omp兼帶其它演算法

A. 線性方程組的稀疏解

稀疏解問題在多個領域，如線性回歸、最小二乘、字典學習、信號的稀疏恢復等，具有重要應用需求。當考慮形如的線性方程組，其中，需探討的稀疏解形式與問題的維度緊密相關。

若，方程為超定方程組，通常無解。此時，最小二乘法（線性擬合）可用於尋找最優解，該解由方程的偽逆計算得出。若，則方程為常規線性方程組，存在唯一解；若，方程為欠定方程組，存在多個解。為了追求稀疏解，通常對解施加范數約束，但由於零范數問題的NP性質，其不被考慮。以下探討兩種常見約束情況：

1. L2范數約束：通過拉格朗日乘子法，可推導出問題的最優解為。這個解與超定方程的最小二乘解在形式上非常相似，區別在於一個是左逆，另一個是右逆。在計算中，numpy的np.linalg.pinv函數會自動選擇可逆的逆來參與計算。該稀疏解也可表示為正則化加權形式，通過拉格朗日乘子法進一步推導得出。對於更一般的二范數問題，同理可以使用拉格朗日乘子法求解，具體細節可見相關鏈接。

2. L1范數約束：為獲得稀疏解，問題可轉化為求解。解決該問題有多種方法，其中正交匹配演算法（OMP）和基追蹤演算法（BP）是兩種常用策略。正交匹配演算法是一種貪心演算法，通過逐次選擇與殘差相似度最高的列，構建逼近矩陣，最終得到解。基追蹤演算法則通過反證法證明，最小解必然包含零元素，從而轉化為帶線性約束的線性規劃問題，利用scipy的linprog求解。

相關文獻提供了深入理論分析與演算法實現的依據，如Tropp的《Greed is good: Algorithmic results for sparse approximation》、Cai和Wang的《Orthogonal matching pursuit for sparse signal recovery with noise》、hang的《Sparse recovery with orthogonal matching pursuit under RIP》等。

B. K-SVD和OMP是什麼關系

K-svd是一種訓練字典的方法，演算法裡面在求取系數矩陣時要用到omp演算法。

C. 稀疏表示的性質

信號稀疏表示的目的就是在給定的超完備字典中用盡可能少的原子來表示信號，可以獲得信號更為簡潔的表示方式，從而使我們更容易地獲取信號中所蘊含的信息，更方便進一步對信號進行加工處理，如壓縮、編碼等。信號稀疏表示方向的研究熱點主要集中在稀疏分解演算法、超完備原子字典、和稀疏表示的應用等方面。
在稀疏表示理論未提出前，正交字典和雙正交字典因為其數學模型簡單而被廣泛的應用，然而他們有一個明顯的缺點就是自適應能力差，不能靈活全面地表示信號，1993年，Mallat基於小波分析提出了信號可以用一個超完備字典進行表示，從而開啟了稀疏表示的先河，經研究發現，信號經稀疏表示後，越稀疏則信號重建後的精度就越高，而且稀疏表示可以根據信號的自身特點自適應的選擇合適的超完備字典。對信號稀疏表示的目的就是尋找一個自適應字典使得信號的表達最稀疏。
稀疏分解演算法首先是由Mallat提出的，也就是眾所周知的匹配追蹤演算法（Matching Pursuit,MP）演算法，該演算法是一個迭代演算法，簡單且易於實現，因此得到了廣泛的應用。隨後，Pati等人基於MP演算法，提出了正交匹配追蹤演算法（Orthogonal Matching Pursuit,OMP），OMP演算法相較於MP演算法，收斂速度更快。在以後的研究中，為了改進OMP演算法，學者也提出了各種不同的其它演算法，例如：壓縮采樣匹配追蹤（Conpressive Sampling Matching Pursuit,CoSaMP）演算法、正則化正交匹配追蹤（Regularized Orthogonal Matching Pursuit,ROMP）演算法、分段式正交匹配追蹤（Stagewise OMP,StOMP）演算法、子空間追蹤（Subspace Pursuit,SP）演算法等等。
信號稀疏表示的兩大主要任務就是字典的生成和信號的稀疏分解，對於字典的選擇，一般有分析字典和學習字典兩大類。常用的分析字典有小波字典、超完備DCT字典和曲波字典等，用分析字典進行信號的稀疏表示時，雖然簡單易實現，但信號的表達形式單一且不具備自適應性；反之，學習字典的自適應能力強，能夠更好的適應不同的圖像數據，在目前的研究中，常用的學習字典的方法包括：Engan於1999年提出的最優方向（Method Of Optimal Directions,MOD）演算法，該演算法是學習字典的鼻祖，它的字典更新方式簡單，但與此同時，它的收斂速度很慢，在該演算法的基礎上，一些研究人員同時還提出了一些其它的字典學習演算法，如FOCUSS字典學習演算法，廣義PCA（Generalized PCA）演算法等等，Micheal Elad也於2006年提出了基於超完備字典稀疏分解的K-SVD演算法，該演算法相較於MOD演算法，收斂速度有了很大的提高，但是隨著雜訊的逐漸加大，使用該演算法進行去噪後的圖像因紋理細節的丟失會產生模糊的效果。Mairal於2010年提出了一種online字典學習演算法，該演算法速度較快且適用於一些特殊的信號處理，例如視頻信號，語音信號等等 。