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組合最優化與演算法pdf

 發布時間：2025-03-08 08:31:43

❶ 200分求動態規劃詳解！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

嗯···我學動歸不是很久，同樣是迷惘過，估計兩個月前剛剛開竅……
你看他寫的什麼無後效性什麼最優子結構的就頭大，我也頭大%…………
動態規劃一般解決兩類問題，一類是最優化問題,就是問你最大價值最小數什麼的，另一類是方案總數問題。

細分的話類型很多，
我見得多的（我是高二學生，目前在籌備NOIP）
（你那題多我就只說名字了）
背包，樓上連9講都放上來了我就不多說了……
最長不上升不下降子序列問題（比如說潘帕斯雄鷹生日模擬賽的飛翔，就是很經典的不下降的變形）
資源分配問題（比如說櫥窗布置，馬棚問題，機器分配問題）
區間動歸（乘積最大，能量項鏈等等）
最長公共子序列問題（有個遺傳編碼好像）；
解決方案樹的比如說爬樓梯問題……………………

動態規劃的類型很多很多，因為他很靈活的，我們老師曾經給我們找了100個DP方程，但是那都沒有用，強記根本記不住，關鍵是理解。

深入一點的就有DP的優化，時間空間的降維（就是用別的方法去做，或者比如說背包本來是二維的空間優化過該成一維的了），樹形DP（這個我也不會）。
（優化裡面有個很經典的題《過河》）

我對DP是屬於那種突然就開了竅的……別看說「動態規劃」什麼的唬人，其實就是一個比較一個計算，知道他干什麼了題上來就有頭緒，方程啊思想啊就有了……

主要也是多看題吧，從簡單的開始，理解他的思想……自己寫動歸的時候注意下面幾個問題：
1、大前提是確定你做的是動歸題……看得多了也就知道自己面對的是什麼類型的題了
2、次前提是想法要對（我做題的時候先想這道題時間空間的維度，然後根據這個去想方程），方程正確，
實在想不起來可以先看題解，去理解人家的思想之後，不要看標程把程序做出來……
3、注意數組不要開的過小，一般都是左右都開大一點，比如他的數據范圍是1~100 ，數組就開0~101.這個是防越界的，因為很多DP賦初值的時候會用到F[0],F[0,0]
4、初始值要正確，因為很多DP其他地方都是正確的因為初始值賦錯了而全部過不了的情況是很常見的……（比如說USACO裡面的貨幣系統）
5、DP循環的范圍要正確，一般根據題來判斷范圍寫多少的（比如說櫥窗問題，今天下午寫這個題因為循環寫錯了一直AC不了）

USACO里也有很多DP題，可以做……
以上全部手打，希望能對你有所幫助。
我也是正在學習的人，上面的東西不一定全部正確，但是對我而言很受用，也算是我的經驗了。希望日後能一起學習交流外加進步嘍
QQ：340131980
1. 資源問題1
-----機器分配問題
F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])

2. 資源問題2
------01背包問題
F[I,j]:=max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j]);

3. 線性動態規劃1
-----樸素最長非降子序列
F:=max{f[j]+1}

4. 剖分問題1
-----石子合並
F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);

5. 剖分問題2
-----多邊形剖分
F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a);

6. 剖分問題3
------乘積最大
f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);

7. 資源問題3
-----系統可靠性(完全背包)
F[i,j]:=max{f[i-1,j-c*k]*P[I,x]}

8. 貪心的動態規劃1
-----快餐問題
F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3}

9. 貪心的動態規劃2
-----過河 f=min{{f(i-k)} (not stone)
{f(i-k)}+1} (stone); +貪心壓縮狀態

10. 剖分問題4
-----多邊形-討論的動態規劃
F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j];
負負 g[I,k]*f[k+1,j];
正負 g[I,k]*f[k+1,j];
負正 f[I,k]*g[k+1,j];} g為min

11. 樹型動態規劃1
-----加分二叉樹 (從兩側到根結點模型)
F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}

12. 樹型動態規劃2
-----選課 (多叉樹轉二叉樹,自頂向下模型)
F[I,j]表示以i為根節點選j門功課得到的最大學分
f[i,j]:=max{f[t.l,k]+f[t.r,j-k-1]+c}

13. 計數問題1
-----砝碼稱重
f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];
(1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a;)

14. 遞推天地1
------核電站問題
f[-1]:=1; f[0]:=1;
f:=2*f[i-1]-f[i-1-m]

15. 遞推天地2
------數的劃分
f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];

16. 最大子矩陣1
-----一最大01子矩陣
f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;
ans:=maxvalue(f);

17. 判定性問題1
-----能否被4整除
g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false;
g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)

18. 判定性問題2
-----能否被k整除
f[I,j±n mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n

20. 線型動態規劃2
-----方塊消除游戲
f[i,i-1,0]:=0
f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),
f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}
ans:=f[1,m,0]

21. 線型動態規劃3
-----最長公共子串，LCS問題
f[i,j]={0(i=0)&(j=0);
f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x=y[j]);
max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x<>y[j]);

22. 最大子矩陣2
-----最大帶權01子矩陣O(n^2*m)
枚舉行的起始，壓縮進數列，求最大欄位和，遇0則清零

23. 資源問題4
-----裝箱問題(判定性01背包)
f[j]:=(f[j] or f[j-v]);

24. 數字三角形1
-----樸素の數字三角形
f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);

25. 數字三角形2
-----晴天小豬歷險記之Hill
同一階段上暴力動態規劃
if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]

26. 雙向動態規劃1
數字三角形3
-----小胖辦證
f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])

27. 數字三角形4
-----過河卒
//邊界初始化
f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];

28. 數字三角形5
-----樸素的打磚塊
f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);

29. 數字三角形6
-----優化的打磚塊
f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}

30. 線性動態規劃3
-----打鼴鼠』
f:=f[j]+1;(abs(x-x[j])+abs(y-y[j])<=t-t[j])

31. 樹形動態規劃3
-----貪吃的九頭龍

32. 狀態壓縮動態規劃1
-----炮兵陣地
Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])
If (map and plan[k]=0) and
((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)

33. 遞推天地3
-----情書抄寫員
f:=f[i-1]+k*f[i-2]

34. 遞推天地4
-----錯位排列
f:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);
f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);

35. 遞推天地5
-----直線分平面最大區域數
f[n]:=f[n-1]+n
:=n*(n+1) div 2 + 1;

36. 遞推天地6
-----折線分平面最大區域數
f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;

37. 遞推天地7
-----封閉曲線分平面最大區域數
f[n]:=f[n-1]+2*(n-1)
:=sqr(n)-n+2;
38 遞推天地8
-----凸多邊形分三角形方法數
f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n;
對於k邊形
f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)

39 遞推天地9
-----Catalan數列一般形式
1,1,2,5,14,42,132
f[n]:=C(2k,k) div (k+1);

40 遞推天地10
-----彩燈布置
排列組合中的環形染色問題
f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);

41 線性動態規劃4
-----找數
線性掃描
sum:=f+g[j];
(if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)

42 線性動態規劃5
-----隱形的翅膀
min:=min{abs(w/w[j]-gold)};
if w/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);

43 剖分問題5
-----最大獎勵
f:=max(f,f[j]+(sum[j]-sum)*i-t

44 最短路1
-----Floyd
f[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);
ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];
45 剖分問題6
-----小H的小屋
F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);

46 計數問題2
-----隕石的秘密（排列組合中的計數問題）
Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];
F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);

47 線性動態規劃
------合唱隊形
兩次F:=max{f[j]+1}＋枚舉中央結點

48 資源問題
------明明的預算方案：加花的動態規劃
f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v-v[fb]-v[fa]]+v*p+v[fb]*p[fb]+v[fa]*p[fa]);

49 資源問題
-----化工場裝箱員

50 樹形動態規劃
-----聚會的快樂
f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);
f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);
f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);

51 樹形動態規劃
-----皇宮看守
f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);
f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);
f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);

52 遞推天地
-----盒子與球
f[i,1]:=1;
f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);

53 雙重動態規劃
-----有限的基因序列
f:=min{f[j]+1}
g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])

54 最大子矩陣問題
-----居住空間
f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),
min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),
min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),
f[i-1,j-1,k-1]))+1;
55 線性動態規劃
------日程安排
f:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s)

56 遞推天地
------組合數
C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]
C[I,0]:=1

57 樹形動態規劃
-----有向樹k中值問題
F[I,r,k]:=max{max{f[l,I,j]+f[r,I,k-j-1]},f[f[l,r,j]+f[r,r,k-j]+w[I,r]]}

58 樹形動態規劃
-----CTSC 2001選課
F[I,j]:=w(if i∈P)+f[l,k]+f[r,m-k](0≤k≤m)(if l<>0)

59 線性動態規劃
-----多重歷史
f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)

60 背包問題(+-1背包問題+回溯)
-----CEOI1998 Substract
f[i,j]:=f[i-1,j-a] or f[i-1,j+a]

61 線性動態規劃(字元串)
-----NOI 2000 古城之謎
f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1], f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}

62 線性動態規劃
-----最少單詞個數
f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}

63 線型動態規劃
-----APIO2007 數據備份
狀態壓縮＋剪掉每個階段j前j*2個狀態和j*2+200後的狀態貪心動態規劃
f:=min(g[i-2]+s,f[i-1]);
64 樹形動態規劃
-----APIO2007 風鈴
f:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}
g:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])
g[l]=g[r]=1 then Halt;

65 地圖動態規劃
-----NOI 2005 adv19910
F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];

66 地圖動態規劃
-----優化的NOI 2005 adv19910
F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;

67 目標動態規劃
-----CEOI98 subtra
F[I,j]:=f[I-1,j+a] or f[i-1,j-a]

68 目標動態規劃
----- Vijos 1037搭建雙塔問題
F[value,delta]:=g[value+a,delta+a] or g[value,delta-a]

69 樹形動態規劃
-----有線電視網
f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])
leaves>=p>=l, 1<=q<=p;

70 地圖動態規劃
-----vijos某題
F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);

71 最大子矩陣問題
-----最大欄位和問題
f:=max(f[i-1]+b,b); f[1]:=b[1]

72 最大子矩陣問題
-----最大子立方體問題
枚舉一組邊i的起始，壓縮進矩陣 B[I,j]+=a[x,I,j]
枚舉另外一組邊的其實，做最大子矩陣

73 括弧序列
-----線型動態規劃
f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](ss[j]=」()」or(」[]」)),
f[I+1,j+1]+1 (s[j]=」(」or」[」 ] , f[I,j-1]+1(s[j]=」)」or」]」 )

74 棋盤切割
-----線型動態規劃
f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],
f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]
min{}}

75 概率動態規劃
-----聰聰和可可(NOI2005)
x:=p[p[i,j],j]
f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1
f[I,i]=0
f[x,j]=1

76 概率動態規劃
-----血緣關系
F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2
f[I,i]=1
f[I,j]=0(I,j無相同基因)

77 線性動態規劃
-----決斗
F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j

78 線性動態規劃
-----舞蹈家
F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])

79 線性動態規劃
-----積木游戲
F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k』],f[I,a+1,a+1,k』])

80 樹形動態規劃（雙次記錄）
-----NOI2003 逃學的小孩
樸素的話枚舉節點i和離其最遠的兩個節點 j,k O(n^2)
每個節點記錄最大的兩個值，並記錄這最大值分別是從哪個相鄰節點傳過來的。當遍歷到某個孩子節點的時候，只需檢查最大值是否是從該孩子節點傳遞來的。如果是，就取次大，否則取最大值

81 樹形動態規劃(完全二叉樹)
-----NOI2006 網路收費
F[I,j,k]表示在點i所管轄的所有用戶中，有j個用戶為A，在I的每個祖先u上，如果N[a]>N則標0否則標1，用二進制狀態壓縮進k中，在這種情況下的最小花費
F[I,j,k]:=min{f[l,u,k and (s<<(i-1))]+w1,f[r,j-u,k and(s<<(i-1))]}

82 樹形動態規劃
-----IOI2005 河流
F:=max

83 記憶化搜索
-----Vijos某題,忘了
F[pre,h,m]:=sigma{SDP(I,h+1,M+i)} (pre<=i<=M＋1)

84 狀態壓縮動態規劃
-----APIO 2007 動物園
f[I,k]:=f[i-1,k and not (1<<4)] + NewAddVal

85 樹形動態規劃
-----訪問術館
f[i,j-c×2]:= max ( f[l,k], f[r,j-c×2-k] )

86 字元串動態規劃
-----Ural 1002 Phone
if exist((s,j,i-j)) then f:=min(f,f[j]+1);

87 多進程動態規劃
-----CEOI 2005 service
Min( f[i,j,k], f[i-1,j,k] + c[t[i-1],t] )
Min( f[i,t[i-1],k], f[i-1,j,k] + c[j,t] )
Min( f[i,j,t[i-1]], f[i-1,j,k] + c[k,t] )

88 多進程動態規劃
-----Vijos1143 三取方格數
max(f[i,j,k,l],f[i-1,j-R[m,1],k-R[m,2],l-R[m,3]]);
if (j=k) and (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]) else
if (j=k) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[l,i-l]) else
if (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else
if (j=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else
inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]+a[l,i-l]);

89 線型動態規劃
-----IOI 2000 郵局問題
f[i,j]:=min(f[I,j],f[k,j-1]+d[k+1,i]);

90 線型動態規劃
-----Vijos 1198 最佳課題選擇
if j-k>=0 then Min(f[i,j],f[i-1,j-k]+time(i,k));
91 背包問題
----- USACO Raucous Rockers
多個背包，不可以重復放物品，但放物品的順序有限制。
F[I,j,k]表示決策到第i個物品、第j個背包，此背包花費了k的空間。
f[I,j,k]:=max(f[I-1,j,k],f[I-1,j,k-t]+p,f[i-1,j-1,maxtime-t])

92 多進程動態規劃
-----巡遊加拿大（IOI95、USACO）
d[i,j]=max{d[k,j]+1(a[k,i] & j<k<i),d[j,k]+1(a[I,j] & (k<j))}。

f[i,j]表示從起點出發，一個人到達i，另一個人到達j時經過的城市數。d[i,j]=d[j,i]，所以我們限制i>j
分析狀態(i,j)，它可能是(k,j)(j<k<i)中k到達i得到（方式1），也可能是(j,k)(k<j)中k超過j到達i得到（方式2）。但它不能是(i,k)(k<j)中k到達j得到，因為這樣可能會出現重復路徑。即使不會出現重復路徑，那麼它由(j,k)通過方式2同樣可以得到，所以不會遺漏解 時間復雜度O(n3)

93 動態規劃
-----ZOJ cheese
f[i,j]:=f[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]+a[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]

94 動態規劃
-----NOI 2004 berry 線性
F[I,1]:=s
F[I,j]:=max{min{s-s[l-1]},f[l-1,j-1]} (2≤j≤k, j≤l≤i)

95 動態規劃
-----NOI 2004 berry 完全無向圖
F[I,j]:=f[i-1,j] or (j≥w) and (f[i-1,j-w])

96 動態規劃
-----石子合並 四邊形不等式優化
m[i,j]=max{m[i+1,j], m[i,j-1]}+t[i,j]

97 動態規劃
-----CEOI 2005 service
（k≥long，i≥1）g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long]+1，g[i-1,j,k]}
（k<long，i≥1） g[i, j, k]=max{g[i-1,j-1,t-long]+1，g[i-1,j,k]}
(0≤j≤m， 0≤k<t) g[0,j,k]=0;
ans:=g[n,m,0]。

狀態優化：g[i, j]=min{g[i-1,j]，g[i-1,j-1]+long}
其中(a, b)+long=(a』, b』)的計算方法為：
當b+long ≤t時： a』=a; b』=b+long;
當b+long ＞t時： a』=a+1; b』=long;
規劃的邊界條件：
當0≤i≤n時，g[i,0]=(0,0)

98 動態規劃
-----AHOI 2006寶庫通道
f[k]:=max{f[k-1]+x[k,j]-x[k,i-1], x[k,j]-x[k,i-1]}

99 動態規劃
-----Travel
A) 費用最少的旅行計劃。
設f表示從起點到第i個旅店住宿一天的最小費用；g表示從起點到第i個旅店住宿一天，在滿足最小費用的前提下所需要的最少天數。那麼：
f=f[x]+v, g=g[x]+1
x滿足：
1、 x<i，且d – d[x] <= 800（一天的最大行程）。
2、 對於所有的t < i, d – d[t] <= 800，都必須滿足：
A. g[x] < g[t](f[x] = f[t]時) B. f[x] < f[t] (其他情況)
f[0] = 0，g[0] = 0。 Ans:=f[n + 1]，g[n+1]。

B). 天數最少的旅行計劃。
方法其實和第一問十分類似。
設g』表示從起點到第i個旅店住宿一天的最少天數；f』表示從起點到第i個旅店住宿一天，在滿足最小天數前提下所需要的最少費用。那麼：
g』 = g』[x] + 1, f』 = f』[x] + v
x滿足：
1、 x<i，且d – d[x] <= 800（一天的最大行程）。
2、 對於所有的t < i, d – d[t] <= 800，都必須滿足：
f』[x] < f』[t] g』[x] = g』[t]時
g』[x] < g』[t] 其他情況
f』[0] = 0，g』[0] = 0。 Ans:=f』[n + 1]，g』[n+1]。

100 動態規劃
-----NOI 2007 cash
y:=f[j]/(a[j]*c[j]+b[j]);
g:=c[j]*y*a+y*b;
f:=max(f,g)

❷ 論圖形組織器 圖形組織器的分類包括

[摘 要] 圖形組織器是一種可由學習者自由控制、功能強大的可視化學習工具。本文從學習工具的應用角度討論了圖形組織器的內涵、功能、理論基礎、類型、選用和創建原則等基本問題,以期對圖形組織器有一個基本認識。
[關鍵詞] 圖形組織器;功能;類型;選用框架;創建原則
[中圖分類號] G43 [文獻標識碼] A [文章編號] 1672―0008(2009)06-0061-06

一、圖形組織器的內涵

簡單說來,圖形組織器(Graphic Organizers)是一種用於表現學習過程和結果的圖形結構形式。作為一種學習工具,圖形是形式,是載體,對學習的組織是目的,是關鍵。目前,國外對圖形組織器的理解主要有兩種視角。
1.外形特點的視角
圖形組織器是指知識圖、概念圖、故事圖、認知組織器、先行組織者或概念圖示等[1]。如圖形組織器是一種圖解書面或口頭陳述的圖形方式,是表徵信息的可視化方式[2],等等。
2.應用功能的視角
圖形組織器具有廣泛的應用領域和強大的功能。國外許多研究結合圖形組織器的外形和內涵從多方面闡述了圖形組織器的功能作用:(1)圖形組織器是知識、概念或觀點的可視化表徵。它有助於學習者提高學習興趣、激發動機、減低或釋放厭倦感、提高回憶率、闡明信息、組織思維和促進理解[3] 。(2)圖形組織器是用可視化方式表徵信息的圖形結構,可用於各種學習活動中,如頭腦風暴、觀點生成、分析信息、組織信息和表達發現等等[4]。(3)圖形組織器是建構知識和組織信息的視圖化方式。它有助於學習者將許多雜亂或彌散的信息轉換或精煉為一種結構化的、便於閱讀的圖形化方式,其目的就是用易於理解的方式表達復雜信息[5]。(4)圖形組織器是一種視覺化和圖形化的表現方式,用以描述某一學習任務中事實之間、術語之間或觀點之間的關系,具有系列的工具作用,如使學習者思維可視化,使學習者通過探索理解復雜內容的意義,用可視化的方式表徵不同部分之間的連接和關系,如相似性、差異性、序列性等[6]。
對圖形組織器內涵的理解關鍵要把握兩大要義,其一,圖形組織器是一種視圖化或可視化的形式,如各種各樣的圖形或表格結構形式;其二,圖形組織器的目的或功能是促進學習效果或效率,如分類、分析、比較、概念辨析、概括特點、頭腦風暴或提高記憶或檢索。

二、圖形組織器的功能

圖形組織器具有多方面的功能或作用,對不同類型的學習者來說都是一種理想的學習工具。俗話說,一幅圖畫勝過千言萬語。
從學習者角度而言,有研究認為,圖形組織器作為學習工具有助於使之成為一個投入型的學習者,增進學習動力、講究學習策略、習慣交流協作和提高學習的責任感[7]。運用圖形組織器,學習者通過精簡歸納、聚焦強調、解釋演繹等方式,有助於使復雜的、雜亂的信息變為有意義的表現形式;有助於引導信息搜集、目標鎖定、展現所得、表現所缺的方式,保持探究學習活動的方向;通過聚焦思維或活動目標、識別相關站點或領域,起到思維導圖的作用;通過創建圖形組織器,可增進對學習內容的理解、促進對話協作、匯聚觀點和提高決策力,等等[8]。
從促進學習者認知或思維活動發展的角度而言,有研究總結了圖形組織器的10大功能:①總括文本內容(勾勒要點);②確定或闡釋信息(運用圖形輔助或圖解);③表達理解(運用自己的語言復述);④確認和解釋與文本相關的關鍵詞彙;⑤考察分析文本(如要點、人物行為、問題解決、因果關系、事實/意見或觀點);⑥文本推理(如完形閱讀);⑦比較/對比(如人物、場景、事件);⑧對文本的感受(與個體經驗或感情相關聯);⑨選擇(從目標出發選擇恰當的參考資源);⑩驗證對文本的理解(如通過預測結果或行為)[9]。
從學習工具的角度來理解,更有助於從實用的角度完整地把握圖形組織器的功能。總括起來,圖形組織器可作為如下系列學習工具:
(1)結構化或網路化工具。圖形組織器有助於學習者結構化地展現事件、要素或觀點的關聯、模式和關系;有助於學習者圍繞某一主題或論點組織素材或整合知識;有助於勾畫所學內容的基本結構(基本概念以及概念之間的關系);描述與學習主題相關的已有知識結構,並在現有的知識結構加入新概念、新觀點或新知識。按布魯納的結構教學理論來看,掌握學習內容的基本結構是有效學習的主要標志。
(2)記憶、儲存與檢索工具。好的圖形組織器是知識的記憶、儲存和檢索方式,可以充當知識的寄居地或附帶有效的線索提示;可以促進知識的長期記憶。記憶發生時,首先是編碼,如能成為長時記憶,就可持久地儲存,編碼轉換為事件或信息能成為持久的形式[10]。圖形化的呈現方式能刺激學生大腦建立意義並與記憶建立聯系。
(3)知識凝練與聚合工具。圖形組織器高度濃縮大量的知識,提煉知識的核心內容,可以使學習者聚集相關研究以快速分辨哪些是他們更需要的信息,如,學習者可以帶一個准備好的綱要或大綱去圖書館或上網查找資料[11]。
(4)內化與建構工具。當學習者把大量的數據、信息轉換或凝練成某種圖形組織器時,可以幫助理解和闡釋,實現新舊知識的聯系,促進同化與順應,實現知識的綜合或拓展,從而形成自己的觀點或知識組塊等。因為創建圖形組織器的過程,實際上是一個知識的理解、組織、闡釋、反思和修正的過程,是一個與所學內容對象不斷對話的過程。
(5)問題求解工具。圖形組織器有助於學習者分解問題目標,圍繞目標,促進學習者或學習者之間實現頭腦風暴、觀點發散,集聚問題求解的方法、程序、過程或步驟,篩選或優化問題求解的方案,並在問題求解的過程中不斷產生新知識、新問題或新方法,從而培養學習者解決問題的能力。
(6)創造工具。圖形組織器有助於學習者運行發散和聚合思維,實踐創新思維。比如,與線性的文本不同,圖形里的觀點要素或圖解可以任意編排,學習者可以通過反復不斷地調整圖解形式來增添新的想法。
(7)交流與協作工具。知識的學習離不開社會性建構,即社會性交流與協作。一個組織良好的圖形能簡潔明了地表達想法和理解,吸引他人的注意力,且對關鍵內容的記憶也比純語言交流要長久。個體學習者所創建的圖形代表了一種可能的信息或觀念,可用於與他人分享和交流,並為他人增刪信息提供了一種方便的載體。群體學習者所創建的圖形則代表了群組的信息或觀念,圖形組織器充當了發散和聚合群組觀點的有力工具,因為可視化的形式可以及時將分散在個人腦中的靈感組合成一個整體性的結構。在小組學習、項目學習、問題求解等學習活動中,圖形組織器通常是學習者就某一問題展開討論,集合眾人想法的有效工具。
(8)評價工具。圖形組織器有助於學習者檢驗知識獲取過程和結果的質量。一般來說,只有想不清楚,沒有畫不清楚的圖形。如果學習者對所學內容不理解或無法抽象概括,那麼就不可能運用圖形組織器來表示所學內容。通過圖形組織器,不僅可以檢視學習者對所學內容的把握程度,考量學習者的邏輯思維過程和知識面,而且可以診斷學習者在哪些方面存在思維和知識的殘缺。
此外,學習者可以運用圖形組織器充當過程性評價工具,比如,一個圖形組織器作品反映了學習者在某一特定領域內對知識的理解程度,包括知識相互聯系的多樣化程度,學習者可以在創建作品的過程中反思自己對知識的掌握程度,並且實施及時有效的修訂。

三、圖形組織器的理論基礎

圖形組織器為何能有效地促進學習?其學理何在?相關的理論研究揭示了這一問題。概括地說,圖形組織器的理論基礎主要包括雙重編碼理論、腦科學、經驗之塔、學習理論和知識管理。
1.雙重編碼理論
加拿大心理學家佩維奧(Dual Coding Theory,A. Paivio,1984)認為,人類存在著兩個認知子系統,一個是專用於對非語詞事物、事件(即映像)的表徵與處理,另一個則用於語言的處理。由此也就存在兩種不同的表徵單元,即適用於心理映像的「圖像單元」和適用於語言實體的「語言單元」。前者是根據部分與整體的關系組織的,後者是根據聯想與層級組織的。雙重編碼理論可用於許多認知學習,如記憶、問題求解、概念學習和語言習得。而且說明了吉爾福特智力理論中空間能力的重要性,因為大量通過視覺獲得的映像所涉及的正是空間領域的信息。因此,在信息的儲存、加工與提取中,語言與非語言的信息加工過程是同樣重要的。人類可同時運用視覺和語言的形式呈現信息,以增強信息的回憶與識別。
2.腦科學
研究表明,人的大腦分左右兩個半球,其結構幾乎完全一樣,但功能卻不相同。左腦主司語言表達、邏輯思維、數理演繹、字詞記憶、計算和順序、分類、智力和科學;右腦主司非語言表達、創新思維、形象性感知、具體事物記憶、視覺空間觀察、音樂、感覺力和藝術。正是大腦兩半球分工合作的和諧統一,才使大腦發揮高度復雜的整體功能。人類天生就有運用圖像的能力。據研究,大多數的人腦活動涉及到視覺圖像的處理和分析過程,視覺表徵在不同的任務中優於語言表徵。根據現代腦科學的研究,右腦的視覺思維圍繞左腦邏輯思維所求解的難題進行新舊知覺信息的同構活動是復雜的,甚至是無意識的。在無意識活動中,大腦處於一種高度的自由開放態,使新輸入的知覺信息和積淀知覺信息的同構活動十分活躍,容易獲得一個全新的「知覺形象」,反饋給左腦進行邏輯鑒別,如不符合要求,則以新的「目的意象」送給右腦的視覺思維,如此反復多次直至獲得一個符合目的的推論結果。
3.經驗之塔
該理論的提出者是美國視聽教育家戴爾(Cone of Experience,E.Dale,1946;1964)。經驗之塔是一種關於學習經驗分類的理論模型,其表現的學習經驗分為三大類:一是做的「做」的學習經驗,包括有目的的、直接的經驗,設計的經驗和演戲的經驗。二是「觀察」的學習經驗,包括演示、校外學習旅行、展覽、電視電影、廣播、錄音、靜畫。三是「使用符號」的學習經驗,包括視覺符號和言語符號。各類學習經驗是相互聯系、相互滲透。該理論對教學(包括學習者)如何有效處理直接經驗與間接經驗的聯系,解決具體經驗和抽象經驗的矛盾,防止「言語主義」――從概念到概念的現象等問題具有現實意義。圖形組織器具有隸屬或貫穿三類學習經驗的特點,在「做、觀察和使用符號」的學習經驗類別中具有相應的作用。
4.學習理論
圖形組織器的功用可從諸多學習理論中找到強力的支撐。比如,行為主義關注可觀察和測量的外顯學習行為,強調學習是刺激與反應的聯結,注重強化;認知主義認為學習在於內部認知的變化,學習過程是信息加工過程,是認知結構的組織與再組織,強調同化與順應和對學習任務的整體理解,強調直覺思維的作用(直覺思維通常採取圖像方式進行);建構主義認為,學習是學習者在原有認知結構基礎上主動建構的過程或結果,每個人都能生成自己的認知模式和個性化理解。知識是意義建構的結果,知識的建構需要對所學內容進行闡釋、交流、表達或展現,這是建構知識的必要方式,也是檢測知識建構水平的有效方式,知識建構需要運用多樣化的知識外部表徵(包括圖形組織器),需要運用各種學習工具和學習資源展開問題求解活動。
5.知識管理
知識管理是指組織或個人運用相關工具和方法來獲取、存儲、共享、應用和創新知識的過程。每個學習者都是知識管理者,知識管理的效率直接決定學習的效率。從知識獲取到創新的整個過程涉及到顯性與隱性知識的相互轉換,在這些轉換過程中,知識可視化是一種重要的形式和手段。比如,野中郁次郎(Nonaka,1991)認為,將隱性知識顯性化意味著用某種方式來表達只可意會不可言傳的東西,其最有力的工具之一就是知識可視化。知識可視化能使知識更好地被獲取和討論,也有益於更普遍地管理知識。
此外,知識可視化有助於解決組織中一系列與知識有關的重要問題,如知識傳播中的不對稱性,利用啟發性的草圖和豐富的圖像隱喻促進群體知識創新,通過精簡壓縮的方式減輕學習者的信息負荷,等等[12]。

四、圖形組織器的類型

圖形組織器存在許多類型。由於每個圖形組織器都有顯見的外在形式,因此,掌握圖形組織器類型最為直接簡單的方式就是按其外形特徵來劃分。根據相關研究,按照外形特徵,可將圖形組織器劃分為五種,每一種類型都有其主要的功能或用途。如表1所示[13]。

五、圖形組織器的選用

圖形組織器種類繁多,功能多樣,每一種圖形組織器都可以用來支持多種學習或思維發展。選用圖形組織器的關鍵是:一要掌握圖形組織器的類別、功能或主要用途;二要理解學習或思維發展的目的,從而使手段和目的之間建立起映射關系。那麼,圖形組織器可以有效地促進哪些類型的學習或思維發展呢?我們認為,學習者在選用圖形組織器時,可以靈活地運用如下參照框架。
1.以認知目標為選用參照框架
認知目標分類以美國布盧姆的研究最為著名,他們在半個世紀的研究中,先後在推出兩個版本的認知目標分類(1956,2001)。在第一個版本(1956)中,他們把認知目標分為知道、領會、應用、分析、綜合和評價。在第二個版本(2001)中,他們強調了學習者在有意義學習中的主動、認知和建構過程,強調了學習者是如何獲取知識和如何思考的。與第一版的單向分類維度不同,第二版採用了「知識」和「認知過程」二維分類。知識是指學習時涉及的相關內容,從具體到抽象分為四類:事實性知識、概念知識、程序知識和元認知知識;認知過程包含學習時要掌握的學業行為表現,依據認知復雜度由低到高排列包括六個層級:記憶、理解、應用、分析、評價和創造[14]。這兩個版本的認知目標分類均可以作為學習選用圖形組織器的參照框架。如表2所示。
第二版的認知目標的「知識維」和「認知過程維」更可以作為學習者選用圖形組織器的參照框架。比如,就實現知識維來說,學習者可以運用圖形組織器促進事實性知識(術語、具體細節和要素)、概念性知識(類別與分類、原理與概括、理論/模式與結構)、程序性知識(具體學科技能和演算法、技巧和方法知識、確定何時運用適當程序知識)、元認知知識(包括策略、認知任務的知識如情境性和條件性知識、自我知識)。
就認知過程維來說,學習者可運用圖形組織器來展開各種思維活動,促進各種認知目標層級的實現。如,通過識別(確認)、回憶(提取)的圖形組織器工具來促進記憶方面的認知目標實現;通過解釋(轉換、釋義、表徵、澄清)、舉例(例證、例示)、分類(歸類)、總結(概括、抽象)、推斷(外推、添加、預測、斷定)、比較(對照、匹配、映射)、說明(建構一個模型)的圖形組織器工具來促進理解方面的認知目標實現;通過執行(完成)、實施(使用)的圖形組織器工具來促進應用方面的認知目標實現;通過區分(辨別、選擇、區別、聚焦)、組織(形成結構、整合內容、尋求一致、明確要義、語義分析)、歸屬(解構)的圖形組織器工具來促進分析方面的認知目標實現;通過核查(檢驗、查明、監控、協調)、評判(判斷)的圖形組織器工具來促進評價方面的認知目標實現;通過生成(提出假設)、計劃(設計)、實施/產出(構建)的圖形組織器工具來促進創造方面的認知目標實現,等等。
2.以學習維度發展為選用參照框架
學習維度(Dimensions of Learning, DOL)是美國課程改革專家馬扎諾(R. Marzano)提出的一種應用性學習理論。學習維度包括五個維度:維度一是學習者的態度與感受、維度二是獲取與整合知識、維度三是擴展與精練知識、維度四是有意義地運用知識、維度五是生產性的思維習慣[15]。在五個維度中,所有的學習都發生於學習者的態度與感受(維度1)以及運用生產性的思維習慣中(維度5),任何學習過程都帶有情感和態度特徵。另外三個維度則是學習之中進行思考所必需的。在擴展與精練知識時,學習者也在獲取與整合知識;在運用知識時,學習者也在擴展知識。思維技能和思維過程並不是互相割裂和線性作用的,而是一個互動循環、彼此影響的過程。學習的五個維度從總體上實現了認知與情感的相互作用,決定著學習的成效。合理地選用圖形組織器工具能有效地促進學習者獲取與整合知識、擴展與精煉知識和有意義地運用知識。如表3所示。
3.以理性思維發展為選用參照框架
「理性思維」(rational thinking)是美國教育學家坎貝爾(Campbell, 2003)提出的學習能力目標指向[16]。所謂「理性思維」,通常是指深層次理解知識與運用(遷移)知識時的心理活動狀態和信息加工方式。學習或教學應當重視發展「理性思維」能力。以坎貝爾提出的20種理性思維的分類和以提問促進理性思維發展的方式為參照,學習者可以有效地選用圖形組織器。如表4所示。
4.以日常思維發展為選用參照框架
在日常的學習中,會涉及系列常用的思維活動,這些思維活動的特點與圖形組織器存在一種對應的關系。學習者可以運用相應的圖形組織器來促進日常思維活動的發展。如表5所示。

六、圖形組織器的創建原則

1.目標導向
圖形組織器是用來實現一定的認知目標或促進思維能力發展的,否則必將成為一種流於形式的、花里胡哨的裝飾,顛倒手段和目標的關系。目標導向將決定圖形組織器的形式選擇、認知活動展開和圖形組織器的應用成效。為此,學習者要明確學習任務和學習目標,理解圖形組織器選用的參照框架。
2.相互匹配
任何一種圖形組織器都有其特定的形式和功用,學習者面臨的學習內容也有其特定性,比如事實性知識和程序性知識學習的差異。為此,學習者要把握圖形組織器的類型,理解學習內容的特點,實現圖形組織器的形式表現性和學習內容特定性的有機統合。
3.自由開放
圖形組織器有一定的類型和表現形式,但不是僵硬固定的。學習者不要拘泥形式,可以根據自己的喜好、學習任務和目標的特點,在基本匹配的基礎上,自由選用甚至是創新圖形組織器,用於信手塗鴉、頭腦風暴,追求最多樣化的觀點,實現觀點的不斷增刪和圖形的不斷變化。
4.整體結構
不論選用何種圖形組織器,都要高度重視圖形所表現的主題、各個要素及其相互聯系,使圖形化或可視化的對象內容形成一個整體的結構。
5.簡潔有效
使用和創建圖形組織器的目的是化繁為簡、化抽象為具體、化隱性為顯性,一目瞭然,以提高表現力和傳播效果,切忌形式重於內容,喪失圖形組織器的本原意義。
6.視覺設計
圖形組織器是一種視覺信息傳播方式,其效果受影響於相關的設計原則。在視覺設計方面,湯普森(M.Thompson,1994)提出了11條基本要義:簡潔、清晰、平衡、協調、組織性、重點突出、易辨性、統一性、透視性、觀點明確和構架合理。在知識可視化方面,尤德爾曼(G.Judelman,2004)提出了5條基本原則:圖形化(重模型而非無結構的信息)、最優化(注重信息表現力以提高認知效率)、穩定性(注意信息表現和操作的情境)、適應性(注重圖形界面和應用的聚合性)、數字化(以數字化方式來處理復雜性)[17]。這些原則對於使用和創建圖形組織器來說都富有啟示和指導意義。
此外,在創建圖形組織器時離不開創建工具。一般說來,創建圖形組織器的工具主要分為兩種,徒手繪制和數字化方式。徒手繪制的特點是設備簡單、不受場所限制、使用比較靈活和適宜表現瞬間的靈感,但作品較隨意,不易改動和轉移。
數字化的方式就是使用計算機技術,其特點是易於修改、動態鏈接、轉換方便、簡潔美觀、易於儲存、交換和傳播,等等。一般來說,平常的辦公軟體如Office、Wps自帶的繪圖工具就可以用於創建圖形組織器,滿足基本要求。但這種附帶的繪圖工具在圖形模板、色彩等方面可選擇性小,對學習者的構圖能力要求比較高,創建復雜圖形比較費時,也不適合表達復雜信息或思維的要求。因此,學習者可以選用專門的圖形組織器創建工具主要有Inspiration, Mind Manager, Mind Mapper, Brain, Axon Idea Processor, Cmap, Decision Explorer, Kmap, SemNet, Research Group, CoCo Systems, Activity Map, TextVision / TekstNet, SMART Ideas, EGLE Magic等等。這些軟體提供了豐富的圖形模板,界面友好,操作簡單,功能多樣,而且菜單設置、編輯功能等都大同小異,只是對於圖形的繪制有所側重。學習者只要學會一到兩種這類軟體,就可以觸類旁通。

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On Graphic Organizers
Qiu TingZhong Zhixian
(Institute of Curriculum and Instruction, Jiangxi Normal University,Jiangxi Nanchang 330027)


【Abstract】 Graphic Organizers can be used as a powerful visualized learning tool, be controlled freely by the learner. This paper discusses the meaning, functions, theoretical foundations, types, some frameworks for selection and application(FSA) and some principles of creating graphic organizers, in an attempt to get the basic knowledge about the graphic organizer.
【Keywords】 Graphic organizers; Functions; Types; FSA; Principles of creation

本文責編:孫愛萍

❸ 機器學習的常用方法有哪些

梯度下降是非常常用的優化演算法。作為機器學習的基礎知識，這是一個必須要掌握的演算法。藉助本文，讓我們來一起詳細了解一下這個演算法。


前言

本文的代碼可以到我的Github上獲取：

https://github.com/paulQuei/gradient_descent

本文的演算法示例通過Python語言實現，在實現中使用到了numpy和matplotlib。如果你不熟悉這兩個工具，請自行在網上搜索教程。


關於優化

大多數學習演算法都涉及某種形式的優化。優化指的是改變x以最小化或者最大化某個函數的任務。

我們通常以最小化指代大多數最優化問題。最大化可經由最小化來實現。

我們把要最小化或最大化的函數成為目標函數（objective function）或准則（criterion）。

我們通常使用一個上標*表示最小化或最大化函數的x值，記做這樣：

[x^* = arg; min; f(x)]


優化本身是一個非常大的話題。如果有興趣，可以通過《數值優化》和《運籌學》的書籍進行學習。


模型與假設函數

所有的模型都是錯誤的，但其中有些是有用的。– George Edward Pelham Box


模型是我們對要分析的數據的一種假設，它是為解決某個具體問題從老洞數據中學習到的，因此它是機器學習最核心的概念。

針對一個問題，通常有大量的模型可以選擇。

本文不會深入討論這方面的內容，關於各種模型請參閱機器學習的相關書籍。本文僅以最簡單的線性模型為基礎來討論梯度下降演算法。

這里我們先介紹一下在監督學習（supervised learning）中常見的三個符號：


❹ 根號a-+5的最小值和a的值

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前言

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https://github.com/paulQuei/gradient_descent

本文的演算法示例通過Python語言實現，在實現中使用到了numpy和matplotlib。如果你不熟悉這兩個工具，請自行在網上搜索教程。


關於優化

大多數學習演算法都涉及某種形式的優化。優化指的是改變x以最小化或者最大化某個函數的任務。

我們通常以最小化指代大多數最優化問題。最大化可經由最小化來實現。

我們把要最小化或最大化的函數成為目標函數（objective function）或准則（criterion）。

我們通常使用一個上標*表示最小化或最大化函數的x值，記做這樣：

[x^* = arg; min; f(x)]


優化本身是一個非常大的話題。如果有興趣，可以通過《數值優化》和《運籌學》的書籍進行學習。


模型與假設函數

所有的模型都是錯誤的，但其中有些是有用的。– George Edward Pelham Box


模型是我們對要分析的數據的一種假設，它是為解決某個具體問題從數據中學習到的，因此它是機器學習最核心的概念。

針對一個問題，通常有大量的模型可以選擇。

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❺ e的x減一次方的導數

e的x減一次方的導數是e^(x-1)。

具體解法如下：

e的x減一次方，即為e^(x-1)

e的x減一次方的導數，即為e^(x-1)的導數

e^(x-1)'=e^(x-1)*(1)=e^(x-1)

所以e的x減一次方的導數是e^(x-1)。

(5)組合最優化與演算法pdf擴展閱讀

導數的求解注意點：

1、理解並牢記導數定義。導數定義中一定要出現這一點的函數值，如果已知告訴等於零，那極限表達式中就可以不出現，否就不能推出在這一點可導。

2、導數定義相關計算。這里有幾種題型：1)已知某點處導數存在，計算極限，這需要掌握導數的廣義化形式，還要注意是在這一點處導數存在的前提下，否則是不一定成立的。

3、導數、可微與連續的關系。函數在一點處可導與可微是等價的，可以推出在這一點處是連續的，反過來則是不成立的。

4、導數的計算。導數的計算可以說在每一年的考研數學中都會涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。

5、高階導數計算。需要同學們記住幾個常見的高階導數公式，將其他函數都轉化成我們這幾種常見的函數，代入公式就可以了，也有通過求一階導數，二階，三階的方法來找出他們之間關系的。

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