二叉樹演算法應用

1. 二叉樹演算法是什麼

二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的有序樹。通常子樹被稱作「左子樹」(left subtree)和「右子樹」(right subtree)。二叉樹常被用於實現二叉查找樹和二叉堆。

性質

1、在二叉樹中，第i層的結點總數不超過2^(i-1)。

2、深度為h的二叉樹最多有2^h-1個結點（h>=1)，最少有h個結點。

3、對於任意一棵二叉樹，如果其葉結點數為N0，而度數為2的結點總數為N2，則N0=N2+1。

2. 二叉樹演算法是什麼

二叉樹的每個結點至多隻有二棵子樹(不存在度大於2的結點)，二叉樹的子樹有左右之分，次序不能顛倒。

二叉樹的第i層至多有2^（i 1）個結點；深度為k的二叉樹至多有2^k 1個結點；對任何一棵二叉樹T，如果其終端結點數為n0，度為2的結點數為n2，則n0 = n2 + 1。二叉樹演算法常被用於實現二叉查找樹和二叉堆。

二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的有序樹。通常子樹被稱作「左子樹」(left subtree)和「右子樹」(right subtree)。二叉樹常被用於實現二叉查找樹和二叉堆。

(2)二叉樹演算法應用擴展閱讀：

二叉樹也是遞歸定義的，其結點有左右子樹之分，邏輯上二叉樹演算法有五種基本形態：

1、空二叉樹——(a)

2、只有一個根結點的二叉樹——(b);

3、右子樹為空的二叉樹——(c);

4、左子樹為空的二叉樹——(d);

5、完全二叉樹——(e)

注意：盡管二叉樹與樹有許多相似之處，但二叉樹不是樹的特殊情形。

3. 二叉樹最小權路徑長度演算法

問題描述：給定一棵樹T，含有n個葉子節點，並且每個葉子節點都有一個權重值{A1,A2,A3...An}。目標是計算樹T的最小權路徑長度（WPL）。例如，2021年408這道題。

方法1：具體演算法如下。舉例說明。

首先構造哈夫曼樹。哈夫曼樹的構建順序無需特定規則，但按照某種規律繪制可以更清晰地展示思路。這里我們以左節點作為順序。

接著，依次累加所有葉子節點的帶權路徑長度。從構造的哈夫曼樹中可以得知所有節點的路徑長度，如「16」節點的路徑長度為2。因此，WPL=(16+21+30)*2+(10+12)*3=200。

方法2：這里簡要證明上述結論。

對於哈夫曼樹T1中的兩個兄弟葉子節點N1、N2，假設N1、N2的父節點為P1。N1的路徑長度為d。刪除N1、N2後得到的哈夫曼樹為T2。計算得到W(N1)+W(N2)=N1+N2+(N1+N2)*(d-1)。由此得出W(P1)=P1*(d-1)=W(N1)+W(N2)+N1+N2。因此，W(T1)=W(T2)+N1+N2。

按照哈夫曼樹構建過程，知道WPL(T1)=N1+N2+N3......+N，即WPL為所有葉子結點權重之和。

方法3：不繪制哈夫曼樹直接計算WPL。按照方法2的過程，每次找到最小的兩個節點後，直接累加到WPL里，並遞歸計算WPL。即WPL(T1)=min(n1+n2)+WPL(T2)。

代碼實現：

JS實現：

C語言實現：

4. 二叉樹遍歷的演算法實現

從二叉樹的遞歸定義可知，一棵非空的二叉樹由根結點及左、右子樹這三個基本部分組成。因此，在任一給定結點上，可以按某種次序執行三個操作：
⑴訪問結點本身（N），
⑵遍歷該結點的左子樹（L），
⑶遍歷該結點的右子樹（R）。
以上三種操作有六種執行次序：
NLR、LNR、LRN、NRL、RNL、RLN。
注意：
前三種次序與後三種次序對稱，故只討論先左後右的前三種次序。 根據訪問結點操作發生位置命名：
① NLR：前序遍歷(PreorderTraversal亦稱（先序遍歷））
——訪問根結點的操作發生在遍歷其左右子樹之前。
② LNR：中序遍歷(InorderTraversal)
——訪問根結點的操作發生在遍歷其左右子樹之中（間）。
③ LRN：後序遍歷(PostorderTraversal)
——訪問根結點的操作發生在遍歷其左右子樹之後。
注意：
由於被訪問的結點必是某子樹的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解釋為根、根的左子樹和根的右子樹。NLR、LNR和LRN分別又稱為先根遍歷、中根遍歷和後根遍歷。 1．先（根）序遍歷的遞歸演算法定義：
若二叉樹非空，則依次執行如下操作：
⑴ 訪問根結點；
⑵ 遍歷左子樹；
⑶ 遍歷右子樹。
2．中（根）序遍歷的遞歸演算法定義：
若二叉樹非空，則依次執行如下操作：
⑴遍歷左子樹；
⑵訪問根結點；
⑶遍歷右子樹。
3．後（根）序遍歷得遞歸演算法定義：
若二叉樹非空，則依次執行如下操作：
⑴遍歷左子樹；
⑵遍歷右子樹；
⑶訪問根結點。 用二叉鏈表做為存儲結構，中序遍歷演算法可描述為：
void InOrder(BinTree T)
{ //演算法里①~⑥是為了說明執行過程加入的標號
① if(T) { // 如果二叉樹非空
② InOrder(T->lchild）；
③ printf(%c，T->data）； // 訪問結點
④ InOrder(T->rchild);
⑤ }
⑥ } // InOrder 計算中序遍歷擁有比較簡單直觀的投影法，如圖
⑴在搜索路線中，若訪問結點均是第一次經過結點時進行的，則是前序遍歷；若訪問結點均是在第二次（或第三次）經過結點時進行的，則是中序遍歷（或後序遍歷）。只要將搜索路線上所有在第一次、第二次和第三次經過的結點分別列表，即可分別得到該二叉樹的前序序列、中序序列和後序序列。
⑵上述三種序列都是線性序列，有且僅有一個開始結點和一個終端結點，其餘結點都有且僅有一個前驅結點和一個後繼結點。為了區別於樹形結構中前驅（即雙親）結點和後繼（即孩子）結點的概念，對上述三種線性序列，要在某結點的前驅和後繼之前冠以其遍歷次序名稱。
【例】上圖所示的二叉樹中結點C，其前序前驅結點是D，前序後繼結點是E；中序前驅結點是E，中序後繼結點是F；後序前驅結點是F，後序後繼結點是A。但是就該樹的邏輯結構而言，C的前驅結點是A，後繼結點是E和F。
二叉鏈表基本思想
基於先序遍歷的構造，即以二叉樹的先序序列為輸入構造。
注意：
先序序列中必須加入虛結點以示空指針的位置。
【例】
建立上圖所示二叉樹，其輸入的先序序列是：ABD∮∮∮CE∮∮F∮∮。
構造演算法
假設虛結點輸入時以空格字元表示，相應的構造演算法為：
void CreateBinTree (BinTree **T){ //構造二叉鏈表。T是指向根指針的指針，故修改*T就修改了實參（根指針）本身 char ch； if((ch=getchar())=='') *T=NULL； //讀入空格，將相應指針置空 else{ //讀人非空格 *T=(BinTNode *)malloc(sizeof(BinTNode））； //生成結點 （*T)->data=ch； CreateBinTree(&(*T)->lchild）； //構造左子樹 CreateBinTree(&(*T)->rchild）； //構造右子樹 }}
注意：
調用該演算法時，應將待建立的二叉鏈表的根指針的地址作為實參。
示例
設root是一根指針（即它的類型是BinTree），則調用CreateBinTree(&root）後root就指向了已構造好的二叉鏈表的根結點。
二叉樹建立過程見
下面是關於二叉樹的遍歷、查找、刪除、更新數據的代碼（遞歸演算法）： #include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>#include<iomanip>#include<cstdlib>#include<ctime>#include<algorithm>#include<cstring>#include<string>#include<vector>#include<list>#include<stack>#include<queue>#include<map>#include<set>usingnamespacestd;typedefintT;classbst{structNode{Tdata;Node*L;Node*R;Node(constT&d,Node*lp=NULL,Node*rp=NULL):data(d),L(lp),R(rp){}};Node*root;intnum;public:bst():root(NULL),num(0){}voidclear(Node*t){if(t==NULL)return;clear(t->L);clear(t->R);deletet;}~bst(){clear(root);}voidclear(){clear(root);num=0;root=NULL;}boolempty(){returnroot==NULL;}intsize(){returnnum;}TgetRoot(){if(empty())throwemptytree;returnroot->data;}voidtravel(Node*tree){if(tree==NULL)return;travel(tree->L);cout<<tree->data<<'';travel(tree->R);}voidtravel(){travel(root);cout<<endl;}intheight(Node*tree){if(tree==NULL)return0;intlh=height(tree->L);intrh=height(tree->R);return1+(lh>rh?lh:rh);}intheight(){returnheight(root);}voidinsert(Node*&tree,constT&d){if(tree==NULL)tree=newNode(d);elseif(ddata)insert(tree->L,d);elseinsert(tree->R,d);}voidinsert(constT&d){insert(root,d);num++;}Node*&find(Node*&tree,constT&d){if(tree==NULL)returntree;if(tree->data==d)returntree;if(ddata)returnfind(tree->L,d);elsereturnfind(tree->R,d);}boolfind(constT&d){returnfind(root,d)!=NULL;}boolerase(constT&d){Node*&pt=find(root,d);if(pt==NULL)returnfalse;combine(pt->L,pt->R);Node*p=pt;pt=pt->R;deletep;num--;returntrue;}voidcombine(Node*lc,Node*&rc){if(lc==NULL)return;if(rc==NULL)rc=lc;elsecombine(lc,rc->L);}boolupdate(constT&od,constT&nd){Node*p=find(root,od);if(p==NULL)returnfalse;erase(od);insert(nd);returntrue;}};intmain(){bstb;cout<<inputsomeintegers:;for(;;){intn;cin>>n;b.insert(n);if(cin.peek()==' ')break;}for(;;){cout<<inputdatapair:;intod,nd;cin>>od>>nd;if(od==-1&&nd==-1）break;b.update(od,nd);}}