中傾向於純粹數學，正是這種思潮的體現。
他在學科上兜了一個圈子，對他以後向應用數學方向發展，確有極大的好處。試想當初如果直接進數學系，雖然也要必修一些物理課程，由於上述的心理障礙，必然收效甚微，物理如此，更何況工程了。當前拓寬大學專業的呼聲又甚囂塵上，馮康的事例對此可以給予一些啟迪。
馮康在大學讀完不久，以脊椎結核發病，由於無錢住院治療，就卧病在家。1944年5月到1945年9月，這是他一生中最困難的時期。在病床上他仍孜孜不倦地學習現代數學的經典著作。
馮康晝夜沉溺其中，樂此而不疲，使他忘卻了切身的病痛和周圍險惡的環境。這種數學上的進取精神，既進一步鞏固基礎，又和當代的新發展前沿銜接起來了，使他對現代數學的領悟又上了一個台階。1946年夏，他的傷口居然奇跡般地癒合，能站起來了，隨後他到復旦大學任教，他仍堅持不懈地自學。
馮康兩次重大的科學突破
在科學上做出重大突破，往往是可遇而不可求的。眼光、能力和機遇，三者缺一不可。馮康在一生中實現了科學上的兩次重大突破，是非常難能可貴的，值得大書一筆。一是1964～1965年間獨立地開創有限元方法並奠定其數學基礎；二是在1984年以後創建的哈密爾頓系統的辛幾何演算法及其發展。當前科學上創新的問題成為議論的焦點，不妨以馮康這兩次突破作為科學上創新的案例，特別值得強調的是，這兩次突破都是在中國土地上由中國科學家發現的。對之進行認真的案例分析，尚有待於行家來進行。
這兩次突破之所以能實現，不僅是得力於馮康的數學造詣，還和他精通經典物理學和通曉工程技術密切相關。科學上的突破常具有跨學科的特徵。另一點需要強調的是在突破之前存在有長達數年的孕育期。需要厚積而發，急功近利的做法並不可取。
開創有限元方法的契機來自國家的一項攻關任務，即劉家峽大壩設計中包括的計算問題。面對這樣一個具體實際問題，馮康以敏銳的眼光發現了一個基礎問題。
他考慮到按常規來做，處理數學物理離散計算方法要分四步來進行：即（1）明確物理機制，（2）寫出數學表述，（3）採用離散模型，（4）設計演算法。但對幾何和物理條件復雜的問題，常規的方法不一定奏效。因而他考慮是否可以越出常規，並不先寫下描述物理現象的微分方程，而是從物理上的守恆定律或變分原理出發，直接和恰當的離散模型聯系起來。
在過去Euler、Rayleigh、Ritz、Polya等大師曾經考慮過這種做法，但這些都是在電子計算機出現之前。結合電子計算機計算特點，將變分原理和差分格式直接聯系起來，就形成了有限元方法，它具有廣泛的適應性，特別適合於處理幾何物理條件復雜的工程計算問題。這一方法的實施始於1964年，解決了具體的實際問題。1965年馮康發表了論文「基於變分原理的差分格式」，這篇論文是國際學術界承認我國獨立發展有限元方法的主要依據。但是十分遺憾的是，對馮康這項重大貢獻的評價姍姍來遲，而且不夠充分。
在20世紀70年代有限元方法重新從國外移植進來，有人公開在會議上大肆譏笑地說「居然有這樣的奇談怪論，說有限元方法是中國人發明的。」會上馮康只得噤口無語，這個事實是馮康親口告訴我的。後來國際交往逐漸多起來了，來訪的法國數學家Lions和美國數學家Lax都異口同聲地承認馮康獨立於國外發展有限元方法的功績，堅冰總算打破了。
文革以後，他雖然繼續在和有限元有關的領域進行工作，也不乏出色的成果，例如間斷有限元與邊界歸化方法等，但他也就開始在搜尋探索下一次突破的關口。他關注並進行了解處在數學與物理邊界區域中的新動向，閱讀了大量文獻資料。
20世紀70年代Arnold的「經典力學的數學問題」問世，闡述了哈密頓方程的辛幾何結構，給他很大的啟發，使他找到了突破口。他在計算數學中長期實踐，使他深深領悟到同一物理定律的不同的數學表述，盡管在物理上是等價的；但在計算上是不等價的（他的學生稱之為馮氏大定理），這樣經典力學的牛頓方程、拉格朗日方程和哈密頓方程，在計算上表現出不同的格局，由於哈密爾頓方程具有辛幾何結構，他敏銳地察覺到如果在演算法中能夠保持辛幾何的對稱性，將可避免人為耗散性這類演算法的缺陷，成為具有高保真性的演算法。這樣他就開拓了處理哈密爾頓系統計算問題的康莊大道，他戲稱為哈密爾頓大道，在天體力學的軌道計算，粒子加速器中的軌道計算和分子動力學計算中得到廣泛的應用。